Tự luận Hình học Lớp 10 - Chương 2.2: Tích vô hướng của hai vecto và ứng dụng (Có đáp án)

 CHUÛ ÑEÀ 03. HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC
1. Định lí hàm số côsin. Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c . Ta có 
 a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A
 A
 b2 = c2 + a2 - 2ca.cos B
 c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC
 Hệ quả: 
 b
 b2 + c2 - a2 c
 cos A =
 2bc
 c2 + a2 - b2
 cos B = C
 2ca B
 a
 a2 + b2 - c2
 cosC =
 2ab
2. Định lí hàm số sin. Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b , AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có 
 a b c
 = = = 2R .
 sin A sin B sinC
3. Độ dài trung tuyến. Cho tam giác ABC với ma , mb , mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta có
 2(b2 + c2 )- a2
 m2 =
 a 4
 2(a2 + c2 )- b2
 m2 =
 b 4
 2(a2 + b2 )- c2
 m2 =
 c 4
4. Diện tích tam giác. Với tam giác ABC ta kí hiệu ha , hb , hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, 
 a + b + c
CA, AB; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p = là nửa chu vi tam giác; S là diện 
 2
tích tam giác. Khi đó ta có
 1 1 1 1 1 1 abc
 S = ah = bh = ch = bc sin A = casin B = absinC = = pr = p(p- a)(p- b)(p- c) .
 2 a 2 b 2 c 2 2 2 4R
 VAÁN ÑEÀ 01 TÍNH TOAÙN CAÙC ÑAÏI LÖÔÏNG
 Sử dụng định lí côsin và định lí sin
 Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu tố trong các công thức 
 tính diện tích trong tam giác.
Bài 1. Cho tam giác ABC biết
 µ 0
 a) a = 12.b = 13,c = 15 . Tính cos A và góc A . b) AB = 5, AC = 8, A = 60 . Tính cạnh BC . 
 Lời giải
 Áp dụng định lí hàm số cosin
 b2 + c2 - a2 132 + 152 - 122 25
a) Ta có cos A = = = . 
 2bc 2.13.15 39
 99 Suy ra A » 500 .
b) Ta có BC2 = AC2 + AB2 - 2AC.AB.cos A = 82 + 52 - 2.8.5.cos600 = 49 .
 Vậy BC = 7 .
Bài 2. Cho tam giác ABC , biết
 µ 0 µ 0 µ 0
 a) A = 60 ,B = 45 ,b = 4 . Tính cạnh a và c . b) A = 60 ,a = 6 . Tính R . 
 Lời giải
 Áp dụng định lí hàm số sin
 a b c
a) Ta có = = .
 sin A sin B sinC
 bsin A 4sin 600 bsinC 4sin750
 Suy ra a = = » 4,9 và c = = » 5,5 . 
 sin B sin 450 sin B sin 450
 a 6
b) Ta có R = = » 3,5 .
 2sin A 2sin 600
Bài 3. Cho tam giác ABC , biết
 a) a = 7,b = 8,c = 6 . Tính ma .
 b) a = 5,b = 4,c = 3 . Lấy D đối xứng của B qua C . Tính ma và AD . 
 Lời giải
 Áp dụng định lý trung tuyến
 b2 + c2 a2 82 + 62 72 151
a) Ta có m 2 = - = - = » 37,75 
 a 2 4 2 4 4
 Suy ra ma » 6,1. 
b) Ta có a2 = b2 + c2 = 25 nên tam giác ABC vuông tại A . 
 a 5
 Do đó m = = = 2,5 . 
 a 2 2
 AB2 + AD2 BD2
 Tam giác ABD có AC là trung tuyến nên AC2 = - .
 2 4
 1 1
 Suy ra AD2 = (4AC2 + BD2 - 2AB2 )= (4.42 + 102 - 2.32 )= 73 . 
 2 2
 Vậy AD » 8,5 .
Bài 4. Cho tam giác ABC , biết
 3
 a) a = 7,b = 8,c = 6 . Tính S và h . b) b = 7,c = 5,cos A = . Tính S và R,r . 
 a 5
 Lời giải
 a + b + c 21
a) Áp dụng công thức Herong với p = = .
