Tự luận Hình học Lớp 11 - Chương 2 - Chủ đề 1: Vecto trong không gian

 CHÖÔNG II
 QUAN HEÄ VUOÂNG GOÙC TRONG KHOÂNG GIAN
CHUÛ ÑEÀ 1. VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép toán 
 Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn như trong mặt phẳng.
 Lưu ý:
    
 + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có AB BC AC .
    
 + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD , ta có AB AD AC .
     
 + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' , ta có AB AD AA' AC' .
 + Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm O tuỳ ý, ta có
      
 IA IB 0 ; OA OB 2OI .
 + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm O tuỳ ý, ta có
        
 GA GB GC 0 ; OA OB OC 3OG .
 + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD và điểm O tuỳ ý, ta có
          
 GA GB GC GD 0 ; OA OB OC OD 4OG .
 + Điều kiện hai vectơ cùng phương: a và b cùng phương a 0 !k ¡ : b ka .
 + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k k 1 tùy ý, ta có
   
    OA kOB
 MA kMB ; OM .
 1 k
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
 Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b, c , trong đó a và b không cùng phương. Khi đó
 a, b, c đồng phẳng m,n ¡ : c ma nb .
 Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng và vectơ x tuỳ ý. Khi đó
 !m,n, p ¡ : x ma nb pc .
3. Tích vô hướng của hai vectơ
   
 Góc giữa hai vectơ trong không gian: Giả sử AB u, AC v . Khi đó 
 u,v B· AC 00 B· AC 1800 .
 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: 
 + Cho hai vectơ u, v khác 0 . Khi đó u.v u . v .cos u,v .
 + Với u 0 hoặc v 0 . Qui ước u.v 0 .
 + Nếu u  v thì u.v 0 .
 VẤN ĐỀ 1. Chứng minh một đẳng thức vectơ
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình chữ nhật. Chứng minh rằng
     
 a) SA SC SB SD .
  2  2  2  2
 b) SA SC SB SD .
 Lời giải a) Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD . Ta có
    
 ● O là trung điểm AC nên SA SC 2SO . 1 
 S    
 ● O là trung điểm BD nên SB SD 2SO . 2 
     
 Từ 1 và 2 , suy ra SA SC SB SD .
  2   2  2  2   
 b) Ta có SA SO OA SO OA 2SO.OA và
  2   2  2  2   
 SC SO OC SO OC 2SO.OC .
         
 B C 2 2 2 2 2
 Suy ra SA SC 2SO OA OC 2SO OA OC 
  2  2  2   
 2SO OA OC (do OA OC 0 ).
 O  2  2  2  2  2
 Tương tự, ta có SB SD 2SO OB OD .
 A D
     
Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có OA OB OC OD .
  2  2  2  2
Từ đó suy ra: SA SC SB SD .
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Chứng minh rằng
      
 a) AB AD 2AS SB SD .
     
 b) 2 SO BA SC DB .
    3  1  
 c) SO DC AD SB SD .
 2 2
 Lời giải
         
a) Ta có O là trung điểm BD nên AB AD 2AS 2AO 2AS 2 AO AS 2SO . 1 
    
Hơn nữa, O là trung điểm BD nên ta cũng có SB SD 2SO . 2 
      
Từ 1 và 2 , suy ra AB AD 2AS SB SD .
      
b) Ta có SO SC CO và ABCD là hình bình hành nên BA CD . Do đó
          
 2 SO BA SC 2 CO BA 2 CO CD 2DO DB .
       1    1    1     3  1  
c) Ta có SO DC AD SO DC DA SB SD 2DO SB SD DB SB SD SB SD SB SD .
 2 2 2 2 2
Bài 3. Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN . Chứng 
minh rằng
      
 a) AD BC AC BD 2MN .
  1    
 b) MN AC AD AB .
  2   
 c) GA GB GC GD 0 .
      
 d) PA PB PC PD 4PG với P là một điểm bất kỳ.
 Lời giải
         
a) Ta có MN MA AD DN và MN MB BC CN .
        
Suy ra 2MN MA MB AD BC DN CN .     
Do M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên MA MB DN CN 0 .
    
