Tự luận Hình học Lớp 11 - Chương 2 - Chủ đề 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

 CHUÛ ÑEÀ 3. ÑÖÔØNG THAÚNG VUOÂNG GOÙC VÔÙI MAËT PHAÚNG
1. Định nghĩa. Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng 
nằm trên mặt phẳng đó.
 d
 d^ (a)Û d ^ a," a Ì (a) a
 a
2. Định lí
 ● Định lí 1. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trên mặt phẳng (a) 
 thì đường thẳng d vuông góc với (a). d
 ì
 ï a,b Ì (a)
 ï
 í a Çb = M Þ d^ (a) b
 ï M
 ï ^ ^
 îï d a,d b a a
 ● Định lí 2. (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (a) và đường thẳng a 
 nằm trên (a). Điều kiện cần và đủ để a vuông góc với d là a vuông góc với d' là hình chiếu của d trên (a).
 d
 ïì
 ï d ^ (a)
 í . Khi đó a ^ d Û a ^ d' a
 ï a Ì (a)
 îï d'
 a
 ● Định lí 3. Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì một đường thẳng vuông góc với mặt này sẽ vuông góc với 
 mặt kia. d
 ïì
 ï (a)P(b)
 í Þ d ^ (b) a
 ï ^ a
 îï d ( )
 b
3. Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (a) ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a , b cắt nhau nằm trong (a).
 Chứng minh d vuông góc với (b) và (b)/ /(a).
 Chứng minh d / /a và a ^ (a).
 Chứng minh d Ì (b) với (b)^ (a) và d vuông góc với giao tuyến của (a) và (b). VẤN ĐỀ 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
 a 6
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là các tam giác đều cạnh a , AD = . Gọi I là trung điểm BC . Chứng 
 2
minh rằng AI ^ (BCD).
 Lời giải
 A Tam giác ABC đều có I là trung điểm BC nên AI ^ BC và 
 a 3
 AI = . (1)
 2
 Tương tự, tam giác DBC đều có I là trung điểm BC nên 
 a 3
 DI ^ BC và DI = .
 2
 6a2
 Trong tam giác ADI , ta có AI2 + DI2 = AD2 = nên tam 
 B D 4
 giác ADI vuông tại I hay AI ^ DI . (2)
 I ïì AI ^ BC
 Từ (1) và (2), ta có íï Þ AI ^ (BCD).
 ï ^
 C îï AI DI
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , SA SC; SB SD . Chứng minh rằng 
 SO  ABCD .
 Lời giải S
Tam giác SAC có SA SC nên là tam giác cân tại đỉnh S .
Mặt khác O là trung điểm AC nên SO vừa là đường 
trung tuyến vừa là đường cao nên SO  AC . (1)
Tương tự, tam giác SBD có SB SD nên là tam giác cân 
tại đỉnh S . Mặt khác O là trung điểm BD nên SO vừa là 
đường trung tuyến vừa là đường cao nên SO  BD . (2)
 ïì SO ^ AC
Từ (1) và (2), ta có íï Þ SO ^ (ABCD). B C
 îï SO ^ BD
 O
 A D
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA SC . Chứng minh AC  SBD .
 S Lời giải
 Tam giác SAC có SA SC nên là tam giác cân tại đỉnh S . 
 Mặt khác O là trung điểm AC nên SO vừa là đường trung 
 tuyến vừa là đường cao nên SO  AC . (1)
 Ta có BD  AC (hai đường chéo của hình thoi). (2)
 ïì AC ^ SO
 Từ (1) và (2), ta có íï Þ AC ^ (SBD).
 ï AC ^ BD
 B C îï
 O
 A D Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Gọi E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm P của SA . Gọi M , 
 N , Q lần lượt là trung điểm của AE , BC , AB . Chứng minh BD ^ (MNQ).
 Lời giải
 E S
 Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ^ BD . (1)
 Ta có BD  AC (hai đường chéo của hình vuông). (2)
 Từ (1) và (2), suy ra BD ^ (SAC). (*)
 M P
 Do M , Q là trung điểm của AE , AB nên MQ / /EB . Tứ giác 
 SEBC là hình bình hành nên EB / /SC . Do đó MQ / /SC . Hơn 
 A D
 nữa N , Q là trung điểm của BC , AB nên NQ / /AC . Từ đó 
 Q
 O suy ra (MNQ)/ /(SAC) . (* *)
 B N C Từ (*) và (* *), suy ra BD ^ (MNQ).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh a , tam giác SAB đều và SC = a 2 . Chứng minh rằng 
 BC ^ (SAB) .