 2 2
 æ öæ öæ ö
 21ç21 ÷ç21 ÷ç21 ÷ 21 7 5 9 21 15
 Ta có S = p(p- a)(p- b)(p- c) = ç - 7÷ç - 8÷ç - 6÷= . . . = . 
 2 èç 2 ø÷èç 2 ø÷èç 2 ø÷ 2 2 2 2 4
 1 21 15 1 3 15
 Vì S = ah Þ = .7h Þ h = . 
 2 a 4 2 a a 2
100 9 16 4
b) Ta có sin2 A = 1- cos2 A = 1- = Þ sin A = (vì sin A > 0 ).
 25 25 5
 1 1 4
 Mà S = bc sin A = .7.5. = 14 . 
 2 2 5
 3
 Theo định lý cosin ta có a2 = b2 + c2 - 2bcos A = 72 + 52 - 2.7.5. = 32 Þ a = 4 2 . 
 5
 1 2S 28 7 2
 Từ S = a.ha Þ ha = = = . 
 2 a 4 2 2
 a a 4 2 5 2
 Theo định lí sin: = 2R Þ R = = = . 
 sin A 2sin A 4 2
 2.
 5
 S 14 14 7
 Ta có S = pr Þ r = = = = .
 p 5 + 7 + 4 2 12 + 4 2 6 + 2 2
Bài 5. Cho tam giác ABC , biết a = 3,b = 4,c = 6 . Tính góc lớn nhất và đường cao ứng với cạnh lớn nhất
 Lời giải
 Ta có: c = 6 là cạnh lớn nhất của tam giác, do đó C là góc lớn nhất.
 2 2 2 2 2 2
 a + b - c 3 + 4 - 6 11 µ 0
 Áp dụng định lí hàm số cosin, ta có cosC = = = - Þ C » 117 17' . 
 2ab 2.3.4 24
 Ta có hc là đường cao ứng với cạnh lớn nhất. Theo công thức Herong
 1 13
 S = p(p- a)(p- b)(p- c) với p = (3 + 4 + 6)= .
 2 2
 æ öæ öæ ö
 13ç13 ÷ç13 ÷ç13 ÷ 455
 Nên S = ç - 3÷ç - 4÷ç - 6÷= . 
 2 èç 2 ø÷èç 2 ø÷èç 2 ø÷ 6
 2S 455 455
 Ta có: h = = = .
 c c 2.6 12
Bài 6. Tính các góc A,B và ha ,R của tam giác ABC biết a = 6,b = 2,c = 3 + 1 . 
 Lời giải
 Theo định lí cosin, ta có
 2
 2 2 2 4 + 3 + 1 - 6
 b + c - a ( ) 1 µ 0
 cos A = = = Þ A = 60 .
 2bc 2.2( 3 + 1) 2
 2
 2 2 2 3 + 1 + 6- 4
 c + a - b ( ) 2 µ 0
 cos B = = = Þ B = 45 .
 2ca 2. 6 ( 3 + 1) 2
 2S ac sin B 2
 ha = = = c sin B = ( 3 + 1) .
 a a 2
 b b 2
 Áp dụng định lí sin: = 2R Þ R = = = 2 .
 2sin B 2sin B 2
Bài 7. Cho tam giác ABC biết a = 21,b = 17,c = 10 
 a) Tính diện tích S của tam giác ABC và chiều cao ha . 
 101 b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và trung tuyến ma . 
 Lời giải
 21+ 17 + 10
a) Ta có p = = 24 .
 2
 Theo công thức Hê-rông, ta có S = 24(24- 2)(24- 17)(24- 10) = 84 . 
 2S 2.84
 Do đó: h = = = 8 . 
 a a 21
 S 84
b) Ta có S = p.r Þ r = = = 3,5 
 p 24
 b2 + c2 a2 172 + 102 212 337
 Độ dài trung tuyến m 2 = - = - = = 84,25 
 a 2 4 2 4 4
 Suy ra ma = 84,25 » 9,18 .
 µ 0
Bài 8. Cho tam giác ABC có A = 60 ,b = 20,c = 25 
 a) Tính diện tích S và chiều cao ha .
 b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R và bán kính đường tròn nội tiếp r . 
 Lời giải
 1 1 1 3
a) Ta có S = bc.sin A = .20.35.sin 600 = .20.35. = 175 3 . 
