Tự luận Hình học Lớp 10 - Chương 2.1: Tích vô hướng của hai vecto và ứng dụng (Có đáp án)

 CHÖÔNG II : TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ
 VAØ ÖÙNG DUÏNG
CHUÛ ÑEÀ 01. GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT GOÙC BAÁT KÌ TÖØ 00 ÑEÁN 1800
 0 0 ·
 Với mỗi góc a (0 £ a £ 180 ) , ta xác định được một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho a = xOM . 
 y
 Giả sử điểm M có tọa độ M(x0 ; y0 ).
 Khi đó sina = y;cosa = x B
 M
 y 0
 tana = (a ¹ 90 ) yM
 x
 x
 cota = (a ¹ 00 ). a
 y
 x
 A'(- 1;0) xM O A(1;0)
 VAÁN ÑEÀ 01 DAÁU CUÛA GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC
 Với 00 £ a £ 900 thì có 4 giá trị lượng giác sina , cosa , tana , cota đều dương.
 Với 900 £ a £ 1800 thì chỉ có sina dương còn lại cosa , tana , cota đều âm.
Bài 1. Với những giá trị nào của góc a (00 £ a £ 1800 )thì:
 a) sina và cosa cùng dấu? b) sina và cosa khác dấu?
 Lời giải
a) sina và cosa cùng dấu khi: 00 < a < 900 . 
b) sina và cosa khác dấu khi: 900 < a < 1800 .
Bài 2. Với những giá trị nào của góc a (00 £ a £ 1800 )thì:
 a) sina và tana cùng dấu? b) sina và tana khác dấu?
 Lời giải
a) sina và tana cùng dấu khi: 00 < a < 900 . 
b) sina và tana khác dấu khi: 900 < a < 1800 .
Bài 3. Với những giá trị nào của góc a (00 £ a £ 1800 )thì:
 a) tana và cota cùng dấu? b) cosa và cota khác dấu?
56 Lời giải
a) tana và cota cùng dấu khi: 00 < a < 900 hoặc 900 < a < 1800 .
b) Vì cosa và cota luôn cùng dấu nên không có góc a để cosa và cota khác dấu.
Bài 4. Với những giá trị nào của góc a (00 £ a £ 1800 )thì:
 sina
 a) sina.cosa có giá trị âm. b) có giá trị âm.
 tana
 tana
 c) có giá trị dương.
 cosa
 Lời giải
a) sina.cosa < 0 Û cosa < 0 Û 900 < a < 1800 . 
 sina sina.cosa
b) < 0 Û < 0 Û cosa < 0,sina ¹ 0 Û 900 < a < 1800 . 
 tana sina
 tana sina ïì sina > 0
c) > 0 Û > 0 Û íï Û 00 < a < 900 hay 900 < a < 1800 .
 cosa cos2 a îï cosa ¹ 0
Bài 5. Cho tam giác ABC . Xét dấu:
 A
 a) sin A.sin B.sinC . b) cos .cos B .
 2
 B C
 c) tan .cot .
 2 3
 Lời giải
a) Vì 00 0 . 
 Do đó sin A.sin B.sinC > 0 . 
 A A
b) Vì 00 0 , do đó:
 2 2
 A
 Nếu 00 0
 2
 A
 Nếu B = 900 thì cos .cos B = 0 .
 2
 A
 Nếu 900 < B < 1800 thì cos .cos B < 0 .
 2
 B C B C B C
c) Vì 00 0,cot > 0, do đó tan .cot > 0 . 
 2 2 2 3 2 3
 CHO BIEÁT MOÄT GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC
 VAÁN ÑEÀ 02
 TÌM CAÙC GIAÙ TRÒ CONG LAÏI
 Lựa chọn hệ thức cơ bản thích hợp để từ giả thiết đã cho, suy dần các giá trị lượng giác còn lại.
 Chú ý dấu của giá trị lượng giác, góc nhọn, góc bù.
 Dùng tính chất cùng bậc n (đẳng cấp) để chia sinn a , cosn a đưa về tana ,cota .
 3
Bài 6. Cho cosa = - . Hãy tính sina ,tana ,cota . 
