Tự luận Hình học Lớp 11 - Chương 2 - Chủ đề 5: Góc

 CHUÛ ÑEÀ 5. GOÙC
1. Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua một điểm và lần 
lượt cùng phương với a và b .
 a
 a / /a'ïü ¶ · a'
 ýï Þ a,b = a',b'
 b / /b'þï
 0 ¶ 0 b'
Chú ý : 0 £ a,b £ 90 .
 b
2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a' của a trên (P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 900 .
 a
 · ·
 a,(P)= a,a'
với a' là hình chiếu vuông góc của a trên (P). a'
 P
3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó hoặc là góc giữa hai 
đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm. 
 ïü
 a ^ (P)ï · ¶ c
 ýï Þ (P),(Q)= a,b
 ^ ï Q Q
 b (Q)þï P P
hoặc
 (P)Ç(Q)= c ïü a b
 ï
 ï · ¶
 a Ì (P), a ^ cýï Þ (P),(Q)= a,b
 ï b
 Ì ^ ï a
 b (Q), b cþï
 a 3
Bài 1. Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD , biết AB = CD = a , MN = . Tính góc 
 2
giữa hai đường thẳng AB và CD .
 Lời giải A
Gọi I là trung điểm của AC .
 ïì IM / /AB · · ·
Ta có íï Þ AB,CD = IM,IN . Đặt MIN = a .
 îï IN / /CD N
 AB a CD a a 3
Xét tam giác IMN có IM = = , IN = = , MN = . I
 2 2 2 2 2
 D
 IM2 + IN2 - MN2 1 B
Theo định lí hàm số côsin, ta có cosa = = - < 0 .
 2IM.IN 2
 · 0 · 0 M
Suy ra MIN = 120 . Do đó AB,CD = 60 .
 C Bài 2. Cho tứ diện ABCD có các mặt (ABC) và (ABD) là các tam giác đều cạnh a , các mặt (ACD) và (BCD) vuông 
góc với nhau. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD và BC .
 Lời giải
 Gọi M, N, E lần lượt là các trung điểm của CD, AB, BD .
 A
 ïì NE / /AD · ·
 Ta có íï Þ AD,BC = NE, ME .
 îï ME / /BC
 AD a
 Tam giác ABD có NE là đường trung bình nên NE = = . (1)
 2 2
 N BC a
 Tam giác BCD có ME là đường trung bình nên ME = = . (2)
 2 2
 Xét tam giác ACD có AC = AD = a và M là trung điểm CD nên 
 AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao hay AM ^ CD . Mà theo 
 giả thiết (ACD)^ (BCD) theo giao tuyến CD nên suy ra 
 B E D
 AM ^ (BCD)Þ AM ^ BM . Do đó tam giác AMB vuông tại M và có 
 AB a
 trung tuyến MN nên MN = = . (3)
 M 2 2
 Từ (1), (2) và (3) suy ra tam giác MNE đều nên 
 C · · 0
 AD,BC = NE, ME = 60 .
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có hai tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, 
 AC = AD = BC = BD = a và CD = 2x . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tìm x theo a để hai mặt 
phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc nhau.
 Lời giải
Tam giác ACD cân tại A và có trung tuyến AJ nên AJ ^ CD .
 A
Mà (ACD)^ (BCD) theo giao tuyến CD nên AJ ^ (BCD).
Suy ra AJ ^ BJ . (1)
Hơn nữa DACD = DBCD (c - c - c), suy ra AJ = BJ . (2)
 I
Từ (1) và (2), suy ra tam giác AJB vuông cân tại J .
 AB AJ 2 AD2 - DJ2 2 a2 - x2
Do đó IJ = = = = .
 2 2 2 2
 D
Tam giác ABC cân tại C nên CI ^ AB . B
Tam giác ABD cân tại D nên DI ^ AB .
 · · ·
Suy ra (ABC),(ABD)= CI,DI . Đặt CID = a . J
 CD a2 - x2 a
Để a = 900 khi và chỉ khi IJ = Û = x Û x = . C
 2 2 3
Bài 4. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y . Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để hai 
mặt phẳng (ABC) và (BCD) vuông góc nhau.
