Tự luận Hình học Lớp 10 - Chương 2.3: Tích vô hướng của hai vecto và ứng dụng (Có đáp án)

 CHUÛ ÑEÀ 04. ÖÙNG DUÏNG
 VAÁN ÑEÀ 01 CHÖÙNG MINH TÍNH VUOÂNG GOÙC
 r r r r
 Sử dụng điều kiện a ^ b Û a.b = 0 
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 Chú ý: Ta có AB ^ CD Û AB.CD = 0 , để chứng minh AB.CD = 0 thông thường chúng ta phân tích AB, CD qua hai 
 vectơ không cùng phương. 
Bài 1. Cho tứ giác ABCD . Chứng minh rằng hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau khi và chỉ khi 
 AB2 + CD2 = BC2 + AD2 .
 Lời giải
 uur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur
 Ta có AB2 + CD2 - BC2 - AD2 = - 2CB.CA + 2CD.CA = 2CA(CD- CB)= 2CA.BD
 uur uuur 2 uuur uuur 2
 = (CB- CA) + CD2 - BC2 - (CD- CA) .
 uuur uuur
 Do đó đường chéo AC và BD vuông góc với nhau khi và chỉ khi CA.BD = 0 Û AB2 + CD2 = BC2 + AD2 .
Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M, N thuộc cạnh AB và AD sao cho AM = DN = x . 
 a) Chứng minh rằng CN vuông góc với DM.
 uur uuur
 b) Giả sử P là điểm được xác định bởi BP = yBC . Tìm hệ thức liên hệ của x, y và a để MN vuông góc với MP.
 Lời giải
 uuur x uuur uuuur x uuur
a) Ta có DN = - AD , AM = AB .
 a a
 uuur uuur uuur uuur x uuur uuuur uuur uuuur x uuur uuur
 Suy ra CN = CD + DN = - AB- AD và DM = DA + AM = AB- AD .
 a a A M B
 uuuur uuur æ uuur uuuröæ uuur uuurö
 çx ÷ç x ÷
 Suy ra DM.CN = ç AB- AD÷ç- AB- AD÷
 èça ø÷èç a ø÷ P
 x uuur 2 x uuur 2 x2 uuur uuur uuur uuur N
 = - AB + AD - AB.AD + AB.AD .
 a a a2
 uuur uuur
 Vì ABCD hình vuông nên AB.AD = 0 D C
 uuuur uuur
 Do đó DM.CN = - ax + ax = 0 . 
 Vậy CN vuông góc với DM.
 uuuur uuur uuuur a- x uuur x uuur uuur uuur uur a- x uuur uuur
b) Ta có MN = AN - AM = AB- AD ; MP = MB+ BP = AB+ yAD
 a a a
 uuuur uuur æ uuur uuuröæ uuur uuurö
 ça- x x ÷ça- x ÷
 Suy ra MN ^ MP Û MN.MP = 0 Û ç AB- AD÷ç AB+ yAD÷= 0
 èç a a ø÷èç a ø÷
 2 uuur uuur
 (a- x) 2 x 2 2
 Û .AB - .y.AD = 0 Û (a- x) = axy .
 a2 a
 123 uuur 1 uuur uuur 1 uuur
Bài 3. Cho tam giác đều ABC . Lấy các điểm M, N thỏa mãn BM = BC, AN = AB . Gọi I là giao điểm của AM và 
 3 3
CN. Chứng minh rằng BI ^ IC .
 Lời giải
 uur uuuur
 Giả sử AI = kAM .
 uur uur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur æuuur uuurö uuur
 ç 1 ÷
 Ta có CI = AI - AC = kAM - AC = k AB+ BM - AC = kçAB+ BC÷- AC .
 ( ) èç 3 ø÷
 uur æuuur uuur uuurö uuur uuur æ öuuur
 ç 1 1 ÷ 2k çk ÷
 Hay CI = kçAB+ AC - AB÷- AC = AB+ ç - 1÷AC .