 5
 57 Lời giải
 9 16 4
 Ta có: sin2 a = 1- cos2 a = 1- = Þ sina = (vì sina > 0 )
 25 25 5
 æ ö
 sina 4 ç 3÷ - 4 3
 tana = = :ç- ÷= . Do đó cota = - .
 cosa 5 èç 5ø÷ 3 4
 6 - 2
Bài 7. Biết rằng sin150 = . Tính các tỉ số lượng giác của góc 150 . Chứng minh 2sin150.cos150 = sin300 . 
 4
 Lời giải
 2
 2
 æ - ö + ( 3 + 1)
 2 0 2 0 ç 6 2 ÷ 8 4 3
 Ta có cos 15 = 1- sin 15 = 1- ç ÷ = = . 
 èç 4 ø÷ 16 8
 2
 ( 3 + 1) 3 + 1 ( 3 + 1) 2 6 + 2
 Từ đó cos150 = = = = ;
 8 2 2 4 4
 2
 sin150 6 - 2 ( 6 - 2)
 tan150 = = = = 2- 3 ;
 cos150 6 + 2 4
 1
 cot150 = = 2 + 3 .
 2- 3
 6 + 2 6 - 2 1 1
 Ta có 2sin150.cos150 = 2. . = (6- 2)= = sin 300 .
 4 4 8 2
Bài 8. Cho tana = - 2 . Tính cosa và sina .
 Lời giải
 Vì tana = - 2 < 0 nên 900 < a < 1800 , suy ra cosa < 0 .
 1 1 1 1
 Ta có 1+ tan2 a = Þ cos2 a = = = . 
 cos2 a 1+ tan2 a 1+ 4 5
 a æ ö
 1 sin ç 1 ÷ 2 2 5
 Vậy cosa = - và tana = suy ra sina = cosa.tana = ç- ÷.(- 2)= = .
 5 cosa èç 5 ø÷ 5 5
 1
Bài 9. Cho cos x = , tính P = 3sin2 x + 4cos2 x . 
 2
 Lời giải
 1 13
 Ta có P = 3sin2 x + 4cos2 x = 3(1- cos2 x)+ 4cos2 x = 3 + cos2 x = 3 + = .
 4 4
 6 + 2
Bài 10. Cho cos x = , tính P = 3sin x + cos x . 
 4
 Lời giải
 2
 2
 æ + ö + - ( 6 - 2)
 2 2 ç 6 2 ÷ 2 3 2 3
 Ta có sin x = 1- cos x = 1- ç ÷ = 1- = = . 
 èç 4 ø÷ 4 4 42
58 6 - 2
 Chọn sin x = do 00 £ x £ 1800 .
 4
 3 4 7 6 + 2
 Vậy P = 3sin x + cos x = ( 6 - 2)+ ( 6 + 2)= . 
 4 4 4
Bài 11. Cho tana = 2 , tính giá trị của biểu thức:
 3sina - cosa 2sin2 a + 1
 a) A = . b) B = . 
 sina + cosa 3sin2 a + 2cos2 a
 Lời giải
 3sina - cosa 3tana - 1 3 2 - 1 (3 2 - 1)( 2 - 1)
a) Chia tử và mẫu cho cosa , ta được A = = = = = 7 - 4 2 .
 sina + cosa tana + 1 2 + 1 2- 1
 2 2
 2 a + + a 2
 2sin a + 1 2 tan (1 tan ) 3tan a + 1 7
b) Chia tử và mẫu cho cos2 a , ta được B = = = = .
 3sin2 a + 2cos2 a 3tan2 a + 2 3tan2 a + 2 8
 2 cota - tana
Bài 12. Biết sina = . Tính giá trị của biểu thức P = . 
 5 cota + tana
 Lời giải
 cosa sina
 - 2 2 æ ö2
 cota - tana a a cos a - sin a 2 2 2 2 17
 Ta có P = = sin cos = = cos a - sin a = 1- 2sin a = 1- 2ç ÷ = .
 a + a cosa sina 2 2 èç ø÷
 cot tan + cos a + sin a 5 25
 sina cosa
 VAÁN ÑEÀ 03 GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC
 Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác và bảng giá trị đặc biệt.
 Phối hợp các hệ thức cơ bản và các hằng đẳng thức.
 Công thức hai góc phụ nhau, bù nhau.
Bài 13. Tìm góc a ,00 £ a £ 1800 trong mỗi trường hợp:
 1
 a) sina = . b) cosa = 0 .
