Tự luận Hình học Lớp 10 - Chương 3.2: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (Có đáp án)

 Cách 2. Phương pháp hình học: 
 B Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng d .
 Khi đó d B,d BK . 
 Xét tam giác ABK vuông tại K , ta có 
 d B,d BK AB 5 (BĐT tam giác mở rộng).
 K Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: K  A .
 A Khi đó d được xác định là đi qua A 1; 4 và vuông góc với AB nên 
 d uuur
 nhận AB 2;1 làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm d : 2x y 6 0 .
Bài 70. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x 2y 4 0 và hai điểm A 1; 4 , B 8; 3 . Tìm điểm 
 M thuộc d sao cho MA MB nhỏ nhất.
 Lời giải
 B Ta có 
 P A,d .P B,d xA 2yA 4 xB 2yB 4 5.10 0 .
 A Suy ra hai điểm A và B cùng phía so với đường thẳng d .
 Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d . Khi đó tọa độ điểm A' x; y 
 d
 2 x 1 1 y 4 0
 M 
 thỏa mãn hệ x 1 y 4 A' 1;0 .
 A' 2. 4 0
 2 2
Khi đó 
 MA MB MA' MB A' B 3 10 (BĐT tam giác mở rộng).
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi : A' , M , B thẳng hàng hay M thuộc đường thẳng A' B . 
Đường thẳng A' B đi qua A' 1;0 và B 8; 3 nên có phương trình A' B : x 3y 1 0 .
 x 2y 4 0
Mặt khác, theo giả thiết M thuộc d nên tọa độ điểm M thỏa mãn hệ M 2;1 .
 x 3y 1 0
Nhận xét: Bài toán này dùng cho hai điểm khác phía so với d . Nếu đề bài đã cho A và B khác phía với d thì ta không làm bước 
lấy đối xứng.
Bài 71. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x 2y 4 0 và hai điểm A 1; 4 , B 8; 3 . Tìm điểm 
 M thuộc d sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất.
 Lời giải
 uuur
Ta có AB 7; 1 , suy ra AB 50 . Chu vi tam giác ABM là: 
 C ABM MA MB AB MA MB 50 .
Để C ABM nhỏ nhất khi MA MB nhỏ nhất: Bạn đọc làm tương tự như bài trên.
Bài 72. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x 2y 4 0 và hai điểm A 1; 4 , B 3; 2 . Tìm điểm 
 M thuộc d sao cho MA MB lớn nhất.
 Lời giải
164 B Ta có 
 P A,d .P B,d xA 2yA 4 xB 2yB 4 5.3 0 .
 Suy ra hai điểm A và B cùng phía so với đường thẳng d .
 A
 Theo bất đẳng thức tam giác mở rộng, ta có 
 d MA MB AB 2 2 .
 M Dấu '' '' xảy ra khi khi và chỉ khi: A, M, B thẳng hàng hay M 
 thuộc đường thẳng AB .
Đường thẳng AB đi qua A 1; 4 và B 3; 2 nên có phương trình AB : x y 5 0 .
 x 2y 4 0
Mặt khác, theo giả thiết M thuộc d nên tọa độ điểm M thỏa mãn hệ M 6; 1 .
 x y 5 0
Nhận xét: Bài toán này dùng cho hai điểm cùng phía so với d . Nếu đề bài cho A và B khác phía với d thì ta lấy đối xứng một 
trong hai điểm A hoặc B qua d .
Bài 73. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x 2y 4 0 và hai điểm A 1; 4 , B 9;0 . Tìm điểm 
 uuur uuur
 M thuộc d sao cho MA 3MB nhỏ nhất.
 Lời giải
Điểm M d nên có tọa độ dạng M 4 2m; m .
 uuur uuur uuur
Ta có MA 2m 3; 4 m ; MB 2m 5; m , suy ra 3.MB 6m 15; 3m . 
 uuur uuur
Do đó MA 3MB 8m 12; 4 4m . Ta có 
 uuur uuur 2 2
 MA 3MB 8m 12 4 4m 80m2 160m 160 4 5 m2 2m 2
 2
 4 5 m 1 1 4 5. 1 4 5 .
