Tự luận Hình học Lớp 10 - Chương 1.2: Vectơ (Có đáp án)

 CHUÛ ÑEÀ 03. TRUÏC TOÏA ÑOÄ VAØ HEÄ TRUÏC TOÏA ÑOÄ
 r
 Trục tọa là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị i .
 r
 Kí hiệu trục x'Ox hay (0,i) 
 r r r
 - Tọa độ vectơ u(a) trên trục : u = a.i 
 uuuur r
 - Tọa độ điểm M(x) trên trục: OM = x.i 
 uuur uuur r
 - Độ dài đại số của vectơ AB trên trục Ox là tọa độ của vectơ đó: AB = AB.i 
 uuur uuur uuur
 - Hệ thức Sa-lơ: Với A,B,C thuộc trục Ox thì: AB+ BC = AC Û AB+ BC = AC 
 r r r r
 - Hệ trục Oxy hay (0,i, j) với hai vectơ đơn vị i trên Ox và j trên Oy 
 r r r
 - Tọa độ vectơ a trên Oxy : a = (x; y) hay a(x; y) 
 r r r
 a = x.i + y.j
 r
 i = (1;0)
 r
 j = (0;1)
 r r ïì x = x'
 - Hai vectơ bằng nhau: a(x; y)= b(x'; y')Û íï 
 îï y = y'
 r r
 - Phép toán vectơ: Cho a = (x; y), b = (x'; y') 
 r r r r r
 a + b = (x + x'; y + y') ; a- b = (x- x'; y - y'); ka = (kx; ky) với k Î ¡ . 
 r r r
 b cùng phương với a ¹ 0 khi có số k Î Â : x' = kx, y' = ky 
 uuuur r r
 - Tọa độ điểm M : M(x; y) hay M = (x; y): OM = x.i + y.j 
 uuuur
 - Tọa độ của vectơ MN = (xN - xM ; yN - yM ) 
 x + x y + y
 - Tọa độ trung điểm I của đoạn AB : x = A B ; y = A B 
 I 2 I 2
 x + x + x y + y + y
 - Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là x = A B C ; y = A B C 
 G 3 G 3
 VAÁN ÑEÀ 01 TRUÏC TOÏA ÑOÄ
 r uuuur r
 Trên trục (O,i) điểm M(x) khi OM = x.i 
 r r r r
 Trên trục (O,i) vectơ u(x) khi u = x.i 
 uuur
 Độ dài đại số của vectơ AB trên trục là tọa độ của vectơ đó AB = xB - xA 
 Hai điểm trên một trục trùng nhau khi chúng có cùng tọa độ
 x + x
 Tọa độ trung điểm I của đoạn AB : x = A B 
 I 2
 Chú ý để tính gọn, ta có thể chọn gốc tọa độ mới cho bài toán
42 uur uur
Bài 1. Trên trục x'Ox cho hai điểm A,B có tọa độ lần lượt là a và b . Tìm tọa độ điểm I biết IB = 2IA .
 Lời giải
 uur uur
 Gọi tọa độ của I là x thì tọa độ IB là b- x và IA là a- x 
 uur uur
 Ta có IB = 2IA nên b- x = 2(a- x) . Vậy x = 2a- b .
Bài 2. Trên trục x'Ox cho hai điểm A,B có tọa độ lần lượt là a và b .
 uuur uuur
 a) Tìm tọa độ x của điểm M sao cho MA = kMB ,k ¹ 1 .
 b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB .
 uuur uuur
 c) Tìm tọa độ x của điểm M sao cho 2MA = - 5MB .
 Lời giải
 uuur uuur
a) Gọi x là tọa độ điểm M ta có: MA = kMB Û a- x = k(b- x) 
 a- kb
 Û (k - 1)x = kb- a Þ x = (vì k ¹ 1 )
 1- k
 a + b a + b
b) I là trung điểm AB, nên trong công thức trên thì k = - 1 nên x = = 
 1 1+ 1 2
 uuur uuur 5b + 2a
c) 2MA = - 5MB Û 2(a- x)= - 5(b- x) Û 7x = 5b + 2a Û x = .
