Tự luận Hình học Lớp 10 - Chương 3.1: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (Có đáp án)

 CHÖÔNG III : PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG
CHUÛ ÑEÀ 01. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG
1. Phương trình đường thẳng. 
 r
 Vectơ pháp tuyến (VTPT) của một đường thẳng là vectơ khác 0 và có giá vuông góc với đường thẳng.
 r
 Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng: vectơ khác 0 và có giá song song hoặc trùng đường thẳng.
 r
 Phương trình tổng quát của đường thẳng: qua điểm I(x0 ; y0 ) và có VTPT n(a;b) là
 2 2
 a(x- x0 )+ b(y - y0 )= 0 hay ax + by + c = 0 với a + b ¹ 0 .
 x y
 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: đi qua hai điểm A(a;0),B(0;b) với a,b ¹ 0 là + = 1 . 
 a b
 Phương trình đường thẳng theo hệ số góc: đi qua I(x0 ; y0 ) và có hệ số góc k = tan(Ox,D) là y = kx + m .
 r ïì
 ï x = x + at 2 2
 Phương trình tham số: qua điểm I(x ; y )và có VTCP u(a;b) là í 0 a + b ¹ 0 .
 0 0 ï = + ( )
 îï y y0 bt
 r x- x y - y
 Phương trình chính tắc: qua điểm I(x ; y )và có VTCP u(a;b) là 0 = 0 , với a,b ¹ 0 .
 0 0 a b
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng D1 : a1x + b1y + c1 = 0 và D 2 : a2x + b2 y + c2 = 0 .
 a1 b1
 D1 cắt D 2 Û ¹ . 
 a2 b2
 a1 b1 c1
 D1 / /D 2 Û = ¹ .
 a2 b2 c2
 a1 b1 c1
 D1 º D 2 Û = = .
 a2 b2 c2
3. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng
 a) Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng. Cho đường thẳng D : ax + by + c = 0 và điểm 
 ax0 + by0 + c
 M(x0 ; y0 ). Khi đó khoảng cách từ M đến D được tính bởi công thức d(M,D)= .
 a2 + b2
 b) Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng. Cho đường thẳng V: ax + by + c = 0 và M(xM ; yM )Ï D , 
 N(xN ; yN )Ï D . Khi đó
 - M, N cùng phía với D khi và chỉ khi (axM + byM + c)(axN + byN + c)> 0 .
 - M, N khác phía với D khi và chỉ khi (axM + byM + c)(axN + byN + c)< 0 .
4. Góc giữa hai đường thẳng.
 131 a) Định nghĩa. Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi 
 là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b , hay đơn giản là góc giữa a và b . Khi a song song hoặc trùng 
 với b , ta quy ước góc giữa chúng bằng 00 .
 b) Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng. Góc xác định hai đường thẳng D1 và D 2 có phương trình 
 a1a2 + b1b2
 D1 : a1x + b1y + c1 = 0 và D 2 : a2x + b2 y + c2 = 0 được xác định bởi công thức cos(D1;D 2 )= .
 2 2 2 2
 a1 + b1 a2 + b2
 Chú ý: Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng D1 : a1x + b1y + c1 = 0 và 
 D 2 : a2x + b2 y + c2 = 0 có phương trình
 a x + b y + c a x + b y + c
 1 1 1 = ± 2 2 2 .