Từ đó suy ra: AD BC 2MN . 1 
         
Ta lại có AD BC AC CD BD DC AC BD . 2 
      
Từ 1 và 2 , suy ra AD BC AC BD 2MN .
    
 A b) Theo quy tắc ba điểm, ta có MN AN AM .
  1    1  
 Mà AN AC AD và AM AB nên 
 2 2
  1    
 MN AC AD AB .
 M 2    
 c) Ta có M là trung điểm AB nên GA GB 2GM . 3 
    
 G Lại có N là trung điểm CD nên GC GD 2GN . 4 
 Từ 3 và 4 , suy ra 
 B C         
 GA GB GC GD 2GM 2GN 2 GM GN 2.0 0
 N (do G là trung điểm của MN ).
     
 d) Với điểm P bất kỳ, từ kết quả GA GB GC GD 0 .
    D          
Ta có PA PG PB PG PC PG PD PG 0 hay PA PB PC PD 4PG .
     
Bài 4. Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Chứng minh rằng DA DB DC 3DG .
 Lời giải
    
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên GA GB GC 0
           
 DA DG DB DG DC DG 0 DA DB DC 3DG.
     
Bài 5. Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N là các điểm thuộc các cạnh AB và CD sao cho MA 2MB , ND 2NC ; 
       
 I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho IA kID, JM kJN, KB kKC . Chứng minh rằng với mọi điểm O ta có 
  1  2  
 OJ OI OK .
 3 3
 Lời giải
        1  2  
Vì MA 2MB nên với điểm O bất kỳ ta có OA OM 2 OB OM OM OA OB .
 3 3
  1  2   1  k   1  k   1  k  
Tương tự, ta có: ON OD OC , OI OA OD , OK OB OC , OJ OM ON .
 3 3 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k
  1 1     1 1   1  2  
Từ đó suy ra OJ . OA 2OB kOD 2kOC . 1 k OI 2 1 k OK OI OK .
 1 k 3 1 k 3 3 3
Bài 6 Cho tứ diện ABCD có AB 2a, CD 2b . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD và IJ 2c ; M là một 
điểm bất kỳ. Chứng minh rằng
 a) MA2 MB2 2MI 2 2a2 .
 b) MA2 MB2 MC 2 MD2 4MG2 2 a2 b2 2c2 với G là trọng tâm của tứ diện. Suy ra vị trí của điểm M 
 để MA2 MB2 MC 2 MD2 đạt giá trị nhỏ nhất. A
 Lời giải
  2   2   
 a) Ta có MA2 MA MI IA MI 2 IA2 2MI.IA
  2   2   
 và MB2 MB MI IB MI 2 IB2 2MI.IB . Suy ra 
 I 
    
 MA2 MB2 2MI 2 2a2 2MI IA IB (do IA IB a)
   
 G 2MI 2 2a2 (do IA IB 0) . 1 
 2 2 2 2
 B C b) Tương tự, ta có MC MD 2MJ 2b . 2 
 Do G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên là trung điểm IJ .
 J Tương tự câu a) ta có MI 2 MJ 2 2MG2 2c2 . 3 
 D
Từ 1 , 2 và 3 , suy ra MA2 MB2 MC 2 MD2 4MG2 2 a2 b2 2c2 . Do đó
 MA2 MB2 MC 2 MD2 2 a2 b2 2c2 .
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: MG 0 hay M trùng với G .
Vậy MA2 MB2 MC 2 MD2 đạt giá trị nhỏ nhất khi điểm M trùng với trọng tâm tứ diện.
Bài 7 Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' . Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của AB, A' D' ; M, N, P, Q theo thứ tự là 
giao điểm của các đường chéo của các mặt ABCD, CDD'C', A' B'C' D', ADD' A' . Chứng minh rằng 
    
 a) IM NP JQ 0 .
 b) Hai tam giác INJ và MPQ có trọng tâm trùng nhau.
 Lời giải
 D' C'  1   1   1  
 a) Ta có IM BC, NP CB' và JQ B' B .
 J P 2 2 2
    1    1  
 B' Suy ra IM NP JQ 0 BC CB' B' B BB 0 .
 A' 2 2
 b) Gọi G, G' lần là trọng tâm tam giác INJ và MPQ .
 N         
 Ta có IM IG GG' G' M , NP NG GG' G' P và 
 Q     
 JQ JG GG' G'Q . Suy ra
           
