Tự luận Hình học Lớp 11 - Chương 1 - Chủ đề 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

 CHÖÔNG I
 QUAN HEÄ SONG SONG TRONG KHOÂNG GIAN
CHUÛ ÑEÀ 1. ÑAÏI CÖÔNG VEÀ ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG
 VẤN ĐỀ 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
 ❖ Phương pháp. Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (b), ta thực hiện theo các bước sau
 Bước 1. Tìm đường thẳng a Ì (a) và đường thẳng b Ì (b) sao cho a Çb = I thì I là điểm chung của (a) 
 và (b).
 Bước 2. Tiếp tục tìm điểm chung thứ hai của (a) và (b).
 Bước 3. Nối hai điểm chung ta được giao tuyến cần tìm.
Bài 1. Trong mặt phẳng (a) cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và điểm S không thuộc (a). Xác 
định giao tuyến của hai mặt phẳng
 a) (SAC) và (SBD).
 b) (SAB) và (SCD).
 Lời giải
 S a) Ta có S là điểm chung thứ nhất của (SAC) và (SBD).
 Trong mặt phẳng (a), gọi I = AC ÇBD . Ta có
 ● I Î AC mà AC Ì (SAC) suy ra I Î (SAC).
 ● I Î BD mà BD Ì (SBD) suy ra I Î (SBD).
 Do đó I là điểm chung thứ hai của (SAC) và (SBD).
 A D
 Vậy SI là giao tuyến của (SAC) và (SBD).
 b) Ta có S là điểm chung thứ nhất của (SAB) và (SCD).
 B I
 Trong mặt phẳng (a), do AB không song song với CD nên 
 gọi E = ABÇCD . Ta có
 C
 ● E Î AB mà AB Ì (SAB) suy ra E Î (SAB).
 ● E Î CD mà CD Ì (SCD) suy ra E Î (SCD).
 Do đó E là điểm chung thứ hai của (SAB) và (SCD).
 E Vậy SE là giao tuyến của (SAB) và (SCD).
Bài 2. Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng thuộc một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD lần lượt lấy các 
điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (MNP).
 Lời giải Ta có A
 ● P Î BD mà BD Ì (BCD) suy ra P Î (BCD).
 ● P Î (NMP).
 N
Do đó P là điểm chung thứ nhất của (BCD) và (MNP).
Trong mặt phẳng (ABC), do MN không song song với BC M
nên gọi E = MN ÇBC . Ta có
 E B C
 ● E Î MN mà MN Ì (MNP) suy ra E Î (MNP).
 ● E Î BC mà BC Ì (BCD) suy ra E Î (BCD).
 P
Do đó E là điểm chung thứ hai của (BCD) và (MNP).
 D
Vậy PE là giao tuyến của (BCD) và (MNP).
Bài 3. Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC), một điểm I thuộc đoạn SA . Một đường 
thẳng a không song song với AC cắt các cạnh AB , BC theo thứ tự tại J , K . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
 a) (I; a) và (SAC).
 b) (I; a) và (SBC).
 Lời giải
 a) Ta có
 ● I Î SA mà SA Ì (SAC) suy ra I Î (SAC).
 ● I Î (I; a).
 S Do đó I là điểm chung thứ nhất của (I; a) và (SAC).
 Trong mặt phẳng (ABC), do a không song song với AC nên 
 gọi E = a Ç AC . Ta có
 I L
 ● E Î a mà a Ì (I; a) suy ra E Î (I; a).
 E ● E Î AC mà AC Ì (SAC) suy ra E Î (SAC).
 Do đó E là điểm chung thứ hai của (I; a) và (SAC).
 Vậy IE là giao tuyến của (I; a) và (SAC).
 B C
 K b) Theo giả thiết ta có K là điểm chung thứ nhất của hai mặt 
 phẳng (I; a) và (SBC).
 J Trong mặt phẳng (SAC), gọi L = IEÇSC . Ta có 
 ● L Î IE mà IE Ì (I; a) suy ra L Î (I; a) .
 A
 ● L Î SC mà SC Ì (SBC) suy ra L Î (SBC).
 Do đó L là điểm chung thứ hai của (I; a) và (SBC).
