Tự luận Hình học Lớp 10 - Chương 1.1: Vectơ (Có đáp án)

 CHÖÔNG I : VECTÔ
CHUÛ ÑEÀ 01. VECTÔ VAØ TOÅNG, HIEÄU CUÛA HAI VEC TÔ
1. Các định nghĩa
 uuur
 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB .
 Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
 uuur
 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB .
 r
 Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 .
 Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
 Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
 Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
 r r
 Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a, b,... để biểu diễn vectơ.
 r
 + Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. 
 r
 Mọi vectơ 0 đều bằng nhau.
2. Các phép toán trên vectơ
 a) Tổng của hai vectơ
 uuur uuur uuur
 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB+ BC = AC .
 uuur uuur uuur
 Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB+ AD = AC .
 r r r r r r r r r r r r r
 Tính chất: a + b = b + a ; (a + b)+ c = a + (b + c); a + 0 = a
 b) Hiệu của hai vectơ
 r r r r r r r
 Vectơ đối của a là vectơ b sao cho a + b = 0 . Kí hiệu vectơ đối của a là - a .
 r r
 Vectơ đối của 0 là 0 .
 r r r r
 a - b = a + (- b).
 uuur uuur uuur
 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB- OA = AB .
 VAÁN ÑEÀ 01 XAÙC ÑÒNH VECTÔ 
 Một vec tơ xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối.
 Xác định tổng của các vec tơ: Dùng định nghĩa, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và các tính chất.
 Xác định hiệu của hai vec tơ: Dùng quy tắc hiệu hai vec tơ hoặc đưa về tổng của vec tơ với vec tơ đối.
 Vec tơ - không: có hai mút trùng nhau, có hai giá khác nhau hoặc tổng của hai vec tơ đối nhau.
 uuur uuur
 Chú ý: Dùng tính chất giao hoán để gộp các vec tơ, dùng vec tơ đối: AB BA , vẽ đỉnh thứ tư của hình bình hành.
 5 r
Bài 1. Hãy tính số các vectơ (khác 0 ) mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân biệt đã cho trong các 
trường hợp sau
 a) Hai điểm. b) Ba điểm.
 c) Bốn điểm.
 Lời giải
 uuur uuur
a) Với hai điểm A,B có hai vectơ AB,BA
 uuur uuur uuur uuur uuur uur
b) Với ba điểm A,B,C có 6 vectơ: AB,BA, AC,CA,BC,CB
c) Với bốn điểm A,B,C,D có 4 cách chọn điểm đầu và có 3 cách chọn điểm cuối khác điểm đầu nên có 4.3 = 12 
 vectơ
 r
 Tổng quát với n điểm phân biệt thì có n(n- 1) vectơ khác 0 .
 r r
Bài 2. Vec tơ đối của vec tơ 0 là vec tơ nào? Vec tơ đối của vec tơ - a là vec tơ nào ?
 Lời giải
 r r
 Vec tơ đối của 0 là 0
 r r
 Vec tơ đối của - a là a
 r r r r r
Bài 3. Cho hai vec tơ a và b sao cho a + b = 0 .
 uuur r uuur r
 a) Dựng OA = a, OB = b . Chứng minh O là trung điểm của AB .
 uuur r uuur r
 b) Dựng OA = a, AB = b . Chứng minh O º B .
 Lời giải
 uuur uuur r uuur uuur
a) OA + OB = 0 Þ OB = - OA Þ OB = OA , ba điểm A,O,B thẳng hàng và điểm O ở giữa A và B .
 Suy ra O là trung điểm của AB
 uuur uuur r r r uuur r
b) OA + AB = a + b = 0 Þ OB = 0 Þ B º O
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD . Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Xác định tổng của hai 
 uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur
vec tơ NC và MC ; AM và CD ; AD và NC ; AM và AN .
