Tự luận Giải tích Lớp 11 - Xác suất - Chủ đề 2: Các quy tắc tính xác suất

 CHUÛ ÑEÀ 2.
 CAÙC QUY TAÉC TÍNH XAÙC SUAÁT
1. Quy tắc cộng xác suất.
 a) Biến cố hợp. Cho hai biến cố A và B . Biến cố '' A hoặc B xảy ra '' , kí hiệu là A È B , được gọi là hợp của hai 
 biến cố A và B .
 b) Biến cố xung khắc. Cho hai biến cố A và B . Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra 
 thì biến cố kia không xảy ra.
 c) Quy tắc cộng xác suất. Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là
 P(A + B)= P(A)+ P(B).
 d) Biến cố đối. Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố '' Không xảy ra A'' , kí hiệu là A , gọi là biến cố đối của A .
 Cho biến cố A . Xác xuất của biến cố đối A là 
 P(A)= 1- P(A).
2. Quy tắc nhân xác suất.
 a) Biến cố giao. Cho hai biến cố A và B . Biến cố '' Cả A và B cùng xảy ra '' , kí hiệu là AB , được gọi là giao của 
 hai biến cố A và B .
 b) Biến cố độc lập. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố 
 này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
 c) Quy tắc nhân xác suất. Nêu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì 
 P(AB)= P(A).P(B).
3. Xác suất có điều kiện.
 a) Định nghĩa. Cho hai biến cố A và B . Xác suất có điều kiện của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra, kí 
 hiệu là P(B / A) với P(A)> 0 là 
 P(AB)
 P(B / A)= .
 P(A)
 b) Tính chất.
 ● P(B / A)= 1- P(B / A).
 ● Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P(B / A)= P(B) hay P(AB)= P(A).P(B).
4. Công thức Bernoulli.
 a) Định nghĩa. Dãy phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa mãn ba điều kiện sau đây
 ● Các phép thử của dãy độc lập với nhau. Nghĩa là, kết quả của phép thử sau không phụ thuộc vào 
 các phép thử trước đó.
 ● Trong mỗi phép thử chỉ có hai biến cố A hoặc A xảy ra.
 ● Xác suất để biến cố A xảy ra trong mọi phép thử của dãy là như nhau và P(A)= p với 0 < p < 1 
 nên P(A)= 1- p .
 b) Công thức. Xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra k lần với xác suất mỗi lần A xảy ra là p . Được kí 
 k k n- k
 hiệu là Pn (k)= Cn p q (k = 0;n) gọi là công thức Bernoulli. Bài 1. Một trò chơi có xác suất thắng mỗi ván là 0,3 . Nếu một người chơi tám ván thì xác suất để người này thắng ít 
nhất một ván là bao nhiêu ?
 Lời giải
Xác suất thua mỗi ván là 1- 0,3 = 0,7 .
Gọi A là biến cố '' người ấy chới tám ván mà không thắng ván nào '' . Suy ra 
 0 0 8
 P(A)= C8 .(0,3) .(0,7) = 0,05764801.
Do đó xác suất một người chơi tám ván thì thắng ít nhất một ván là 
 P(A)= 1- P(A)= 0,94235199 .
Bài 2. Anh Việt và anh Nam nghĩ ra một trò chơi cá cược: nếu ai thắng trước ba ván thì thắng trận và người thua phải 
chung cho người thắng 100USD. Biết rằng số trận chơi tối đa là năm ván, xác suất mà anh Việt thắng mỗi ván là 0,45 và 
không có trận hòa nào. Đồng thời khi có người thắng đúng ba ván rồi thì trò cá cược dừng lại. Tính xác xuất mà anh 
Việt lấy được 100USD từ vụ thắng cá cược này.
 Lời giải
Do không có trận hòa nên xác suất anh Việt thua một ván là 1- 0,45 = 0,55 .