 Lời giải Gọi M là trung điểm BC , do tam giác BCD cân tại D nên 
 A DM ^ BC .
 Trong tam giác ABC , kẻ đường cao AH . Qua M kẻ 
 MN / /AH (N Î AC), suy ra MN ^ BC .
 N
 (ABC)Ç(BCD)= BC ïü
 ï
 ï · ·
 Ta có MN Ì (ABC), MN ^ BCýï Þ (ABC),(BCD)= MN, MD .
 y ï
 b ï
 a Ì ^ ï
 MD (BCD), MD BCþï
 Bây giờ ta đi tính các cạnh trong tam giác MND .
 ● MD là trung tuyến của tam giác BCD nên 
 a DB2 + DC2 BC2 a2
 B C MD2 = - = x2 - .
 H M 2 4 4
 ● Áp dụng định lí hàm số côsin trong tam giác ABC , ta có 
 x
 x 2 2 2
 · AC + BC - AB b
 cos ACB = = ,
 2AC.BC 2a
 D 2 2
 · 4a - b
 suy ra sin ACB = .
 2a
 b 4a2 - b2 b2 MC a2
 = · = = · = = =
Từ đó ta tính được AH AC.sin ACB ; CH AC.cos ACB ; CN · .
 2a 2a cos ACB b
 MN CM CM.AH a 4a2 - b2
Trong tam giác AHC , ta có = suy ra MN = = .
 AH CH CH 2b
● Áp dụng định lí hàm số côsin trong tam giác ACD , ta có 
 2 2 2 2 2 2
 AC + CD - AD · · NC + CD - ND
 = cos ACD = cos NCD =
 2AC.CD 2NC.CD
 a4 a2x2 a2 y2
suy ra ND2 = x2 + - a2 - + .
 b2 b2 b2
Vậy để (ABC)^ (BCD) khi và chỉ khi tam giác MND vuông tại N tức là ND2 = MN2 + MD2
 2 2 2
 4 2 2 2 2 - 2 2
 a a x a y a (4a b ) a b
 Û x2 + - a2 - + = + x2 - Û x2 - y2 + = 0 .
 b2 b2 b2 4b2 4 2
Bài 5. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a , mặt bên tạo với đáy một góc 600 .
 a) Tính góc giữa đường cao của hình chóp và mặt bên.
 b) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy của hình chóp.
 Lời giải
a) Gọi H là tâm của tam giác ABC . Do S.ABC là hình chóp đều nên SH ^ (ABC).
Gọi M là trung điểm BC . Vì tam giác SBC cân tại S nên SM ^ BC ; tam giác ABC đều nên AM ^ BC .
 (SBC)Ç(ABC)= BC ïü
 ï
 ï · · · 0
Ta có SM Ì (SBC), SM ^ BC ýï Þ (SBC),(ABC)= SM, AM = SMA = 60 .
 ï
 Ì ^ ï
 AM (ABC), AM BCþï
Gọi K là hình chiếu của H trên SM , suy ra HK ^ SM . (1) ü
 SH ^ (ABC)Þ SH ^ BCï
Do ý Þ BC ^ (SAM)Þ BC ^ HK . (2)
 ï
 AM ^ BC þï S
Từ (1) và (2), suy ra HK ^ (SBC) hay SK là hình chiếu của SH
 · · · ·
trên mặt phẳng (SBC) nên SH,(SBC)= SH,SK = HSK = MSH . 
 x 3 2 x 3
Đặt AB = x > 0 , suy ra AM = ; AH = AM = .
 2 3 3
 x2
Do đó SH2 = SA2 - AH2 = a2 - . (*)
 3
 1 x 3 · x
Mặt khác HM = AM = nên SH = HM.tanSMA = . (* *) A C
 3 6 2 K
 x2 x2 2a 21
Từ (*) và (* *), suy ra a2 - = Þ x = . H
 3 4 7 M
 a 21 2a 7
Suy ra SH = ; SM = SH2 + HM2 = . 
 7 7
 B
 · SH 3 · 0
Vậy cos MSH = = suy ra MSH = 30 .