 èç 3 3 ø÷ 3 èç3 ø÷
 uuur uuur uuur 1 uuur uuur
 Mặt khác CN = AN - AC = AB- AC .
 3
 uur uuur k 3
 Vì CI, CN cùng phương nên 2k = 1- Þ k =
 3 7
 uur uuuur uuur uuur æuuur uuur uuurö uuur uuur
 3 3 3 ç 1 1 ÷ 2 1
 Ta có AI = AM = AB+ BM = çAB+ AC - AB÷= AB+ AC .
 7 7 ( ) 7 èç 3 3 ø÷ 7 7
 uur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur æ uuur uuurö uuur uuur
 2 1 5 1 ç2 1 ÷ 2 6
 Suy ra BI = AI - AB = AB+ AC - AB = - AB+ AC ; IC = AC - AI = AC - ç AB+ AC÷= - AB+ AC .
 7 7 7 7 èç7 7 ø÷ 7 7
 uur uur æ uuur uuuröæ uuur uuurö æ uuur 2 uuur 2 uuur uuurö
 ç 5 1 ÷ç 2 6 ÷ 1 ç ÷
 Do đó BI.IC = ç- AB+ AC÷ç- AB+ AC÷ = ç10AB + 6AC - 32AB.AC÷.
 èç 7 7 ø÷èç 7 7 ø÷ 49 èç ø÷
 uuur uuur 1 uur uur
 Vì tam giác ABC đều nên AB = AC, AB.AC = AB.AC.cos A = AB2 . Suy ra BI.IC = 0 .
 2
 Vậy BI ^ IC .
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ACM , I là tâm đường tròn ngoại 
tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng GI vuông góc với CM .
 Lời giải
 uuur r uuur r
 Đặt AB = x; AC = y và : AB = AC = a .
 uuur uuuur uuur 1 uuur uuur 1 r r A
 Ta có CM = AM - AC = AB- AC = .x - y . (1)
 2 2
 uuur 2 uur 1 uuuur uuur
 Gọi J là trung điểm CM, ta có AG = AJ = AM + AC G
 3 3( ) M
 æ uuur uuurö r
 1ç1 ÷ 1 r 1
 = ç AB+ AC÷= x + y . I
 3èç2 ø÷ 6 3
 ì uur uuur 2 ïì uur 2 B C
 ï 2 ï r a
 ïì 2 2 ï IA = IA + AB ï AI.x =
 ïì IA = IB ï IA = IB ï ( ) ï
 Mặt khác íï Þ íï Þ íï Þ í 2 . (2)
 ï IA = IC ï 2 2 ï uur uuur 2 ï uur 2
 îï îï IA = IC ï 2 ï r a
 ï IA = (IA + AC) ï AI.y =
 îï îï 2
 uuur uur uuur uur uuur æ öæuur ö uur uur
 ç1 r r÷ç 1 r 1 r÷ 1 r r 1 2 1 r r 1 r r 1 2
 Từ (1) và (2), ta có CM.GI = CM. AI - AG = ç x - y÷çAI - .x - .y÷= x.AI - y.AI - .x + .x.y - x.y + .y
 ( ) èç2 ø÷èç 6 3 ø÷ 2 12 6 6 3
 a2 a2 a2 a2
 = - - + = 0 .
 4 2 12 3
 Suy ra GI vuông góc với CM .
124 AC
Bài 5. Cho hình vuông ABCD , M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM = , N là trung điểm của đoạn 
 4
thẳng DC. Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân.
 Lời giải
 uuur r uuur r uuur uuur uuuur 1 r r uuuur uuur uuuur 1 r r
 Đặt AB = x, AD = y . Khi đó MB = AB- AM = 3x- y , MN = AN - AM = x + 3y .
 4 ( ) 4 ( )
 uuur uuuur r r r r ær 2 r 2 r r ö
 1 1 ç ÷
 Ta có MB.MN = 3x- y x + 3y = ç3x - 3y + 8x.y÷= 0 .