 2 2 2 2
 Hơn nữa a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = 352 + 202 - 35.20 = 925 . 
 Vậy a = 925 » 30,41. 
 1 2S 350. 3
 Từ công thức S = aha Þ ha = = » 19,94 . 
 2 a 925
 a a 925
b) Từ công thức = 2R Þ R = = » 17,56 .
 sin A 3 3
 1 2S bc sin A
 Từ công thức S = p.r với p = (a + b + c) ta có r = = » 7,10 .
 2 a + b + c a + b + c
Bài 9. Cho tam giác ABC có AB = 8, AC = 9,BC = 10 . Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 7 . Tính độ dài 
đoạn thẳng AM .
 Lời giải
 a2 + c2 - b2 83
 Ta có cos B = = . 
 2ac 160
 Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABM , ta có 
 83 549
 AM2 = AB2 + BM2 - 2AB.BM.cos B = 82 + 72 - 2.8.7. = .
 160 10
 Vậy AM = 3 6,1 .
Bài 10. Cho tam giác ABC có BC = 12,CA = 13, trung tuyến Am = 8 . Tính S và cạnh AB . 
 Lời giải
 æ öæ öæ ö
 27 ç27 ÷ç27 ÷ç27 ÷ 9 55
 Theo công thức Hê-rông, ta có SAMC = ç - 13÷ç - 6÷ç - 8÷= . 
 2 èç 2 ø÷èç 2 ø÷èç 2 ø÷ 4
102 9 55
 Vì M là trung điểm BC nên S = 2S = . 
 ABC AMC 2
 b2 + c2 a2 a2
 Ta có AM2 = - Þ 2AM2 = b2 + c2 - .
 2 4 2
 a2
 Suy ra AB2 = c2 = 2AM2 - b2 + = 2.64- 169 + 72 = 31 .
 2
 Vậy c = 31 .
 µ 0 µ 0
Bài 11. Cho tam giác ABC có B = 60 ,C = 45 ,BC = a 
 6 - 2
 a) Tính độ dài hai cạnh AB, AC . b) Chứng minh cos750 = . 
 4
 Lời giải
 µ 0 0 0 0
a) Ta có A = 180 - (60 + 45 )= 75 . 
 b a c
 Đặt AC = b, AB = c . Theo định lí hàm số sin, ta có = = . 
 sin 600 sin750 sin 450
 a 3 a 2
 Suy ra b = ;c = . 
 2sin750 2sin750
 µ µ
b) Kẻ AH ^ BC do B,C đều là góc nhọn nên H thuộc đoạn BC, hay BC = HB+ HC .
 b 2 c
 Ta có HC = ; HB = . 
 2 2
 2 c a 6 + a 2
 Suy ra a = HC + HB = b + = .
 2 2 4sin750
 2
 + æ + ö 2 -
 0 6 2 0 2 0 ç 6 2 ÷ 1 1 6 2
 Do đó sin75 = và cos75 = 1- sin 75 = 1- ç ÷ = 8- 2 12 = ( 6 - 2) = .
 4 èç 4 ø÷ 4 4 4
Bài 12. Cho tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến bằng 15;18; 27 
 a) Tính diện tích của tam giác. b) Tính độ dài các cạnh của tam giác.
 Lời giải
 S AI
a) Gọi I là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC thì ABC = = 3 .
 SGBC GI
 Vậy SABC = 3SGBC . 
 1
 Lấy D la điểm đối xứng với G qua I ta được hình bình hành BGCD , do đó S = S = S . 
 GBC BGD 2 BGCD
 Vậy SABC = 3SBGD .
 Tam giác BGD có độ dài ba cạnh bằng 10, 12, 18 nên SBGD = 20.(20- 10)(20- 12)(20- 18) = 20.10.8.2 = 40 2 . 
 Vậy S = 120 2 . 
b) Giả sử ma = 15,mb = 19,mc = 27 . Ta có
 103 ïì a2
 ï 2 2 2
 ï b + c = 2ma +
 ï 2
 ï 2
 ï 2 2 2 b 2 2 2 4 2 2 2
 í c + a = 2mb + Û a + b + c = (ma + mb + mc )= 1704 .
 ï 2 3
 ï
 ï c2
 ï a2 + b2 = 2m 2 +
 ï c
 îï 2
 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2
 Mà b - a = (ma - mb )= - 132 , b - c = (mc - mb )= 54 .