 2 2 2 2
 a1 + b1 a2 + b2
 VAÁN ÑEÀ 01 PHÖÔNG TRÌNH TOÅNG QUAÙT CUÛA ÑÖÔØNG THAÚNG 
 Tìm một điểm I(x0 ; y0 )thuộc đường thẳng
 r
 Tìm một VTPT n(a;b) của đường thẳng
 Viết phương trình a(x- x0 )+ b(y - y0 )= 0 rồi suy ra dạng tống quát: ax + by + c = 0 
 Hoặc, viết dạng tổng quát: ax + by + c = 0 , tìm c nhờ đường thẳng đã cho đi qua điểm I 
 Đặc biệt: d'/ /d : ax + by + c = 0 Þ d' : ax + by + c' = 0,c' ¹ c 
 d'' ^ d : ax + by + c = 0 Þ d'' : bx- ay + c'' = 0 
 y = kx + m Þ kx- y + m = 0
 x y 
 + = 1 Þ bx + ay - ab = 0
 a b
Bài 1. Viết phương trình tổng quát của:
 a) Đường thẳng Ox b) Đường thẳng Oy 
 c) Các đường phân giác của góc xOy 
 Lời giải
 r
a) Đường thẳng Ox đi qua gốc O và có VTPT j = (0;1) nên có phương trình: 0(x- 0)+ 1(y - 0)= 0 Û y = 0 
 r
b) Đường thẳng Oy đi qua gốc O và có VTPT i = (1;0) nên có phương trình: 1(x- 0)+ 0(y - 0)= 0 Û x = 0 
c) Phân giác của góc phần tư thứ I,II đi qua gốc O và hợp thành với trục hoành góc nhọn 450 nên có hai phương 
 trình: y = (tan 450 )x = x Û x- y = 0 và y = (tan1350 )x = - x Û x + y = 0 .
Bài 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng:
 a) Đi qua M(x0 ; y0 ) và song song với Ox 
 b) Đi qua M(x0 ; y0 ) và vuông góc với Ox 
 c) Đi qua M(x0 ; y0 ) khác gốc O và điểm O 
 Lời giải
132 r
a) Đường thẳng đi qua M(x0 ; y0 ) và song song với Ox có VTPT j = (0;1) nên có phương trình: 
 0(x- x0 )+ 1(y - y0 )= 0 Û y - y0 = 0 với điều kiện M Ï Ox Û y0 ¹ 0 
 r
b) Đường thẳng đi qua M(x0 ; y0 ) và vuông góc với Ox có VTPT i = (1;0) nên có phương trình: 
 1(x- x0 )+ 0(y - y0 )= 0 Û x- y0 = 0 với điều kiện M Ï Ox Û y0 ¹ 0 
c) Đường thẳng OM đi qua O nên có phương trình dạng ax + by = 0,a2 + b2 ¹ 0 
 Đường thẳng đi qua M(x0 ; y0 ) nên ax0 + by0 = 0 
 2 2 2 2
 Chọn a = y0 ,b = - x0 thỏa điều kiện a + b = x0 + y0 ¹ 0 nên có phương trình: y0x- x0 y = 0 
Bài 3. Cho hai điểm M1 (x1; y1), M2 (x2 ; y2 ) . Lập phương trình tổng quát của:
 a) Đường thẳng đi qua M1 , M2 
 b) Đường trung trực của đoạn thẳng M1M2 
 Lời giải
 r uuuuuur r
a) Đường thẳng đi qua M1 , M2 có VTCP: u = M1M2 = (x2 - x1; y2 - y1) nên VTPT n = (y2 - y2 ;- (x2 - x1)) có 
 phương trình:(y2 - y1)(x- x1)- (x2 - x1)(y - y1)= 0 
 x- x1 y - y1
 Đặc biệt, nếu x1 ¹ x2 , y1 ¹ y2 thì có phương trình chính tắc: = 
 x2 - x1 y2 - y1
 æ ö uuuuuur
 çx1 + x2 y1 + y2 ÷
b) Đường trung trực của M M đi qua trung điểm M ç ; ÷ và có VTPT là M M nên có phương trình: 
 1 2 0 èç 2 2 ø÷ 1 2
 æ ö æ ö
 ç x1 + x2 ÷ ç y1 + y2 ÷ 2 2 2 2
 (x - x )çx- ÷+ (y - y )çy - ÷= 0 hay 2(x - x )x + 2(y - y )y - x + x + y - y = 0
 2 1 èç 2 ø÷ 2 1 èç 2 ø÷ 2 1 2 1 2 1 1 2
Bài 4. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua hai điểm A(a;0) và B(0;b) với a ¹ 0,b ¹ 0 có phương trình theo đoạn 
 x y
chắn + = 1 
 a b
 Lời giải
 uuur r
 Vì AB = (- a;b) nên n = (b; a) vuông góc với AB là VTPT
 Đường thẳng cần tìm có phương trình: b(x- a)+ a(y - 0)= 0 hay bx + ay = ab 
 x y
 Chia cả hai vế cho ab ta được + = 1 .