 Lời giải
Tam giác SAB đều cạnh a nên SB = AB = a . S
Xét tam giác SBC , ta có
 2 2 2 2 2 ü
 SB + BC = a + a = 2a ï
 ýï Þ SB2 + BC2 = SC2 .
 2 2 ï
 SC = 2a ï
 þ A D
Suy ra tam giác SBC vuông tại B nên BC ^ SB . (1)
Mặt khác, BC ^ AB (do ABCD là hình vuông). (2)
Từ (1)và (2), suy ra BC ^ (SAB) .
 B C
 VẤN ĐỀ 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
 ❖ Trong vấn đề này ta làm rõ hai mục tiêu
 Chứng minh đường này vuông góc với mặt phẳng chứa đường kia.
 Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
 · ·
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và SAC = SAB . Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh BC ^ SA .
 Lời giải
 S Tam giác ABC có AB AC nên là tam giác cân tại đỉnh A . 
 Mặt khác M là trung điểm BC nên AM vừa là đường trung 
 tuyến vừa là đường cao nên AM  BC . (1)
 Xét hai tam giác SAB và SAC , ta có 
 ì
 ï SA chung
 ï
 íï AB = AC Þ DSAB = DSAC (c - g - c).
 ï
 ï · ·
 îï SAB = SAC
 A B
 Suy ra SB = SC nên SBC là tam giác cân tại đỉnh S . Mặt 
 khác M là trung điểm BC nên SM vừa là đường trung 
 M tuyến vừa là đường cao nên SM  BC . (2)
 C Từ (1) và (2), suy ra BC ^ (SAM)Þ BC ^ SA . Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Tam giác SAB và tam giác SAD là những tam giác vuông 
tại A . Chứng minh BD ^ SC .
 Lời giải
 S uur uuur uur uuur uuur uur uuur uur uuur
 Xét SA.BD = SA.(AD- AB)= SA.AD- SA.AB .
 Do các tam giác SAB và tam giác SAD là những tam giác 
 uur uuur uur uuur
 vuông tại A nên SA.AD = 0 và SA.AB = 0 .
 uur uuur
 Suy ra SA.BD = 0 hay SA ^ BD . (1)
 Ta có BD ^ AC (do ABCD là hình thoi). 2
 A D ( )
 Từ (1) và (2), suy ra BD ^ (SAC)Þ BD ^ SC .
 O
 B C
Bài 8. Cho lăng trụ đứng ABC.A' B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên AA' = a .
 a) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh AI ^ BC' .
 b) Gọi M là trung điểm của BB' . Chứng minh AM ^ BC' .
 Lời giải A' C'
a) Tam giác ABC đều và I là trung điểm BC nên AI ^ BC . (1)
Mặt khác, ta có AI ^ CC' (do ABC.A' B'C' là lăng trụ đứng). 2
 ( ) B'
Từ (1) và (2), suy ra AI ^ (BCC' B')Þ AI ^ BC' .
b) Theo câu a, ta có AI ^ BC' . (3)
Ta lại có BC' ^ B'C (do BCC' B' là hình vuông). M
Suy ra BC' ^ MI . (4) A C
Từ 3 và 4 , suy ra BC' ^ AMI Þ BC' ^ AM .
 ( ) ( ) ( ) I
 B
Bài 9. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của 
điểm O trên mặt phẳng (ABC).
 a) Chứng minh rằng BC ^ (OAH), CA ^ (OBH), AB ^ (OCH).
 b) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC .
 1 1 1 1
 c) Chứng minh rằng = + + .
 OH2 OA2 OB2 OC2
 d) Chứng minh rằng các góc của tam giác ABC đều nhọn.
 Lời giải
a) Từ giả thiết ta có OH ^ (ABC) suy ra OH ^ BC . (1)
 ïì OA ^ OB
Ta có íï Þ OA ^ (OBC)Þ OA ^ BC . (2)
 îï OA ^ OC
Từ (1) và (2), suy ra BC ^ (OAH).
Chứng minh tương tự ta được CA ^ (OBH), AB ^ (OCH). b) Từ kết quả câu a, ta có BC ^ (OAH) suy ra BC ^ AH . (3)
Tương tự, từ AC ^ (OBH) suy ra AC ^ BH . (4) A
 ïì AH ^ BC
Từ (3) và (4), ta có íï suy ra H là trực tâm của DABC .