 Vậy KL là giao tuyến của (I; a) và (SBC). Bài 4. Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (a); a là một đường thẳng nằm trong (a) và không song song với 
 AB , AC . Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (a) và A' là một điểm thuộc SA . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
 a) (A',a) và (SAB).
 b) (A',a) và (SAC).
 c) (A',a) và (SBC).
 Lời giải
a) Ta có
 ● A' Î SA mà SA Ì (SAB) suy ra A' Î (SAB).
 ● A' Î (A',a).
Do đó A' là điểm chung thứ nhất của (A',a) và (SAB).
Trong mặt phẳng (a), do a không song song với AB nên gọi E = a Ç AB . Ta có
 ● E Î AB mà AB Ì (SAB) suy ra E Î (SAB).
 ● E Î a mà a Ì (A',a) suy ra E Î (A',a).
Do đó E là điểm chung thứ hai của (A',a) và (SAB).
Vậy A' E là giao tuyến của (A',a) và (SAB).
b) Ta có
 ● A' Î SA mà SA Ì (SAC) suy ra A' Î (SAC).
 ● A' Î (A',a).
Do đó A' là điểm chung thứ nhất của (A',a) và (SAC).
Trong mặt phẳng (a), do a không song song với AC nên gọi F = a Ç AC . Ta có
 ● F Î AC mà AC Ì (SAC) suy ra F Î (SAC).
 S
 ● F Î a mà a Ì (A',a) suy ra F Î (A',a).
Do đó F là điểm chung thứ hai của (A',a) và (SAC).
 A'
Vậy A' F là giao tuyến của (A',a) và (SAC).
c) Trong mặt phẳng (SAB), gọi M = SBÇ A' E . Ta có
 N
 ● M Î SB mà SB Ì (SBC) suy ra M Î (SBC).
 a
 ● M Î A' E mà A' E Ì (A',a) suy ra M Î (A',a).
 C
Do đó M là điểm chung thứ nhất của (A',a) và (SBC). A
 F
Trong mặt phẳng (SAC), gọi N = SC Ç A' F . Ta có
 ● N Î SC mà SC Ì (SBC) suy ra N Î (SBC). M
 ● N Î A' F mà A' F Ì (A',a) suy ra N Î (A',a).
Do đó N là điểm chung thứ hai của (A',a) và (SBC).
 B E
Vậy MN là giao tuyến của (A',a) và (SBC). Bài 5. Cho tứ diện ABCD . Gọi M là một điểm bên trong tam giác ABD , N là một điểm bên trong tam giác ACD . 
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (BCD).
 Lời giải
 A
 Trong mặt phẳng (ABD), gọi E = AM ÇBD . Ta có 
 ● E Î AM mà AM Ì (AMN) suy ra E Î (AMN).
 N ● E Î BD mà BD Ì (BCD) suy ra E Î (BCD).
 Do đó E là điểm chung thứ nhất của (AMN) và (BCD).
 M Trong mặt phẳng (ACD), gọi F = AN ÇCD . Ta có 
 B D ● F Î AN mà AN Ì (AMN) suy ra F Î (AMN).
 E
 ● F Î CD mà CD Ì (BCD) suy ra F Î (BCD).
 F
 Do đó F là điểm chung thứ hai của (AMN) và (BCD).
 Vậy EF là giao tuyến của (AMN) và (BCD).
 C
Bài 6. Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh AB lấy điểm I ; gọi K là điểm bên trong tam giác ACD ; lấy M tùy ý trên đoạn CD 
và J là điểm trên cạnh BM sao cho IJ không song song với AM . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
 a) (IJK) và (ACD).
 b) (IJK) và (ABD).
 Lời giải
a) Ta có K là điểm chung thứ nhất của (IJK) và (ACD).
 A
Trong mặt phẳng (ABM), do IJ không song song với AM
nên gọi E = IJ Ç AM . Ta có 
 ● E Î IJ mà IJ Ì (IJK) suy ra E Î (IJK). I
 ● E Î AM mà AM Ì (ACD) suy ra E Î (ACD) .
Do đó E là điểm chung thứ hai của (IJK) và (ACD).
Vậy KE là giao tuyến của (IJK) và (ACD).
 B C
b) Ta có I là điểm chung thứ nhất của (IJK) và (ABD).