 a b
Bài 5. Một đường thẳng đi qua điểm M(5;- 3) cắt trục Ox và Oy tại A và B sao cho M là trung điểm của AB . Viết 
phương trình tổng quát của đường thẳng đó
 Lời giải
 a + 0 0 + b
 Giả sử A = (a;0),B = (0;b) . Vì M(5;- 3) là trung điểm của AB nên: 5 = ;- 3 = Þ a = 10,b = - 6 
 2 2
 x y
 Phương trình của đường thẳng đi qua A,B là + = 1 hay 3x- 5y - 30 = 0 .
 10 - 6
 133 Bài 6. Cho đường thẳng D có phương trình Ax + By + C = 0 và điểm M0 (x0 ; y0 ) . Viết phương trình đường thẳng đi 
qua M0 và:
 a) Song song với đường thẳng D
 b) Vuông góc với đường thẳng D
 Lời giải
 r
a) D có VTPT n = (A; B) 
 ur r
 Vì D ' / / D nên chọn VTPT n' = n = (A; B) 
 D ' : A(x- x0 )+ B(y - y0 )= 0 Û Ax + By - (Ax0 + By0 )= 0 
 uur
b) Vì D ' ^ D nên chọn VTPT n'' = (B;- A) 
 D '' : B(x- x0 )- A(y - y0 )= 0 Û Bx + Ay - (Bx0 - Ay0 )= 0 .
 r
Bài 7. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M(3; 4) và có VTPT n = (- 2;1) 
 Lời giải
 r
 Đường thẳng d đi qua M(3; 4)và có VTPT n = (- 2;1)
 Phương trình tổng quát của d có dạng: Ax + By + C = 0 . Thay a = - 2,B = 1 vào ta có: - 2x + y + C = 0 
 M Î d Þ - 6 + 4 + C = 0 Þ C = 2 
 Vậy phương trình tổng quát của d là: - 2x + y + 2 = 0 hay 2x- y - 2 = 0 .
Bài 8. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng:
 a) qua A(2;0) và B(0; 3) 
 b) qua M(- 5;- 8) và có hệ số góc k = - 3 
 Lời giải
 x y
a) Phương trình theo đoạn chắn: + = 1 Û 3x- 2y - 6 = 0 
 2 - 3
b) Phương trình theo hệ số góc: y = kx + m = - 3x + m 
 Đường thẳng đi qua M(- 5;- 8) nên - 8 = 15 + m Þ m = - 23 
 Do đó phương trình tổng quát: y = - 3x- 23 Þ 3x + y + 23 = 0 .
Bài 9. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d 
 a) Qua M(- 1;- 4) và song song với đường thẳng 3x + 5y - 2 = 0 
 b) Qua N(1;1) và vuông góc với đường thẳng 2x + 3y + 7 = 0 
 Lời giải
a) VTPT của d cũng là VTPT của đường thẳng 3x + 5y - 2 = 0 nên phương trình của d là: 3x + 5y + c = 0 
 Vì d đi qua điểm M(- 1;- 4) nên - 3- 20 + c = 0 Þ c = 23 
 Vậy phương trình tổng quát d : 3x + 5y + 23 = 0 
b) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng 2x + 3y + 7 = 0 nên lấy VTCP (3;- 2) làm VTPT của d
 d : 3(x- 1)- 2(y - 1)= 0 Û 3x- 2y - 1 = 0 .