 7
 r uuur uuur uuur uuur
Bài 3. Cho các điểm A,B,C trên trục (O,i) có tọa độ lần lượt là 5;- 3;- 4 . Tính độ dài đại số của AB,BA, AC,BC . 
 Lời giải
 uuur uuur
 AB = xB - xA = - 8; BA = xA - xB = 8
 uuur uuur 
 AC = xC - xA = - 9; BC = xC - xB = - 1
 uur uur uur r
Bài 4. Trên trục x'Ox cho ba điểm A,B,C có tọa độ lần lượt là a,b,c . Tìm tọa độ điểm I sao cho IA + IB+ IC = 0 . 
 Lời giải
 uur uur uur r 1
 Gọi tọa độ của I là x, ta có: IA + IB+ IC = 0 Û a- x + b- c + x = 0 Û x = (a + b + c) .
 3
Bài 5. Trên trục tọa độ x'Ox cho ba điểm A,B,C có tọa độ lần lượt là - 5; 2; 4 . Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn một 
trong các điều kiện sau
 uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r
 a) MA + MB+ MC = 0 . b) 2MA + 4MB+ 3MC = 0 .
 Lời giải
 uuur uuur uuur r æ ö
 1 ç1÷
a) MA + MB+ MC = 0 Û - 5- x + 2- x + 4 = 0 Û x = . Vậy Mç ÷ 
 3 èç3ø÷
 uuur uuur uuur r æ ö
 10 ç10÷
b) 2MA + 4MB+ 3MC = 0 Û 2(- 5- x)+ 4(2- x)+ 4(4- x)= 0 Û x = . Vậy Mç ÷ 
 9 èç 9 ø÷
 43 Bài 6. Trên trục tọa độ x'Ox cho ba điểm A,B,C có tọa độ lần lượt là 8,- 2,5 
 a) Tính tọa độ của điểm C đối xứng với điểm M qua điểm B .
 uuur
 MA
 b) Tính tỉ số uuur . 
 MB
 Lời giải
 x + x
a) Vì B là trung điểm của đoạn CM nên x = C M Þ x = 2x - x = - 4- 5 = - 9 
 B 2 C B M
 uuur
 uuur uuur uuur uuur MA 3
b) Ta có MA = 8- 5 = 3 Þ MA = 3 MB = (- 2)- 5 = - 7 Þ MB = 7 . Vậy uuur = .
 MB 7
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 7. Trên trục tọa độ x'Ox cho bốn điểm A,B,C,D tùy ý. Chứng minh AB.CD + AC.DB+ AD.BC = 0 . 
 Lời giải
 Gọi a,b,c,d lần lượt là tọa độ các điểm A,B,C và D 
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 Ta có: AB.CD + AC.DB+ AD.BC
 = (b- a)(d- c)+ (c - a)(b- d)+ (d- a)(c - b)
 = (bd- bc - ad- ac)+ (bc - cd- ab + ad)+ (dc - bd- ac + ab)
 = 0
Bài 8. Trên trục tọa độ x'Ox cho bốn điểm A,B,C,D . Gọi I, J,K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng 
 AC,BD, AB,CD . Chứng minh rằng
 uuur uuur uuur uur ur
 a) AB+ CD = AD + CB = 2IJ . 
 uuur uuur uuur uuur uur
 b) AC + BD = AD + BC = 2KL . 
 c) Hai đoạn IJ và KL có chung trung điểm.
