Tự luận Hình học Lớp 11 - Chương 2 - Chủ đề 2: Hai đường thẳng vuông góc

 CHUÛ ÑEÀ 2. HAI ÑÖÔØNG THAÚNG VUOÂNG GOÙC
1. Định nghĩa. Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc tạo bởi giữa chúng bằng 900 . 
 b
 ¶ 0
 a ^ b Û (a,b)= 90 .
Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể chéo nhau hoặc cắt nhau. a
2. Định lí. Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó sẽ vuông góc với đường 
còn lại. d
 ïì a ¤¤b
 íï Þ d ^ b .
 îï d ^ a b
 a
3. Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
 Chứng minh góc giữa hai đường thẳng bằng 900 .
 Chứng minh hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau.
 Chứng minh dựa vào Định lí.
 Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (Định lí Pitago, tam giác có trung tuyến bằng nửa cạnh huyền).
 Sử dụng định lí ba đường vuông góc (chủ đề sau).
 Chứng minh đường này vuông góc với mặt phẳng chứa đường kia (chủ đề sau).
Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Chứng minh AO ^ CD .
 Lời giải
Qua O vẽ đường thẳng song song với CD cắt BC tại E và cắt BD tại F . A
Ta cần chứng minh AO ^ EF . Ta có 
 · ·
 AOE = (AO,CD).
Vì EF / /CD nên BEF là tam giác đều nên BE = BF và OE = OF . (1)
Xét hai tam giác ABE và ABF , ta có 
 ì
 ï AB chung
 ï
 íï BE = BF nên DABE = DABF (c - g - c). Suy ra AE = AF . (2)
 ï
 ï · · B F D
 îï ABE = ABF
Từ (1) và (2), suy ra tam giác AEF cân tại A có AO là trung tuyến O
nên cũng là đường cao. E
 · 0
Do đó AOE = 90 . Vậy AO ^ CD . C
 · · ·
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ASB = BSC = CSA . Chứng minh rằng SA ^ BC , SB ^ AC và 
 SC ^ AB . 
 Lời giải
 uur uuur uur uur uur uur uur uur uur
 · ·
Ta có SA.BC = SA(SC - SB)= SA.SC - SA.SB = SA.SC.cos BSC - SA.SB.cos ASB . (1) · · ·
Theo giả thiết: SA = SB = SC và ASB = BSC = CSA . (2)
 uur uuur
Từ (1) và (2), suy ra SA.BC = 0 hay SA ^ BC .
Chứng minh tương tự ta được SB ^ AC và SC ^ AB .
 · ·
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và SAC = SAB . Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh SA ^ BC .
 Lời giải
 uur uuur uur uur uur uur uur uur uur
Xét SA.BC = SA.(SC - SB)= SA.SC - SA.SB S
 uur uur uur uur uur uur
 ·
 = SA . SC .cos(SA,SC)- SA . SB .cosSAB
 · ·
 = SA.SC.cos ASC - SA.SB.cos ASB. (1)
 ì
 ï SA chung
 ï
Ta có íï AB = AC Þ DSAB = DSAC (c - g - c).
 ï
 ï · ·
 ï SAB = SAC
 îï A B
 ì
 ï SC = SB
Suy ra íï . (2)
 ï · ·
 îï ASC = ASB M
 uur uuur
Từ (1) và (2), suy ra SA.BC = 0 . Vậy SA ^ BC .
 C
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB . Chứng minh rằng SC ^ AB .
 S Lời giải
 uur uuur uur uur uuur uur uuur uur uur
 Xét SC.AB = - CS.(CB- CA)= CS.CA- CS.CB
 · ·
 = CS.CA.cosSCA- CS.CB.cosSCB
 SC2 + CA2 - SA2 SC2 + CB2 - SB2
 = CS.CA. - CS.CB.
 2SC.CA 2SC.CB
 SC2 + CA2 - SA2 SC2 + CB2 - SB2
 A C = - = 0 .
 2 2
 (do SA = SB và CA = CB )
 Vậy SC ^ AB .
 B
Bài 5. Cho tứ diện ABCD . 