 îï BH ^ AC
c) Giả sử AH cắt BC tại K , suy ra OK ^ BC .
 1 1 1
Trong DOBC vuông tại O , ta có = + . (5)
 2 2 2
 OK OB OC H
 1 1 1
Trong DOAK vuông tại O , ta có = + . (6) O C
 OH2 OA2 OK2
 1 1 1 1
Từ (5) và (6) , suy ra = + + . K
 2 2 2 2
 OH OA OB OC B
 2 2 2
 · AB + AC - BC
d) Xét cos BAC = .
 2AB.AC
 · · 2 2 2
Để chứng minh BAC nhọn ta cần chứng minh cos BAC > 0 Û AB + AC - BC > 0 .
Thật vậy, ta có AB2 = OA2 + OB2 ; BC2 = OB2 + OC2 ; AC2 = OA2 + OC2 .
Suy ra AB2 + AC2 - BC2 = 2OA2 > 0 (đpcm).
 · ·
Chứng minh tương tự, ta được các góc BAC và ACB đều nhọn.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC , SA vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là trực tâm các tam 
giác ABC và SBC . Chứng minh SC ^ (BHK) và HK ^ (SBC).
 S Lời giải
 BH ^ ACïü
 · Ta có ýï Þ BH ^ (SAC)Þ BH ^ SC . (1)
 BH ^ SA þï
 P Mặt khác, BK ^ SC (theo giả thiết). (2)
 Từ (1) và (2), suy ra SC ^ (BHK).
 N · Do SC ^ (BHK)Þ SC ^ HK . (3)
 A C
 BC ^ AMïü
 K Ta có ýï Þ BC ^ (SAM)Þ BC ^ HK . (4)
 H BC ^ SA þï
 ^
 M Từ (3) và (4), suy ra HK (SBC).
 B
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi M là hình chiếu 
 SM SN
vuông góc của A trên SB . Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho . Chứng minh rằng
 SB SC
 a) BC  SAB và AM  SBC .
 b) SB  AN .
 Lời giải
a) ● Do SA  ABC suy ra BC  SA . (1)
Tam giác ABC vuông tại B nên BC  AB . (2)
Từ (1) và (2), suy ra BC  SAB . BC  SAB S
● Ta có BC  AM . (3)
 AM  SAB 
Vì M là hình chiếu vuông góc của A trên SB nên AM  SB . (4)
Từ (3) và (4), suy ra AM  SBC . N
 SM SN
b) Từ giả thiết suy ra MN / /BC .
 SB SC M
Vì BC  SAB suy ra MN  SBC nên MN  SB . (5) A C
Từ (4) và (5) , suy ra SB  AMN SB  AN .
 B
Bài 12. Cho hình tròn tâm O , đường kính AB nằm trong mặt phẳng (P). Trên đường vuông góc với (P) tại A lấy 
điểm S , trên đường tròn (O) lấy điểm C , kẻ AI vuông góc SC và AK vuông góc SB .
 a) Chứng minh rằng các mặt bên tứ diện SABC là các tam giác vuông.
 b) Chứng minh AI ^ IK và IK ^ SB .
 Lời giải
 a) Theo giả thiết SA ^ (ABC) nên SA ^ AB và SA ^ AC .
 Do đó các tam giác SAB và SAC vuông tại A .
 S
 · 0
 Ta có BCA = 90 (chắn nửa đường tròn) nên BC ^ AC . (1)
 Mặt khác, từ SA ^ (ABC)Þ SA ^ BC . (2)
 K
 Từ (1) và (2), suy ra BC  SAC BC  SC .
 Do đó tam giác SBC vuông tại C .
 I BC  SAC 
 b) Ta có BC  AI . (3)
 AI  SAC 
 A B Theo giả thiết AI ^ SC . (4)
 Từ (3) và (4), suy ra AI  SBC AI  IK .
 Theo chứng minh trên AI  SBC AI  SB . (5)
 C Theo giả thiết AK ^ SB . (6)
 Từ (5) và (6) , suy ra SB  AIK SB  IK .
Bài 13. Cho tứ diện ABCD có AB ^ CD và AC ^ BD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng 
 (BCD). Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác BCD và AD ^ BC .
 Lời giải
Vì H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD) nên AH ^ (BCD) suy ra AH ^ CD . (1)
Theo giả thiết AB ^ CD . (2)
Từ (1) và (2), suy ra CD  ABH CD  BH .