 Lời giải
 Gọi tọa độ các điểm A,B,C,D lần lượt là a,b,c,d và tọa độ của I, J,K, L lần lượt là i, j,k,l ta có:
 a + c b + d a + b c + d
 i = ; j = ; k = ;l =
 2 2 2 2
 uuur uuur uuur uur ur æ ö
 çb + d a + c÷
a) AB+ CD = AD + CB = 2IJ Û (b- a)+ (d- c)= (d- a)+ (b- c)= 2ç - ÷: đúng
 èç 2 2 ø÷
 uuur uuur uuur uuur uur æ ö
 çc + d a + b÷
b) AC + BD = AD + BC = 2KL Û (c - a)+ (d- b)= (d- a)+ (c - b)= 2ç - ÷: đúng
 èç 2 2 ø÷
 æ ö æ ö
 1 çb + d a + c÷ 1 ça + b c + d÷
c) Trung điểm của IJ có tọa độ ç + ÷ và của KL có tọa độ ç + ÷
 2 èç 2 2 ø÷ 2 èç 2 2 ø÷
 1
 Vậy hai trung điểm có cùng tọa độ bằng (a + b + c + d) nên chúng trùng nhau
 4
 uuur uuur
 CA DA
Bài 9. Bốn điểm phân biệt A,B,C,D trên trục x'Ox được gọi là một hàng điểm điều hòa khi: uur = - , kí hiệu 
 CB DB
 2 1 1
 (ABCD)= - 1 . Chứng minh (ABCD)= - 1 Û = + . 
 AB AC AD
 Lời giải
44 Gọi a,b,c,d lần lượt là tọa độ A,B,C,D 
 uuur uuur
 CA DA
 Ta có: (ABCD)= - 1 Û uur = - Û (c - a)(b- d)= - (b- c)(a- d) 
 CB DB
 Û ac + bd + bc + bd = 2ab + 2cd Û (a + b)(c + d)= 2(ab + cd) 
 2 1 1 2 1 1
 và = + Û = +
 AB AC AD b- a c - a d- a
 Û 2(c - a)(d- a)= (b- a)(d- a + c - a) 
 Û (a + b)(c + d)= 2(ab + cd) . Từ đó suy ra đpcm
 Đặc biệt nếu chọn A làm gốc mới thì a = 0 nên có lời giải ngắn gọn hơn (ABCD)= - 1 Û b(c + d)= 2cd . 
 2 1 1
 và = + Û 2cd = b(c + d): đúng
 AB AC AD
Bài 10. Cho a,b,c,d theo thứ tự là tọa độ của các điểm A,B,C,D trên trục Ox .
 a) Chứng minh rằng khi a + b ¹ c + d thì luôn tìm được điểm M sao cho: MA.MB = MC.MD . 
 b) Khi AB và CD có cùng trung điểm thì điểm M ở câu a) có xác định không ?
 Áp dụng: Xác định tọa độ điểm M nếu biết: a = - 2,b = 15,c = 3,d = - 1 . 
 Lời giải
a) MA.MB = MC.MD
 Û (OA- OM)(OB- OM)= (OC - OM)(OD- OM)
 Û OM(OD + OC - OA- OB)= OC.OD- OA.OB 
 Û OM(d + c - a- b)= cd- ab
 cd- ab
 Do a + b ¹ c + d nên OM = 
 d + c - a- b
 OA + OB OC + OD
b) Giả sử AB và CD có cùng trung điểm I . Khi đó: OI = = hay a + b = c + d 
 2 2
 Khi đó OM.0 = cd- ab . Giả sử ab = cd và a + b = c + d thì dễ dàng suy ra bốn điểm A,B,C,D không phân biệt: 
 vô lý, do đó ab ¹ cd . Vậy suy ra điểm M không xác định.
 Áp dụng: với a = - 2,b = 15,c = 3,d = - 1 , ta thấy a + b ¹ c + d 
 cd- ab 3(- 1)- (- 2).15 27
 Theo câu a) điểm M được xác định và ta có: OM = = = - 
 d + c - a- b - 1+ 3 + 2- 15 11
 27
 Suy ra điểm M có tọa độ là - .
 11
 VAÁN ÑEÀ 02 TOÏA ÑOÄ VECTÔ
 r r r r
 - Tọa độ u(x; y): u = x.i + y.j 
 - Sử dụng các công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số điều kiện cùng phương
 r r r
 - Biểu diễn một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương là giải hệ phương trình để tìm 2 hệ số k,m : c = ka + mb 
 45 Bài 11. Viết tọa độ các vectơ sau
 r r r r 1 r r
 a = 2i - 3j . b = i + 5j .
 3
 r r r r
 c = 3i . d = - 2j . 
