Tự luận Hình học Lớp 10 - Chương 3.4: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (Có đáp án)

 CHUÛ ÑEÀ 07. BAØI TAÄP TOÅNG HÔÏP
 · 0
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1; 2 và B 4; 3 . Tìm tọa độ điểm M sao cho MAB 135 
 10
và khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng .
 2
 Lời giải
Đường thẳng AB đi qua hai điểm A 1; 2 và B 4; 3 nên có phương trình AB : x 3y 5 0 .
 uuur uuuur
Gọi M x; y . Ta có AB 3;1 , AM x 1; y 2 . Theo giả thiết bài toán, ta có
 3 x 1 1. y 2 1
 u·uur uuuur 
 AB, AM 135 2 2
 10. x 1 y 2 2 x 0 x 1
 hoặc .
 10 y 0 y 3
 d M, AB x 3y 5 10 
 2 
 1 9 2
Vậy M 0;0 hoặc M 1; 3 .
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A 0; 2 và đường thẳng d : x y 2 0 . Tìm tọa độ B thuộc d 
sao cho đường cao AH và trung tuyến OM của tam giác OAB có độ dài bằng nhau.
 Lời giải
 b b 
Do B d nên B b;b 2 . Suy ra tọa độ trung điểm của AB là M ; .
 2 2 
Phương trình cạnh OB đi qua hai điểm O 0;0 và B b;b 2 nên OB : b 2 x by 0 .
Theo giả thiết bài toán, ta có 
 2 2
 b b 2b b 0
 OM d A,OB .
 2 2 2 b 1
 b 2 b2 
Vậy B 0; 2 hoặc B 1;1 .
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 4x 2y 5 và d2 : 4x 6y 13 0 . Viết phương 
trình đường thẳng , biết cắt d1 , d2 lần lượt tại A và B sao cho d1 là phân giác góc tạo bởi OA và , d2 là phân 
giác góc tạo bởi OB và .
 Lời giải
Gọi E x; y là điểm đối xứng của O qua d1 . Khi đó tọa độ điểm E thỏa mãn hệ phương trình
 x y
 4. 2. 5 0
 2 2 E 2;1 .
 2.x 4.y 0
Gọi F x; y là điểm đối xứng của O qua d2 . Khi đó tọa độ điểm F thỏa mãn hệ phương trình
 x y
 4. 6. 13 0
 2 2 F 2; 3 .
 6.x 4.y 0
Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm E 2;1 và F 2; 3 nên có phương trình : x 2y 4 0 .
232 Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 3x y 3 2 0 và d2 : 3x y 3 2 0 . 
Gọi A là giao điểm của d1 và d2 . Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại B , C 
sao cho tam giác ABC đều và có diện tích bằng 3 3 .
 Lời giải
 3x y 3 2 0
Tọa độ điểm A x; y thỏa mãn hệ A 1; 2 .
 3x y 3 2 0
 uur uur
Đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến n1 3; 1 , d2 có vectơ pháp tuyến n2 3;1 . Ta có 
 uur uur 
 3 1 1 · 0
 cos d ,d cos n ,n , suy ra d ,d 60 .
 1 2 1 2 1 2
 4. 4 2
 r
Gọi n a;b với a2 b2 0 là vcetơ pháp tuyến của đường thẳng cần tìm. Yêu cầu bài toán tương đương
 3a b
 1 1
 2 2
 cos d1 , 2 2 3a b a b
 2 2 a b 2 a 0
 .
 1 3a b 3a b a2 b2 b 0
 cos d2 , 1 
 2 
 2 a2 b2 2
 a 0
Vì a2 b2 0 nên ta chọn . Khi đó : y c 0 . 
 b 1
 2 c 2d A, 2 2 c
Khoảng cách từ A đến bằng d A, . Do tam giác ABC đều nên AB .
 1 3 3
Hơn nữa, ta lại có
 2
 AB 3 2 c 1
 S ABC 3 3 3 3 2 c 9 .
 4 c 5
Vậy có hai đường thẳng cần tìm : y 5 0 hoặc : y 1 0 .
 2 2 2 2
Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường tròn C1 : x y 1 4 và C2 : x 1 y 2 . Viết 
phương trình đường thẳng , biết tiếp xúc với C1 và cắt C2 tại hai điểm phân biệt A , B sao cho AB 2 .
 Lời giải
Giả sử phương trình tổng quát của : ax by c 0 với a2 b2 0 .