Chứng minh tương tự, ta được BD  CH . 
Từ đó suy ra H là trực tâm của tam giác BCD . A
 ïì BC ^ DH
Ta có íï Þ BC ^ (ADH)Þ BC ^ AD .
 îï BC ^ AH
 B C
 H
 D
Bài 14. Cho tam giác MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 
hai điểm C , D ở hai bên điểm A . Gọi C' là hình chiếu của điểm C trên MD , H là giao điểm của AM và CC' .
a) Chứng minh CC' ^ (MBD).
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB . Chứng minh K là trực tâm của tam giác BCD .
 Lời giải
 ì
 ï BM ^ AM
 C a) Ta có íï Þ BM ^ (CAM). Mà 
 ï ^ ^
 îï BM AC (do CA (P))
 CC' Ì (CAM) nên BM ^ CC' . (1)
 Theo giả thiết, ta có CC' ^ MD . (2)
 Từ (1) và (2), suy ra CC'  MBD .
 F
 ïì CC' ^ MD
 ï
 b) Xét tam giác CMD ta có íï MA ^ CD Þ H là trực tâm 
 ï
 îï CC'ÇMA = H
 A K B của tam giác CMD nên DH ^ CM . (3)
 E
 Từ BM ^ (CAM) (chứng minh trên) suy ra BM ^ DH . (4)
 H Từ (3) và (4), suy ra DH  BCM DH  CB . (*)
 ì
 M ï KH ^ AB
 C' Ta có í Þ KH ^ (ABC)Þ KH ^ CB . (* *)
 îï KH ^ AC
 Từ (*) và (* *), suy ra CB  DKH CB  DK .
 D
 Vậy K là trực tâm của tam giác BCD .
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi H là trung điểm của cạnh AB và SH ^ (ABCD). 
Gọi K là trung điểm của cạnh AD . Chứng minh
 a) AC ^ (SHK).
 b) CK ^ SD . Lời giải
a) Ta có SH ^ (ABCD)Þ SH ^ AC . (1) S
 ïì AC ^ BD
Lại có íï Þ AC ^ HK . (2)
 îï BD / /HK
Từ (1) và (2), suy ra AC ^ (SHK).
 · ·
b) Dễ thấy DAHD = DDKC suy ra AHD = DKC .
 · · 0
Mà AHD + ADH = 90 nên 
 A
 · · 0 B
 DKC + ADH = 90 hay DH ^ CK . (3) H
 K
Mặt khác, ta có SH ^ (ABCD)Þ SH ^ CK . (4)
Từ (3) và (4), suy ra CK ^ (SDH)Þ CK ^ SD . D C
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2 . Gọi 
 H là trung điểm của cạnh AB . Chứng minh rằng SH ^ (ABCD).
 S Lời giải
 Vì H là trung điểm của AB và tam giác SAB đều nên 
 SH ^ AB . (1)
 a 3 a 5
 Ta có SH = , SC = a 2, HC = DH2 + DC2 = .
 2 2
 3a2 5a2
 Do đó HC2 + HS2 = + = 2a2 = SC2 .
 A B 4 4
 H Suy ra DHSC vuông tại H nên SH ^ HC . (2)
 Từ (1) và (2), suy ra SH ^ (ABCD).
 D C
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA vuông góc với đáy. Gọi H, I, K lần lượt là 
hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD . 
 a) Chứng minh rằng BC ^ (SAB) , CD ^ (SAD). 
 b) Chứng minh rằng (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD .
 c) Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC . Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AI, AK cùng chứa 
 trong một mặt phẳng.
 d) Chứng minh rằng (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn HK . Từ đó suy ra HK ^ AI .
 Lời giải
a) Từ giả thiết SA ^ (ABCD)Þ SA ^ BC . (1)
Mặt khác, ta có AB ^ BC do ABCD là hình vuông . (2)
Từ (1) và (2), suy ra BC ^ (SAB) .
Chứng minh tương tự, ta được CD ^ (SAD).
b) Từ giả thiết SA ^ (ABCD)Þ SA ^ BD . (3)
Mặt khác, ta có AC ^ BD do ABCD là hình vuông. (4) Từ (3) và (4), suy ra BD ^ (SAC) tại trung điểm O của BD nên (SAC) là mặt trung trực của đoạn BD .
 c) Theo chứng minh trên BC ^ (SAB)Þ BC ^ AH . (5)
 S
 Theo giả thiết, ta có AH ^ SB . (6)
 Từ (5) và (6) , suy ra AH ^ (SBC)Þ AH ^ SC .