 F M
Trong mặt phẳng (ACD), gọi F = EK Ç AD . Ta có J
 K
 ● F Î EK mà EK Ì (IJK) suy ra F Î (IJK).
 ● F Î AD mà AD Ì ABD suy ra F Î ABD .
 ( ) ( ) D
Do đó F là điểm chung thứ hai của (IJK) và (ABD).
 E
Vậy IF là giao tuyến của (IJK) và (ABD).
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với ABPCD . Trên cạnh SB lấy điểm M . Tìm giao tuyến 
của hai mặt phẳng (ADM) và (SAC).
 Lời giải S
 Ta có A là điểm chung thứ nhất của (ADM) và (SAC).
 M
 Trong mặt phẳng (ABCD), gọi I = AC ÇBD .
 Trong mặt phẳng (SBD), gọi E = SI ÇDM . Ta có
 E ● E Î SI mà SI Ì (SAC) suy ra E Î (SAC).
 A B ● E Î DM mà DM Ì (ADM) suy ra E Î (ADM).
 Do đó E là điểm chung thứ hai của (ADM) và (SAC).
 I Vậy AE là giao tuyến của (ADM) và (SAC).
 D C
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của 
 BC, CD, SO . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 
 a) (MNP) và (SAB).
 b) (MNP) và (SBC).
 Lời giải
 S
 E
 F
 P
 J
 A B I
 O M
 D N C
a) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi I = ABÇMN . Ta có 
 ● I Î AB mà AB Ì (SAB) suy ra I Î (SAB).
 ● I Î MN mà MN Ì (MNP) suy ra I Î (MNP).
Do đó I là điểm chung thứ nhất của (MNP) và (SAB).
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi J = NO Ç AB . Trong mặt phẳng (SNJ), gọi E = NP ÇSJ . Ta có
 ● E Î NP mà NP Ì (MNP) suy ra E Î (MNP). ● E Î SJ mà SJ Ì (SAB) suy ra E Î (SAB).
Do đó E là điểm chung thứ hai của (MNP) và (SAB).
Vậy IE là giao tuyến của (MNP) và (SAB).
b) Ta có M là điểm chung thứ nhất của (MNP) và (SBC).
Trong mặt phẳng (SAB), gọi F = IEÇSB . Ta có
 ● F Î IE mà IE Ì (MNP) suy ra F Î (MNP).
 ● F Î SB mà SB Ì (SBC) suy ra F Î (SBC).
Do đó F là điểm chung thứ hai của (MNP) và (SBC).
Vậy MF là giao tuyến của (MNP) và (SBC).
 VẤN ĐỀ 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
 ❖ Phương pháp. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (a), giả sử a cắt (a). Để tìm giao điểm của a và (a), ta lựa 
 chọn một trong hai cách sau
 Cách 1. Nếu trong mặt phẳng (a) có sẵn một đường thẳng d cắt a tại một điểm nào đó thì điểm đó 
 chính là điểm cần tìm.
 Cách 2. Thực hiện theo các bước :
 Bước 1. Chọn mặt phẳng phụ (P) chứa a sao cho giao tuyến d của (P) và (a) dễ xác định.
 Bước 2. Trong (a), đường thẳng d cắt a tại điểm nào thì điểm đó chính là điểm cần tìm.
Bài 9. Trong mặt phẳng (a) cho tam giác ABC . Một điểm S không thuộc (a). Trên cạnh AB lấy một điểm P và trên 
các đoạn thẳng SA , SB ta lấy lần lượt hai điểm M , N sao cho MN không song song với AB .
 a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC).
 b) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (a). 
 Lời giải
 S
 a) Trong mặt phẳng (SAB), gọi E = MN ÇSP . Ta có
 M
 ● E Î SP mà SP Ì (SPC) suy ra E Î (SPC).
 E ● E Î MN .
 N Vậy E = MN Ç(SPC).
 C
 A b) Trong mặt phẳng (SAB), do MN không song song với 
 AB nên gọi D = ABÇMN . Ta có
 P ● D Î AB mà AB Ì (a) suy ra D Î (a).
 B
 ● D Î MN .
 D
 a Vậy D = MN Ç(a). Bài 10. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Trên đoạn SC lấy một điểm M không 
trùng với S và C . Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM).