 16 ( )( ) 16 èç ø÷
 uuur 2 1 r r 2 5 r 2 uuuur 2 1 r r 2 5 r 2
 Mặt khác MB = 3x- y = y , MN = x + 3y = y .
 16 ( ) 8 16 ( ) 8
 Vậy tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M.
 VAÁN ÑEÀ 02 CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC HÌNH HOÏC
 r r
 Sử dụng các bất đẳng thức. Cho a, b bất kì. Khi đó ta có 
 r r r r r r r r
 + a.b £ a . b dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cos(a, b)= 1 hay a; b cùng hướng.
 r r r r r r r r
 + a.b ³ - a . b dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cos(a, b)= - 1 hay a; b ngược hướng.
 r 2 r r
 + u ³ 0 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u = 0 .
 Bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, Bunhiacopxki...)
Bài 6. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là một điểm bất kỳ. Chứng minh rằng 
 MA2 + MB2 + MC2 ³ MA.GA + MB.GB+ MC.GC ³ GA2 + GB2 + GC2 .
 Lời giải
 uuur uuuur uuur uuuur
 Ta có MA.MG = MA.MG.cos(MA; MG)£ MA.MG
 uuur uur uuur uuur
 Tương tự, ta có MB.GB ³ MB.GB; MC.GC ³ MC.GC .
 uuur uuur uuur uur uuur uuur
 Suy ra MA.GA + MB.GB+ MC.GC ³ MA.GA + MB.GB+ MC.GC .
 uuur uuur uuur uur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uur uur uuuur uuur uuur
 Mặt khác MA.GA + MB.GB+ MC.GC = (MG + GA)GA + (MG + GB).GB+ (MG + GC).GC
 uuuur uuur uur uuur
 = MG(GA + GB+ GC)+ GA2 + GB2 + GC2 = GA2 + GB2 + GC2 .
 Suy ra MA.GA + MB.GB+ MC.GC ³ GA2 + GB2 + GC2 . (*)
 Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có 
 MA2 + MB2 + MC2 + GA2 + GB2 + GC2 ³ 2MA.GA + 2MB.GB+ 2MC.GC .
 Kết hợp (*), suy ra 
 MA2 + MB2 + MC2 + GA2 + GB2 + GC2 ³ MA.GA + MB.GB+ MC.GC + GA2 + GB2 + GC2
 hay MA2 + MB2 + MC2 ³ MA.GA + MB.GB+ MC.GC .
 Vậy ta có điều phải chứng minh.
 125 A B C a + b + c
Bài 7. Cho tam giác ABC và điểm M bất kỳ. Chứng minh rằng cos .MA + cos .MB+ cos .MC ³ .
 2 2 2 2
 Lời giải
 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
 A B C
 uur uur uur r cos uur cos uur cos uur r A'
 Ta có a.IA + b.IB+ c.IC = 0 Þ 2 IA + 2 IB+ 2 IC = 0
 IA IB IC A
 A A
 cos cos
 A uuur uur
 (vì cos .MA = 2 .MA.IA ³ 2 .MA.IA )
 2 IA IA
 O G
 B C
 cos cos
 B uuur uur C uuur uur B'
 Tương tự, ta có cos .MB ³ 2 .MB.IB và cos .MC ³ 2 .MC.IC .
 2 IB 2 IC B C' C
 A B C
 cos uuur uur cos uuur uur cos uuur uur
 Mà 2 .MA.IA + 2 .MB.IB+ 2 .MC.IC
 IA IB IC
 æ A B C ÷ö
 uuur çcos uur cos uur cos uur÷
 ç 2 2 2 ÷ A B C
 = MIç IA + IB+ IC÷+ cos .IA + cos .IB+ cos .IC
 ç IA IB IC ÷ 2 2 2
 ç ÷
 èç ø÷
 A B C a + b + c
 = cos .IA + cos .IB+ cos .IC = AE+ BF + CD = .
 2 2 2 2
 A B C a + b + c
 Do đó cos .MA + cos .MB+ cos .MC ³ .