134 Bài 10. Cho hai điểm P(4;0) và Q(0;- 2) . Viết phương trình tổng quát của đưởng thẳng
 a) Qua điểm S và song song với đường thẳng PQ 
 b) Trung trực của PQ 
 Lời giải
 x y
a) Đường thẳng PQ có phương trình theo đoạn chắn: + = 1 hay x- 2y - 4 = 0 
 4 - 2
 Đường thẳng d song song với PQ có phương trình: x- 2y + c = 0 với c ¹ 4 
 Vì d qua A nên 3- 2.2 + c = 0 Þ c = 1 
 Vậy phương trình d : x- 2y + 1 = 0 
 uuur
b) Đường trung trực của đoạn PQ đi qua trung điểm I của PQ là I(2;- 1) và vuông góc với PQ = (- 4;- 2) . 
 Phương trình đường trung trực của PQ là: - 4(x- 2)- 2(y + 1)= 0 Û 2x + y - 3 = 0 .
Bài 11. Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC biết M(- 1;1),N(1;9),P(9;1) là các trung điểm của 
ba cạnh tam giác
 Lời giải
 Giả sử M,N,P theo thử tự là trung điểm của các cạnh AB, AC,BC của tam giác ABC 
 uuuur uuur uuur
 Ta có: MN = (2;8),NP = (8;- 8), MP = (10;0) 
 uuuur
 Đường trung trực của cạnh BC đi qua P và nhận MN làm VTPT nên có phương trình:
 2(x- 9)+ 8(y - 1)= 0 hay x + 4y - 13 = 0
 Tương tự, ta được phương trình các đường trung trực của các cạnh AB, AC lần lượt là: x- y + 2 = 0, x- 1 = 0 .
Bài 12. Cho điểm M(1; 2) . Hãy lập phương trình của đường thẳng đi qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có 
độ dài bằng nhau
 Lời giải
 Xét d qua gốc O thì d : y = kx Þ y = 2x 
 x y
 Xét d không qua gốc O thì a,b ¹ 0 d : + = 1 
 a b
 Theo giả thiết thì a = b .
 Nếu b = a thì d : x + y = a 
 Vì d qua M(1; 2) nên a = 3 do đó d : x + y = 3 
 Nếu b = - a thì d : x- y = a 
 Vì d qua M(1; 2) nên a = - 1 , do đó x- y = - 1 
 Vậy có 3 đường thẳng: 2x- y = 0,x + y - 3 = 0,x- y + 1 = 0 .
Bài 13. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2; 5) và cách đều hai điểm P(- 1; 2),Q(5; 4) 
 Lời giải
 Xét d / /PQ thì thỏa mãn cách đều P và Q 
 135 uuur ïì x = 2 + 3t
 VTCP PQ = (6; 2) nên d : íï 
 îï y = 5 + t
 Xét d' không song song với PQ, để d cách đều P,Q thì d' đi qua trung điểm I(2; 3) của PQ 
 uuur ïì x = 2
 VTCP MI = (0;- 2) nên d' : íï .
 îï y = 5- 2t
Bài 14. Đường thẳng d : 2x- y + 8 = 0 cắt các trục Ox và Oy lần lượt tại các điểm A và B . Gọi M là điểm chia đoạn 
 AB theo tì số - 3 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với d 
 Lời giải
 Cho x = 0 Þ y = 8, y = 0 Þ x = - 4 . Do đó A(- 4;0), B(0;8) 
 x - kx - 4- 0
 Gọi M(x ; y ) thì x = 1 2 = = - 1 . Vậy M(- 1;6) 
 0 0 0 1- k 4
 r
 VTCP của d : 2x- y + 8 = 0 là u(1; 2) . Do đó phương trình đường thẳng d' qua M và vuông góc với d là: 
 d' : 1(x + 1)+ 2(y - 6)= 0 hay x + 2y - 11 = 0 .