 Lời giải
 r r r r
 Theo định nghĩa u = xi + yj Û a = (x; y) thì:
 r r æ ö r r
 ç1 ÷
 a = (2;- 3),b = ç ; 5÷,c = (3;0),d = (0;- 2).
 èç3 ø÷
 r r r r r
Bài 12. Viết vectơ u dưới dạng u = xi + yj khi biết tọa độ của u là: (2;- 3),(- 1;8),(2;0),(0;- 1),(0;0),(p;- sin100 ) . 
 Lời giải
 r r r r
 u = (2;- 3)Þ u = 2i - 3j
 r r r
 u = (0;- 1)Þ u = - j
 r r r r
 u = (- 1;8)Þ u = - i + 8j
 r r r r r
 u = (0;0)Þ u = 0i - 0j = 0
 r r r
 u = (2;0)Þ u = 2i
 r r r r
 u = (p;- sin100 )Þ u = pi - sin100 j
 r r r r r r r r r r r
Bài 13. Cho u = (3;- 2),v = (7; 4) . Tính tọa độ của các vectơ u+ v, u- v, 8u, 3u- 4v, - (3u- 4v). 
 Lời giải
 Áp dụng công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số thì:
 r r r r r
 u+ v = (10; 2), u- v = (- 4;6), 8u = (24;- 16)
 r r
 Ta có: 3u = (9;- 6),4v = (28;16) 
 r r r r
 Nên 3u- 4v = (- 19;- 22) và - (3u- 4v)= (19; 22).
 r r r
Bài 14. Cho a = (2;1),b = (3; 4),c = (7; 2) 
 r r r r
 a) Tìm tọa độ của vectơ u = 2a- 3b + c . 
 r r r r r
 b) Tìm tọa độ của vectơ v sao cho v + a = b- c . 
 r r r
 c) Tìm các số k,m để c = ka + mb . 
 Lời giải
 r r r r
a) u = 2a- 3b + c = (4; 2)- (9;12)+ (7; 2)= (2;- 8) 
 r r r r r r r r
b) v + a = b- c Û v = - a + b- c = (- 6;1) 
 ïì ïì 22
 ï ï k =
 r r r ï 7 = 2k + 7m ï
c) c = ka + mb Û íï Û íï 5 
 ï 2 = k + 4m ï 3
 ï ï m = -
 îï îï 5
46 r 22 r 3 r
 Vậy c = a- b .
 5 5
 r r r r r r r r r
Bài 15. Cho ba vectơ a = (3;- 1),b = (1;- 2),c = (- 1;7) . Hãy biểu diễn vectơ p = a + b + c qua các vectơ a và b . 
 Lời giải
 r r r ì ì ì
 ï 3x + y = - 1 ï 3x + y = - 1 ï y = - 4
 Đặt c = xa + yb Û (- 1;7)= (3x;- x)+ (y;- 2y) Û íï Û í Û íï 
 ï - + = ï - - = ï =
 îï x 2y 7 îï 3x 6y 21 îï x 1
 r r r
 Do đó: c = a- 4b 
 r r r r r r r r r r
 Vậy: p = a + b + c = a + b + a- 4b = 2a- 3b .
Bài 16. Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương hay không? Trong trường hợp cùng phương thì xét xem cùng hay 
ngược hướng?
 r r r r
 a) a = (2; 3),b = (- 10;- 15). b) u = (0; 5),v = (0;8). 
 ur r r r
 c) m = (- 2;1),n = (- 6; 3). d) c = (3; 4),d = (6;9). 
 Lời giải
 r r r r
a) b = (- 10;- 15)= - 5a nên a,b cùng phương, ngược hướng
 r 8 r r r
b) v = (0;8)= u nên u,v cùng phương, cùng hướng
 5
 r ur ur r
c) n = (- 6; 3)= 3m nên m,n cùng phương, cùng hướng
 3 4 r r
d) Vì ¹ nên c,d không cùng phương
 6 9
Bài 17. Tìm tham số để các cặp vectơ cùng phương:
 r 1 r r r r r ur r
 a) u = i - 5j, v = ki - 4j . b) m = (x;- 3),n = (- 2; 2x) . 
