Tự luận Hình học Lớp 10 - Chương 3.3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (Có đáp án)

 CHUÛ ÑEÀ 03. ELIP
1. Định nghĩa. Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2 2c c 0 
 Tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1 MF2 2a ( a không đổi và a c 0 ) là một đường Elip.
 ● F , F là hai tiêu điểm.
 1 2 y
 ● F F 2c là tiêu cự của Elip. 
 1 2 M x; y 
2. Phương trình chính tắc của Elip
 x2 y2 F O F x
 E : 1 với b2 a2 c2 . 1 2
 a2 b2
 x2 y2
 Do đó điểm M x ; y E 0 0 1 và x a, y b.
 0 0 a2 b2 0 0
3. Tính chất và hình dạng của Elip
 ● Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn), Oy (chứa trục bé)
 ● Tâm đối xứng O .
 ● Tọa độ các đỉnh A1 a;0 , A2 a;0 , B1 0; b , B2 0;b .
 ● Độ dài trục lớn 2a . Độ dài trục bé 2b .
 ● Tiêu điểm F1 c;0 , F2 c;0 .
 ● Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở có kích thước là 2a và 2b .
 c
 ● Tâm sai e 1 .
 a
 a a
 ● Hai đường chuẩn x và x .
 e e
 ● M x; y E . Khi đó MF1 a ex : bán kính qua tiêu điểm trái.
 MF2 a ex : bán kính qua tiêu điểm phải.
 VAÁN ÑEÀ 01 XAÙC ÑÒNH CAÙC YEÁU TOÁ CUÛA ELIP
Bài 1. Xác định các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm , tâm sai của elip có phương trình sau
 x2 y2
 a) + = 1 . b) 4x2 + 25y2 = 100 .
 4 1
 Lời giải
a) Từ phương trình của c = a2 - b2 = 3 (E), ta có a = 2, b = 1 . Suy ra c = a2 - b2 = 3 .
 Suy ra tọa độ các đỉnh là A1 (- 2;0); A2 (2;0); B1 (0;- 1); B2 (0;1).
 Độ dài trục lớn A1A2 = 4 , độ dài trục bé B1B2 = 2 .
 Tiêu cự F1F2 = 2c = 2 3 , tiêu điểm là F1 (- 3;0); F2 ( 3;0). 
 c 3
 Tâm sai của c = a2 - b2 = 3 là e = = . 
 a 2
 x2 y2
b) Ta có 4x2 + 25y2 = 100 Û + = 1 suy ra a = 5; b = 2 nên c = a2 - b2 = 21 .
 25 4
 Do đó tọa độ các đỉnh là A1 (- 5;0); A2 (5;0); B1 (0;- 2); B2 (0;- 2) .
 193 Độ dài trục lớn A1A2 = 10 , độ dài trục bé B1B2 = 4 .
 Tiêu cự F1F2 = 2c = 2 21 , tiêu điểm là F1 (- 21;0); F2 ( 21;0). 
 c 21
 Tâm sai của (E) là e = = . 
 a 5
 VAÁN ÑEÀ 02 LAÄP PHÖÔNG TRÌNH ELIP
Bài 2. Lập phương trình chính tắc của Elip, biết 
 5 
 a) Elip đi qua điểm M 2; và có một tiêu điểm F1 2;0 .
 3 
 b) Elip nhận F2 5;0 là một tiêu điểm và có độ dài trục nhỏ bằng 4 6 .
 c) Elip có độ dài trục lớn bằng 2 5 và tiêu cự bằng 2.
 d) Elip đi qua hai điểm M 2; 2 và N 6;1 .
 Lời giải
 2 2 2 2
a) Do E có một tiêu điểm F1 2;0 nên c 2 . Suy ra a b c b 4 .
 2
 5 
 5 22 3 4 25
 Mặt khác, E đi qua điểm M 2; nên 1 1
 3 a2 b2 b2 4 9b2
 20
 9b4 25b2 100 0 b2 5 hoặc b2 (loại).
 9
 x2 y2
 Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 9 5
b) Do E có một tiêu điểm F2 5;0 nên c 5 .