 D C
 IM NP JQ IG NG JG 3GG' G' M G' P G'Q
 M 
  
 0 3GG' G  G' .
 Vậy hai tam giác và MPQ có trọng tâm trùng nhau.
 A I B INJ
Bài 8 Cho hình hộp ABCD.A B C D . Một mặt phẳng cắt bốn cạnh hình hộp AA', BB', CC', DD' theo thứ tự tại 
 M, N, P, Q . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC và MP ; G, G' lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và 
 MNP . Chứng minh rằng
  1   1     
 a) EF AM CP AM BN CP DQ .
 2 4 
  1    
 b) GG AM BN CP .
 3 
 Lời giải  1   
 a) ● Do F là trung điểm MP nên EF EM EP
 D' C' 2 
 Q 1     1   1   
 EA AM EC CP EA EC AM CP
 P 2 2 2 
 A' B'
 1     
 AM CP (do EA EC 0 ).
 2 
 F  1      
 M ● Từ EF AM CP suy ra AM CP 2EF .
 N 2    
 D C Tương tự, ta có BN DQ 2EF .
      
 Từ 1 và 2 , suy ra AM BN CP DQ 4EF .
 E         
 b) Ta có AM AG GG' G' M, BN BG GG' G' N và 
 A B     
 CP CG GG' G' P . Suy ra 
             
 AM BN CP AG AG AG 3GG' G' M G' N G' P 0 3GG' 0 3GG' .
 VẤN ĐỀ 2. Xác định điểm M thỏa mãn một đẳng thức vectơ
Bài 9. Cho tứ diện ABCD . Xác định các điểm M , N thỏa mãn
     
 a) AM AB AC AD .
     
 b) AN AB AC AD .
 Lời giải
    
 A a) Gọi I là trung điểm của BC , khi đó AB AC 2AI .
   
 Gọi J là điểm đối xứng của A qua I , khi đó 2AI AJ .
    
 Suy ra AB AC AJ . Từ đó, ta có 
 uuuur uuur uuur uuur uur uuur uuur
 AM = AB+ AC + AD = AJ + AD = 2AE ,
 B D
 với E là trung điểm của DJ .
 I Vậy M là điểm đối xứng của A qua E .
 N uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 C b) Ta có AN = AB+ AC - AD Û AN - AB = AC - AD
   