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: m 1 .
 uuur uuur
Vậy M 6; 1 và MA 3MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 5 .
 1 
Bài 74. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x 2y 4 0 và hai điểm A 1; 4 , B 8; . Tìm 
 2 
điểm M thuộc d sao cho 5MA2 2MB2 nhỏ nhất.
 Lời giải
Điểm M d nên có tọa độ dạng M 4 2m; m .
 uuur
 2 2
Ta có MA 2m 3; 4 m , suy ra 5MA2 5 2m 3 4 m ; 
 uuur 2 
 1 2 2 1 
 MB 2m 4; m , suy ra 2MB 2 2m 4 m .
 2 2 
Do đó 
 315 2 245 245
 5MA2 2MB2 35m2 70m 35 m 1 .
 2 2 2
 165 Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: m 1 .
 245
Vậy M 2;1 và 5MA2 2MB2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng .
 2
Bài 75. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x 2y 2 0 và hai điểm A 3; 4 , B 1; 2 . Tìm 
điểm M thuộc d sao cho MA2 2MB2 lớn nhất.
 Lời giải
Điểm M d nên có tọa độ dạng M 2m 2; m .
 uuur 2 2
Ta có MA 1 2m; 4 m , suy ra MA2 1 2m 4 m ;
 uuur
 2 2
 MB 3 2m; 2 m , suy ra 2MB2 2 3 2m 2 m .
Do đó 
 2
 2 2 2 14 151 151
 5MA 2MB 5m 28m 9 5 m 
 5 5 5
 14
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: m .
 5
 18 14 2 2 151
Vậy M ; và MA 2MB đạt giá trị lớn nhất bằng .
 5 5 5
Bài 76. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A 2;1 . Lấy điểm B thuộc Ox có hoành độ không âm và điểm 
 C thuộc Oy có tung độ không âm sao cho tam giác ABC vuông tại A . Tìm tọa độ điểm B và C sao cho diện tích 
tam giác ABC
 a) Lớn nhất. b) Nhỏ nhất.
 Lời giải
 uuur uuur
Gọi B b;0 , C 0;c với b 0,c 0 . Suy ra AB b 2;1 , AC 2;c 1 .
Tam giác ABC vuông tại A nên 
 uuur uuur
 AB.AC 0 b 2 .2 1. c 1 0 2b c 5 0 . * 
 5 c 5 5
Từ * suy ra b , do c 0 nên b . Vậy 0 b . Ta có 
 2 2 2
 1 1 2 2 1 2 2 2
 S AB.AC . b 2 1. 4 c 1 b 2 1 4 4 b 2 b 2 1 .
 ABC 2 2 2
 2 5 
a) Khảo sát hàm số bậc hai f b b 2 1 trên 0; , ta tìm được max f b f 0 5 .
 5 
 2 0; 
 2 
Với b 0 , suy ra c 5 . Vậy B 0;0 , C 0; 5 và diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất bằng 5.
 2
b) Ta có S ABC b 2 1 1 .
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: b 2 , suy ra c 1 .
Vậy B 2;0 , C 0;1 và diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1.
Bài 77. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng đi qua M 3; 2 cắt tia Ox tại A và tia 
 Oy tại B sao cho diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất. 
 Lời giải
166 Đường thẳng d đi qua M 3; 2 và cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại A và B khác O , nên A a;0 , B 0;b với 
 x y
 a 0, b 0 . Do đó phương trình của d có dạng 1. 
 a b
 3 2
Đường thẳng d đi qua M 3; 2 nên 1 . Ta có 
 a b
 1 1 1
 S OA.OB a . b ab .