 Chứng minh tương tự, ta được AK ^ SC .
 Như vậy AH, AI, AK cùng vuông góc với SC nên ba đường 
 I H thẳng AH, AI, AK cùng chứa trong mặt phẳng qua A và 
 E vuông góc với SC .
 K d) Giả sử HK cắt AI tại E .
 A
 B Nhận xét rằng: DSAB = DSAD (c - g - c) suy ra SH = SK .
 SH SK
 Trong DSBD , ta có = suy ra HK / /BD và E là trung 
 SB SD
 điểm của HK .
 D C Kết hợp với kết quả ở câu a, suy ra HK ^ (SAC) tại trung 
 điểm E của HK .
Vậy (SAC) là mặt phẳng phẳng trung trực của đoạn HK . Từ kết quả HK ^ (SAC) suy ra HK ^ AI .
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là hình 
chiếu vuông góc của A lên SB và SD . Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại L . Chứng minh AL ^ SC .
 Lời giải
 S
 ïì BC ^ AB
 Ta có íï Þ BC ^ (SAB)Þ BC ^ AH . (1)
 îï BC ^ SA
 Hơn nữa, theo giả thiết AH ^ SB . (2)
 L H Từ (1) và (2), suy ra AH ^ (SBC)Þ AH ^ SC . (*)
 ïì DC ^ AD
 Tương tự, ta có íï Þ DC ^ (SAD)Þ DC ^ AK . (3)
 ï
 K îï DC ^ SA
 A B
 Hơn nữa, theo giả thiết AK ^ SD . (4)
 O Từ (3) và (4), suy ra AK ^ (SDC)Þ AK ^ SC . (* *)
 D C Từ (*) và (* *), suy ra SC ^ (AHK)Þ SC ^ AL .
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = a 2 , SA = a và SA vuông góc với 
đáy (ABCD). Gọi M là trung điểm AD . Chứng minh BM ^ (SAC).
 Lời giải S
Ta có SA ^ (ABCD) suy ra SA ^ BM . (1)
Gọi I = AC ÇBM . Xét tam giác AIB , ta có
 ì
 ï · · AM 2
 ï tan ABI = tan ABM = =
 ï
 í AB 2 .
 ï
 ï · · AB 2
 ï cot BAI = cot BAC = =
 ï BC 2
 î A B
 · · · · 0 · 0
Suy ra tan ABI = cot BAI hay ABI + BAI = 90 nên AIB = 90 M
 I
 D C hay BM ^ AI . (2)
Từ (1) và (2), suy ra BM ^ (SAC).
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , BC = a 3 . Mặt bên SBC là tam giác 
vuông tại B , mặt bên SCD là tam giác vuông tại D và SD = a 5 .
 a) Chứng minh SA ^ (ABCD). Tính độ dài cạnh SA .
 b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC cắt CB, CD lần lượt tại I, J . Gọi H là hình chiếu của A trên 
 SC . Mặt phẳng (HIJ) cắt SB, SD lần lượt tại K, L . Chứng minh AK ^ (SBC), AL ^ (SCD). 
 Lời giải
 S
 J
 L
 H
 K A
 D
 I
 B C
a) Tam giác SBC vuông tại B , suy ra BC ^ SB . (1)
Do ABCD là hình chữ nhật nên BC ^ AD . (2)
Từ (1) và (2), suy ra BC ^ (SAB)Þ BC ^ SA . (*)
Tương tự, ta cũng chứng minh được SA ^ CD . (* *)
Từ (*) và (* *), suy ra SA ^ (ABCD).
Trong tam giác vuông SCD , ta có SC = DS2 + DC2 = a 6 .
Trong tam giác vuông SBC , ta có SB = SC2 - BC2 = a 2 .
Từ đó suy ra SA = SB2 - AB2 = a .
b) Theo chứng minh trên ta có BC ^ (SAB)Þ BC ^ AK . (3)
 ïì IJ ^ AC
Ta có íï Þ IJ ^ (SAC)Þ IJ ^ SC . Lại có AH ^ SC (giả thiết). Do đó SC ^ (HIJ)Þ SC ^ AK . (4) 
 îï IJ ^ SA
Từ (3) và (4), suy ra AK ^ (SBC).
Lập luận tương tự, ta có AL ^ (SCD).