 E BN DC . Điều này chứng tỏ N là đỉnh thứ tư của 
 hình bình hành CDBN .
 Vậy trong mặt phẳng BCD lấy điểm N sao cho tứ giác 
 J CDBN là hình bình hành thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 M
Bài 10. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Xác định vị trí điểm M sao cho 
 uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur r
 MA + MB+ MC + MD + MA'+ MB'+ MC'+ MD' = 0 .
 Lời giải
 uuur uuur uuur uuur r uuuuur uuuur uuuur uuuuur r
Gọi O = AC ÇBD và O' = A'C'ÇB' D' . Khi đó ta có OA + OB+ OC + OD = 0 và O' A'+ O' B'+ O'C'+ O' D' = 0 . uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
Ta có MA + MB+ MC + MD = (MO + OA)+ (MO + OB)+ (MO + OC)+ (MO + OD)
 uuur uuur uuur uuur uuuur r uuuur uuuur
 = OA + OB+ OC + OD + 4MO = 0 + 4MO = 4MO
 uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuuur
và MA'+ MB'+ MC'+ MD' = (MO'+ O' A')+ (MO'+ O' B')+ (MO'+ O'C')+ (MO'+ O' D')
 uuuuur uuuur uuuur uuuuur uuuur r uuuur uuuur
 = O' A'+ O' B'+ O'C'+ O' D'+ 4MO' = 0 + 4MO' = 4MO' .
 uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur r
Suy ra MA + MB+ MC + MD + MA'+ MB'+ MC'+ MD' = 0
 uuuur uuuur r uuuur uuuur r uuuur uuuur r
 Û 4MO + 4MO' = 0 Û 4(MO + MO')= 0 Û MO + MO' = 0 .
Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của OO' .
 VẤN ĐỀ 3. Biểu diễn một vectơ thành một tổ hợp vectơ
 uur uur uur uuur
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Hãy phân tích các vectơ SA, SB, SC, SD 
 uuur uuur uuur
theo AB, AC, SO .
 Lời giải
 uur
● Phân tích SA . Ta có S
 uur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur
 SA = SO + OA = SO + CA = SO- AC .
 2 2
 uur
● Phân tích SB . Ta có 
 uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur
 SB = SO + OB = SO + OA + AB = SO- AC + AB .
 ( ) 2
 uur
● Phân tích SC . Ta có
 uur uur uuur
 SA + SC = 2SO suy ra A B
 uur uuur uur uuur æuuur uuurö uuur uuur
 ç 1 ÷ 1
 SC = 2SO- SA = 2SO- çSO- AC÷= SO + AC .
 èç 2 ø÷ 2
 uuur O
● Phân tích SD . Ta có 
 uur uuur uuur
 + =
 SB SD 2SO suy ra D C
 uuur uuur uur uuur æuuur uuur uuurö uuur uuur uuur
 ç 1 ÷ 1
 SD = 2SO- SB = 2SO- çSO- AC + AB÷= SO + AC - AB .
 èç 2 ø÷ 2
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 12. Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N, P, Q là các điểm thỏa mãn MA = - 2MB , NB = - 2NC , PC = - 2PD , 
 uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
 QD = - 2QA . Hãy phân tích các vectơ MN, MP, MQ theo ba vectơ AB, AC, AD .
 Lời giải
 uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur
Ta có MA = - 2MB = - 2 MA + AB suy ra MA = - AB ;
 ( ) 3
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur
 NB = - 2NC Û NA + AB = - 2 NA + AC suy ra NA = - AB+ 2AC ;
 ( ) 3( )
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur
 PC = - 2PD Û PA + AC = - 2 PA + AD suy ra PA = - AC + 2AD ;
 ( ) 3( )
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur
 QD = - 2QA Û QA + AD = - 2QA suy ra QA = - AD .
 3
Từ đó, suy ra uuuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur uuur 1 uuur 2 uuur
 MN = MA- NA = - AB+ AB+ 2AC = - AB+ AC ;
 3 3( ) 3 3
 uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur uuur 2 uuur 1 uuur 2 uuur
 MP = MA- PA = - AB+ AC + 2AD = - AB+ AC + AD ;
 3 3( ) 3 3 3
 uuuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur
 MQ = MA- QA = - AB+ AD .
 3 3
 uuuur r uuur r uuur r uuur uuur
Bài 13. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A' B'C' có AA' = a, AB = b, AC = c . Hãy phân tích các vectơ B'C, BC' theo 
 r r r
các vectơ a, b, c .
 Lời giải
 uuur uuur uuur uuuur uuur uuur A' B'
Ta có B'C = B' B+ BC = A' A + (AC - AB)
 uuuur uuur uuur C'
 = - AA'+ (AC - AB)
 r r r r r r
 = - a + (c - b)= c - a - b.
 uuur uuur uuur uuur uuur uuuur
Tương tự BC' = BC + CC' = (AC - AB)+ AA'
 r r r r r r A B
 = (c - b)+ a = a + c - b .
 C
 uuur r uuur r uuuur r uuuur
Bài 14. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢ có AB = a, AC = b, AA¢= c . Gọi I là trung điểm B'C' ; K là giao điểm của 
 uur uuur uuur r r r
 A' I và B' D' . Hãy biểu diễn các vectơ AI, AK, DK theo các vectơ a, b, c .
 Lời giải
 uur
● Phân tích AI . Ta có
 A' B'
 uur uuuur uuur uuuur 1 uuuur uuuuur
 AI = AA'+ A' I = AA'+ A' B'+ A'C'
 2 ( )
 K I
 uuuur 1 uuur uuur r 1 r r 1 r 1 r r D' C'
 = AA'+ AB+ AC = c + a + b = a + b + c .
 2 ( ) 2 ( ) 2 2
 uuur
● Phân tích AK . Ta có
 uuur uuuur uuuur uuuur 2 uuur uuuur 2 1 uuuur uuuuur
 AK = AA'+ A'K = AA'+ A' I = AA'+ . A' B'+ A'C'
 3 3 2 ( )
 uuuur 1 uuuur uuuuur r 1 r r 1 r 1 r r
 = AA'+ A' B'+ A'C' = c + a + b = a + b + c .
 3( ) 3( ) 3 3
 uuur A B
● Phân tích DK . Ta có
 uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur
 DK = DA + AK = CB+ AK = AB- AC + AK
 ( ) D
 C
 r r 1 r 1 r r 4 r 2 r r
 = a- b + a + b + c = a- b + c .
 ( ) 3 3 3 3
 uuur r uuur r uuuur r
Bài 15. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢ có AB = a, AD = b, AA¢= c . Gọi tâm hai đáy lần lượt là O và O' . Hãy biểu 
 uuuur uuuur uuuur uuuur r r r
diễn các vectơ BD¢, A¢C, B¢D, DO¢ theo các vectơ a, b, c .
 Lời giải Ta có 
 uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
● BD' = BA + AD + DD' = - AB+ AD + AA' A' B'
 r r r
 = - a + b + c . O'
 uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuur D' C'
● A'C = A' A + AC = - AA'+ (AB+ AD)
 r r r r r r
 = - c + (a + b)= a + b- c .
 uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur
● B' D = B' A'+ A' A + AD = - AB- AA'+ AD
 r r r r r r
 = - a- c + b = - a + b- c . A B
 uuuur uuuur uuuuur uuuur uuur uuuur 1 uuur
 = + = + = +
● DO' DD' D'O' AA' DO AA' DB O
 2 D
 uuuur 1 uuur uuur r 1 r r 1 r 1 r r C
 = AA'+ AB- AD = c + a- b = a- b + c .
 2 ( ) 2 ( ) 2 2
Bài 16. Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' có B'C' = CD . Gọi M, N là hai điểm di động lần lượt trên hai cạnh B'C' và 
 uur
 CD sao cho B' M = CN ; E là tâm của mặt BCC' B' và I là trung điểm của MN . Biểu thị vectơ IE theo hai vectơ 
 uuuur uuur
 B'C' , CD . 
 Lời giải
 uuuur uuuur uuur uuur
Giả sử B' M = kB'C' . Theo giả thiết bài toán, suy ra CN = kCD .
 uuur uuur uur
Do I là trung điểm của MN nên EM + EN = 2EI . Suy ra
 uur 1 uuur uuur 1 uuur uuuur uuur uuur 1 uuuur uuur uuur uuur r