Bài 15. Cho đường thẳng d1 : 2x- y - 2 = 0;d2 : x + y + 3 = 0 và điểm M(3;0) . Viết phương trình đường thẳng D đi 
qua M, cắt d1 và d2 lần lượt tại điểm A và B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB 
 Lời giải
 A(xA ; yA )Î d1 Þ yA = 2xA - 2
 B(xB ; yB )Î d2 Þ yB = - xB - 3
 ïì ì
 ï xA + xB = 2xM ï xA + xB = 6
 Vì M là trung điểm của AB nên: í Þ íï 
 ï + = ï - - - =
 îï yA yB 2yM îï 2xA 2 xB 3 0
 æ ö
 11 16 ç11 16÷
 Þ xA = Þ yA = . Vậy A = ç ; ÷ 
 3 3 èç 3 3 ø÷
 Đường thẳng D là đường thẳng qua A và M . Từ đó ta tìm được phương trình của D là: 8x- y - 24 = 0 
Bài 16. Cho đường thẳng d : x- 2y + 3 = 0 và điểm M(- 1; 2). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng D biết 
 D đối xứng với đường thẳng d qua M
 Lời giải
 Ta có - 1- 2.2 + 3 ¹ 0 do đó M Ï d vì vậy đường thẳng D đối xứng với đường thẳng d qua M sẽ song song 
 r
 với đường thẳng d suy ra đường thẳng D có VTPT là n(1;- 2)
 Ta có A(1; 2)Î d , gọi A' đối xứng với A qua M khi đó A' Î D
 ïì x + x
 ï x = A A' ì
 ï M ï x = 2x - x = 2.(- 1)- 1 = - 3
 Ta có M là trung điểm của AA' . Suy ra íï 2 Þ í A' M A Þ A'(- 3; 2)
 ï y + y ï y = 2y - y = 2.2- 2 = 2
 ï y = A A' î A' M A
 îï M 2
 Vậy phương trình tổng quát đường thẳng D là 1.(x + 3)- 2(y - 2)= 0 hay x- 2y + 7 = 0 .
 Cách 2: Gọi A(x0 ; y0 ) là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d , A'(x; y) là điểm đối xứng với A qua M .
136 ïì x + x ïì x + x
 ï = 0 ï - = 0
 ï xM ï 1 ïì x = - 2- x
 Khi đó M là trung điểm của AA' suy ra íï 2 Û íï 2 Û íï 0
 ï y + y ï y + y ï y = 4- y
 ï y = 0 ï 2 = 0 î 0
 îï M 2 îï 2
 Ta có A Î d Þ x0 - 2y0 + 3 = 0 suy ra (- 2- x)- 2.(4- y)+ 3 = 0 Û x- 2y + 7 = 0
 Vậy phương trình tổng quát của D đối xứng với đường thẳng d qua M là x- 2y + 7 = 0 .
Bài 17. Cho tam giác ABC biết A(2;1), B(- 1;0), C(0; 3) .
 a) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH ;
 b) Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB ;
 c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC ;
 d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A và song song với đường BC.
 Lời giải
 uuur
a) Ta có đường cao AH đi qua A và nhận BC(1; 3) là VTPT nên có phương trình tổng quát là 
 1.(x- 2)+ 3.(y - 1)= 0 hay x + 3y - 5 = 0 .
 + + æ ö
 xB xC 1 yB yC 1 ç1 1÷
b) Gọi I là trung điểm AB khi đó xI = = , yI = = Þ Iç ; ÷
 2 2 2 2 èç2 2ø÷
 uuur
 Đường trung trực đoạn thẳng AB đi qua I và nhân AB(- 3;- 1) làm VTPT nên có phương trình tổng quát là 
 æ ö æ ö
 ç 1÷ ç 1÷
 - 3.çx- ÷- 1.çy - ÷= 0 hay 3x + y + 2 = 0
 èç 2ø÷ èç 2ø÷
 x y
c) Phương trình tổng quát của đường thẳng BC có dạng + = 1 hay 3x- y + 3 = 0 .
 - 1 3
 r
d) Đường thẳng BC có VTPT là n(3;- 1) do đó vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng AB nên nhận 
 r
 n(3;- 1) làm VTPT do đó có phương trình tổng quát là 3.(x- 2)- 1.(y - 1)= 0 hay 3x- y - 5 = 0 .