 2
 c) tana = - 3 .
 Lời giải
 1
a) sina = khi a = 300 hay a = 1500 . 
 2
b) cosa = 0 khi a = 900 .
c) tana = - 3 khi a = - 1500 .
Bài 14. Với góc nào, 00 £ a £ 1800 thì biểu thức sau xác định:
 2
 a) . b) 1+ cosa .
 1- sina
 1
 c) .
 sina + cosa
 Lời giải
 59 2
a) Ta có xác định khi sina ¹ 1 Û a ¹ 900 . 
 1- sina
b) Vì cosa ³ - 1," x nên 1+ cosa luôn xác định.
 1
c) Ta có xác định thì sina + cosa ¹ 0 Û sina ¹ cosa Û tana ¹ - 1 Û a ¹ 1350 .
 sina + cosa
Bài 15. Cho góc a = 1350 . Hãy tính sina ,cosa ,tana và cota .
 Lời giải
 2
 Ta có sin1350 = sin(1800 - 1350 )= sin450 = ; 
 2
 2
 cos1350 = - cos(1800 - 1350 )= - cos 450 = - ; 
 2
 sin1350
 tan1350 = = - 1.
 cos1350
 1
 và cot1350 = = - 1 
 tan1350
Bài 16. Tính giá trị lượng giác của các góc sau đây:
 a) 1200 . b) 1500 .
 c) 1800 .
 Lời giải
 Sử dụng 2 góc bù nhau: 1200 và 600 ,1500 và 300 ta có
 3 1 1
a) sin1200 = ;cos1200 = - ; tan1200 = - 3;cot1200 = - 
 2 2 3
 1 3 3
b) sin1500 = ;cos1500 = - ; tan1500 = - ;cot1500 = - 3 
 2 2 3
 0 · 0 0 0 0
c) Điểm cuối M của góc 180 = xOM có tọa độ M(- 1;0) nên sin180 = 0 , cos180 = - 1; tan180 = 0.cot180 
 không xác định.
Bài 17. Tính theo hàm số lượng giác của các góc bé hơn 900 : sin1000 ,sin1600 ,cos1700 ,tan103045',cot124015' . 
 Lời giải
 sin1000 = sin(1800 - 1000 )= sin 800 ;
 sin1600 = sin(1800 - 1600 )= sin 200 ;
 tan103045' = - tan(1800 - 103045')= tan76015';
 cot124015' = - cot(1800 - 124015')= - cot 55045'.
Bài 18. Tìm giá trị của biểu thức:
 a) A = 2sin 300 + 3cos 450 - sin 600 . b) B = 3cos 300 + 3sin 450 - cos600 . 
 Lời giải
 1 2 3 3 2 - 3
a) Ta có A = 2. + 3. - = 1+ .
 2 2 2 2
60 3 2 1 2 3 + 3 2 - 1
b) Ta có B = 2. + 3. - = . 
 2 2 2 2
Bài 19. Tính giá trị của biểu thức:
 a) asin 00 + bcos00 + c sin 900 . b) acos900 + bsin 900 + c sin1800 . 
 c) a2 sin 900 + b2 cos900 + c2 cos1800 . 
 Lời giải
a) Ta có asin 00 + bcos00 + c sin 900 = b + c . 
b) Ta có acos900 + bsin 900 + c sin1800 = b . 
c) Ta có a2 sin 900 + b2 cos900 + c2 cos1800 = a2 - c2 .
Bài 20 Tính giá trị của biểu thức:
 a) sin x + cos x khi x bằng 00 ,1350 ,1200 . b) 2sin x + cos 2x khi x bằng 600 ,450 ,300 .
 c) sin2 x + cos2 x khi x bằng 300 ,750 ,900 ,1450 ,1800 . 
 Lời giải
a) Khi x = 00 thì sin x + cos x = 1. 
 2 2
 Khi x = 1350 thì sin x + cos x = - = 0 . 
 2 2
 3 - 1
 Khi x = 1200 thì sin x + cos x = . 
 2
 3 1 1
b) Khi x = 600 thì 2sin x + cos 2x = 2sin 600 + cos1200 = 2. - = 3 - .
 2 2 2
 2
 Khi x = 450 thì 2sin x + cos 2x = 2sin 450 + cos900 = 2 + 0 = 2 . 