 3 3
 Từ đó ta tính được b = 8 11; a = 2 209;c = 2 41 .
 · 0
Bài 13. Cho tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB và BC bằng 3, cạnh AB = 9 và ACB = 60 . Tính cạnh BC.
 Lời giải
 Đặt BC = x (x > 0). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC . Ta có MN = 3 Þ AC = 6 .
 1
 Theo định lí côsin ta có AB2 = CA2 + CB2 - 2.CA.CB.cosC hay 81 = 36 + x2 - 2.6.x. Û x = 3(1+ 6).
 2
 Vậy BC = 3(1+ 6).
 · 5 13
Bài 14. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Biết AB = 3, BC = 8, cos AMB = . Tính độ dài cạnh AC 
 26
và góc lớn nhất của tam giác ABC .
 Lời giải
 Ta có BC = 8 Þ BM = 4 . Đặt AM = x . A
 2 2 2
 · AM + BM - AB
 Theo định lí côsin ta có cos AMB = .
 2AM.AB
 5 13 x2 + 16- 9 7 13
 Suy ra = Û 13x2 - 20 13x + 91 = 0 Û x = 13 hoặc x =
 26 2.4.x 13
 B C
 2(AB2 + AC2 )- BC2 M
 Theo công thức tính đường trung tuyến ta có AM2 =
 2AB.AC
 2(32 + AC2 )- 82
 TH1: Nếu x = 13 Þ 13 = Þ AC = 7 . 
 4
 AB2 + AC2 - BC2 1
 Ta có BC > AC > AB Þ góc A lớn nhất. Theo định lí côsin ta có cos A = = - .
 2AB.AC 7
 Suy ra A » 98012'
 2 + 2 - 2
 7 13 49 2(3 AC ) 8 397
 TH2: Nếu x = Þ = Þ AC =
 13 13 4 13
 AB2 + AC2 - BC2 53
 Ta có BC > AC > AB Þ góc A lớn nhất. Theo định lí côsin ta có cos A = = - .
 2AB.AC 5161
 Suy ra A » 137032' .
104 VAÁN ÑEÀ 02 CHÖÙNG MINH HEÄ THÖÙC
 Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia, hai vế cùng bằng 
 một vế hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng. 
 Để chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản, bất đẳng thức cạnh trong tam giác và bất 
 đẳng thức cổ điển (Cauchy, bunhiacôpxki,)
Bài 15. Tam giác ABC có b + 2c = 2a . Chứng minh rằng
 2 1 1
 a) 2sin A = sin B+ sinC . b) = + . 
 ha hb hc
 Lời giải
 a b c a b + c 2a
a) Theo định lí sin ta có = = Þ = = Þ 2sin A = sin B+ sinC . 
 sin A sin B sinC sin A sin B+ sinC sin B+ sinC
 Cách khác: a = 2Rsin A,b = 2Rsin B,c = 2RsinC 
 Nên b + c = 2a Þ 2Rsin B+ 2RsinC = 2.2Rsin A Þ sin B+ sinC = 2sin A
 1 1 1 1 a 1 a 1 a
b) Ta có S = a.ha = b.hb = c.hc Þ = ; = ; = 
 2 2 2 ha 2S hb 2S hc 2S
 1 1 b c 1 1 2
 Do đó + = + = (b + c)= .2a = .
 hb hc 2S 2S 25 25 ha
Bài 16. Tam giác ABC có bc = a2 . Chứng minh rằng
 2 2
 a) sin A = sin B.sinC . b) hb.hc = ha . 
 Lời giải
a) Theo giả thiết, ta có a2 = bc 
 Thay a = 2Rsin A,b = 2Rsin B,c = 2RsinC vào hệ thức trên, ta được
 4R2 sin2 A = 2Rsin B.2RsinC Þ sin2 A = sin B.sinC .
 2 2
b) Ta có 2S = a.ha = b.hb = c.hc Þ a ha = b.c.hb.hc . 
 2 2
 Theo giả thiết a = bc nên ta suy ra ha = hb.hc .
 2 2 2 3 2 2 2
Bài 17. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có ma + mb + mc = (a + b + c ). 