 Theo giả thiết độ dài trục nhỏ bằng 4 6 nên 2b 4 6 b 2 6 .
 2
 Suy ra a2 b2 c2 52 2 6 49 .
 x2 y2
 Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 49 24
c) Độ dài trực lớn bằng 2 5 nên 2a 2 5 a 5 . Tiêu cự bằng 2 nên 2c 2 c 1 .
 Từ hệ thức a2 b2 c2 , suy ra b2 a2 c2 5 1 4 . 
 x2 y2
 Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 5 4
 4 2 1 1
 1 2
 a2 b2 a2 8 a 8
d) Do E đi qua M 2; 2 và N 6;1 nên ta có hệ phương trình .
 6 1 1 1 2 
 1 b 4
 a2 b2 b2 4
 x2 y2
 Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 8 4
194 Bài 3. Lập phương trình chính tắc của Elip, biết 
 1
 a) Elip có tổng độ dài hai trục bằng 8 và tâm sai e .
 2
 5
 b) Elip có tâm sai e và hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20.
 3
 c) Elip có tiêu điểm F1 2;0 và hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng 12 5 .
 Lời giải
a) Tổng độ dài hai trục bằng 8 nên 2a 2b 8 . 1 
 1 c 1
 Tâm sai e a 2c . 2 
 2 a 2
 2a 2b 8
 a b 4 2c b 4 b 4 2c
 Từ 1 và 2 , ta có c 1 .
 e a 2c a 2c a 2c
 a 2 
 Thay vào hệ thức a2 b2 c2 , ta được 
 2
 2c2 4 2c c2 c2 8 2c 16 0 c 4 2 4 .
 a 8 4 2
 ● Với c 4 2 4 , suy ra : không thỏa mãn.
 b 4 4 2
 a 8 4 2 x2 y2
 ● Với c 4 2 4 , suy ra . Do đó Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 2 2
 b 4 4 2 8 4 2 4 2 4 
 5 c 5 3
b) Elip có tâm sai e a c . 1 
 3 a 3 5
 Mặt khác, Elip có hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20 nên 2 2a 2b 20 a b 5 b 5 a . 2 
 Thay 1 và 2 vào hệ thức a2 b2 c2 , ta được
 2 2 2
 3 2 3 3 30 c 5 5
 c 5 a c2 c 5 c c2 c2 c 25 0 .
 5 5 5 5 c 5
 a 15
 ● Với c 5 5 , suy ra : không thỏa mãn.
 b 10
 a 3 x2 y2
 ● Với c 5 , suy ra . Do đó Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 b 2 9 4
c) Elip có một tiêu điểm F1 2;0 nên c 2 .
 Diện tích hình chữ nhật cơ sở S 2a.2b 12 5 ab 3 5 a2b2 45 . 1 
 Mặt khác, ta có a2 b2 c2 b2 4 . 2 
 Kết hợp 1 và 2 , ta được
 a2b2 45 b2 4 b2 45 b4 4b2 45 0 b2 5 hoặc b2 9 (loại).
 x2 y2
 Với b2 5 , suy ra a2 9 . Do đó Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 9 5
 195 Bài 4. Lập phương trình chính tắc của Elip, biết 
 a) Elip đi qua điểm M 5; 2 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 10.
 3 25
 b) Elip có tâm sai e và khoảng cách từ tâm đối xứng của nó đến một đường chuẩn bằng .
 5 3
 25
 c) Elip có độ dài trục lớn bằng 10 và phương trình một đường chuẩn là x .
 4
 d) Khoảng cách giữa các đường chuẩn bằng 36 và bán kính qua tiêu điểm của điểm M thuộc Elip là 9 và 15.
 Lời giải
 5 4
a) Elip đi qua điểm M 5; 2 nên 1 . 1 
 a2 b2
 a a a2
 Khoảng cách giữa hai đường chuẩn của Elip bằng 10 nên 2. 10 5 5 a2 5c . 2 
 e e c
 Từ 2 , kết hợp với hệ thức a2 b2 c2 , ta được b2 a2 c2 5c c2 . 3 
 Thay 2 , 3 vào 1 , ta được
 5 4
 1 c2 6c 9 0 c 3 .