Đường tròn C1 có tâm I1 0; 1 , bán kính R1 2 ; Đường tròn C2 có tâm I2 1;0 , bán kính R2 2 .
Do tiếp xúc với C1 nên 
 b c
 d I1 , R1 2 . 1 
 a2 b2
Ta lại có cắt C2 tại hai điểm phân biệt A , B sao cho AB 2 nên 
 2
 2 AB a c
 d I2 , R2 1. 2 
 2 a2 b2
Từ 1 và 2 , suy ra 
 233 
 b c a c c 2a b
 2. b c 2 a c .
 2a b
 2 2 2 2 c 
 a b a b 3
 2 2 a 0
● Với c 2a b . Thay vào 1 , ta được 2a 2b 2 a b ab 0 .
 b 0
Nếu a 0 thì ta chọn b 1 , suy ra c 1. Ta được : y 1 0 .
Nếu b 0 thì ta chọn a 1 , suy ra c 2 . Ta được : x 2 0 .
 2a b b 2a
● Với c . Thay vào 2 , ta được a a2 b2 8a2 2ab 8b2 0 : vô nghiệm.
 3 3
Vậy có hai đường thẳng cần tìm là: : y 1 0 hoặc : x 2 0 .
Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại A . Biết cạnh huyền nằm trên đường 
thẳng d : x 7y 31 0 , điểm N 7;7 thuộc đường thẳng AC , điểm M 2; 3 thuộc đường thẳng AB . Xác định tọa 
độ các đỉnh của tam giác.
 Lời giải
 uuur
 2 2
Gọi nAC a;b với a b 0 là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC . Do tam giác ABC vuông tại A nên vectơ 
 uuur
pháp tuyến của đường thẳng AB là nAB b; a .
Tam giác ABC cân tại A nên
 uuur uuur uuur uuur 4a 3b
 cos n ,n cos n ,n a 7b b 7a .
 AC BC AB BC 
 3a 4b
● Với 4a 3b , chọn a 3 suy ra b 4 .
 uuur
Đường thẳng AB đi qua M 2; 3 và có vectơ pháp tuyến nAB 4; 3 nên AB : 4x 3y 1 0 .
 uuur
Đường thẳng AC đi qua N 7;7 và có vectơ pháp tuyến nAC 3; 4 nên AC : 3x 4y 7 0 .
Từ đó tìm được tọa độ điểm A 1;1 , B 4; 5 , C 3; 4 .
 3 1 9 
● Với 3a 4b , chọn a 4 suy ra b 3 . Tương tự ta tìm được A 4; , B 10; 3 , C ; .
 2 2 2 
 3 1 9 
Vậy A 1;1 , B 4; 5 , C 3; 4 hoặc A 4; , B 10; 3 , C ; .
 2 2 2 
 Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , cạnh đáy BC : x 5y 2 0 , cạnh bên 
 AB : 3x 2y 6 0 , đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm M 6; 1 . Tìm tọa độ điểm C .
 Lời giải
 A
 Gọi d là đường thẳng đi qua M 6; 1 và song song với BC nên có 
 phương trình d : x 5y 11 0 .
 Gọi N d  AB nên tọa độ điểm N x; y thỏa mãn hệ 
 x 5y 11 0
 d N 4; 3 .
 N M 3x 2y 6 0
 K
 Suy ra tọa độ trung điểm của MN là K 1; 2 .
 B C
234 Gọi là đường thẳng đi qua K 1; 2 và vuông góc BC nên có phương trình : 5x y 3 0 .
Do tam giác ABC cân tại A nên A thuộc , suy ra A AB  nên tọa độ điểm A x; y thỏa mãn hệ 
 5x y 3 0
 A 0; 3 .
 3x 2y 6 0
Đường thẳng AC đi qua hai điểm A 0; 3 và M 6; 1 nên có phương trình AC : 2x 3y 9 0 .
 x 5y 2 0
Ta có C BC  AC nên tọa độ điểm C x; y thỏa mãn hệ C 3;1 .
 2x 3y 9 0
 r
Cách 2. Giả sử đường thẳng AC có vectơ pháp tuyến n a;b với a2 b2 0 .
 uuur uuur
Đường thẳng AB có VTPT nAB 3; 2 ; Đường thẳng BC có VTPT nBC 1; 5 .
Tam giác ABC cân tại A nên 
 · ·
 ABC ACB cos AB,BC cos AC,BC 
 3 10 a 5b 2 2 3a 2b
 6a 5ab 6b 0 .