 Lời giải
 S ● Chọn mặt phẳng phụ (SBD)É SD .
 ● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (ABM).
 Ta có B là điểm chung thứ nhất của (SBD) và (ABM).
 N
 Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O = AC ÇBD . Trong mặt 
 phẳng (SAC), gọi K = AM ÇSO . Ta có
 ▪ K Î SO mà SO Ì SBD suy ra K Î SBD .
 M ( ) ( )
 K ▪ K Î AM mà AM Ì (ABM) suy ra K Î (ABM).
 Suy ra K là điểm chung thứ hai của (SBD) và (ABM).
 A D
 Do đó (SBD)Ç(ABM)= BK .
 ● Trong mặt phẳng (SBD), gọi N = SD ÇBK . Ta có
 Î Ì Î
 O ▪ N BK mà BK (ABM) suy ra N (ABM).
 ▪ N Î SD .
 B
 Vậy N = SD Ç(ABM).
 C
Bài 11. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Trên đoạn AB lấy một điểm M , trên 
đoạn SC lấy một điểm N ( M , N không trùng với các đầu mút).
 a) Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD).
 b) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD).
 Lời giải
a) ● Chọn mặt phẳng phụ (SAC)É AN . S
● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Ta có S là điểm chung thứ nhất của (SAC) và (SBD).
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O = AC ÇBD . Ta có
 ▪ O Î AC mà AC Ì (SAC) suy ra O Î (SAC).
 ▪ O Î BD mà BD Ì (SBD) suy ra O Î (SBD).
Suy ra O là điểm chung thứ hai của (SAC) và (SBD). I N
 A D
Do đó (SAC)Ç(SBD)= SO .
● Trong mặt phẳng (SAC), gọi I = AN ÇSO . Ta có
 ▪ I Î SO mà SO Ì SBD suy ra I Î SBD .
 ( ) ( ) O
 ▪ I Î AN .
 B
Vậy I = AN Ç(SBD) . C b) ● Chọn mặt phẳng phụ (SMC)É MN .
 S
 ● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SMC) và (SBD).
 Ta có S là điểm chung thứ nhất của (SMC) và (SBD).
 Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O' = MC ÇBD . Ta có
 ▪ O' Î MC mà MC Ì (SMC) suy ra O' Î (SMC).
 ▪ O' Î BD mà BD Ì (SBD) suy ra O' Î (SBD).
 N Suy ra O' là điểm chung thứ hai của (SMC) và (SBD).
 A D
 Do đó (SMC)Ç(SBD)= SO' .
 E
 ● Trong mặt phẳng (SMC), gọi E = MN ÇSO' . Ta có
 M ▪ E Î SO' mà SO' Ì (SBD) suy ra E Î (SBD).
 O'
 Î
 B ▪ E MN .
 C Vậy E = MN Ç(SBD).
Bài 12. Cho bốn điểm A, B, C, S không cùng ở trong một mặt phẳng. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, AB . 
Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song song với AC ( K không trùng với các đầu mút). Tìm giao điểm của 
đường thẳng BC với mặt phẳng (IHK).
 Lời giải
● Chọn mặt phẳng phụ (ABC)É BC . S
● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (IHK).
Ta có H là điểm chung thứ nhất của (ABC) và (IHK). K
Trong mặt phẳng (SAC), do IK không song song với 
 I
 AC nên gọi F = IK Ç AC . Ta có
 ▪ F Î AC mà AC Ì (ABC) suy ra F Î (ABC).
 ▪ F Î IK mà IK Ì (IHK) suy ra F Î (IHK).
Suy ra F là điểm chung thứ hai của (ABC) và (IHK).
 F A C
Do đó (ABC)Ç(IHK)= HF .
● Trong mặt phẳng ABC , gọi E = HF ÇBC . Ta có
 ( ) H
 E
 ▪ E Î HF mà HF Ì (IHK) suy ra E Î (IHK).
 ▪ E Î BC . B
Vậy E = BC Ç(IHK).
Bài 13. Cho tứ diện SABC . Gọi D là điểm trên SA , E là điểm trên SB sao cho DE không song song với AB và F là 
điểm trên AC .
 a) Tìm giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng (DEF).
 b) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mặt phẳng (DEF).