 EI = EM + EN = EB'+ B' M + EC + CN = B' M + CN (do EB'+ EC = 0 )
 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
 1 uuuur uuur 1 uuuur uuur
 = kB'C'+ kCD = k B'C'+ CD .
 2 ( ) 2 ( )
Bài 17. Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' . Xét các điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng A'C và C' D sao cho 
 uuuur uuur uuuur uuur uuur r uuur r uuur r
 MA' = kMC , NC' = lND ( k và l đều khác 1). Đặt BA = a, BB' = b, BC = c .
 uuur uuur r r r
 a) Hãy biểu thị các vectơ BM và BN qua các vectơ a, b, c .
 b) Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD' .
 Lời giải
 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) Ta có MA' = kMC Û MB+ BA' = k(MB+ BC). A' D'
 uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
 uuur BA'- kBC BB'+ B' A'- kBC BB'+ BA- kBC
Suy ra BM = = = B' C'
 1- k 1- k 1- k
 r r r
 b + a- kc 1 r 1 r k r
 = = a + b- c .
 1- k 1- k 1- k 1- k
 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur N
Tương tự, NC' = lND Û NB+ BC' = l(NB+ BD).
 uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 + - + + - +
 uuur BC'- lBD BB' B'C' l(BA BC) BB' BC l(BA BC)
Suy ra BN = = = A M D
 1- l 1- l 1- l
 r r r r
 + - +
 b c l(a c) l r 1 r r
 = = - a + b + c .
 1- l 1- l 1- l B C b) Vì BD' và C' D là hai đường thẳng chéo nhau và N thuộc đường thẳng C' D nên đường thẳng MN không thể 
 uuuur uuur
trùng với đường thẳng BD' . Vậy đường thẳng MN song song với đường thẳng BD' khi và chỉ khi MN = pBD' .
 uuuur uuur uuur uuuur æ ör æ ör æ ör
 ç l 1 ÷ ç 1 1 ÷ ç k ÷
Do MN = BN - BM nên ta có MN = ç- - ÷a + ç - ÷b + ç1+ ÷c .
 èç 1- l 1- kø÷ èç1- l 1- kø÷ èç 1- kø÷
 uuur r r r r r r
Mặt khác BD' = a + b + c (quy tắc hình hộp) mà a, b, c là ba vectơ không đồng phẳng nên 
 ïì
 ï l 1 ì
 ï - - = p ï
 ï 1- l 1- k ï
 uuuur uuur ï ï l = - 1
 ï 1 1 ï
 MN = pBD' Û íï - = p Û íï k = - 3 .
 ï 1- l 1- k ï
 ï ï 1
 ï k ï =
 ï + = ï p
 ï 1 p îï 4
 îï 1- k
Vậy khi k = - 3, l = - 1 thì đường thẳng MN song song với đường thẳng BD' .
 VẤN ĐỀ 4. Chứng minh ba vectơ đồng phẳng.
Bài 18. Cho tứ diện ABCD . Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , CD . Trên các cạnh AC , BD ta lần 
 AM BN uuur uuur uuur
lượt lấy các điểm M , N sao cho = = k (k > 0). Chứng minh rằng ba vectơ PQ, PM, PN đồng phẳng.
 AC BD
 Lời giải
Do Q là trung điểm của cạnh CD nên ta có
 uuur 1 uuur uuur 1 éuuur uuur uuur uur ù 1 éuuur uuur uuur uur ù
 PQ = PC + PD = êAC - AP + BD- BP ú= êAC + BD - AP + BP ú.
 2 ( ) 2 ë( ) ( )û 2 ë( ) ( )û
 uuur uur r uuur 1 uuur uuur
Do P là trung điểm của cạnh AB nên AP + BP = 0 , suy ra PQ = AC + BD . (*)
 2 ( )
 uuur 1 uuuur uuur 1 uuur
Từ giả thiết, ta có AC = AM và BD = BN . Thay vào (*), ta được
 k k
 uuur 1 uuuur uuur 1 uuur uuur uur uuur 1 éuuur uur uuur uuur ù 1 uuur uuur
 PQ = AM + BN = AP + PM + BP + PN = êAP + BP + PM + PN ú= PM + PN .
 2k ( ) 2k ( ) 2k ë( ) ( )û 2k ( )
 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
Vậy PQ = PM + PN . Điều này chứng tỏ ba vectơ PQ, PM, PN đồng phẳng.
 2k 2k
 uuuur uuur uuur
Bài 19. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AB , CD . Chứng minh ba vectơ MN, BC, AD 