 5c 5c c2
 a2 15 x2 y2
 Với c 3 , suy ra . Do đó Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 2 
 b 6 15 6
 3 c 3 3
b) Ta có e c a . 
 5 a 5 5
 25
 Elip có khoảng cách từ tâm đối xứng O đến một đường chuẩn một khoảng bằng nên 
 3
 a 25 a2 25 a2 25
 a 5 .
 e 3 c 3 3 3
 a
 5
 x2 y2
 Với a 5 , suy ra c 3 và b2 a2 c2 16 . Do đó Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 25 16
c) Elip có độ dài trục lớn bằng 10 nên 2a 10 a 5 .
 25 a 25 a2 25 52 25
 Mặt khác, Elip có phương trình một đường chuẩn x c 4 .
 4 e 4 c 4 c 4
 x2 y2
 Suy ra b2 a2 c2 25 16 9 . Do đó Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 25 9
 a a2 a2
d) Elip có khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 36 nên 2. 36 2. 36 18 .
 e c c
 MF a ex 9
 Mặt khác, ta có 1 suy ra 2a 24 a 12 .
 MF2 a ex 15
 x2 y2
 Với a 12 , suy ra c 8 và b2 a2 c2 144 64 80 . Do đó Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 144 80
196 Bài 5. Lập phương trình chính tắc của Elip, biết 
 a) Elip có hình chữ nhật cơ sở nội tiếp đường tròn C : x2 y2 41 và đi qua điểm A 0; 5 .
 b) Elip có hình chữ nhật cơ sở nội tiếp đường tròn C : x2 y2 21 và điểm M 1; 2 nhìn hai tiêu điểm của Elip 
 dưới một góc 600 .
 c) Một cạnh hình chữ nhật cơ sở của Elip nằm trên d : x 5 0 và độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng 6.
 d) Tứ giác ABCD là hình thoi có bốn đỉnh trùng với các đỉnh của Elip. Bán kính của đường tròn nội tiếp hình 
 1
 thoi bằng 2 và tâm sai của Elip bằng .
 2
 Lời giải
a) Elip đi qua A 0; 5 Oy , suy ra b 5 . 
 Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là: x a; y 5 .
 Suy ra một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là a; 5 . Theo giả thiết a; 5 thuộc đường tròn C 
 a2 25 41 a2 16 .
 x2 y2
 Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 16 25
 · 0
b) Theo giả thiết bài toán, ta có F1MF2 60 suy ra
 2 2 2 0
 F1F2 MF1 MF2 2MF1.MF2 .cos60
 2 2 2 2 1
 4c2 1 c 4 1 c 4 2 1 c 4. 1 c 4.
 2
 2 2 2 2
 4c2 2c2 10 1 c 4. 1 c 4 1 c 4. 1 c 4 10 2c2
 2
 10 2c 0 
 0 c 5 2 23 4 19
 2 c .
 2 2 2 
 1 c 4 . 1 c 4 10 2c 3c4 46c2 75 0 3
 Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là: x a; y b .
 Suy ra một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là a;b . Theo giả thiết a;b thuộc đường tròn C nên a2 b2 21 .
 Lại có a2 b2 c2 , suy ra a2 b2 c2 .
 2 2 2 43 2 19
 a b 21 a 2 2
 2 23 4 19 3 x y
 ● Với c , ta có . Suy ra E : 1 .
 2 2 23 4 19
 3 a b 2 20 2 19 43 2 19 20 2 19
 3 b 
 3 3 3
 2 2 2 43 2 19
 a b 21 a 2 2
 2 23 4 19 3 x y
 ● Với c , ta có . Suy ra E : 1 .
 2 2 23 4 19
 3 a b 2 20 2 19 43 2 19 20 2 19
 3 b 
 3 3 3
 Vậy có hai Elip cần tìm thỏa yêu cầu bài toán: 
 x2 y2 x2 y2
 E : 1 hoặc E : 1 .
 43 2 19 20 2 19 43 2 19 20 2 19
 3 3 3 3
c) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là: x a; y b .