 SM 2
 · · ·
b) Ta có AH là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt đáy (ABC) nên SA,(ABC)= SA, AH = SAH .
 2 x 3 2a 7 a 21
Ta có AH = AM = = và SH = .
 3 3 7 7
 · SH 3
Trong tam giác vuông SHA , ta có tanSAH = = .
 AH 2
 3
Vậy cạnh bên và mặt đáy của hình chóp hợp với nhau một góc nhọn a thỏa mãn tana = .
 2
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = 2a và vuông góc với đáy. Tính góc giữa SC 
và mặt phẳng (SAB).
 Lời giải
 S Gọi M là trung điểm AB , suy ra CM ^ AB .
 Hơn nữa SA ^ (ABC) suy ra SA ^ CM .
 Do đó CM ^ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên 
 mặt phẳng (SAB) là SM . Suy ra 
 · · ·
 SC,(SAB)= SC,SM = CSM .
 Trong tam giác vuông SMC , ta có 
 a 3
 CM CM 51
 · = = = 2 =
 M tanCSM .
 A B SM SA2 + AM2 a2 17
 4a2 +
 4
 51
 Vậy SC hợp với (SAB) một góc a thỏa mãn tana = .
 17
 C 3a
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Gọi H là trung điểm AB , SH = và vuông góc 
 4
với đáy. Tính góc giữa SH với mặt phẳng (SBC).
 Lời giải
 Gọi M là trung điểm BC , N là trung điểm BM .
 S
 AM ^ BCïü
 Suy ra ýï Þ HN ^ BC .
 HN / /BC þï
 Trong tam giác SHN , kẻ HK ^ SN (K Î SN). (1)
 BC ^ HNïü
 Ta có ýï Þ BC ^ (SHN)Þ BC ^ HK . (2)
 BC ^ SH þï
 Từ (1) và (2), suy ra HK ^ (SBC) nên SK chính là hình 
 chiếu vuông góc của SH trên mặt phẳng (SBC). Khi đó 
 A C
 · · · ·
 K SH,(SBC)= SH,SK = HSK = HSN .
 Trong tam giác vuông SHN , ta có
 H M · HN AM 1
 tan HSN = = = .
 N SH 2SH 3
 B Vậy SH hợp với mặt phẳng (SBC) một góc 300 .
 a 3
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = 2a , BC = 2a 3 ; SA = và vuông góc với 
 2
đáy. Gọi M là trung điểm AB . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SMC) và (ABC).
 Lời giải
Trong tam giác AMC , kẻ đường cao AK với K thuộc đường thẳng MC . S
 MC ^ AKïü
Ta có ýï Þ MC ^ (SAK)Þ MC ^ SK .
 MC ^ SA þï
 (SMC)Ç(ABC)= MC ïü
 ï
 ï · · ·
Do SK Ì (SMC), SK ^ MC ýï Þ (SMC),(ABC)= SK, AK = SKA .
 ï
 Ì ^ ï
 AK (ABC), AK MCþï
 MA MC MA.BC a 3
Vì DMKA ∽ DMBC nên = suy ra KA = = .
 KA BC MC 2 A C
 · SA
Trong tam giác vuông SAK , ta có tanSKA = = 1 .
 M
 AK K
Vậy hai mặt phẳng (SMC) và (ABC) hợp với nhau góc 450 . B
 a 3
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC = a ; SA = SB = SC = . Tính góc giữa 
 3
đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC).
 Lời giải
 1 a
Gọi H là trung điểm của BC , suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và AH = BC = .
 2 2 S
 Hơn nữa, theo giả thiết SA = SB = SC nên SH là trục của 
 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
 Suy ra SH ^ (ABC). Khi đó hình chiếu vuông góc của SA trên 
 mặt đáy (ABC) là HA nên 
 · · ·
 SA,(ABC)= SA,HA = SAH .
 H
 · AH 3 B C
 Trong tam giác vuông SHA , ta có cosSAH = = .
 SA 2
 Vậy đường thẳng SA hợp với mặt phẳng (ABC) một góc 300 .
 A
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , BC a 2 . Hình chiếu vuông góc của S trên 
mặt phẳng ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy góc 600 . 