 4
 Lời giải
 Áp dụng định lí trung tuyến trong tam giác, ta có
 b2 + c2 a2 c2 + a2 b2 a2 + b2 c2
 m 2 = - ; m 2 = - ; m 2 = -
 a 2 4 b 2 4 c 2 4
 2 2 2 3 2 2 2
 Từ đó suy ra ma + mb + mc = (a + b + c ).
 4
 1
Bài 18. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Chứng minh GA2 + GB2 + GC2 = (a2 + b2 + c2 ). 
 3
 Lời giải
 2 2 2
 Theo tính chất của trọng tâm, ta có GA = m ;GB = m ;GC = m nên
 3 a 3 b 3 c
 105 æ ö2 æ ö2 æ ö2
 2 2 2 ç2 ÷ ç2 ÷ ç2 ÷ 9 2 2 2
 GA + GB + GC = ç ma ÷ + ç mb ÷ + ç mc ÷ = (ma + mb + mc )
 èç3 ø÷ èç3 ø÷ èç3 ø÷ 4
 æ2 + 2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 ö
 4 çb c a a c b a b c ÷ 1 2 2 2
 = ç - + - + - ÷= (a + b + c ).
 9 èç 2 4 2 4 2 4 ø÷ 3
Bài 19. Chứng minh rằng tổng bình phương hai đường chéo của hình bình hành bằng tổng bình phương bốn cạnh của 
nó.
 Lời giải
 Xét hình bình hành ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AO là trung tuyến của tam giác ABD .
 AB2 + AD2 BD2 AC2 AB2 + AD2 BD2
 Ta có AO2 = - hay = - . 
 2 4 4 2 4
 Suy ra AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2 ).
Bài 20. Cho tứ giác ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm 2 đường chéo AC,BD . Chứng minh
 AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2 .
 Lời giải
 BD2 BD2
 Trong tam giác ABD,CBD ta có AB2 + AD2 = 2AN2 + và CB2 + CD2 = 2CN2 + . 
 2 2
 Nên AB2 + BC2 + CD2 = 2(AN2 + CN2 )+ BD2 . 
 AC2
 Vì M là trung điểm của AC nên: NA2 + NC2 = 2NM2 + 
 2
 æ 2 ö
 2 2 2 2 ç 2 AC ÷ 2 2 2 2
 Do đó AB + BC + CD + DA = 2ç2MN + ÷+ BD = AC + BD + 4MN . 
 èç 2 ø÷
Bài 21. Cho tam giác ABC , chứng minh
 b2 + c2 - a2 a2 + b2 + c2
 a) cot A = . b) cot A + cot B+ cotC = . 
 4S 4S
 Lời giải
 Áp dụng định lí sin; diện tích
 cos A b2 + c2 - a2 a b2 + c2 - a2 b2 + c2 - a2
a) Ta có cot A = = ; = R = . 
 sin A 2bc 2R abc 4S
 a2 + c2 - b2 a2 + b2 - c2
b) Tương tự cot B = ;cotC = nên
 4S 4S
 b2 + c2 - a2 a2 + c2 - b2 a2 + b2 - c2 b2 + c2 + a2
 cot A + cot B+ cotC = + + = .
 4S 4S 4S 4S
Bài 22. Chứng minh rằng trong một tam giác ABC , ta có 
 a) a = bcosC + c cos B . b) sin A = sin BcosC + sinC cos B . 
 Lời giải
 a2 + c2 - b2
a) Theo định lí cosin b2 = a2 + c2 - 2ac cos B . Suy ra c cos B = . 
 2a
106 a2 + b2 - c2
 và c2 = a2 + b2 - 2abcosC Þ bcosC = . 
 2a
 2a2
 Do đó bcosC + c cos B = = a . 
 2a
b) Ta có a = 2Rsin A,b = 2Rsin B,c = 2RsinC . 
 Thay vào biều thức a = bcosC + c cos B thì
 2Rsin A = 2Rsin BcosC + 2RsinC cos B Þ sin A = sin BcosC + sinC cos B .
Bài 23. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC , ta có
 a) b2 - c2 = a(bcosC - c Cos B). b) (b2 - c2 )cos A = a(c cosC - bcos B). 