 2 2 2 2
Bài 8. Cho tam giác ABC và và ba số thực x, y, z . Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ³ 2yz cos A + 2zxcos B+ 2xy cosC .
 Lời giải
 Gọi (I;r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. 
 uuur uur uur 2
 Khi đó (x.IM + y.IN + z.IP) ³ 0 
 uuur uur uur uur uur uuur
 Û x2 .IM2 + y2 .IN2 + z2 .IP2 + 2xyIM.IN + 2yzIN.IP + 2zxIP.IM ³ 0
 2 2 2 2 2 é 0 0 0 ù
 Û x + y + z r + 2r êxy cos 180 - C + yz cos 180 - A + zxcos 180 - B ú³ 0 
 ( ) ë ( ) ( ) ( )û
 Û x2 + y2 + z2 ³ 2yz cos A + 2zxcos B+ 2xy cosC.
Bài 9. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng 
 9 9
 a) am2 + bm2 + cm2 ³ abc . b) am m + bm m + cm m ³ abc .
 a b c 4 b c c a a b 4
 m2 m2 m2 9 a3 + b3 + c3
 c) a + b + c ³ . .
 a b c 4 ab + bc + ca
 Lời giải
126 uuur uur uuur 2
 Ta có (x.GA + y.GB+ z.GC) ³ 0
 Û (x + y + z)(x.GA2 + y.GB2 + z.GC2 )³ a2 yz + b2zx + c2xy
 2 2 2 9 2 2 2
 Û (x + y + z)(x.ma + y.mb + z.mc )³ (a yz + b zx + c xy).
 4
 9
a) Cho x = a, y = b, z = c , ta được am2 + bm2 + cm2 ³ abc .
 a b c 4
 a b c 9
b) Cho x = , y = , z = , ta được ambmc + bmcma + cmamb ³ abc .
 ma mb mc 4
 m2 m2 m2 9 a3 + b3 + c3
c) Cho x = bc, y = ca, z = ab , ta được a + b + c ³ . .
 a b c 4 ab + bc + ca
Bài 10. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng
 a) a2 + b2 + c2 £ 9R2 . b) R ³ 2r .
 abc
 c) R2 + a2 + b2 ³ c2 . d) 4S £ (ab + bc + ca) .
 a3 + b3 + c3
 2 2 2
 e) (a- b) + (b- c) + (c - a) £ 8R(R- 2r).
 Lời giải
 uuur uuur uuur 2
 Ta có (x.OA + y.OB+ z.OC) ³ 0
 Û (x + y + z)(x.OA2 + y.OB2 + z.OC2 )³ a2 yz + b2zx + c2xy
 2
 Û R2 (x + y + z) ³ a2 yz + b2zx + c2xy.
a) Cho x = y = z suy ra a2 + b2 + c2 £ 9R2 .
b) Cho x = a, y = b, z = c suy ra R ³ 2r .
c) Cho x = y = - z suy ra R2 + a2 + b2 ³ c2 .
 abc
d) Cho x = bc, y = ca, z = ab suy ra 4S £ (ab + bc + ca) .
 a3 + b3 + c3
 2 2 2
e) Cho x = b + c, y = c + a, z = a + b suy ra (a- b) + (b- c) + (c - a) £ 8R(R- 2r).
 VAÁN ÑEÀ 03 ÖÙNG DUÏNG TRONG PHÖÔNG TÍCH ÑÖÔØNG TROØN
 Phương Pháp. Bài toán: Cho đường tròn (O; R) và điểm C C
 M cố định. Một đường thẳng thay đổi đi qua M cắt đường 
 tròn tại hai điểm A, B. Chứng minh rằng O O
 uuur uuur
 MA.MB = MO2 - R2 . M
 M
 A B A B
 127 uuur uuur
 Chứng minh: Vẽ đường kính BC của đường tròn (O;R). Ta có MA là hình chiếu của MC lên đường thẳng MB. 
 Theo công thức hình chiếu, ta có 
 uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
 MA.MB = MC.MB = (MO + OC).(MO + OB) = (MO- OB).(MO + OB)= MO2 - OB2 = MO2 - R2 .