 9 4. 1 25 a2 b2 . 1 25 2a 3b
● Với 3a 2b , chọn a 2 suy ra b 3 . 
 r
Khi đó đường thẳng AC đi qua M 6; 1 và có vectơ pháp tuyến n 2; 3 nên AC : 2x 3y 9 0 .
 x 5y 2 0
Ta có C AC  BC nên tọa độ điểm C x; y thỏa mãn hệ C 3;1 .
 2x 3y 9 0
 r uuur
● Với 2a 3b , chọn a 3 suy ra b 2 . Suy ra n 3; 2 / /nAB : không thỏa mãn.
Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A 6;6 . Đường thẳng đi qua trung điểm của các 
cạnh AB , AC có phương trình x y 4 0 . Tìm toạ độ điểm B và C , biết E 1; 3 nằm trên đường cao đi qua đỉnh 
 C .
 Lời giải
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d . Khi đó tọa độ điểm A' x; y thỏa mãn hệ
 x 6 y 6
 A 4 0
 2 2 A' 2; 2 BC .
 1. x 6 1 . y 6 0
 Đường thẳng BC đi qua A' 2; 2 và song song với d nên có phương trình 
 d BC : x y 4 0 .
 E Do B BC nên B b; 4 b , A' là trung điểm BC suy ra C 4 b;b .
 uuur uur
 Ta có AB b 6; 10 b , CE 5 b; 3 b . Theo giả thiết bài toán
 uuur uur
 AB.CE 0 b 6 5 b 10 b 3 b 0 b 0 hoặc b 6 .
 B C Vậy B 0; 4 , C 4;0 hoặc B 6; 2 , C 2; 6 .
 A' 
 Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , phương trình cạnh BC : x y 1 0 , đường 
cao hạ từ đỉnh B là BH : x 3y 5 0 , đường cao hạ từ đỉnh C đi qua M 3;0 . Tìm tọa độ điểm A .
 Lời giải
 235 uuur
 Đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến n 1; 1 ; Đường thẳng BH có 
 A BC 
 uuur
 vectơ pháp tuyến nBH 1; 3 .
 Do B BC  BH nên tọa độ điểm B x; y là nghiệm của hệ 
 x y 1 0
 B 2; 1 .
 x 3y 5 0
 M 
 H Gọi CK là đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB có vectơ pháp tuyến 
 K r
 n a;b với a2 b2 0 .
 CK : a x 3 by 0 hay ax by 3a 0 .
 B C
 · · · ·
Ta có BHC CKB (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra HBC KCB cos BH,BC cos KC,BC .
 uuur uuur r uuur
 n .n n.n
 BH BC BC 2 a b
 uuur uuur r uuur 2 a2 b2 10 a b
 2. 10 2 2
 nBH . nBH n . nBC 2. a b
 2 2 2 2 2 2 a 3b
 4 a b 10 a 2ab b 3a 10ab 3b 0 .
 b 3a
● Với b 3a , chọn a 1 suy ra b 3 . T được CK : x 3y 3 0 : không thỏa mãn do song song với BH . 
● Với a 3b , chọn a 3 suy ra b 1 . Ta được CK : 3x y 9 0 . 
 3x y 9 0
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ C 2; 3 .
 x y 1 0
Đường thẳng AB đi qua B và vuông góc với CK nên có phương trình AB : x 3y 1 0 .
Đường thẳng AC đi qua C và vuông góc với BH nên có phương trình AC : 3x y 3 0 .
 x 3y 1 0
Ta có A AB  AC nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ A 1;0 .
 3x y 3 0
Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , có chu vi bằng 16. Hai điểm A , B thuộc 
đường thẳng d : 4x 3y 8 0 và B , C thuộc trục Ox . Tìm tọa độ điểm A và C .
 Lời giải
 4x 3y 8 0
Do B d Ox nên tọa độ điểm B x; y thỏa mãn hệ B 2;0 .
 y 0
 x 2 3t
 Phương trình đường thẳng d ở dạng tham số .
 d y 4t
 Do A d nên A 2 3a; 4a với a 0 .
 A 
 Gọi H là hình chiếu của A trân cạnh BC  Ox nên H 2 3a;0 .
 Tam giác ABC cân tại A nên H là trung điểm BC , 
 suy ra C 2 6a;0 .
 uuur uuur
 B C x Ta có AB 3a; 4a , BC 6a;0 . Suy ra AB 5 a , BC 6 a .
 H Theo gia thiết bài toán, ta có 
 AB AC BC 16 2AB BC 16 16 a 16 a 1 .