 VAÁN ÑEÀ 02 PHÖÔNG TRÌNH THAM SOÁ CUÛA ÑÖÔØNG THAÚNG 
 Tìm một điểm I(x0 ; y0 )thuộc đường thẳng
 r
 Tìm một VTCP n(a;b) của đường thẳng
 ïì x = x + at
 Phương trình tham số: íï 0 , a2 + b2 ¹ 0 
 ï ( )
 îï y = y0 + at
 r
 Đặc biệt, d qua A,B thì có VTCP u(xB - xA ; yB - yA ) 
 ur
 d' ^ d : ax + by + c = 0 thì VTCP u'(a;b)
 uur
 d''/ /d : ax + by + c = 0 thì VTCP u'' = (- b; a) hay (b;- a) 
 r
 d có hệ số góc k' thì VTCP u = (1; k) 
 137 Bài 18. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua
 a) M0 (x0 ; y0 ) và vuông góc với đường thẳng Ax + By + C = 0 . 
 b) M0 (x0 ; y0 )và song song với đường thẳng Ax + By + C = 0 .
 Lời giải
 r r
 Đường thẳng Ax + By + C = 0 có VTPT n = (A; B) , VTCP u = (- B; A) 
 r
a) Đường thẳng vuông góc với đường thẳng Ax + By + C = 0 có VTCP là u = (A; B) 
 ïì x = x + At
 Vậy phương trình tham số của đường thẳng là: íï 0 
 ï
 îï y = y0 + Bt
 r
b) Đường thẳng song song với đường thẳng Ax + By + C = 0 có VTCP là u = (- B; A) 
 ïì x = x - Bt
 Vậy phương trình tham số của đường thẳng là: íï 0 .
 ï
 îï y = y0 + At
 r
Bài 19. Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(2;1) và có VTCP u = (3;7) 
 Lời giải
 ïì x = 2 + 3t
a) Phương trình tham số của d là: íï 
 îï y = 1+ 7t
 r r
b) d có VTPT n = (4;- 3) nên có VTCP u = (3; 4) 
 ïì x = 5 + 3t
 Vậy phương trình tham số của d là: íï .
 îï y = - 2 + 4t
Bài 20. Lập phương trình tham số của đường thẳng d : 
a) Đi qua điểm M(5;1) và có hệ số góc k = 8 
b) Đi quahai điểm A(3; 4) và B(4; 2) 
 Lời giải
 r
a) d có hệ số góc k = 8 nên có VTCP u = (1;8) 
 ïì x = 5 + t
 Vậy phương trình tham số của d là: íï 
 îï y = 1+ 8t
 r uuur
b) d đi qua A và B nên d có VTCP u = AB = (1;- 2) 
 ïì x = 3 + t
 Vậy phương trình tham số của d là: íï .
 îï y = 4- 2t
Bài 21. Viết phương trình tham số của đường thẳng:
a) 2x + 3y - 6 = 0 b) y = - 4x + 5 
 Lời giải
 r r
a) d : 2x + 3y - 6 = 0 có VTPT n = (2; 3)Þ VTCP u = (- 3; 2) 
 Cho x = 0 thì y = 2 nên d đi qua điểm M(0; 2) 
138 ïì x = - 3t
 Vậy phương trình tham số của d là: íï
 îï y = 2 + 2t
 2
 Cách khác: tạo tham số. Đặt x = t Þ 2t + 3y - 6 = 0 Þ y = 2- t 
 3
 ì
 ï x = t
 ï
 Vậy phương trình tham số của d là: í 2
 ï y = 2- t
 îï 3
 r
b) y = - 4x + 5 có hệ số k = - 4 nên có VTCP u = (1;- 4) 
 Cho x = 0 Þ y = 5 nên d đi qua I(0; 5) 
 ïì x = t
 Vậy phương trình tham số của d là: íï .