 2
 Lời giải
 r æ ö r
 ç1 ÷
a) Ta có: u = ç ;- 5÷, v = (k;- 4) 
 èç2 ø÷
 r r k - 4 4 2
 v cùng phương với u khi và chỉ khi = hay 2k = suy ra k =
 1 - 5 5 5
 2
 ur r x - 3
b) m,n cùng phương Û = Û x2 = 3 Û x = ± 3 .
 - 2 2x
 VAÁN ÑEÀ 03 TOÏA ÑOÄ ÑIEÅM, ÑÆNH
 uuuur r r
 - Tọa độ điểm M(x; y): OM = xi + yj 
 uuur
 - Tọa độ vectơ AB = (xB - xA ; yB - yA ) 
 - Sử dụng tọa độ hai vectơ bằng nhau, các phép tính tổng, hiệu, tích vectơ với một số, tọa độ trung điểm và trọng 
tâm
 47 Bài 18. Cho điểm M(x; y) . Tìm tọa độ các điểm
 a) M1 đối xứng của M qua trục Ox .
 b) M2 đối xứng của M qua trục Oy .
 c) M3 đối xứng của M qua gốc O . 
 Lời giải
a) M1 (x;- y) 
b) M2 (- x; y) 
c) M3 (- x;- y).
Bài 19. Cho tam giác ABC có tọa độ A = (xA ; yA ),B = (xB ; yB ),C = (xC ; yC ). Tìm tọa độ trung điểm I và trọng tâm G 
 Lời giải
 uur uur r uur uuur uuur æ ö
 1 çxA + xB yA + yB ÷
a) Ta có IA + IB = 0 Û OI = OA + OB nên Iç ; ÷ 
 2 ( ) èç 2 2 ø÷
 uuur uur uuur r uuur uuur uuur uuur æ ö
 1 çxA + xB + xC yA + yB + yC ÷
b) Ta có GA + GB+ GC = 0 Û OG = OA + OB+ OC nên Gç ; ÷
 3( ) èç 3 3 ø÷
Bài 20. Trên mặt phẳng Oxy cho 2 điểm A(- 2;- 2) và B(5;- 4) 
 a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác OAB .
 b) Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC có trọng tâm là điểm G(2;0). 
 Lời giải
 x + x + x y + y + y
a) Trọng tâm G : x = O A B = 1; y = O A B = - 2 . Vậy G(1;- 2) 
 3 3
 x - 2 + 5 y - 2- 4
b) Gọi C(x ; y ) là tọa độ điểm C thì ta phải có C = 2, C = 0 suy ra x = 3, y = 6 .
 C C 3 3 C C
 Vậy C(3;6) .
Bài 21. Cho ba điểm A(a1; a2 ),B(b1;b2 ),C(c1;c2 ) . Tính tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD và tính tọa độ tâm 
của hình bình hành ấy.
 Lời giải
 uuur uuur
 Gọi D(x; y) , vì ABCD là hình bình hành nên: BA = CD 
 Hay (x- c1; y - c2 )= (a1 - b1; a2 - b2 ) 
 Do đó: x = c1 + a1 - b1; y = c2 + a2 + b2 
 Vậy D(c1 + a1 - b1;c2 + a2 - b2 ) 
Bài 22. Cho tam giác ABC với A = (2; 3),B = (- 1; 4),C = (1;1) . Tìm các tọa độ của đỉnh D của hình bình hành
 a) ABCD . b) ACBD .
 Lời giải
 Gọi các tọa độ của điểm D là (x; y) . Ta có:
48 uuur uuur ì ì
 ï 1- x = - 3 ï x = 4
a) ABCD là hình bình hành Û AB = CD Û (1- 2; 3- 4)= (1- x;1- y)Û í Û íï 
 ï ï
 îï 1- y = 1 îï y = 0
 Vậy D = (4;0) 
 uuur uuur ì ì
 ï - 1- x = - 1 ï x = 0
b) ACBD là hình bình hành Û AC = DB Û (1- 2;1- 3)= (- 1- x; 4- y)Û í Û íï 
 ï ï
 îï 4- y = - 2 îï y = 6
 Vậy D = (0;6) .