 Lời giải
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 Vì MC = AN nên: NC + MC = NC + AN = AN + NC = AC B M C E
 uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur
 Vì CD = BA nên: AM + CD = AM + BA = BA + AM = BM
 uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur
 Vì NC = AM nên AD + NC = AD + AM = AE ,
 với E là đỉnh của hình bình hành DAME .
 uuuur uuur uuur A N D
 Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên AM + AN = AC
Bài 5. Cho tam giác ABC . Các điểm M,N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC . Xác định hiệu 
 uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uur uur
 AM - AN; MN - NC; MN - PN; BP- CP .
 Lời giải
 uuuur uuur uuuur
 Ta có: AM - AN = NM
6 uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur
 Vì NC = MP nên: MN - NC = MN - MP = PN A
 uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur
 Vì - PN = NP nên: MN - PN = MN + NP = MP
 M N
 uur uuur uur uur uur uuur uuur
 Vì - CP = PC nên: BP- CP = BP + PC = BC
 B P C
Bài 6. Cho tam giác ABC . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA, AB .
 uuuur
 a) Xác định các vectơ khác vectơ - không cùng phương với MN có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho.
 uuur
 b) Xác định các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với AB có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho.
 uuur
 c) Vẽ các vectơ bằng vectơ NP mà có điểm đầu A,B .
 Lời giải
 uuuur
a) Các vectơ khác vectơ không cùng phương với MN là 
 uuuur uuur uuur uuur uuur uur uur A' A
 NM, AB, BA, AP, PA, BP, PB .
 uuur
b) Các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với AB là 
 uuur uur uuuur N
 AP, PB, NM . P
c) Trên tia CB lấy điểm B' sao cho BB' = NP
 uuur uuur B'
 Khi đó ta có BB' là vectơ có điểm đầu là B và bằng vectơ NP . C
 Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP . B M
 uuuur
 Trên đường thẳng đó lấy điểm A' sao cho AA' cùng hướng với 
 uuur
 NP và AA' = NP .
 uuuur uuur
 Khi đó ta có AA' là vectơ có điểm đầu là A và bằng vectơ NP .
 VAÁN ÑEÀ 02 CHÖÙNG MINH ÑAÚNG THÖÙC VECTÔ 
 Để chứng minh một đẳng thức ta thường biến đổi từ vế này thành vế kia, biến đổi tương đương.
 Có thể lập hiệu hoặc so sánh với nhóm vec tơ thứ ba.
 Vec tơ - không khi chỉ có hai mút trùng nhau, tổng của hai vec tơ đối nhau hoặc có hai giá khác nhau.
 Phối hợp các quy tắc tổng, hiệu vec tơ cùng các tính chất, các kỹ thuật tách và gộp, chọn gốc:
 uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuur
 AB BC AC, MN MX XN MX XY YN
 uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
 OA OB BC, MN AN AM
 uur uur
Bài 7. Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA = - IB .
 Lời giải
 uur uur uur uur
 Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì IA = IB và hai vec tơ IA,IB ngược hướng. Vậy IA = - IB
 uur uur uur uur
 Ngược lại, nếu IA = - IB thì IA = IB và hai vec tơ IA,IB ngược hướng. Do đó A,I,B thẳng hàng.
 Vậy I là trung điểm của đoạn thẳng AB .
 7 Bài 8. Cho tam giác ABC . Các điểm M,N và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC . chứng minh rằng với 
 uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
điểm O bất kì ta có: OA + OB+ OC = OM + ON + OP .
 Lời giải
 uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uur uuur uuur A
 Ta có: OA + OB+ OC = OM + MA + OP + PB+ ON + NC
 uuuur uuur uuur uuur uur uuur
 = OM + ON + OP + MA + PB+ NC
 uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur
 = OM + ON + OP + MA + NM + AN M N
 uuuur uuur uuur uuuur uuuur
 = OM + ON + OP + MN + NM
 uuuur uuur uuur r uuuur uuur uuur
 = OM + ON + OP + 0 = OM + ON + OP.
 B P C
 uuur uuur uuur r
Bài 9. Gọi O là tâm của tam giác đều ABC . Chứng minh OA + OB+ OC = 0 .