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 a) Chứng minh rằng AB.CD + AC.DB+ AD.BC = 0 .
 b) Từ đẳng thức trên suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB ^ CD và AC ^ DB thì AD ^ BC .
 Lời giải
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) Ta có AB.CD + AC.DB+ AD.BC = AB(AD- AC)+ AC.(AB- AD)+ AD.(AC - AB)
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 = AB.AD- AB.AC + AC.AB- AC.AD + AD.AC - AD.AB
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur .
 = (AB.AD- AD.AB)+ (AC.AB- AB.AC)+ (AD.AC - AC.AD)= 0
 uuur uuur uuur uuur
b) Nếu AB ^ CD và AC ^ DB thì AB.CD = 0 và AC.DB = 0 .
 uuur uuur
Thay vào đẳng thức trên, ta được AD.BC = 0 . Suy ra AD ^ BC . · · 0
Bài 6. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC = BAD = 60 . Chứng minh rằng
 a) AB ^ CD .
 b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN ^ AB và MN ^ CD .
 Lời giải
 uuur uuur uuur uuur uuur
a) Xét AB.CD = AB.(AD- AC) A
 uuur uuur uuur uuur
 = AB.AD- AB.AC
 uuur uuur uuur uuur
 · · 
 = AB . AD .cos BAD- AB . AC .cos BAC
 M
 = AB.AD.cos600 - AB.AC.cos600 = 0 (vì AB = AC = AD ).
Suy ra AB ^ CD .
 ì
 ï AB = AC
b) Tam giác ABC có íï Þ tam giác ABC đều nên AB = BC = AC . B
 ï · 0 D
 îï BAC = 60
Tương tự ta cũng có tam giác ABD đều nên AB = AD = BD .
Suy ra DACD = DBCD (c - c - c) nên các trung tuyến tương ứng BN và AN bằng nhau. N
 D ^
Do đó NAB cân tại N và có trung tuyến NM nên NM cũng là đường cao. Suy ra MN AB . C
Chứng minh tương tự ta cũng có MN ^ CD .
 uuuur 1 uuur uuur
Cách 2. Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên MN = AD + BC .
 2 ( )
 uuuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur
Suy ra MN.AB = AD + BC .AB = AD.AB+ BC.AB = AD.AB+ AC - AB .AB
 2 ( ) 2 2 2 2 ( )
 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 2
 = AD.AB+ AC.AB- AB
 2 2 2
 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 2
 = AD . AB .cos600 + AC . AB .cos600 - AB
 2 2 2
 1 1 1 1 1
 = AD.AB. + AC.AB. - AB2 = 0 (do AB = AC = AD ).
 2 2 2 2 2
Vậy MN ^ AB .
 uuur uuur uuur uuuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur
Mặt khác CD = CA + AD , MN = AD + BC = AD + BA + AC .
 2 ( ) 2 ( )
 uuur uuuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
Suy ra CD.MN = CA + AD AD + BA + AC
 2 ( )( )
 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 = (CA.AD + CA.BA + CA.AC + AD.AD + AD.BA + AD.AC)
 2
 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 = - AC.AD + AC.AB- AC.AC + AD.AD- AD.AB+ AD.AC
 2 ( )
 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur
 = AB. AC - AD = AB.DC = 0 (theo câu a ta đã chứng minh AB ^ CD ).
 2 ( ) 2
Vậy MN ^ CD .
Bài 7. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c . Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm các 
cặp cạnh đối diện thì vuông góc với hai cạnh đó.
 Lời giải
Không mất tính tổng quát ta giả sử E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD .
Ta cần chứng minh EF ^ AB và EF ^ CD . Thật vậy uur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur
● Xét EF.AB = ED + EC .AB = ED.AB+ EC.AB A
 2 ( ) 2 2
 1 uuur uuur 1 uur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uur uuur
 = - DE.AB- CE.AB = - (DA + DB).AB- (CA + CB).AB
 2 2 4 4
 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 = AD.AB- BD.BA + AC.AB- BC.BA . E
 4 ( )
 uuur uuur 2 2 2 2 2 2
 · c + a - b c + a - b
Mà AD.AB = AD.AB.cos BAD = c.a. = .