 îï y = 5- 4t
Bài 22. Viết phương trình tham số của đường thẳng:
 x- 2 y + 1
 a) d : x = 3 b) d : = 
 5 - 3
 Lời giải
 r
a) d : x- 3 = 0 đi qua I(3;0) và có VTCP u = (0;1) 
 ïì x = 3
 Vậy phương trình tham số của d là: íï
 îï y = t
 x- 2 y + 1
b) Đặt = = t thì x- 2 = 5t, y + 1 = - 3t 
 5 - 3
 ïì x = 2 + 5t
 Vậy phương trình tham số của d là: íï
 îï y = - 1- 3t
 VAÁN ÑEÀ 03 PHÖÔNG TRÌNH CHÍNH TAÉCÁ CUÛA ÑÖÔØNG THAÚNG 
 Tìm một điểm I(x0 ; y0 )thuộc đường thẳng
 r
 Tìm một VTCP n(a;b) của đường thẳng
 x- x y - y
 Nếu a,b ¹ 0 thì có dạng chính tắc: 0 = 0
 a b
 r
 Đặc biệt, d qua A,B thì có VTCP u(xB - xA ; yB - yA ) 
 ur
 d' ^ d : ax + by + c = 0 thì VTCP u'(a;b)
 uur
 d''/ /d : ax + by + c = 0 thì VTCP u'' = (- b; a) hay (b;- a) 
 r
 d có hệ số góc k' thì VTCP u = (1; k) 
Bài 23. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng
 a) qua A(- 4;1) và B(1; 4) b) qua A(4;1) và B(4; 2)
 Lời giải
 139 uuur ïì x = - 4 + 5t
a) VTCP AB = (5; 3) nên có phương trình tham số: íï 
 îï y = 1+ 3t
 x + 4 y - 1
 Vì a,b ¹ 0 nên có phương trình chính tắc: = 
 5 3
 uuur ïì x = 4
b) VTCP AB = (0;1) nên có phương trình tham số: íï 
 îï y = 1+ t
 Vì a = 0 nên có không có phương trình chính tắc.
 x- 2 y + 3
Bài 24. Cho điểm A(- 5; 2) và đường thẳng d : = . Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d' : 
 1 - 2
 a) qua A và song song với d . b) qua A và vuông góc với d 
 Lời giải
 r x + 5 y - 2
a) d có VTCP u = (1;- 2) cũng là VTCP của d' . Vậy d' : = 
 1 - 2
 x + 5 y - 2
b) d vuông góc với d nên có VTCP là (2;1) . Vậy d' : = .
 1 1
 VAÁN ÑEÀ 04 VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG
 Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng D1 : a1x + b1y + c1 = 0 và D 2 : a2x + b2 y + c2 = 0 ta xét số nghiệm của 
 ïì a x + b y + c = 0
 hệ phương trình íï 1 1 1 . 
 ï
 îï a2x + b2 y + c2 = 0
 Hệ có một nghiệm: D1 cắt D 2 
 Hệ vô nghiệm: D1 / / D 2
 Hệ có vô số nghiệm: D1 = D 2
 a1 b1 a1 b1 c1 a1 b1 c1
 Nếu a2b2c2 ¹ 0 thì D1 cắt D 2 Û ¹ , D1 / / D 2 Û = ¹ , D1 = D 2 Û = = . 
 a2 b2 a2 b2 c2 a2 b2 c2
 Để tìm giao điểm của 2 đường thẳng ta giải hệ phương trình trên
 Tìm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d 
 Cách 1: lập phương trình đường thẳng d' qua A vuông góc với d . Hình chiếu H là giao điểm của d và d' 
 uuur r
 Cách 2: điểm H thuộc d có tọa độ theo tham số t (hoặc x, hoặc y ) , cho điều kiện AH ^ d Û AH.u = 0 để tìm t 
 Tìm điểm đối xứng A' của A qua đường thẳng d : tìm hình chiếu H , dùng công thức tọa độ trung điểm để suy 
 ra A' 
 Tìm đường thẳng d' đối xứng của đường thẳng d qua điểm I cho trước
 Cách 1: d' song song hoặc trùng với d nên có cùng VTPT. Lấy điểm A thuộc d rồi tìm điểm B đối xứng qua I 
 thì B thuộc d' 
 Cách 2: lấy M(x; y) bất kì thuộc d . Gọi M '(x'; y') là điểm đối xứng của M qua 
 I : x + x' = 2x0 , y + y' = 2y0 Þ x = 2x0 - x', y = 2y0 - y' 
 Thế vào phuong trình d thành phương trình d' .
140