 A
 Lời giải
 M P
 Vẽ lục giác đều AMBNCP nội tiếp đường tròn (O) 
 uuur uuur uuur
 Vì BOCN là hình bình hành nên: OB+ OC = ON O
 uuur uuur uuur uuur uuur r
 Do đó: OA + OB+ OC = OA + ON = 0 .
 B C
 N
 uuur uuur
Bài 10. Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi I là trung điểm của BC . Dựng điểm B' sao cho B' B = AG .
 uur uur
 a) Chứng minh rằng BI = IC .
 uur uur
 b) Gọi J là trung điểm của BB' . Chứng minh rằng BJ = IG .
 Lời giải
 uur uur
a) Vì I là trung điểm của BC nên BI = CI và BI cùng hướng với IC do đó 
 uur uur uur uur A
 hai vectơ BI , IC bằng nhau hay BI = IC .
 uuur uuur B'
b) Ta có B' B = AG suy ra B' B = AG và BB'PAG .
 uur uur
 G
 Do đó BJ, IG cùng hướng. (1) J
 1
 =
 Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên IG AG , J là trung điểm BB' C
 2 B I
 1
 suy ra BJ = BB' . Vì vậy BJ = IG . (2)
 2
 uur uur
 Từ (1) và (2) ta có BJ = IG .
8 Bài 11. Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B' là điểm đối xứng của B qua 
 uuur uuur uuur uuur
 O . Chứng minh AH = B'C, AB' = HC .
 Lời giải
 A
 Vì BB' là đường kính của đường tròn ngoại tiếp
 · · 0
 tam giác ABC nên BAB' = BCB' = 90 B'
 Do đó CH PB' A và AH PB'C
 Suy ra tứ giác AB'CH là hình bình hành H O
 uuur uuur uuur uuur
 Vậy AH = B'C, AB' = HC .
 B C
Bài 12. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM . Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC ; BE cắt 
 uuur uuuur
 AM tại N . Chứng minh NA và NM là hai vec tơ đối nhau.
 Lời giải A
 Ta có: FM PBE vì FM là đường trung bình của tam giác CEB .
 E
 Mà EA = EF nên EN là đường trung bình của tam giác AFM . N
 F
 Suy ra N là trung điểm của AM .
 uuur uuuur
 Vậy NA = - NM . B M C
Bài 13. Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Chứng minh rằng
 uuur uuur uuur r
 a) BM + CN + AP = 0 .
 uuur uuur uuur uuur r
 b) AP + AN - AC + BM = 0 .
 uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
 c) OA + OB+ OC = OM + ON + OP với O là điểm bất kì.
 Lời giải
 A
a) Vì PN, MN là đường trung bình của tam giác ABC nên 
 PN PBM, MN PBP suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành
 uuur uuur N
 Þ BM = PN . P
 uuur uuur
 Vì N là trung điểm của AC Þ CN = NA
 Do đó theo quy tắc ba điểm ta có C
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r B M
 BM + CN + AP = (PN + NA)+ AP = PA + AP = 0 .
b) Vì tứ giác APMN là hình bình hành nên theo quy tắc
 uuur uuur uuuur
 hình bình hành ta có AP + AN = AM , kết hợp với quy tắc trừ 
 9 uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
 Þ AP + AN - AC + BM = AM - AC + BM = CM + BM
 uuur uuur r uuur uuur uuur uuur r
 Mà CM + BM = 0 do M là trung điểm của BC . Vậy AP + AN - AC + BM = 0 .
c) Theo quy tắc ba điểm ta có
 uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
 OA + OB+ OC = (OP + PA)+ (OM + MB)+ (ON + NC)
 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
 = (OM + ON + OP)+ PA + MB+ NC
 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
 = (OM + ON + OP)- (BM + CN + AP)
 uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
 Theo câu a) ta có BM + CN + AP = 0 suy ra OA + OB+ OC = OM + ON + OP .
 uuuur uuur
Bài 14. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MQ= NP .