 2
 1 1 3
 Khi x = 300 thì 2sin x + cos 2x = 2sin 300 + cos600 = 2. + = . 
 2 2 2
c) Ta có sin2 x + cos2 x = 1 với mọi giá trị của x .
 3
Bài 21. Tính giá trị của biểu thức T = 1- sin x. 1+ sin x - 1- 2sin xcos x khi tan x = 3,tan x = - . 
 4
 Lời giải
 Ta có T = 1- sin x. 1+ sin x - 1- 2sin xcos x
 = 1- sin2 x - sin2 x + cos2 x- 2sin xcos x = cos x - sin x- cos x . 
 3 1 1 3 - 1 2- 3
 Khi tan x = 3 thì x = 600 Þ sin x = và cos x = . Vậy T = - = . 
 2 2 2 2 2
 3 3 9 25 16
 Khi tan x = - thì sin x = - .cos x > 0 với cos x < 0 nên sin2 x = .cos2 x Þ .cos2 x = 1 Þ cos2 x = chọn 
 4 4 16 16 25
 4 3 4 7 2
 cos x = - và sin x = . Vậy T = - = - .
 5 5 5 5 5
Bài 22. Tính giá trị của biểu thức:
 a) cos2 120 + cos2 780 + cos2 10 + cos2 890 . b) sin2 30 + sin2 150 + sin2 750 + sin2 870 . 
 61 Lời giải
 Sử dụng hai góc phụ nhau thì ta có
a) cos2 120 + cos2 780 + cos2 10 + cos2 890 = sin2 780 + cos2 780 + sin2 890 + cos2 890 = 1+ 1 = 2 . 
b) sin2 30 + sin2 150 + sin2 750 + sin2 870 = cos2 870 + cos2 750 + sin2 750 + sin2 870 = 1+ 1 = 2 . 
Bài 23. Tính giá trị của biểu thức:
 a) A = cos00 + cos100 + cos 200 + ...+ cos1800 . b) B = sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + ...+ sin2 900 . 
 c) C = tan10 .tan 30.tan 50...tan 890 . 
 Lời giải
a) Sử dụng hai góc bù nhau để ghép cặp
 Ta có A = (cos00 + cos1800 )+ (cos100 + cos1700 )+ ...(cos800 + cos1000 )+ cos900 = 0 . 
b) Sử dụng 2 góc phụ nhau để ghép cặp:
 Ta có B = (sin2 10 + sin2 890 )+ (sin2 20 + sin2 880 )+ ...+ (sin2 440 + sin2 460 )+ sin2 450 + sin2 900 
 1
 = (sin2 10 + cos2 10 )+ (sin2 20 + cos2 20 )+ ...+ (sin2 440 + cos2 440 )+ + 1
 2
 3 91
 = 44 + = .
 2 2
c) Sử dụng 2 góc phụ nhau để ghép cặp:
 Ta có C = (tan10 .tan 890 ).(tan 30.tan 870 )...(tan 430.tan 470 ).tan 450 
 = (tan10 .cos10 ).(tan 30.cos 30 )...(tan 430.cos 430 ).1 = 1 .
Bài 24.
 1 2
 a) Tìm cos x khi sin x = . b) Tìm cos x và sin x khi sin x- cos x = . 
 3 3
 Lời giải
 2 2
a) Ta có cos x = ± 1- sin2 x = . 
 3
 ïì 2
 ï sin x- cos x = 2 4 6
b) Giải hệ íï 3 . Ta có sin x = cos x + thế vào thì được 2cos2 x + cos x- = 0 . 
 ï
 ï 2 2 3 3 9
 îï sin x + cos x = 1
 14 - 2 14 + 2
 Chọn cos x = thì sin x = .
 6 6
Bài 25. Biết sin x + cos x = m 
 a) Tìm sin x.cos x . b) Tìm sin4 x + cos4 x . 
 c) Chứng minh rằng - 2 £ m £ 2 . 
 Lời giải
a) Bình phương hai vế thì có sin2 x + cos2 x + 2sin x.cos x = m2 . 
 m2 - 1
 Nên 1+ 2sin x.cos x = m2 . Vậy sin x.cos x = . 
 2
 2 2
b) Ta có sin4 x + cos4 x = (sin2 x) + (cos2 x) 
62 2
 2
 - 2 4
 2 (m 1) 1+ 2m - m
 = (sin2 x + cos2 x) - 2sin2 x.cos2 x = 1- = . 