Tính góc giữa hai đường thẳng SB , AC .
 Lời giải
 S Gọi H là trung điểm BC . Tam giác ABC vuông tại A nên 
 H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 
 Theo giả thiết, ta có SH  ABC . Do đó hình chiếu vuông 
 góc của SB trên mặt đáy ABC là BH nên 
 0 ·
 60 SB, ABC S·B,BH S·BH .
 BC
 Tam giác ABC vuông cân tại A , suy ra AB AC a .
 x 2
 E Trong tam giác vuông SBH , ta có 
 B C · 1 · a 6
 H SH BH.tanSBH BC tanSBH .
 2 2
 M Qua B kẻ đường thẳng Bx song song với AC . Khi đó 
 A S·B, AC S·B,Bx .
Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với Bx và cắt Bx tại E , cắt AC tại M .
 1 a
Suy ra M là trung điểm AC và HE HM AB .
 2 2
 Bx  HE
Ta có Bx  SHE Bx  SE .
 Bx  SH
 SE SH 2 HE2
Trong tam giác vuông SEB , ta có tanS· BE 7 .
 BE AM
Vậy hai đường thẳng SB , AC hợp với nhau một góc nhọn a thỏa mãn tana = 7 .
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = AC = a ; SA = a và vuông góc với đáy. 
 a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
 b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
 Lời giải
a) Gọi M là trung điểm BC . Do tam giác ABC cân tại A nên AM ^ BC .
Hơn nữa SA ^ (ABC) suy ra SA ^ BC . Từ đó suy ra BC ^ (SAM) nên BC ^ SM . (SBC)Ç(ABC)= BC ïü
 ï
 ï · · ·
Ta có SM Ì (SBC), SM ^ BC ýï Þ (SBC),(ABC)= SM, AM = SMA .
 ï
 Ì ^ ï S
 AM (ABC), AM BCþï
 · SA a 2
Trong tam giác vuông SAM , ta có tanSMA = = = .
 AM a 3 3
 2
Vậy hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) hợp với nhau một góc nhọn a H
 2
thỏa mãn tana = .
 3
b) Gọi H là trung điểm SC .
Tam giác SAC có SA = AC = a nên AH ^ SC .
Tam giác SBC có SB = BC = a 2 nên BH ^ SC . A C
 (SAC)Ç(SBC)= SC ïü
 ï
 ï · · ·
Ta có AH Ì (SAC), AH ^ SCý Þ (SAC),(SBC)= AH,BH . Đặt AHB = b . M
 ï
 Ì ^ ï
 BH (SBC), BH SC þï
Bậy giờ ta đi tính các cạnh trong tam giác AHB . B
 1 a 2
● AH là trung tuyến của tam giác vuông SAC nên AH = SC = .
 2 2
 a 6
● BH là trung tuyến của tam giác đều SBC có cạnh bằng a 2 nên BH = .
 2
 2 2 2
 · HA + HB - AB 3
Áp dụng định lí hàm số côsin, ta có cos AHB = = .
 2HA.HB 3
 3
Vậy hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) hợp với nhau một góc nhọn b thỏa mãn cosb = .
 3
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a , SA = a và vuông góc với đáy. Gọi 
 E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC .
 a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
 b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC).
 Lời giải
 x
 S a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC ; K là hình 
 chiếu vuông góc của B lên SC .
 Kẻ HL song song BK , suy ra HL ^ SC (L Î SB).
 H
 (SAC)Ç(SBC)= SC ïü
 ï
 ï · ·
 Ta có AH Ì (SAC), AH ^ SCýï Þ (SAC),(SBC)= AH,HL .
 ï
 K Ì ^ ï
 L HL (SBC), HL SC þï
 Bậy giờ ta đi tính các cạnh trong tam giác AHL .
 A F C ● AH là đường cao trong tam giác SAC nên 
 SA.AC a 2 SA2 a
 AH = = và SH = = .
 E SA2 + AC2 3 SC 3
 B BC ^ ABïü · BC 1
● Ta có ýï Þ BC ^ (SAB)Þ BC ^ SB hay tam giác SBC vuông tại B nên tan BSC = = .