236 Với a 1 , suy ra A 1; 4 , C 4;0 ; Với a 1 , suy ra A 5; 4 , C 8;0 .
Bài 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có diện tích bằng 24 và phương trình các đường trung 
tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là d1 : x y 2 0 , d2 : 5x y 2 0 , d3 : x 3y 10 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của 
tam giác.
 Lời giải
 x y 2 0
Tọa độ trọng tâm G của tam giác thỏa mãn hệ G 1; 3 .
 5x y 2 0
Do B d2 nên B b; 5b 2 , C d3 nên C 10 3c;c .
 b 3c 10 5b c 2 
Gọi M là trung điểm BC , suy ra M ; . Vì M d1 nên 
 2 2 
 b 3c 10 5b c 2
 2 0 b 3c 10 5b c 2 4 b c 4 c 4 b .
 2 2
 uuur
Suy ra C 3b 2; 4 b . Ta có BC 2b 2; 6b 6 b 1 2; 6 , suy ra BC 2 10 b 2 .
 r
Đường thẳng BC đi qua B b; 5b 2 và có vectơ chỉ phương u 2; 6 nên BC : 3x y 8b 2 0 .
 1
Theo giả thiết bài toán, ta có S S 8
 GBC 3 ABC
 1 1 3 3 8b 2 2 b 0
 BC.d G,BC 8 .2 10 b 1 . 8 b 1 1 
 2 2 9 1 b 2
Với b 0 suy ra tọa độ các đỉnh là B 0; 2 , C 2; 4 , A 5;7 .
Với b 2 suy ra tọa độ các đỉnh là B 2;8 , C 4; 2 , A 3; 1 .
Vậy B 0; 2 , C 2; 4 , A 5;7 hoặc B 2;8 , C 4; 2 , A 3; 1 .
Bài 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 0; 2 , B 2;6 và điểm C thuộc đường thẳng 
 d : x 3y 1 0 . Tìm tọa độ điểm C sao cho phân giác trong góc A song song với d .
 Lời giải
Gọi là phân giác trong góc A . Do đi qua A và song song với d nên có phương trình : x 3y 6 0 .
Gọi B' là điểm đối xứng của B qua phân giác . Khi đó tọa độ điểm B' x; y thỏa mãn hệ 
 x 2 y 6
 3. 6 0
 2 2 B' 4;0 AC .
 3. x 2 1. y 6 0
Đường thẳng AC đi qua hai điểm A 0; 2 và B' 4;0 nên có phương trình AC : x 2y 4 .
 x 2y 4
Ta có C AC  d nên tọa độ điểm C x; y thỏa mãn hệ C 2;1 .
 x 3y 1 0
Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường cao AH với H thuộc đoạn BC sao cho 
 BC 3BH , phương trình đường thẳng AC : x y 2 0 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH có phương trình 
 C : x2 y2 4x 2y 0 . Tìm tọa độ điểm C , biết A có hoành độ dương.
 Lời giải
 237 Do A AC  C nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 
 x y 2 0
 2 2 với x 0 , suy ra A 1; 3 .
 x y 4x 2y 0
Đường tròn C có tâm I 2;1 ngoại tiếp tam giác vuông ABH nên I là trung điểm AB , suy ra B 3; 1 .
 uuur uuur t 6 t 
Do C AC nên C t;t 2 . Từ hệ thức BC 3BH và H thuộc đoạn BC suy ra BC 3BH , do đó H ; .
 3 3 
Mặt khác H C nên 
 2 2
 t 6 t t 6 t 2 t 6
 4. 2. 0 t 3t 18 0 .
 3 3 3 3 t 3
Vậy C 6;8 hoặc C 3; 1 .
Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 2;7 và đường thẳng AB cắt trục Oy tại E sao 
 uuur uur 13 
cho AE 2EB . Biết rằng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm là G 2; . Tìm tọa độ điểm B và C .
 3 
 Lời giải
 A uuur uuur
 Gọi M là trung điểm EC . Từ hệ thức AG 2GM , suy ra M 2; 3 .
 Do tam giác AEC cân tại A nên đường thẳng EC vuông góc với AM và đi 
 y
 qua M nên có phương trình EC : y 3 .
 y 3
 E Ta có E EC Oy nên tọa độ điểm E thỏa mãn hệ E 0; 3 .
 x 0
 uuur uur
 M C
 B Từ hệ thức AE 2EB suy ra B 1;1 .
 Từ M là trung điểm EC suy ra C 4; 3 .
Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với trung tuyến và phân giác trong của đỉnh B có 
phương trình lần lượt là d1 : 2x y 3 0 , d2 : x y 2 0 . Điểm M 2;1 nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB , 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 5 . Tìm tọa độ điểm C , biết điểm A có hoành độ dương.
 Lời giải
 Ta có B d1  d2 nên tọa độ điểm B x; y thỏa mãn hệ 
 A d
 2 2x y 3 0
 M B 1;1 .
 x y 2 0
 d1
 Đường thẳng AB đi qua hai điểm B và M nên có phương trình 
 AB : y 1 .
 Gọi M ' là điểm đối xứng của M qua phân giác d2 . Khi đó tọa độ 
 B C điểm M ' x; y thỏa mãn hệ 
 M'
 x 2 y 1
 2 0
 2 2 M ' 1;0 BC .
 1. x 2 1 . y 1 0
Đường thẳng BC đi qua hai điểm B và M ' nên có phương trình BC : x 1 .
238 1 a 1 c 
Do A AB nên A a;1 , C BC nên C 1;c . Suy ra tọa độ trung điểm AC là I ; .
 2 2 
 1 a 1 c
Theo giả thiết, ta có I d nên 2. 3 0 2a c 3 0 . 1 
 1 2 2
 uuur
 AB 1 a;0 uuur uuur
Ta có uuur AB.BC 0 hay tam giác ABC vuông tại B . Do đó
 BC 0;c 1 
 2 2
 R IB 5 a 1 c 1 20 . 2 
 2a c 3 0 a 3
Từ 1 và 2 , ta được 2 2 với a 0 , suy ra . Vậy C 1; 3 .
 a 1 c 1 20 c 1
Bài 16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M 2;1 là trung điểm cạnh AC , điểm H 0; 3 là 
chân đường cao hẻ từ A , điểm E 23; 2 thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ C . Tìm tọa độ điểm B , biết 
điểm A thuộc đường thẳng d : 2x 3y 5 0 và điểm C có hoành độ dương.
 Lời giải
 x 1 3t
 A d Phương trình đường thẳng d ở dạng tham số d : .
 y 1 2t
 Do A d nên A 3a 1; 2a 1 .
 E M Vì M 2;1 là trung điểm AC , suy ra C 3 3a;1 2a . 
 uuur uuur
 Ta có HA 3a 1; 2a 4 , HC 3 3a; 4 2a . 
 uuur uuur
 Vì AH  HC nên HA.HC 0
 C
 B 19
 H 3a 1 3 3a 2a 4 4 2a 0 a 1 hoặc a .
 13
 19 18 51 
● Với a , suy ra C ; : không thỏa mãn.
 13 13 13 
● Với a 1 , suy ra A 2; 3 , C 6; 1 : thỏa mãn.
Đường trung tuyến CE đi qua hai điểm C và E nên có phương trình CE : x 17y 11 0 .
Đường thẳng BC đi qua hai điểm C và H nên có phương trình BC : x 3y 9 0 .
 3b 7 b 3 
Do B BC nên B 3b 9;b , suy ra tọa độ trung điểm AB là N ; .
 2 2 
 3b 7 b 3
Mặt khác N CE nên 17. 11 0 b 4 . Vậy B 3; 4 .
 2 2
Bài 17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 2; 4 . Đường thẳng qua trung điểm của hai 
cạnh AB và AC có phương trình 4x 6y 9 0 ; trung điểm của cạnh BC nằm trên đường thẳng d : 2x 2y 1 0 . 
 7
Tìm tọa độ điểm B và C , biết tam giác ABC có diện tích bằng và x 1.
 2 C
 Lời giải
 239 Gọi A' x; y là điểm đối xứng của A qua . Khi đó tọa độ điểm A' 
 A x 2 y 4
 4 6 9 0 40 31 
 thỏa mãn hệ 2 2 A' ; BC .
 13 13 
 6. x 2 4. y 4 0
 Đường thẳng BC đi qua A' và song song với nên có phương trình 
 BC : 2x 3y 1 0 .
 Gọi M là trung điểm BC . Khi đó M d  BC nên tọa độ điểm M 
 d
 2x 2y 1 0 5 
 B thỏa mãn hệ M ; 2 .
 C 2x 3y 1 0 2
 A' M 
 3t 1 
 Do C BC nên C ;t d 
 2 
 1 7 1 7
Ta có S ABC BC.d A,BC BC. BC 13 . Suy ra 
 2 2 2 13
 2
 BC 13 3t 6 2 13 t 3
 CM (t 2) C 4; 3 hoặc C 1;1 (loại).