đồng phẳng.
 Lời giải
 uuur uuur r
 ì
 ï MA + MB = 0
Do M , N theo thứ tự là trung điểm của AB , CD nên íï uuur uuur r .
 ï
 îï DN + CN = 0
 uuuur uuur uuur uuur
 ü
 MN = MA + AD + DNï uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur
Ta có uuuur uuur uuur uuur ýï Þ 2MN = MA + MB + BC + AD + DN + CN = 0 + BC + AD + 0 = BC + AD .
 ï ( ) ( ) ( ) ( )
 MN = MB+ BC + CN þï
 uuuur 1 uuur 1 uuur uuuur uuur uuur
Vậy MN = BC + AD . Điều này chứng tỏ ba vectơ MN, BC, AD đồng phẳng.
 2 2 Bài 20. Cho tứ diện OABC . Ba điểm M, N, P trong không gian thỏa mãn:
 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 OM = OA + tOB- 2OC, ON = (t + 1)OA + 2OB+ OC, OP = (t - 2)OB+ 2OC, t Î ¡ .
 uuuur uuur uuur
 a) Xác định t để ba vectơ OM, ON, OP đồng phẳng.
 r uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
 b) Cho t = 0 , hãy biểu diễn vectơ v = 5OA + 10OB- 15OC theo ba vectơ OM, ON, OP .
 Lời giải
 uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
a) Để OM, ON, OP đồng phẳng điều kiện tồn tại cặp số thực a , b sao cho OM = aON + bOP
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 é ù é ù
 Û OA + tOB- 2OC = a (t + 1)OA + 2OB+ OC + b (t - 2)OB+ 2OC
 ëê ûú ëê ûú
 uuur uuur uuur
 = a + + é a + b - ù + a + b
 (t 1)OA ëê2 (t 2)ûúOB ( 2 )OC .
 ì
 ï 1 = a (t + 1)
 ï - 1± 161
 Û íï t = 2a + b (t - 2) suy ra 4t2 + t - 10 = 0 Û t = .
 ï 8
 ï - 2 = a + 2b
 îï
 - 1± 161 uuuur uuur uuur
Vậy với t = thì ba vectơ OM, ON, OP đồng phẳng.
 8
 ì uuur uuuur uuur uuur
 uuuur uuur uuur ï 1
 ì ï OA = 3OM + 2ON + 2OP
 ï OM = OA- 2OC (1) ï 5( )
 ï ï
 ï uuur uuur uuur uuur ï uuur 1 uuuur uuur uuur
b) Với t = 0 , ta được íï ON = OA + 2OB+ OC (2)Û íï OB = - 2OM + 2ON - 3OP . Suy ra
 ï uuur uuur uuur ï 10 ( )
 ï ï
 ï OP = - OB+ 2OC (3) ï uuur 1 uuuur uuur uuur
 îï ï = - + +
 ï OC ( OM ON OP)
 îï 5
 r uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
 v = 5OA + 10OB- 15OC = (3OM + 2ON + 2OP)+ (- 2OM + 2ON - 3OP)- 3(- OM + ON + OP)
 uuuur uuur uuur
 = 4OM + ON - 4OP.
 uuur uuur
Bài 21. Cho hình chóp S.ABC . Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MS = - 2MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho 
 uuur 1 uuur uuur uuuur uur
 NB = - NC . Chứng minh rằng ba vectơ AB, MN, SC đồng phẳng.
 2
 Lời giải
 uuuur uuur uuur uuur
 ì
 uuuur ï MN = MA + AB+ BN (1)
Phân tích MN theo hai hướng. Ta có íï uuuur uuur uur uuur .
 ï = + +
 îï MN MS SC CN (2)
 uuuur uuur uuur uuur uur uuur uuur
Lấy 2.(1)+ (2)Û 3MN = (2MA + MS)+ (2AB+ SC)+ (2BN + CN). (*)
 uuur uuur
 ì uuur uuur r
 ï MS = - 2MA ïì
 ï ï 2MA + MS = 0
Từ giả thiết í uuur 1 uuur Û í uuur uuur r . (* *)
 ï NB = - NC ï 2BN + CN = 0
 îï 2 îï
 uuuur uuur uur uuuur 2 uuur 1 uur
Từ (*) và (* *), suy ra 3MN = 2AB+ SC Û MN = AB+ SC .
 3 3
 uuur uuuur uur
Vậy ba vectơ AB, MN, SC đồng phẳng.
 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 22. Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N xác định bởi: AM = 2AB- 3AC (1); DN = DB+ xDC (2).
 a) Các điểm M , N thuộc các mặt phẳng nào của tứ diện?
 b) Tìm x để các đường thẳng AD, BC, MN cùng song song với một mặt phẳng.
 Lời giải