 Lời giải
 Do M, Q lần lượt là trung điểm của AB và AD nên MQ là 
 1
 đường trung bình của tam giác ABD suy ra MQ PBD và MQ = BD (1). D
 2 Q
 A
 Tương tự NP là đường trung bình của tam giác CBD suy ra 
 1 P
 NP PBD và NP = BD (2). M
 2
 P =
 Từ (1) và (2) suy ra MQ NP và NP MQ do đó B N C
 tứ giác MNPQ là hình bình hành
 uuuur uuur
 Vậy ta có MQ= NP .
Bài 15. Cho hình bình hành ABCD . Trên các đoạn thẳng DC, AB theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho DM = BN . 
 uuuur uuur uuur uuur
Gọi P là giao điểm của AM, DB và Q là giao điểm của CN, DB . Chứng minh rằng AM = NC và DB = QB .
 Lời giải
 Ta có DM = BN Þ AN = MC , mặt khác AN song song với MC do đó tứ giác ANCM là hình bình hành
 uuuur uuur
 =
 Suy ra AM NC . A N
 Xét tam giác DDMP và DBNQ ta có B
 · ·
 DM = NB (giả thiết), PDM = QBN (so le trong) Q
 · · · ·
 Mặt khác DMP = APB (đối đỉnh) và APQ = NQB (hai góc đồng vị) 
 · · P
 suy ra DMP = BNQ .
 D
 Do đó DDMP = DBNQ (c.g.c) suy ra DB = QB . M C
 uuur uuur uuur uuur
 Dễ thấy DB, QB cùng hướng vì vậy DB = QB .
Bài 16. Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng
 uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur r
 a) BA + DA + AC = 0 . b) OA + OB+ OC + OD = 0 .
 uuur uuur uuur uuuur
 c) MA + MC = MB+ MD .
 Lời giải
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) Ta có BA + DA + AC = - AB- AD + AC = - (AB+ AD)+ AC
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
 Theo quy tắc hình bình hành ta có AB+ AD = AC suy ra BA + DA + AC = - AC + AC = 0 .
10 uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: OA = CO Þ OA + OC = OA + AO = 0 .
 uuur uuur r uuur uuur uuur uuur r
 Tương tự: OB+ OD = 0 Þ OA + OB+ OC + OD = 0 .
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
c) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = DC Þ BA + DC = BA + AB = 0
 uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
 Þ MA + MC = MB+ BA + MD + DC
 uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur .
 = MB+ MD + BA + DC = MB+ MD
Bài 17. Cho hình bình hành ABCD . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD . Nối AF và CE , hai 
 uuuur uuuur uuur
đường này cắt đường chéo BD lần lượt tại M và N . Chứng minh DM = MN = NB .
 Lời giải
 D F C
 Ta có AECF là hình bình hành nên: EN PAM
 Vì E là trung điểm AB nên N là trung điểm của BM ,
 do đó MN = NB
 Tương tự, M là trung điểm của DN , do đó DM = MN .
 uuuur uuuur uuur
 Hơn nữa, vì các vec tơ cùng hướng nên: DM = MN = NB
 A E B
 uuur uuur
Bài 18. Cho hình bình hành ABCD và ABEF với A,D,F không thẳng hàng. Dựng các vec tơ EH và FG bằng vec tơ 
 uuur
 AD . Chứng minh tứ giác CDGH là hình bình hành.
 Lời giải
 D C
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 Ta có EH = AD,FG = AD Þ EH = FG
 uuur uur
 Þ Tứ giác FEHG là hình bình hành Þ GH = FE (1)
 A B
 uuur uuur uuur uur uuur uur
 Ta có: DC = AB, AB = FE Û DC = FE . (2)
 uuur uuur
 Từ (1) và (2) ta có GH = DC G H
 Vậy tứ giác GHCD là hình bình hành.
 F E
Bài 19. Cho hình bình hành ABCD . Gọi O là một điểm bất kì trên đường chéo AC . Qua O kẻ các đường thẳng song 
song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt AB và DC lần lượt tại M và N , cắt AD và BC lần 
lượt tại E và F . Chứng minh rằng
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 a) OA + OC = OB+ OD . b) BD = ME+ FN .