 197 Theo giả thiết, một cạnh hình chữ nhật cơ sở là d :x 5 0 , suy ra a 5 .
 Độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng 6 nên 
 4a2 4b2 6 4a2 4b2 36 20 4b2 36 b2 4 .
 x2 y2
 Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 5 4
 1 c 1
d) Elip có tâm sai e a 2c .
 2 a 2
 Elip có các đỉnh A1 a;0 , A2 a;0 , B1 0; b , B2 0;b . Gọi H là hình chiếu của O lên A2B2 .
 Theo giả thiết suy ra bán kính của đường tròn đã cho bằng OH . Ta có 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7
 c2 .
 OH2 OA2 OB2 2 a2 b2 2 4c2 a2 c2 2 4c2 3c2 6
 14 7
 Suy ra a2 4c2 và b2 a2 c2 .
 3 2
 x2 y2
 Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 14 7
 3 2
Bài 6. Lập phương trình chính tắc của Elip, biết
 a) Tứ giác ABCD là hình thoi có bốn đỉnh trùng với các đỉnh của Elip. Đường tròn tiếp xúc với các cạnh của 
 hình thoi có phương trình C : x2 y2 4 và AC 2BD , A thuộc Ox .
 b) Elip có độ dài trục lớn bằng 8 và giao điểm của Elip với đường tròn C : x2 y2 8 tạo thành bốn đỉnh của 
 một hình vuông.
 1
 c) Elip có tâm sai e và giao điểm của Elip với đường tròn C : x2 y2 9 tại bốn điểm A , B , C , D sao cho 
 3
 AB song song với Ox và AB 3BC .
 d) Elip có độ dài trục lớn bằng 4 2 , các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của Elip cùng nằm trên một đường 
 tròn.
 Lời giải
a) Giả sử một đỉnh của hình thoi là A a;0 . Suy ra AC 2a và BD 2b .
 Theo giả thiết
 AC 2BD 2a 2.2b a 2b .
 Đường tròn C có R 2 . Gọi H là hình chiếu của O lên AB với B 0;b . Khi đó ta có 
 1 1 1 1 1
 OA2 OB2 OH2 R2 4
 1 1 1 1 1 1
 b2 5 .
 a2 b2 4 4b2 b2 4
 x2 y2
 Suy ra a2 20 . Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 20 5
b) Elip có độ dài trục lớn bằng 8 nên 2a 8 a 4 .
 Do E và C đều có tâm đối xứng là O và hai trục đối xứng là Ox và Oy nên hình vuông tạo bởi giữa chúng 
 cũng có tính chất tương tự. Do đó ta giả sử gọi một đỉnh của hình vuông là M x; x với x 0 . Vì M C 
 x2 x2 8 x2 4 suy ra x 2 M 2; 2 .
198 4 4 4 4 16
 Ta có M E 1 1 b2 .
 a2 b2 16 b2 3
 x2 y2
 Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1.
 16 16
 3
 1 c 1
c) Elip có tâm sai e a 3c .
 3 a 3
 3 1 
 Đặt BC x với x 0 , suy ra AB 3x . Giả sử một đỉnh A x; x . Ta có
 2 2 
 9 1 18 3 10 9 10 3 10 
 2 2 2 
 A C x x 9 x suy ra x A ; .
 4 4 5 5 10 10 
 81 9 81 9 9 9 81
 Mặt khác, A E 1 1 1 c2 .
 2 2 2 2 2 2 2
 10a 10b 10 3c 10 a c 10c 80c 80
 729 81
 Suy ra a2 9c2 và b2 a2 c2 .
 80 10
 x2 y2
 Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1.
 729 81
 80 10
d) Độ dài trục lớn bằng 4 2 nên 2a 4 2 a 2 2 .
 Các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm cùng thuộc đường tròn nên b c .
 Từ hệ thức a2 b2 c2 8 2b2 b2 4 .
 x2 y2
 Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 8 4
Bài 7. Lập phương trình chính tắc của Elip, biết
 a) Elip có hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông có diện tích bằng 32.
 b) Elip có một đỉnh và hai tiêu điểm tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của Elip bằng 
 12 2 3 .
 c) Elip đi qua điểm M 2 3; 2 và M nhìn hai tiêu điểm của Elip dưới một góc vuông.
 3 
 0
 d) Elip đi qua điểm M 1; và tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc 60 .