 Lời giải
a) Ta có: b2 = a2 + c2 - 2ac cos B 
 c2 = a2 + b2 - 2abcosC 
 Þ b2 - c2 = c2 - b2 + 2a(bcosC - c cos B)
 Þ 2(b2 - c2 )= 2a(bcosC - c cos B) 
 Þ b2 - c2 = a(bcosC - c cos B).
 é 2 2 2 2 2 2 ù
 êc(a + b - c ) b(a + c - b )ú
 - = ê - ú
b) Ta có a(c cosC bcos B) a ê ú 
 ê 2ab 2ac ú
 ë û
 c(a2 + b2 - c2 ) b(a2 + c2 - b2 )
 = -
 2b 2c
 c2 (a2 + b2 - c2 )- b2 (a2 + c2 - b2 )
 =
 2bc
 (b2 - c2 )(b2 + c2 - a2 )
 = = (b2 - c2 )cos A.
 2bc
Bài 24. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC , ta có
 æ ö
 ç B C÷
 a) a = rçcot + cot ÷. b) ha = 2Rsin BsinC . 
 èç 2 2 ø÷
 Lời giải
a) Xét hai tam giác vuông IEB,IEC . Ta có 
 B BE B C CE C
 cot = Þ BE = r cot và cot = Þ CE = r cot .
 2 r 2 2 r 2
 æ ö æ ö
 ç B C÷ ç B C÷
 Do đó BE+ EC = rçcot + cot ÷ nên : a = rçcot + cot ÷. 
 èç 2 2 ø÷ èç 2 2 ø÷
 1 1
b) Ta có: S = ah = bc sin A .
 2 a 2
 1 1
 Suy ra .2Rsin A.h = .2Rsin B.2R.sinC.sin A Þ h = 2Rsin BsinC .
 2 a 2 a
Bài 25. Chứng minh với mọi tam giác ABC , ta có
 107 1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur 2
 a) S = 2R2 sin Asin BsinC . b) S = AB .AC - AB.AC . 
 2 ( )
 Lời giải
a) Dùng định lí diện tích, định lí sin, ta có
 abc 2Rsin A.2Rsin B.2RsinC
 S = = = 2R2 sin Asin BsinC .
 4R 4R
 uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur 2
b) Ta có AB.AC = AB.AC.cos A = bc.cos A nên AB .AC - (AB.AC) = b2c2 - b2c2 cos A 
 = b2c2 (1- cos2 A)= b2c2 sin2 A = 4S2 . 
 1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur 2
 Vậy S = AB .AC - AB.AC .
 2 ( )
Bài 26. Chứng minh rằng diện tích hình bình hành bằng tích hai cạnh liên tiếp với sin của góc xen giữa chúng.
 Lời giải
 1
 Ta có diện tích hai tam giác ABC, ADC bằng nhau nên S = 2S = 2. BA.BC.sin B = BA.BC.sin B .
 ABCD ABC 2
Bài 27. Cho tứ giác lồi ABCD , gọi a là góc hợp bởi hai đường chéo AC và BD . Chứng minh diện tích tứ giác 
 1
 S = AC.BD.sina . Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
 2
 Lời giải
 Giả sứ Ao là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Ta có
 S = SOAB + SOBC + SOCD + SODA 
 1 é 0 0 ù
 = êOA.OBsina + OB.OC.sin(180 - a)+ OC.ODsina + OD.OAsin(180 - a)ú
 2 ë û
 1
 = (OA.OB+ OB.OC + OC.OD + OD.OA)sina
 2
 1 1
 = (OA + OC)(OB+ OD)sina = AC.BD.sina.
 2 2
 1
 Nếu tứ giác có hai đường chéo vuông góc thì a = 900 nên S = AC.BD . 
 2
Bài 28. Cho tam giác ABC . Gọi ra là bán kính đường tròn bàng tiếp góc A . Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC 
tính được theo công thức S = (p- a)ra . 
 Lời giải
 Gọi Q,R,P là các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp (J,ra ) lần lượt với các đường thẳng BC,CA, AB thì
 1 c.r 1 b.r 1 a.r
 S = AB.JP = a ; S = AC.JR = a ; S = BC.JQ = a .
 JAB 2 2 JAC 2 2 JBC 2 2
 b + c - a a + b + c - 2a
 Ta có S = S + S + S = r = r . 
 JAB JAC JBC 2 a 2 a
 Vậy S = (p- a)ra .
108