 2 2
 2
c) Từ giả thiết suy ra sin x = m- cos x . Mà sin2 x + cos2 x = 1 nên (m- cos x) + cos2 x = 1 .
 Từ đó dẫn đến cos x là nghiệm của phương trình 2t2 - 2mt + m2 - 1 = 0 nên D ' ³ 0 . 
 Suy ra m2 £ 2 hay - 2 £ m £ 2 .
Bài 26. Biết tan a + cot a = k 
 a) Tìm tan2 a + cot2 a . b) Tìm tan6 a + cot6 a . 
 c) Chứng minh k ³ 2 . 
 Lời giải
 2
a) Ta có tan2 a + cot2 a = (tan a + cot a) - 2 tan acot a = k2 - 2 . 
 3
b) Ta có tan6 a + cot6 a = (tan2 a + cot2 a) - 3tan2 a.cot2 a(tan2 a + cot2 a) 
 3
 = (k2 - 2) - 3(k2 - 2)= (k2 - 2)(k4 - 4k2 + 1). 
c) Cách 1: Do tan a và cot a cùng dấu nên: tan a + cot a = tan a + cot a mà tan a + cot a ³ 2 tan a . cot a = 2 .
 Suy ra tan a + cot a ³ 2 hay k ³ 2 . 
 1
 Cách 2: Thay cot a = dẫn đến tan2 a- k tan a + 1 = 0 .
 tan a
 Vậy tan a là nghiệm của phương trình x2 - kx + 1 = 0 nên D = k2 - 4 ³ 0 hay k ³ 2 . 
Bài 27. Giải các phương trình sau, trong đó x là ẩn, còn a là một góc cho trước:
 a) x2 - (sin a + cos a)x + sin a.cos a = 0 . b) x2 - (tan a + cot a)x + 1 = 0 . 
 Lời giải
 Ta lập D hoặc biến đổi thành tích số để giải:
 2
a) Ta có x - (sin a + cos a)x + sin a.cos a = 0 Û (x- sin a)(x- cos a)= 0 nên x1 = sin a,x2 = cos a . 
 2
b) Ta có x - (tan a + cot a)x + 1 = 0 Û (x- tan a)(x- cot a)= 0 nên x1 = tan a,x2 = cot a .
Bài 28. 
 a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = cos4 x- cos2 x + sin2 x . 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: Q = sin4 x- sin2 x + cos2 x . 
 Lời giải
a) Ta có P = cos4 x- cos2 x + sin2 x = cos4 x- cos2 x + (1- cos2 x)
 2
 = cos4 x- 2cos2 x + 1 = (cos2 x- 1) = sin4 x . 
 Vậy P có giá trị lớn nhất là 1 khi sin x = 1 , tức x = 900 . 
 2
b) Ta có Q = sin4 x- sin2 x + cos2 x = sin4 x- 2sin2 x + 1 = (sin2 x- 1) = cos4 x .
 Vậy Q có giá trị nhỏ nhất là 0 khi cos x = 0 , tức x = 900 ;
 63 Q có giá trị lớn nhất là 1 khi cos x = 1 , tức x = 00 hoặc x = 1800 ;
 VAÁN ÑEÀ 04 HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC
 Sử dụng các hệ thức cơ bản và các hằng đẳng thức:
 2 2
 (a ± b) = a2 ± 2ab + b2 ; a2 + b2 = (a + b) - 2ab
 3 2
 (a ± b) = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 ; a4 + b4 = (a2 + b2 ) - 2a2b2
 Sử dụng các công thức hai góc bù nhau, phụ nhau và hơn kém 900 . 
 Chú ý: Nếu cần thì đặt ẩn phụ, biết đáp số của biểu thức không thuộc x bằng cách cho x một giá trị đặc biệt và thay thế 
 n
 1 = (sin2 x + cos2 x) ,n nguyên dương.
Bài 29. Đơn giản các biểu thức:
 a) A = cos x + sin x.tan x . b) B = 1+ cos x. 1- cos x . 
 Lời giải
 sin x cos2 x + sin2 x 1
a) Ta có A = cos x + sin x.tan x = cos x + sin x. = = .
 cos x cos x cos x
b) Ta có B = 1+ cos x. 1- cos x = 1- cos2 x = sin2 x = sin x = sin x .