 OAB 2 2 2
 3 2 6 3
Áp dụng BĐT Cauchy , ta được 1 2 2 , suy ra S OAB 12 .
 a b ab S OAB
 3 2 1 a 6
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: . 
 a b 2 b 4
 x y
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : 1 .
 6 4
Bài 78. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d đi qua M 4;1 và cắt chiều dương các 
trục Ox , Oy lần lượt tại A và B sao cho OA OB nhỏ nhất. 
 Lời giải
 r
Cách 1. Giả sử đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n a;b với a2 b2 0 nên có phương trình 
 d : a x 4 b y 1 0 hay ax by 4a b 0 .
 4a b 4a b 4a b 4a b
Khi đó d Ox A ;0 và d Oy B 0; . Điều kiện : 0; 0 . 
 a b a b
Ta có 
 4a b 4a b 4a b 4a b b 4a b 4a
 OA OB 5 5 2 . 9 .
 a b a b a b a b
 b 4a
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: b2 4a2 . Ta chọn a 1 , suy ra b 2 . 
 a b
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : x 2y 6 0 .
Cách 2. Đường thẳng d đi qua M 4;1 và cắt các chiều dương Ox , Oy lần lượt tại A và B nên A a;0 , B 0;b với 
 x y
 a 0, b 0 . Do đó phương trình của d có dạng 1. 
 a b
 4 1
Đường thẳng d đi qua M 4;1 nên 1 . Ta có 
 a b
 OA OB a b a b .
 2
 4 1 4 1 4 1
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta được . a . b . a b a b (do 1 ).
 a b a b a b
 4 1
 : a : b
 a 6
Suy ra a b 9 hay OA OB 9 . Dấu '' '' xảy ra khi: a b .
 4 1 b 3
 1
 a b
 x y
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : 1 .
 6 3
 167 Bài 79. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d đi qua M 3;1 và cắt chiều dương các 
trục Ox , Oy lần lượt tại A và B sao cho 12OA 9OB nhỏ nhất. 
 Lời giải
 r
Cách 1. Giả sử đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n a;b với a2 b2 0 nên có phương trình 
 d : a x 3 b y 1 0 hay ax by 3a b 0 .
 3a b 3a b 3a b 3a b
Khi đó d Ox A ;0 và d Oy B 0; . Điều kiện 0; 0 . 
 a b a b
Ta có 
 3a b 3a b 3a b 3a b 12b 27a 12b 27a
 12OA 9OB 12 9 12. 9. 45 45 2 . 81.
 a b a b a b a b
 12b 27a
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: 4b2 9a2 . Ta chọn a 2 , suy ra b 3 .
 a b
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : 2x 3y 9 0 .
Cách 2. Đường thẳng d đi qua M 3;1 và cắt chiều dương các trục Ox , Oy lần lượt tại A và B nên A a;0 , B 0;b 
 x y
với a 0, b 0 . Do đó phương trình của d có dạng 1.
 a b
 3 1
Đường thẳng d đi qua M 3;1 nên 1 . Ta có 
 a b
 12OA 9OB 12 a 9 b 12a 9b .
 2
 3 1 3 1 
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta được . 12a .3 b . 12a 9b 12a 9b .
 a b a b 
 3 1
 : 12a : 3 b 9
 a 
Suy ra 12a 9b 81 hay 12OA 9OB 81 . Dấu '' '' xảy ra khi a b 2 .
 3 1 
 1 b 3
 a b
 2x y
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : 1 .
 9 3
Bài 80. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d đi qua M 4; 3 và cắt các trục Ox , 
 1 1
 Oy lần lượt tại A và B khác O sao cho nhỏ nhất. 
 OA2 OB2
 Lời giải
Cách 1. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng d . 
Tam giác OAB vuông tại O nên 
 1 1 1 1 1
 .