 Lời giải
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) Ta có AB = OB- OA , DC = OC - OD .
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 Vì AB = DC nên: OB- OA = OC - OD
 uuur uuur uuur uuur
 Vậy OA + OC = OB+ OD .
b) Tứ giác AMOE và tứ giác OFCN là hình bình hành nên 
 uuur uuur uuur uuuur uuur uur
 ME+ FN = MA + MO + FO + FC
 11 uuur uuur uuuur uur uuur uuur uur uur uuur uuur uuur
 = (MA + FO)+ (MO + FC)= (MA + BM)+ (BF + FC)= BA + BC = BD .
Bài 20. Cho năm điểm A,B,C,D,E . Chứng minh rằng
 uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur
 a) AB+ CD + EA = CB+ ED . b) AC + CD- EC = AE- DB+ CB .
 Lời giải
a) Biến đổi vế trái ta có 
 uuur uur uuur uuur uuur
 VT = (AC + CB)+ CD + (ED + DA)
 uur uuur uuur uuur uuur
 = (CB+ ED)+ (AC + CD)+ DA
 uur uuur uuur uuur
 = (CB+ ED)+ AD + DA
 uur uuur
 = CB+ ED = VP ĐPCM
b) Đẳng thức tương đương với 
 uuur uuur uuur uur uuur uuur r
 (AC - AE)+ (CD- CB)- EC + DB = 0
 uuur uuur uuur uuur r
 Û EC + BD- EC + DB = 0
 uuur uuur r
 Û BD + DB = 0 (đúng) ĐPCM.
 uuur uuur uuur uuur uuur r
Bài 21. Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O . Chứng minh: OA + OB+ OC + OD + OE = 0 .
 Lời giải
 r uuur uuur uuur uuur uuur M
 Ta chứng minh v = OA + OB+ OC + OD + OE có hai giá khác nhau
 Gọi d là đường thẳng chứa OD thì d là một trục đối xứng của ngũ giác đều.
 uuur uuur uuuur A B
 Ta có: OA + OB = OM , trong đó M là đỉnh của hình thoi OAMB và thuộc d .
 uuur uuur uuur
 Tương tự OC + OE = ON , trong đó N thuộc d
 r uuur uuur uuur uuur uuur
 Do đó v = (OA + OB)+ (OC + OE)+ OD O
 uuuur uuur uuur
 = OM + ON + OD có giá là d E C
 r uuur uuur uuur uuur uuur r N
 Ta ghép v = (OB+ OC)+ (OD + OA)+ OE thì v có giá là đường thẳng OE .
 r uur uur r r D
 Vì v có IA = - IB giá khác nhau nên v = 0 . d
 uuur uur uur uuur uur uuur
Bài 22. Cho các điểm A, B, C, D, E, F . Chứng minh rằng AD + BE+ CF = AE+ BF + CD .
 Lời giải
 uuur uuur uur uur uur uuur r
 Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với (AD- AE)+ (BE- BF)+ (CF - CD)= 0
 uuur uur uuur r uur uur r
 Û ED + FE+ DF = 0 Û EF + FE = 0 (đúng)
 uuur uur uur uuur uuur uur uur uuur uuur
 Cách 2: VT = AD + BE+ CF = (AE+ ED)+ (BF + FE)+ (CD + DF)
 uuur uur uuur uuur uur uuur
 = AE+ BF + CD + ED + FE+ DF
 uuur uur uuur
 = AE+ BF + CD = VP
12 Bài 23. Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O , và M là một điểm bất kì. Chứng minh
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
 a) OA + OC + OB+ OD + OE+ OF = 0 .
 uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
 b) MA + MC + ME = MB+ MD + MF .