 BC ^ SAþï SB 2
 1 · · HL SH a
Tam giác SHL vuông tại H nên = tan BSC = tan LSH = , suy ra HL = = .
 2 SH 2 6
 SC ^ AHïü BC ^ ABïü
● Ta có ýï Þ SC ^ (AHL)Þ SC ^ AL . Hơn nữa ýï Þ BC ^ (SAB)Þ BC ^ AL .
 SC ^ HL þï BC ^ SAþï
 SB a
Suy ra AL ^ (SBC)Þ AL ^ SB nên AL là đường cao trong tam giác vuông cân SAB nên AL = = .
 2 2
 2 2 2
 · AH + HL - AL 1
Áp dụng định lí hàm số côsin, ta có cos AHL = = .
 2AH.HL 2
Vậy hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) hợp với nhau một góc bằng 600 .
 ü
 (SBC)Ç(SEF)= S ï
 ï
b) Ta có BC Ì (SBC), EF Ì (SEF)ýï Þ (SBC)Ç(SEF)= Sx / /BC / /EF .
 ï
 BC / /EF ï
 þï
 ïì BC ^ SB ïì Sx ^ SB · · ·
Theo chứng minh BC ^ (SAB) , suy ra íï Þ íï . Khi đó (SEF),(SBC)= SE,SB = BSE .
 îï EF ^ SE îï Sx ^ SE
Áp dụng định lí hàm số côsin, ta có 
 æ 2 ö
 ç AB ÷
 SA2 + AB2 + çSA2 + ÷- BE2
 2 2 2 ( ) ç ÷
 · SB + SE - BE èç 4 ø÷ 3
 cos BSE = = = .
 2SB.SE AB2 10
 2 SA2 + AB2 . SA2 +
 4
 3
Vậy hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) hợp với nhau một góc nhọn a thỏa mãn cosa = .
 10
 · 0
Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân AB = AC = a , BAC = 120 ; SA = a và vuông góc với đáy.
 a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).
 b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
 c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC).
 d) Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của SB và AC . Tính góc giữa hai đường thẳng AP và BQ .
 Lời giải
 (SAB)Ç(SAC)= SA ïü
 ï
 ï · ·
a) Ta có AB Ì (SAB), AB ^ SA ýï Þ (SAB),(SAC)= AB, AC .
 ï
 Ì ^ ï
 AC (SAC), AC SAþï
 · 0 · 0 · 0
Mà BAC = 120 , suy ra AB, AC = 60 . Vậy (SAB),(SAC)= 60 .
 BC ^ AMïü
b) Gọi M là trung điểm BC , suy ra AM ^ BC . Vì ýï Þ BC ^ (SAM)Þ BC ^ SM .
 BC ^ SA þï (SBC)Ç(ABC)= BC ïü
 ï
 ï · · ·
Ta có SM Ì (SBC), SM ^ BC ýï Þ (SBC),(ABC)= SM, AM = SMA .
 ï
 Ì ^ ï
 AM (ABC), AM BCþï
 SA SA
 · = = =
Trong tam giác vuông SAM , ta có tanSMA · 2 .
 AM AC.sin ACB
Vậy hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) hợp với nhau một góc nhọn a thỏa mãn tana = 2 .
 c) Cách 1. (như bài 12a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của 
 S A lên SC ; K là hình chiếu vuông góc của M lên SC .
 Kẻ HL song song MK , suy ra HL ^ SC (L Î SM).
 (SAC)Ç(SBC)= SC ïü
 ï
 H ï · ·
 Ta có AH Ì (SAC), AH ^ SCýï Þ (SAC),(SBC)= AH,HL .
 K ï
 Ì ^ ï
 HL (SBC), HL SC þï
 Bậy giờ ta đi tính các cạnh trong tam giác AHL .
 A L C
 ● AH là đường cao trong tam giác vuông cân SAC nên 
 SC a SC a
 AH = = và SH = = .
 M 2 2 2 2
 MC ^ ABïü
 ● Ta có ýï Þ MC ^ (SAM)Þ MC ^ SM hay tam giác 
 B MC ^ SAþï
 SMC vuông tại M nên 
 · ·
 · MC AC.cos ACB AC.cos ACB 3
 tan MSC = = = = .