 OA2 OB2 OH 2 OM 2 25
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: H  M .
 uuuur
Khi đó đường thẳng d đi qua M 4; 3 và vuông góc với OM nên nhận OM 4; 3 làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình đường thẳng d : 4x 3y 25 0 .
168 Cách 2. Đường thẳng d đi qua M 4; 3 và cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại A và B khác O nên A a;0 , B 0;b với 
 x y
 a 0, b 0 . Do đó phương trình của d có dạng 1. 
 a b
 4 3
Đường thẳng d đi qua M 4; 3 nên 1 . Ta có 
 a b
 1 1 1 1
 .
 OA2 OB2 a2 b2
 2
 4 3 2 2 1 1 
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta được 4 3 . 
 a b a2 b2 
 1 1 25
 4 : 3 : a 
 1 1 1 1 1 a b 4
Suy ra . Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: . 
 OA2 OB2 a2 b2 25 4 3 25
 1 b 
 a b 3
 4x 3y
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : 1 .
 25 25
 r
Cách 3. Giả sử đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n a;b với a2 b2 0 nên có phương trình 
 d : a x 4 b y 3 0 hay ax by 4a 3b 0 .
 3b 4a 3b 4a 
Khi đó d Ox A ;0 và d Oy B 0; . Ta có 
 a b 
 1 1 a2 b2 a2 b2 a2 b2 1
 .
 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 OA OB 3b 4a 3b 4a 3b 4a 3 4 b a 25
 3 4
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: 3a 4b . Chọn a 4 , suy ra b 3 . 
 b a
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : 4x 3y 25 0 .
Bài 81. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d đi qua M 2; 1 và cắt các trục Ox , 
 9 4
 Oy lần lượt tại A và B khác O sao cho nhỏ nhất. 
 OA2 OB2
 Lời giải
Cách 1. Đường thẳng d đi qua M 2; 1 và cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại A và B khác O nên A a;0 , B 0;b 
 x y
với a 0, b 0 . Do đó phương trình của d có dạng 1. 
 a b
 2 1
Đường thẳng d đi qua M 2; 1 nên 1 . Ta có 
 a b
 9 4 9 4
 .
 OA2 OB2 a2 b2
 2 2
 2 1 2 3 1 2 4 1 9 4 
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta được . . . 
 a b 3 a 2 b 9 4 a2 b2 
 169 2 3 1 2 25
 : : a 
 9 4 9 4 36 3 a 2 b 8
Suy ra . Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: . 
 OA2 OB2 a2 b2 25 2 1 25
 1 b 
 a b 9
 8x 9y
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : 1 .
 25 25
 r
Cách 2. Giả sử đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n a;b với a2 b2 0 nên có phương trình 
 d : a x 2 b y 1 0 hay ax by 2a b 0 .
 2a b 2a b 
Khi đó d Ox A ;0 và d Oy B 0; . Ta có 
 a b 
 9 4 9a2 4b2 9a2 4b2 9a2 4b2 9a2 4b2 36
 .
 OA2 OB2 2 2 2 2 4 1 25
 2a b 2a b 2a b 2 1 2 2
 .3a .2b 9a 4b 
 3 2 9 4 
 2 1
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: : 3a : 2b 9a 8b . Chọn a 8 , suy ra b 9 . 
 3 2
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : 8x 9y 25 0 .
Bài 82. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M 0; 2 và hai đường d1 : 3x y 2 0 , d2 : x 3y 4 0 . Gọi 
 A là giao điểm của d1 và d2 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 , d2 lần lượt tại 
 1 1
 B , C ( B và C khác A ) sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
 AB2 AC 2
 Lời giải
 3x y 2 0
Tọa độ giao điểm A là nghiệm của hệ A 1;1 .
 x 3y 4 0
 uur uur
Đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến n1 3;1 ; Đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến n2 1; 3 . 
 uur uur
Ta có n1.n2 0 . Suy ra d1  d2 .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d . Tam giác ABC vuông tại A nên 
 1 1 1 1
 .