Bài 23. Cho A(- 4;1).B(2; 4),C(2;- 2) 
 a) Tìm điểm D sao cho C là trọng tâm tam giác ABD . 
 b) Tìm điểm E sao cho ABCE là hình bình hành.
 Lời giải
 - 4 + 2 + x 1+ 4 + y
a) Giả sử D = (x; y) . Điểm C là trọng tâm tam giác ABD khi và chỉ khi 2 = và - 2 = 
 3 3
 Suy ra x = 8, y = 11 nên D = (8;- 11) 
 uuur
b) Gọi E(x; y) . Ta có EC = (2- x;- 2- y) .
 uuur uuur ïì 2- x = 6 ïì x = - 4
 Tứ giác ABCE là hình bình hành khi và chỉ khi AB = EC Û íï Û íï . 
 îï - 2- y = 3 îï y = - 5
 Vậy E(- 4;- 5) .
Bài 24. Cho tam giác ABC . Các điểm M(1;1),N(2; 3),P(0;- 4) lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA, AB . Tính tọa 
độ các đỉnh của tam giác.
 Lời giải
 uuur uuuur
 Ta có PANM là hình bình hành nên: PA = MN 
 ïì ì
 ï xA = 1 ï xA = 1
 Suy ra í Û íï 
 ï + = ï = -
 îï yA 4 2 îï yA 2
 ïì x = - 1 ïì x = 3
 Tương tự ta tính được: íï B và íï C 
 ï ï
 îï yB = - 6 îï yC = 8
 Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác là: A(1;- 2),B(- 1;- 6),C(3;8).
 uuur uuur uuur
Bài 25. Cho ba điểm A(1;0),B(0; 3),C(- 3;- 5) . Tìm điểm M thuộc trục Ox mà T = 2MA- 3MB+ 2MC bé nhất.
 Lời giải
 ì ì
 uur uur uur r ï ï x = 4
 ï 2(1- x)- 3(- x)+ 2(- 3- x)= 0 ï
 Gọi I(x; y) là điểm thỏa mãn: 2IA- 3IB+ 2IC = 0 Û í Û í 19 
 ï 2(- y)- 3(3- y)+ 2(- 5- y)= 0 ï y =
 îï îï 3
 uuur uuur uuur
 Ta có T = 2MA- 3MB+ 2MC
 uuur uur uuur uur uuur uur
 = 2(MI + IA)- 3(MI + IB)+ 2(MI + IC)
 uuur uur uur uur uuur 
 = MI + 2(IA- 3IB+ 2IC) = MI = MI
 49 Vì I cố định và M thuộc trục Ox nên T bé nhất khi M là hình chiếu I lên Ox . Vậy M(4;0) 
Bài 26. Cho ba điểm A(2; 5),B(1;1),C(3; 3).
 uuur uuur uuur
 a) Tìm tọa độ điểm D sao cho AD = 3AB- 2AC . 
 b) Tìm tọa độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành. Tìm tọa độ tam hình bình hành ấy.
 Lời giải
 uuur uuur uuur uuur uuur ì
 ï x- 2 = 3(- 1)- 2.1 ïì x = - 3
a) Gọi D = (x; y) . Khi đó: AB = (- 1;- 4), AC = (1;- 2) ; AD = 3AB- 2AC Û íï Û íï 
 ï - = - - - ï = -
 îï y 5 3( 4) 2( 2) îï y 3
 Vậy D = (- 3;- 3) 
b) Gọi E = (x; y).
 uuur uuur ì ì
 ï x- 2 = 2 ï x = 4
 Từ ABCE là hình bình hành suy ra AE = BC , do đó:í Û íï .
 ï ï
 îï y - 5 = 2 îï y = 7
 Vậy E = (4;7) 
 æ ö æ ö
 ç2 + 3 5 + 3÷ ç5 ÷
 Tâm I của hình bình hành cũng là trung điểm của AC nên: I = ç ; ÷= ç ; 4÷.
 èç 2 2 ø÷ èç2 ø÷
Bài 27. Cho hai điểm phân biệt A(xA ; yA ) và B(xB ; yB ) . Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k nếu 
 ïì
 ï xA - kxB
 uuur uuur ï x =
 ï M -
 MA = kMB (k ¹ 1). Chứng minh rằng íï 1 k . 