 2 2 2
 SM + 2 · 5
 SA AM SA + (AC.sin ACB)
 3 · · HL SH 3 a 3
Tam giác SHL vuông tại H nên = tan MSC = tan LSH = , suy ra HL = = .
 5 SH 5 10
 SC ^ AHïü MC ^ AMïü
● Ta có ýï Þ SC ^ (AHL)Þ SC ^ AL . Hơn nữa ýï Þ MC ^ (SAM)Þ MC ^ AL .
 SC ^ HL þï MC ^ SA þï
 SA.AM a
Suy ra AL ^ (SMC)Þ AL ^ SM nên AL là đường cao trong tam giác vuông SAM . Do đó AL = = .
 SA2 + AM2 5
 2 2 2
 · AH + HL - AL 15
Áp dụng định lí hàm số côsin, ta có cos AHL = = .
 2AH.HL 5
 15
Vậy hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) hợp với nhau góc nhọn b thỏa mãn cosb = .
 5
Cách 2. Gọi B' là hình chiếu vuông góc của B trên AC , suy ra BB' ^ AC .
 BB' ^ ACïü
Ta có ýï Þ BB' ^ (SAC). Suy ra DSB'C là hình chiếu của DSBC trên mặt phẳng (SAC). Do đó 
 SA ^ BB' þï
 · S B'C.SA
 cos(SAC),(SBC)= DSB'C = .
 SDSBC BC.SM
 3a
Ta có B'C = B' A + AC = AB.cos600 + AC = ; SA = a ; 
 2
 2
 2 2 · 2 2 2 · a 5
 BC = AB + AC - 2AB.AC.cos BAC = a 3 ; SM = SA + AM = SA + AC.sin ACB = .
 ( ) 2 · 15
Vậy cos(SAC),(SBC)= .
 5 S
 P
 A
 B' Q C
 I M
 E B
 · ·
d) Trong mặt phẳng (ABC) dựng hình bình hành AQBE , suy ra AE / /BQ . Do đó AP,BQ = AP, AE .
 1 a 2 a 7
Ta có AP = SB = ; AE = BQ = AB2 + AQ2 - 2AB.AQ.cos1200 = .
 2 2 2
 1 a EA2 + EB2 AB2 3a2
Gọi I là trung điểm AB , suy ra PI = SA = ; EI2 = - = ; EP2 = EI2 + PI2 = a2 .
 2 2 2 4 4
 2 2 2
 · AP + AE - EP 5
Theo đinh lí hàm số côsin, ta có cos PAE = = .
 2.AP.AE 2 14
 5
Vậy hai đường thẳng AP và BQ hợp với nhau góc nhọn g thỏa mãn cos g = .
 2 14
 · 0
Bài 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác thỏa mãn BAC = 120 , AB = a, AC = 2a . Cạnh bên SA vuông 
góc với đáy. Mặt bên (SBC) tạo với đáy một góc 300 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh SB, SC . Tính góc giữa 
hai đường thẳng AM và BN .
 Lời giải
 Gọi K là hình chiếu của A lên BC , suy ra AK ^ BC .
 S
 BC ^ AKïü
 Ta có ýï Þ BC ^ (SAK)Þ BC ^ SK .
 BC ^ SA þï
 (SBC)Ç(ABC)= BC ïü
 ï
 ï · · ·
 N Do SK Ì (SBC), SK ^ BC ýï Þ (SBC),(ABC)= SK, AK = SKA .
 ï
 Ì ^ ï
 M AK (ABC), AK BCþï
 E Áp dụng định lí hàm số côsin cho tam giác ABC , ta có
 2 2 ·
 BC = AB + AC - 2AB.AC.cos BAC = a 7 .
 A C
 F 1 · 1
 Ta có S = AB.AC.sin BAC = AK.BC , 
 DABC 2 2
 ·
 AB.AC.sin BAC a 21
 K suy ra AK = = .
 B BC 7
 · 3a 7
 Trong tam giác vuông SAK , ta có SA = AK.tanSKA = .
 7