 Lời giải
a) Tâm O của lục giác đều là tâm đối xứng của lục giác nên:
 uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur r
 OA + OD = 0, OB+ OE = 0, OC + OF = 0
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
 Do đó OA + OC + OB+ OD + OE+ OF = (OA + OD)+ (OB+ OE)+ (OC + OF)= 0 .
 uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uur
b) MA + MC + ME = (MB+ BA)+ (MD + DC)+ (MF + FE)
 uuur uuuur uuur uuur uuur uur
 = MB+ MD + MF + (BA + DC + FE)
 uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
 = MB+ MD + MF + (BA + OB+ AO)
 uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
 = MB+ MD + MF + (BA + AO + OB)
 uuur uuuur uuur r
 = MB+ MD + MF + 0
 uuur uuuur uuur
 = MB+ MD + MF
 VAÁN ÑEÀ 03 TÍNH ÑOÄ DAØI VECTÔ 
 uuur
 Độ dài của vec tơ AB là đoạn AB
 Với 3 điểm A,B,C bất kì: AB BC AC
 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.
 Với 3 điểm A,B,C bất kì: AB AC BC
 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi A,B,C thẳng hàng và B,C cùng phía đối với điểm A
 uuur uuur uuur uuur
Bài 24. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tính AB+ AC và AB- AC .
 Lời giải A
 Từ tam giác đều ABC cạnh a , vẽ hình thoi BACD thì:
 uuur uuur uuur
 AB+ AC = AD nên:
 uuur uuur a 3
 AB+ AC = AD = 2AH = 2. = a 3 B C
 2 H
 uuur uuur uur uuur uuur uur
 Ta có AB- AC = CB nên AB- AC = CB = CB = a .
 D
Bài 25. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM . Trên cạnh AC = b lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC , BE 
 r uuur uuur uuur uuuur
cắt trung tuyến AM tại N . Tính độ dài vec tơ u = AE+ AF + AN + MN .
 Lời giải
 13 uuur uur A
 Ta có AC = FC
 Vì MF PBE nên N là trung điểm của AM E
 N
 uuur uuuur r F
 Suy ra AN + MN = 0
 r uuur uuur uuur uuuur uuur uur uuur r
 Do đó u = AE+ AF + AN + MN = AF + FC = AC nên u = AC = b .
 C M B
 uuur uuur uuur uuur
 · 0
Bài 26. Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC = 30 và BC = a 5 . Tính độ dài của các vectơ AB+ BC , AC - BC và 
 uuur uuur
 AB+ AC .
 Lời giải
 uuur uuur uuur
 Theo quy tắc ba điểm ta có AB+ BC = AC B D
 · AC · 0 a 5
 Mà sin ABC = Þ AC = BC.sin ABC = a 5.sin 30 = 
 BC 2
 uuur uuur uuur a 5 uuur uuur uuur uur uuur
 Do đó AB+ BC = AC = AC = , AC - BC = AC + CB = AB .
 2
 5a2 a 15
 Ta có AC2 + AB2 = BC2 Þ AB = BC2 - AC2 = 5a2 - =
 4 2
 uuur uuur uuur a 15 A C
 Vì vậy AC - BC = AB = AB =
 2
 Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành. 
 uuur uuur uuur
 Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB+ AC = AD
 Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra AD = BC = a 5
 uuur uuur uuur
 Vậy AB+ AC = AD = AD = a 5 .
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 27. Cho hình vuông ABCD cạnh b . Tính DA- AB , DA + DC và DB+ DC .
 Lời giải
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 Ta có: DA- AB = DA- DC = CA nên DA- AB = CA = CA = b 2 .
 uuur uuur uuur uuur uuur A B M
 Ta có DA + DC = DB nên DA + DC = DB = b 2
 Vẽ hình bình hành CDBM thì DM cắt BC tại trung điểm I của I
 mỗi đường
 uuur uuur uuuur uuur uuur
 Ta có DB+ DC = DM nên DB+ DC = DM = 2DI
 æ ö2 uuur uuur D C
 2 2 çb÷ 5 2
 Mà DI = b + ç ÷ = b nên DB+ DC = b 5 .
 èç2ø÷ 4
14