 Từ bài toán trên ta có định nghĩa sau:
 Định nghĩa: Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định. Một đường thẳng thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại 
 uuur uuur
 hai điểm A, B. Khi đó MA.MB = MO2 - R2 là đại lượng không đổi được gọi là phương tích của điểm M đối 
 với đường tròn (O;R), kí hiệu là PM/(O) .
 Chú ý: Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT. D
 Khi đó P = MT 2 = MO2 - R2 .
 M/(O) A A B
 M
 Tính chất: M
 Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Điều C
 kiện cần và đủ để bốn điểm A, B, C, D nội tiếp 
 uuur uuur uuur uuuur C
 được đường tròn là MA.MB = MC.MD (hay B D
 MA.MB = MC.MD ).
 Δ
 A
 Cho đường AB cắt đường thẳng D ở M và điểm C trên đường 
 M B
 thẳng D (C ¹ M) . Điều kiện cần và đủ để D là tiếp tuyến của O
 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại C là MA.MB = MC2 .
 C
Bài 11. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA', BB', CC' cắt nhau tại H. Chứng minh rằng 
 HA.HA' = HB.HB' = HC.HC' .
 Lời giải A
 · · 0
Ta có BB'C = BC'C = 90 suy ra tứ giác BCB'C' nội tiếp trong đường tròn (C) 
 C' B'
đường kính BC. Do đó HB.HB' = HC.HC' (vì cùng bằng phương tích từ điểm H 
tới đường tròn (C)) (1) H
Tương tự tứ giác ACA'C' nội tiếp được nên HA.HA' = HC.HC' . (2)
 B A' C
Từ (1) và (2) suy ra HA.HA' = HB.HB' = HC.HC' .
Bài 12. Cho đường tròn (O;R) và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn 
đi qua điểm P và vuông góc với nhau.
 a) Chứng minh rằng AB2 + CD2 không đổi.
 b) Chứng minh rằng PA2 + PB2 + PC2 + PD2 không phụ thuộc vị trí điểm P.
 Lời giải
a) Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD.
128 Suy ra OE ^ AB và OF ^ CD .
 2 2 C
 Ta có AB2 + CD2 = (2AE) + (2CF)
 = 4 AO2 - OE2 + 4 CO2 - OF2
 ( ) ( ) F O
 é 2 2 2 ù 2 2
 = 4 ê2R - OE + OF ú= 4 2R - OP .
 ë ( )û ( ) P
 A B
 Suy ra AB2 + CD2 không đổi. E
 2 2 D
b) Ta có PA2 + PB2 + PC2 + PD2 = (PA + PB) + (PC + PD) - 2PA.PB- 2PC.PD
 uuur uur uuur uuur
 = AB2 + CD2 + 2PA.PB+ 2PC.PD .
 uuur uur uuur uuur
 2 2 2 2 2 2
 Mặt khác theo câu a) ta có AB + CD = 4(2R - OP ) và PP(O) = PA.PB = PC.PD = PO - R .
 Suy ra PA2 + PB2 + PC2 + PD2 = 4(2R2 - OP2 )+ 4(PO2 - R2 )= 4R2 .
 Vậy PA2 + PB2 + PC2 + PD2 không phụ thuộc vị trí điểm P.
Bài 13. Cho đường tròn đường kính AB và đường thẳng D vuông góc với AB ở H (H ¹ A, H ¹ B). Một đường thẳng 
quay quanh H cắt đường tròn ở M, N và các đường thẳng AM, AN lần lượt cắt D ở M', N'. 
a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M', N' thuộc một đường tròn (C) nào đó.
b) Chứng minh rằng các đường tròn (C) luôn đi qua hai điểm cố định.