 2 
 Lời giải
a) Hai đỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông nên b c .
 Mặt khác, diện tích hình vuông bằng 32 nên 2c.2b 32 b2 8 .
 x2 y2
 Suy ra a2 b2 c2 16 . Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 16 8
b) Chu vi hình chữ nhật cơ sở C 12 2 3 2 2a 2b 12 2 3 a b 3 2 3 . 1 
 3 3
 Giả sử tam giác F F B đều cạnh F F 2c mà B O  F F suy ra OB F F b .2c 3c . 2 
 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2
 Từ 1 và 2 , suy ra a 3 2 3 b 3 2 3 3c . Thay vào hệ thức a2 b2 c2 , ta được
 199 2 2
 6 3 3 3c 3c2 c2 c2 6 3 2 3 c 6 3 3 0 c 3 hoặc c 12 3 21 (loại).
 x2 y2
 Với c 3 , suy ra a 6 và b 3 3 . Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 36 27
 · 0
c) Từ giả thiết, ta suy ra F1MF2 90 hay MF1  MF2
 uuuur uuuur
 2 
 MF1.MF2 0 c 2 3 c 2 3 4 0 c 16 .
 12 4 12 4
 Hơn nữa E qua M nên 1 1 12b2 4b2 64 b4 16b2 b4 64 b2 8 .
 a2 b2 b2 16 b2
 x2 y2
 Suy ra a2 b2 c2 24 . Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 24 8
 · 0
d) Từ giả thiết, ta suy ra B1F1B2 60 mà F1B1 F1B2 . Suy ra tam giác F1B1B2 đều cạnh B1B2 2b nên
 3 3
 F O B B c 2b c 3b . 1 
 1 2 1 2 2
 3 1 3 1 3
 Hơn nưa E qua M 1; nên 1 1 b2 1 . 2
 2 2 2 2 
 2 a 4b 4b 4b
 Từ 1 và 2 , kết hợp với hệ thức a2 b2 c2 , ta được a2 4 .
 x2 y2
 Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 4 1
Bài 8. Lập phương trình chính tắc của Elip, biết
 a) Elip có một tiêu điểm F1 3;0 và đi qua điểm M , biết tam giác F1MF2 có diện tích bằng 1 và vuông tại M .
 b) Elip đi qua ba đỉnh của tam giác đều ABC . Biết tam giác ABC có trục đối xứng là Oy , A 0; 2 và có diện tích 
 49 3
 bằng .
 12
 c) Khi M thay đổi trên Elip thì độ dài nhỏ nhất của OM bằng 4 và độ dài lớn nhất của MF1 bằng 8 với F1 là tiêu 
 điểm có hoành độ âm của Elip.
 Lời giải
a) Elip có tiêu điểm F1 3;0 , suy ra c 3 .
 Gọi M x; y E . Theo giả thiết, ta có 
 1
 S F MF 1 MF1.MF2 1
 1 2 2
 2 2
 1 c2 3 a 2 a
 a ex a ex 1 a2 e2x2 2 a2 .x2 2 a2 .x2 2 x2 . 1 
 2 a2 a2 3
 uuuur uuuur
 2 2 2
 Cũng từ MF1  MF2 , ta có MF1.MF2 0 c x c x y y 0 x y c 3 . 2 
 2 2
 a 2 a 9 a4 2a2
 Từ 1 và 2 , ta có y2 3 x2 3 .
 3 3
 Do đó
200 x2 y2 a2 2 9 a4 2a2
 M x; y E 1 1
 a2 b2 3 3 a2 3 
 a2 2 a2 3 9 a4 2a2 3a2 9 a2 4 .
 x2 y2
 Suy ra b2 1 . Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 4 1
b) Tam giác ABC đều, có điểm A 0; 2 Oy và trục đối xứng là Oy nên hai điểm B, C đối xứng nhau qua Oy .
 Giả sử B x; y với x 0, y 2 , suy ra C x; y . Độ dài cạnh của tam giác là 2x .
 Theo giả thiết, ta có 
 2
 49 3 2x 3 49 3 7
 S ABC , suy ra x .