 AB2 AC 2 AH 2 AM 2
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: H  M .
 uuuur
Khi đó đường thẳng d đi qua M 0; 2 và vuông góc với AM nên nhận AM 1;1 làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình đường thẳng d : x y 2 0 .
Bài 83. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A 1;1 , B 3; 2 và C 7;10 . Viết phương trình đường thẳng 
 d qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến d là lớn nhất.
 Lời giải
 B
 ● Trường hợp 1. Giả sử d cắt BC tại M . Gọi H , K lần lượt là hình 
 chiếu vuông góc của B và C trên d . Ta có 
 d B,d d C,d BH CK BM CM BC .
 A K d
 Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: d vuông góc với BC .
 H M
 C
170 B ● Trường hợp 2. Giả sử d không cắt BC . Gọi I là trung điểm BC . 
 I
 Gọi H, K, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của B , C và I trên d . 
 C
 Ta có 
 d B,d d C,d BH CK 2IJ 2AI .
 A d 
 H J K Dấu '' '' xảy ra khi d vuông góc với AI .
Bây giờ ta so sánh BC và 2AI . Vì I là trung điểm BC nên I 5;6 . Ta có 
 2AI 2 41 BC 4 5 .
 uur
Vậy đường thẳng d cần tìm qua A 1;1 và nhận AI 4; 5 làm vectơ pháp tuyến nên d : 4x 5y 9 0 .
 uuur
Nhận xét: Nếu BC 2AI thì đường thẳng d cần tìm qua A, có vectơ pháp tuyến BC .
Bài 84. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có phương trình cạnh AB : x 2y 2 0 , 
 uuur uuur
phương trình cạnh AC : 2x y 1 0 , điểm M 1; 2 thuộc đoạn BC . Tìm tọa độ điểm D sao cho DB.DC có giá trị 
nhỏ nhất.
 Lời giải
 uuur uuur
Đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến nAB 1; 2 ; Đường thẳng AC có vectơ pháp tuyến nAC 2;1 .
 uuur
 2 2
Giả sử đường thẳng BC co vectơ pháp tuyến nBC a;b với a b 0 . Do đó 
 BC : a x 1 b y 2 0 hay ax by a 2b 0 .
Tam giác ABC cân tại A nên 
 uuur uuur uuur uuur a 2b 2a b a b
 · · 
 cos ABC cos ACB cos nAB ,nBC cos nAC ,nBC .
 a2 b2 . 5 a2 b2 . 5 a b
 Với a b , chọn b 1 suy ra a 1 . Ta được BC : x y 1 0 .
 x 2y 2 0
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ B 0;1 .
 x y 1 0
 2x y 1 0 2 1 
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ C ; .
 x y 1 0 3 3 
 uuur uuur 5 5 
Ta có MB 1; 1 , MC ; . Suy ra M không thuộc đoạn BC .
 3 3 
 Với a b , chọn a 1 suy ra b 1 . Ta được BC : x y 3 0 .
 x 2y 2 0
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ B 4; 1 .
 x y 3 0
 2x y 1 0
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ C 4;7 .
 x y 3 0
 uuur uuur
Ta có MB 3; 3 , MC 5; 5 . Suy ra M thuộc đoạn BC .
Gọi trung điểm của BC là I 0; 3 .Ta có
 171 uuur uuur uur uur uur uur BC 2 BC 2
 DB.DC DI IB . DI IC DI 2 .
 4 4
 uuur uuur
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: D  I . Vậy DB.DC nhỏ nhất khi D 0; 3 .
Bài 85. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 0;1 , B 2; –1 và hai đường thẳng có phương trình 
 d1 : m – 1 x m – 2 y 2 – m 0 , d2 : 2 – m x m – 1 y 3m – 5 0 . Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau tại P . Tìm 
 m sao cho PA PB lớn nhất.