 ï y - ky
 ï y = A B
 îï M 1- k
 Lời giải
 ïì
 ï xA - kxB
 uuur uuur ïì ï xM =
 ï xA - xM = k(xB - xM ) ï -
 Ta có: MA = kMB Û íï Û íï 1 k (k ¹ 1) 
 ï y - y = k(y - y ) ï y - ky
 îï A M B M ï y = A B
 îï M 1- k
 ïì x + x
 ï = A B
 ï xM
 Khi k = - 1 thì íï 2 . M là trung điểm của AB .
 ï y + y
 ï y = A B
 îï M 2
 VAÁN ÑEÀ 04 TOÅNG HÔÏP TOÏA ÑOÄ
Bài 28. Cho ba điểm A(- 1;1),B(1; 3),C(- 2;0) 
 a) Chứng minh rằng ba điểm A,B,C thẳng hàng
 b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC , điểm B chia đoạn AC , và điểm C chia đoạn AB 
 Lời giải
50 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) AB = (2; 2), AC = (- 1;- 1) nên AB = - 2AC . Vậy hai vectơ AB và AC cùng phương, do đó A,B,C thằng hàng
 uuur uuur
b) Vì AB = - 2AC nên A chia đoạn thẳng BC theo tỉ số - 2 
 uuur uuur uuur 2 uuur
 Vì BA = (- 2;- 2),BC = (- 3;- 3) nên BA = BC 
 3
 2
 Vậy B chia đoạn AC theo tỉ số 
 3
 uuur uur uuur 1 uur
 Vì CA = (1;1),CB = (3; 3) nên CA = CB 
 3
 1
 Vậy C chia đoạn AB theo tỉ số 
 3
Bài 29. Trên mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(0; 2),B(1;1) và C(- 1;- 2) . Các điểm C', A',B' lần lượt chia 
 1
các đoạn thẳng AB,BC,CA theo các tỉ số - 1, ,- 2 
 2
 a) Tìm tọa độ của A',B',C' . b) Chứng minh A',B',C' thẳng hàng.
 Lời giải
 0 + 1 1 2 + 1 3
a) Tọa độ C' : x = = ; y = = 
 C ' 2 2 C ' 2 2
 1 1
 1- (- 1) 1- (- 2)
 Tọa độ A' : x = 2 = 3; y = 2 = 4 
 A' 1 A' 1
 1- 1-
 2 2
 - 1+ 2.0 1 - 2 + 2.2 2
 Tọa độ B' : x = = - ; y = = 
 B' 1+ 2 3 B' 1+ 2 3
 uuuur æ ö æ ö
 ç 1 1 2 3÷ ç 5 5÷
b) Ta có: C' B' = ç- - ; - ÷= ç- ;- ÷ 
 èç 3 2 3 2ø÷ èç 6 6ø÷
 uuuuur æ ö æ ö
 ç 1 3÷ ç5 5÷
 và C' A' = ç3- ; 4- ÷= ç ; ÷ 
 èç 2 2ø÷ èç2 2ø÷
 uuuuur uuuur
 Vậy C' A' = - 3C' B' nên C', A',B' thẳng hang.
Bài 30. 
 a) Cho A(1;1),B(3; 2)n và C(m + 4; 2m + 1) . Tìm m để ba điểm A,B,C thẳng hang.
 b) Cho A(3; 4),B(2; 5) . Tìm x để điểm C(- 7; x) thuộc đường thẳng AB . 
 Lời giải
 uuur uuur
a) AB = (2;1), AC = (m + 3; 2m) 
 m + 3 2m
 Ba điểm A,B,C thẳng hàng Û = Û m = 1 
 2 1
 uuur uuur
b) Điểm C thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi: ba điểm A,B,C thẳng hàng Û AC = kAB 
 uuur uuur
 Ta có: AB = (- 1;1), AC = (- 10; x- 4) 
 uuur uuur - 10 x- 4
 AC = kAB Û = Û x- 4 = 10 Û x = 14 .
 - 1 1
 51