 2ca 2
 B D
 uuur uuur b2 + a2 - c2
Tương tự, ta có BD.BA = ; 
 2
 uuur uuur a2 + b2 - c2 uuur uuur a2 + c2 - b2
 AC.AB = ; BC.BA = . F
 2 2
 uur uuur
Do đó EF.AB = 0 . Vậy EF ^ AB .
 C
● Chứng minh tương tự ta được EF ^ CD .
Cách 2. Ta có DCDA = DDCB (c - c - c), suy ra hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau nên AF = BF .
Tam giác AFB cân tại F và có FE là trung tuyến nên cũng là đường cao, suy ra EF ^ AB .
Chứng minh tương tự ta được EF ^ CD .
Bài 8. Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác 
nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC', C' A . Chứng minh rằng
 a) AB ^ CC' .
 b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
 Lời giải
 uuur uuur uuur uuuur uuur
 = -
 C' a) Xét AB.CC' AB.(AC' AC)
 uuur uuuur uuur uuur
 = AB.AC'- AB.AC
 uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
 Q P = AB . AC' .cos(AB, AC')- AB . AC .cos(AB, AC)
 = AB.AC'.cos600 - AB.AC.cos600.
 Vì các tam giác ABC và ABC' là các tam giác đều nên 
 A B AB = AC = AC' .
 Suy ra AB.CC' = 0 . Vậy AB ^ CC' .
 ïì MN / /AB
 ï
 M N b) Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên í 1 .
 ï MN = AB
 îï 2
 1
 C Tương tự PQ / /AB và PQ = AB .
 2
 ïì MN / /PQ
Suy ra íï nên MNPQ là hình bình hành. (1)
 îï MN = PQ
Mặt khác PN cũng là đường trung bình của tam giác BCC' nên PN / /CC' .
Theo chứng minh trên AB ^ CC' suy ra MN ^ NP . (2)
Từ (1) và (2), suy ra tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tam giác SAB và tam giác SAD là những tam giác 
vuông tại A . Chứng minh rằng
 a) SA vuông góc với BC và CD .
 b) SA vuông góc với AC và BD .
 Lời giải
 ì
 ï SA ^ AD
a) ● Ta có í Þ SA ^ BC . S
 îï AD / /BC
 ïì SA ^ AB
● Tương tự íï Þ SA ^ CD .
 îï AB / /CD
b) ● Lấy đối xứng S qua A ta được S' .
Khi đó AB, AD là các đường trung trực của đoạn SS' 
nên BS = BS' và DS' = DS' .
Suy ra DSBD = DS' BD (c - c - c) nên hai đường trung
 A D
tuyến tương ứng bằng nhau là SO = S'O .
Xét tam giác SOS' có SO = S'O nên cân tại O và có A
là trung điểm SS' nên OA vừa là trung tuyến vừa là
 O
đường cao. Suy ra OA ^ SS' hay AC ^ SA .
 uur uuur uur uuur uuur uur uuur uur uuur
● Xét SA.BD = SA.(AD- AB)= SA.AD- SA.AB . B C
Do các tam giác SAB và tam giác SAD là những tam giác
 uur uuur uur uuur
vuông tại A nên SA.AD = 0 và SA.AB = 0 .
 uur uuur
Vậy SA.BD = 0 hay SA ^ BD . S'
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x , tất cả các cạnh còn lại đều bằng a . Chứng minh SA ^ SC .
 Lời giải
 S
 Theo giả thiết, ta có AB = BC = CD = DA = a nên ABCD là hình 
 thoi cạnh a .
 Gọi O = AC ÇBD . Ta có 
 DCBD = DSBD (c - c - c). 
 Suy ra hai đường trung tuyến tương ứng CO và SO bằng nhau.
 D C 1
 Xét tam giác SAC , ta có SO = CO = AC .
 2
 Do đó tam giác SAC vuông tại S (tam giác có đường trung tuyến 
 O bằng nửa cạnh đáy).
 Vậy SA ^ SC .
 A B