 12 4 12 2 3
 Đường cao của tam giác đều 
 2x 3 7 7 3
 h x 3 2 y y .
 2 2 2 2
 7 3 7 3 
 Suy ra B ; . Đến đây bài toán trở thành viết phương trình Elip đi qua hai điểm A 0; 2 và B ; .
 2 3 2 2 3 2 
 x2 y2
 Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 28 4
 5
c) Độ dài nhỏ nhất của OM bằng 4 nên b 4 .
 Mặt khác, ta lại có độ dài lớn nhất của MF1 bằng 8 nên a c 8 .
 a c 8 a c 8 a 5
 Từ đó ta có hệ phương trình 2 2 2 2 2 suy ra .
 a b c a 16 c c 3
 x2 y2
 Vậy Elip cần tìm có phương trình E : 1 .
 25 16
 VAÁN ÑEÀ 03 TÌM ÑIEÅM THUOÄC ELIP THOÛA ÑIEÀU KIEÄN CHO TRÖÔÙC
Bài 9.
 x2 y2
 a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1 . Gọi F , F là hai tiêu điểm của Elip; A , B là 
 25 16 1 2
 hai điểm thuộc E sao cho AF1 BF2 8 . Tính AF2 BF1 .
 x2 y2
 b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1 . Gọi F , F là hai tiêu điểm của Elip trong đó 
 9 5 1 2
 F1 có hoành độ âm. Tìm tọa độ điểm M thuộc E sao cho MF1 2MF2 .
 x2 y2
 c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1 . Gọi F , F là hai tiêu điểm của Elip trong đó 
 8 4 1 2
 F1 có hoành độ âm. Tìm tọa độ điểm M thuộc E sao cho MF1 MF2 2 .
 Lời giải
 201 a) Ta có a2 25 a 5 . Do A, B E nên 
 AF1 AF2 2a 10 và BF1 BF2 2a 10 .
 Suy ra AF1 AF2 BF1 BF2 20 8 AF2 BF1 20 AF2 BF1 12 .
b) Ta có a2 9 a 3 và b2 5 b 5 . Suy ra c2 a2 b2 4 c 2 .
 a a2 3
 Gọi M x; y E . Ta có MF 2MF a ex 2 a ex x . Thay vào E , ta được
 1 2 3e 3c 2
 9 y2 15 15
 1 y2 y .
 4.9 5 4 2
 3 15 3 15 
 Vậy M ; hoặc M ; .
 2 2 2 2 
c) Ta có a2 8 a 2 2 và b2 4 b 2 . Suy ra c2 a2 b2 4 c 2 .
 1 a 2 2
Gọi M x; y E . Ta có MF MF 2 a ex a ex 2 x 2 . Thay vào E , ta được
 1 2 e c 2
 2 y2
 1 y2 3 y 3 .
 8 4
Vậy M 2; 3 hoặc M 2; 3 .
Bài 10.
 x2 y2
 a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1 . Tìm những điểm M thuộc E sao cho nó 
 9 1
 nhìn hai tiêu điểm của E dưới một góc vuông.
 x2
 b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : y2 1 với hai tiêu điểm F , F . Tìm tọa độ điểm M 
 4 1 2
 · 0
 thuộc E sao cho góc F1MF2 60 .
 x2 y2
 c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1 với hai tiêu điểm F , F . Tìm tọa độ điểm M 
 100 25 1 2
 · 0
 thuộc E sao cho góc F1MF2 120 .
 x2 y2
 d) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1 với hai tiêu điểm F , F trong đó F có hoành 
 25 9 1 2 1
 · 0
 độ âm. Tìm tọa độ điểm M thuộc E sao cho góc MF1F2 120 .
 Lời giải
a) Ta có a2 9 a 3 và b2 1 b 1. Suy ra c2 a2 b2 2 c 2 2 .
 · 0 2 2 2
 Gọi M x; y E . Ta có F1MF2 90 nên F1F2 MF1 MF2
 2 2
 4c2 a ex a ex 32 2a2 2e2x2
 8 63 3 7
 32 18 2. .x2 x2 x 
 9 8 2 2
 1 1
 Thay vào E , ta được y2 y .
 8 2 2
202