Bài 30. Đơn giản các biểu thức:
 a) A = sin x. 1+ tan2 x . 
 1 sin x cos x- sin x
 b) B = - - . 
 2(1- sin xcos x) sin3 x + cos3 x (sin x + cos x)(1- sin xcos x)
 Lời giải
 1 sin x sin x
a) Ta có A = sin x. 1+ tan2 x = sin x = = = tan x .
 cos2 x cos x cos x
 1 sin x cos x- sin x
b) Ta có B = - -
 2(1- sin xcos x) sin3 x + cos3 x (sin x + cos x)(1- sin xcos x)
 sin x + cos x- 2(cos x- sin x)- 2sin x sin x- cos x
 = = .
 2(sin3 x + cos3 x) 2(sin3 x + cos3 x)
Bài 31. Đơn giản các biểu thức:
 a) A = sin(900 - x).cos(1800 - x). b) B = cos(900 - x).sin(1800 - x). 
 Lời giải
a) Ta có A = sin(900 - x).cos(1800 - x)= cos x(- cos x)= - cos2 x .
b) Ta có B = cos(900 - x).sin(1800 - x)= sin x.sin x = sin2 x .
Bài 32. Chứng minh các hệ thức cơ bản
64 1
 a) sin2 x + cos2 x = 1 . b) 1+ tan2 x = (x ¹ 900 ). 
 cos2 x
 1
 c) 1+ cot2 x = (00 < x < 1800 ). 
 sin2 x
 Lời giải
a) Nếu x là góc nhọn thì theo định lý Pitago, ta có sin2 x + cos2 x = R2 = 1 . 
 Nếu x = 00 hoặc x = 900 thì theo định nghĩa sin2 00 + cos2 00 = 0 + 1 = 1 hoặc sin2 900 + cos2 900 = 1+ 0 = 1 .
 2
 Nếu 900 < x £ 1800 thì đặt t = 1800 - x , ta có sin2 x + cos2 x = sin2 t + (- cos2 t) = sin2 t + cos2 t = 1.
 sin2 x cos2 x + sin2 x 1
b) Ta có 1+ tan2 x = 1+ = = .
 cos2 x cos2 x cos2 x
 cos2 x cos2 x + sin2 x 1
c) Ta có 1+ cot2 x = 1+ = = .
 sin2 x sin2 x sin2 x
Bài 33. Chứng minh công thức hơn kém 900 
 a) sin(x + 900 )= cos x . b) cos(x + 900 )= - sin x . 
 c) tan(x + 900 )= - cot x . d) cot(x + 900 )= - tan x . 
 Lời giải
a) Ta có sin(x + 900 )= sin(1800 - (x + 900 ))= sin(900 - x)= cos x .
b) Ta có cos(x + 900 )= - cos(1800 - (x + 900 ))= - cos(900 - x)= - sin x .
 cos x
c) Ta có tan(x + 900 )= = - cot x .
 - sin x
 - sin x
d) Ta có cot(x + 900 )= = - tan x .
 cos x
Bài 34. Chứng minh:
 2 2
 a) (sin x + cos x) = 1+ 2sin x.cos x . b) (sin x- cos x) = 1- 2sin x.cos x . 
 c) sin4 x + cos4 x = 1- 2sin2 x.cos2 x . 
 Lời giải
 2
a) Ta có (sin x + cos x) = sin2 x + cos2 x + 2sin xcos x = 1+ 2sin x.cos x . 
 2
b) Ta có (sin x- cos x) = sin2 x + cos2 x- 2sin xcos x = 1- 2sin x.cos x . 
 2 2
c) Ta có sin4 x + cos4 x = (sin2 x) + (cos2 x) + 2sin2 x.cos2 x- 2sin2 x.cos2 x 
 2
 = (sin2 x + cos2 x) - 2sin2 x.cos2 x = 1- 2sin2 x.cos2 x .
Bài 35. Chứng minh:
 a) sin x.cos x(1+ tan x)(1+ cot x)= 1+ 2sin x.cos x . b) 1- (sin6 x + cos6 x)= 3sin2 x.cos2 x . 
 Lời giải
a) Ta có sin x.cos x(1+ tan x)(1+ cot x)= cos x(1+ tan x).sin x(1+ cot x) 
 65