 Lời giải a) ● Chọn mặt phẳng phụ (ABC)É BC .
 ● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF).
 Ta có F là điểm chung thứ nhất của (ABC) và (DEF).
 S
 Trong mặt phẳng (SAB), do DE không song song với AB 
 nên gọi M = DEÇ AB . Ta có
 ▪ M Î AB mà AB Ì (ABC) suy ra M Î (ABC).
 ▪ M Î DE mà DE Ì (DEF) suy ra M Î (DEF).
 D Suy ra M là điểm chung thứ hai của (ABC) và (DEF).
 Do đó (ABC)Ç(DEF)= FM .
 ● Trong mặt phẳng (ABC), gọi N = BC ÇFM . Ta có
 F C
 A ▪ N Î FM mà FM Ì (DEF) suy ra N Î (DEF).
 K ▪ N Î BC .
 E N Vậy N = BC Ç(DEF).
 b) ● Chọn mặt phẳng phụ (SBC)É SC .
 B
 ● Ta có (SBC)Ç(DEF)= EN .
 ● Trong mặt phẳng (SBC), gọi K = EN ÇSC . Ta có
 M
 ▪ K Î EN mà EN Ì (DEF) suy ra K Î (DEF).
 ▪ K Î SC .
 Vậy K = SC Ç(DEF).
Bài 14. Cho tứ diện ABCD . Trên AC lấy điểm M , trên AD lấy điểm N sao cho MN không song song với CD . Gọi 
 O là điểm bên trong tam giác BCD . Tìm giao điểm của đường thẳng BD và mặt phẳng (OMN).
 Lời giải
● Chọn mặt phẳng phụ (BCD)É BD . A
● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (OMN).
Ta có O là điểm chung thứ nhất của (BCD) và (OMN).
 N
Trong mặt phẳng (ACD), do MN không song song với 
 CD nên gọi I = MN ÇCD . Ta có
 ▪ I Î MN mà MN Ì (OMN) suy ra I Î (OMN).
 ▪ I Î CD mà CD Ì (BCD) suy ra I Î (BCD). P
 B D
Suy ra I là điểm chung thứ hai của (BCD) và (OMN).
 O M
Do đó (BCD)Ç(OMN)= OI .
● Trong mặt phẳng (BCD), gọi P = OI ÇBD . Ta có
 ▪ P Î OI mà OI Ì (OMN) suy ra P Î (OMN).
 C
 ▪ P Î BD .
Vậy P = BD Ç(OMN). I Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD . Trong tam giác SBC lấy điểm M , trong tam giác SCD lấy điểm N .
 a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC).
 b) Tìm giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (AMN).
 Lời giải
 a) Kéo dài SM cắt BC tại M ' ; Kéo dài SN cắt CD tại N ' .
 S ● Chọn mặt phẳng phụ (SM ' N ')É MN .
 ● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SM ' N ') và (SAC).
 Ta có S là điểm chung thứ nhất của (SM ' N ') và (SAC).
 Trong mặt phẳng (ABCD), gọi I = AC ÇM ' N ' . Ta có
 N
 ▪ I Î AC mà AC Ì (SAC) suy ra I Î (SAC).
 E
 D ▪ I Î M ' N ' mà M ' N ' Ì (SM ' N ') suy ra I Î (SM ' N ').
 M
 Suy ra I là điểm chung thứ hai của (SM ' N ') và (SAC).
 A
 Do đó (SM ' N ')Ç(SAC)= SI .
 N' ● Trong mặt phẳng (SM ' N '), gọi E = SI ÇMN . Ta có
 I ▪ E Î SI mà SI Ì (SAC) suy ra E Î (SAC).
 B
 M'
 Î
 C ▪ E MN .
 Vậy E = MN Ç(SAC).
 S
b) ● Chọn mặt phẳng phụ (SAC)É SC .
● Ta có (SAC)Ç(AMN)= AE .
● Trong mặt phẳng (SAC), gọi F = AEÇSC . Ta có
 N
 ▪ F Î AE mà AE Ì (AMN) suy ra F Î (AMN).
 F
 ▪ F Î SC . E D
Vậy F = SC Ç(AMN).
 A
 M
 N'
 B I
 M'
 C