 Lời giải
 · · 0
a) Vì M ' HB = M ' MB = 90 nên tứ giác BHM ' M nội tiếp được suy ra 
 uuur uuur uuuur uuuur M
 AH.AB = AM '.AM . (1) E
 · · 0
 Tương tự Vì N ' HB = N ' NB = 90 nên tứ giác HBN ' N nội tiếp được suy ra
 uuur uuur uuuur uuur M'
 AH.AB = AN '.AN . (2) A
 uuuur uuuur uuuur uuur P H B
 Từ (1) và (2), suy ra AM '.AM = AN '.AN . Q
 Suy ra bốn điểm M, N, M', N' thuộc một đường tròn. N F
b) Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của đường tròn (C) với đường thẳng AB và 
 E, F lần lượt là giao điểm của D với đường tròn đường kính AB. Δ N'
 uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur
 Khi đó ta có AP.AQ = AM.AM ' = AH.AB .
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur
 Mặt khác AH.AB = (AE+ EH)AB = AE.(AE+ EB)= AE2 và
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur
 AH.AB = (AF + FH)AB = AF.(AF + FB)= AF2 .
 uuur uuur
 Suy ra AP.AQ = AE2 = AF2 .
 Do đó P, Q thuộc đường tròn (S) tiếp xúc với AE, AF ở E, F.
 Vì (S) là đường tròn cố định nên P, Q cố định thuộc đường tròn (C). 
Bài 14. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính R. Giả sử M là điểm di động trong đường tròn (O). Nối 
 MA MB MC
AM, BM, CM lần lượt cắt (O) tại A', B', C'. Tìm tập hợp điểm M sao cho + + = 3 .
 MA' MB' MC'
 Lời giải
 129 MA MB MC MA2 MB2 MC2
 Ta có + + = 3 Û + + = 3 
 MA' MB' MC' MA'.MA MB'.MB MC'.MC
 MA2 MB2 MC2
 Û - uuuur uuur - uuuur uuur - uuuur uuur = 3 . (*)
 MA'.MA MB'.MB MC'.MC
 uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
 2 2
 Mặt khác PM/(O) = MA'.MA = MB'.MB = MC'.MC = MO - R .
 Suy ra (*) Û MA2 + MB2 + MC2 = - 3(MO2 - R2 ). (1)
 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , I là trung điểm GO. Ta có
 uuuur uuur 2 uuuur uur 2 uuuur uuur 2
 MA2 + MB2 + MC2 = (MG + GA) + (MG + GB) + (MG + GC)
 uuuur uuur uur uuur
 = 3MG2 + 2MG(GA + GB+ GC)+ GA2 + GB2 + GC2
 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 . (2)
 Từ (1) và (2), ta có 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 = - 3(MO2 - R2 )
 1
 Û MG2 + MO2 = R2 - (GA2 + GB2 + GC2 )
 3
 uuur uur 2 uuur uur 2 1
 Û (MI + IG) + (MI + IO) = R2 - (GA2 + GB2 + GC2 )
 3
 1
 Û 2MI2 + 2IO2 = R2 - (GA2 + GB2 + GC2 )
 3
 1 1
 Û MI2 = R2 - (GA2 + GB2 + GC2 )- IO2
 2 6
 1 1
 Û MI = k với k2 = R2 - (GA2 + GB2 + GC2 )- IO2 .
 2 6
 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = k .
Bài 15. Cho đường tròn (O) đường kính AB, và điểm H cố định thuộc AB. Từ điểm K thay đổi trên tiếp tuyến tại B của 
(O), vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và D. Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định.
 Lời giải
 Gọi I là điểm đối xứng của H qua B, suy ra I cố định và thuộc (K). Gọi M là giao điểm của CD và AB.
 Ta có MH.MI = MC.MD và MC.MD = MA.MB .
 Suy ra MH.MI = MA.MB C
 Þ (MB+ BH)(MB+ BI)= MB(MB+ BA) K
 2
 Û (MB+ BH)(MB- BH)= MB + MB.BA A
 H M B I
 2 2 2
 Û MB - BH = MB + MB.BA
 D
 BH2
 Û BM = .
 BA
 Vì A, B, H cố định suy ra M cố định.
130