 2 2 2 2 t 1
Vậy C 4; 3 , suy ra B 1;1 .
Bài 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A , có đỉnh C 4;1 , phân giác trong góc 
 A có phương trình d : x y 5 0 . Tìm tọa độ điểm B , biết S ABC 24 và xA 0 .
 Lời giải
 C' Gọi C' x; y là điểm đối xứng của C qua phân giác d . Khi đó tọa độ 
 x 4 y 1
 5 0
 B điểm C' thỏa mãn hệ 2 2 C' 4;9 .
 d 
 1. x 4 1 . y 1 0
 Điểm A thuộc đường tròn đường kính CC' nên tọa độ A x; y thỏa 
 x y 5 0
 mãn hệ với x 0 , suy ra A 4;1 .
 2 2 
 x y 5 32
 A C 2S
 Do đó AC 8 , từ S 24 suy ra AB ABC 6 .
 ABC AC
Điểm B thuộc đường thẳng AC' có phương trình x 4 0 nên có tọa độ dạng B 4;t .
 2
Từ AB 6 t 1 6 t 7 hoặc t 5 . Suy ra B 4;7 hoặc B 4; 5 .
 uuur uuuur
Do d là phân giác trong góc A nên AB và AC' cùng hướng, suy ra B 4;7 .
Bài 19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 3; 1 , B 0; 5 và C 3; 1 . Tìm điểm M thuộc 
 1
đường thẳng BC sao cho diện tích tam giác ABM bằng diện tích tam giác ABC .
 3
 Lời giải
Đường thẳng AB đi qua hai điểm A 3; 1 và B 0; 5 nên có phương trình AB : 2x y 5 0 .
240 Đường thẳng BC đi qua hai điểm B 0; 5 và C 3; 1 nên có phương trình BC : 2x y 5 0 .
Điểm M BC nên có tọa độ dạng M m; 2m 5 . Theo giả thiết bài toán, ta có 
 1 1 1 1 
 S ABM S ABC AB.d M, AB AB.d C, AB 
 3 2 3 2 
 1 4m 1 12
 d M, AB d C, AB . m 1 .
 3 5 3 5
Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán M 1; 3 hoặc M 1;7 .
Bài 20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm C 3; 2 và đường thẳng : x 3y 1 0 . Tìm trên hai điểm 
 A và B đối xứng nhau qua I 4;1 sao cho diện tích tam giác ABC bằng 10.
 Lời giải
Ta thấy tọa độ điểm I thỏa mãn phương trình x 3y 1 0 nên I .
 uuur
Do A nên có tọa độ dạng A 3a 1; a . Vì I là trung điểm AB , suy ra B 7 3a; 2 a và AB 6 6a; 2 2a .
 1 1
Theo giả thiết bài toán, ta có S 10 AB.d C, AB 10 AB.d C, 10
 ABC 2 2
 1 2 2 10
 6 6a 2 2a . 10 1 a 1 a 0 hoặc a 2 .
 2 10
Vậy A 1;0 , B 7; 2 hoặc A 7; 2 , B 1;0 .
Bài 21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A 1; 4 và các điểm B , C thuộc đường 
thẳng : x y 4 0 . Tìm tọa độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác bằng 18.
 Lời giải
 Gọi H là hình chiếu của A trên . Do tam giác ABC cân tại A nên 
 A
 H cũng là trung điểm BC . Ta có 
 9
 AH d A,BC d A, .
 2
 2
 2S ABC 2 BC 97
 Suy ra BC 4 2 và AB AC AH .
 AH 2 2
 Do đó B , C thuộc đường tròn tâm A , bán kính AB . Suy ra tọa độ 
 B C điểm B và C thỏa mãn hệ 
 H 2 2 97
 d x 1 y 4 11 2 3 5
 2 x ; y hoặc x ; y .
 2 2 2 2
 x y 4 0
 3 5 11 3 11 3 3 5 
Vậy B ; , C ; hoặc B ; , C ; .
 2 2 2 2 2 2 2 2 
Cách 2. Gọi d là đường thẳng đi qua A 1; 4 và vuông góc với , suy ra d : x y 3 0 .
 x y 4 0 7 1 
Gọi H  d nên tọa độ điểm H x; y thỏa mãn hệ H ; .
 x y 3 0 2 2 
Do tam giác ABC cân tại A nên H cũng là trung điểm BC .
 241