 Lời giải
 m 1 x m 2 y m 2
Xét hệ phương trình . Ta có 
 2 m x m 1 y 3m 5
 2
 m 1 m 2 3 1
 D 2 m 0, m ¡ .
 2 m m 1 2 2
Vậy d1 và d2 luôn cắt nhau.
Ta có
 A 0;1 d1 , B 2; 1 d2 và d1  d2 .
Suy ra tam giác APB vuông tại P nên P nằm trên đường tròn đường kính AB .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có
 2
 PA PB 12 12 PA2 PB2 2AB2 16 .
Suy ra PA PB 4 . Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: PA PB .
 »
Với PA PB suy ra P là trung điểm của cung AB trong đường tròn đường kính AB .
 2
Đường tròn đường kính AB có phương trình C : x 1 y2 2 .
 uuur
Gọi là trung trực của đoạn AB , suy ra qua tâm I 1;0 và có vectơ pháp tuyến AB 2; 2 nên có phương trình 
 : x y 1 0 .
 x y 1 0
Khi đó tọa độ điểm P thỏa mãn hệ P 2;1 hoặc P 0; 1 .
 2 2 
 x 1 y 2
Với P 2;1 , thay vào d1 ta được m 1 ; Với P 0; 1 , thay vào d1 ta được m 2 .
Vậy PA PB lớn nhất khi m 1 hoặc m 2 .
172 CHUÛ ÑEÀ 02. ÑÖÔØNG TROØN
1. Phương trình đường tròn. Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R là (x- a)2 + (y - b)2 = R2 .
 Dạng khai triển của (C) là x2 + y2 - 2ax- 2by + c = 0 với c = a2 + b2 - R2 .
 Phương trình x2 + y2 - 2ax- 2by + c = 0 với điều kiện a2 + b2 - c > 0 , là phương trình đường tròn tâm 
 I(a;b) bán kính R = a2 + b2 - c .
2. Phương trình tiếp tuyến. Cho đường tròn (C): (x- a)2 + (y - b)2 = R2 .
 Tiếp tuyến D của (C) tại điểm M(x0 ; y0 ) là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM nên phương 
 2
 trình D : (x0 - a)(x- a)+ (y0 - a)(y - a) = R .
 D : ax + by + c = 0 là tiếp tuyến của (C)Û d(I,D)= R .
 Đường tròn (C): (x- a)2 + (y - b)2 = R2 có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là x = a ± R . Ngoài hai 
 tiếp tuyến này các tiếp tuyến còn lại đều có dạng y = kx + m .
 VAÁN ÑEÀ 01 NHAÄN DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG TROØN
 Đưa phương trình về dạng: (x- a)2 + (y - b)2 = P . (*)
 Nếu P > 0 thì (*) là phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R = P .
 Nếu P £ 0 thì (*) không phải là phương trình đường tròn.
Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có.
 a) x2 + y2 + 2x- 4y + 9 = 0 (1)
 b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0 (2)
 c) 2x2 + 2y2 - 6x- 4y - 1 = 0 (3)
 d) 2x2 + y2 + 2x- 3y + 9 = 0 (4)
 Lời giải
a) Phương trình (1) có dạng x2 + y2 - 2ax- 2by + c = 0 với a = - 1; b = 2; c = 9 
 Ta có a2 + b2 - c = 1+ 4- 9 < 0
 Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn.
b) Ta có: a2 + b2 - c = 9 + 4- 13 = 0
 Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.
 æ ö2
 2 2 1 ç 3÷ 2 5
c) Ta có: (3)Û x + y - 3x- 2y - = 0 Û çx- ÷ + (y - 1) =
 2 èç 2ø÷ 2
 æ ö
 ç3 ÷ 10
 Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm Iç ;1÷ bán kính R =
 èç2 ø÷ 2
d) Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số củax 2 và y2 khác nhau.
Bài 2. Cho phương trình x2 + y2 - 2mx- 4(m- 2)y + 6- m = 0 (1)
 173