Gọi V , A, B, C lần lượt là các biến cố: '' Anh Việt thắng cược '' , '' Anh Việt thắng cược sau ba ván '' , '' Anh Việt thắng 
cược sau bốn ván '' , '' Anh Việt thắng cược sau năm ván '' thì các biến cố A, B, C xung khắc. Khi đó V = A È BÈC . 
Áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta có
 P(V )= P(A)+ P(B)+ P(C).
Vì cuộc chơi dừng lại ngay khi có người thắng ván thứ ba nên ván cuối cùng trong số các ván chơi sẽ là ván anh Việt 
thắng.
● Xét biến cố A : '' Anh Việt thắng cược sau ba ván '' . Tức là anh Việt thắng ba ván liên tiếp.
 3
Do đó P(A)= (0,45) = 0,091 .
● Xét biến cố B : '' Anh Việt thắng cược sau bốn ván '' . Tức là ván thứ bốn anh Việt dành chiến thắng và trong ba ván 
đầu tiên thì có: một ván anh Việt thua và hai ván anh Việt thắng.
 2 2 1
Do đó P(B)= C3 .(0,45) .(0,55) .0,45 = 0,150 .
● Xét biến cố C : '' Anh Việt thắng cược sau năm ván '' . Tức là ván thứ năm anh Việt dành chiến thắng và trong bốn 
ván đầu trước thì có: hai ván anh Việt thua và hai ván anh Việt thắng.
 2 2 2
Do đó P(C)= C4 .(0,45) .(0,55) .0,45 = 0,165 .
Vậy xác suất anh Việt thắng cược là P(V )= P(A)+ P(B)+ P(C)= 0,406 .
Bài 3. Một nhóm các em thiếu niên vào công viên tham gia trò chơi "Ném vòng vào cổ chai lấy thưởng". Mỗi em được 
ném 3 vòng. Xác suất ném vào cổ chai lần đầu là 0,75 . Xác suất ném vào cổ chai lần thứ hai là 0,6 . Nếu ném trượt cả 
hai lần ném đầu tiên thì xác suất ném vòng vào cổ chai ở lần thứ ba là 0,3 . Chọn ngẫu nhiên một em trong nhóm chơi. 
Tính xác suất để em đó ném vòng vào đúng cổ chai.
 Lời giải Gọi X, A, B, C lần lượt là biến cố '' Ném được vòng vào cổ chai '' , '' Ném được vòng vào cổ chai lần đầu '' , '' Ném 
được vòng vào cổ chai lần thứ hai '' , '' Ném được vòng vào cổ chai lần thứ ba '' thì các biến cố A, B, C xung khắc. Khi 
đó K = A È BÈC . Áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta có
 P(X)= P(A)+ P(B)+ P(C).
● Xét biến cố A : '' Ném được vòng vào cổ chai lần đầu '' . Tức là em đó ném được vòng vào cổ chai ngay lần thứ nhất. 
Do đó P(A)= 0,75 .
● Xét biến cố B : '' Ném được vòng vào cổ chai lần thứ hai '' . Tức là em đó lần đầu ném trượt, lần thứ hai thì ném được 
vào cổ chai. Do đó P(B)= (1- 0,75).0,6 = 0,15 .
● Xét biến cố C : '' Ném được vòng vào cổ chai lần thứ ba '' . Tức là lần thứ nhất và lần thứ hai em đó ném trượt, đến 
lần thứ ba thì ném được vào cổ chai. Do đó P(C)= (1- 0,75).(1- 0,6).0,3 = 0,03 .
Vậy xác suất để em đó ném vòng vào đúng cổ chai là P(X)= P(A)+ P(B)+ P(C)= 0,93 .
Bài 4. Trong trò chơi "Chiếc nón kì diệu" có tất cả mười ô. Khi một người quay chiếc kim có thể dừng lại một trong các 
vị trí: hai ô 10 điểm, hai ô 20 điểm, hai ô 30 điểm, hai ô mất điểm, một ô gấp đôi, một ô phần thưởng với khả năng 
như nhau. Tính xác suất để sau hai lần quay liên tiếp người đó được 60 điểm.
 Lời giải
Gọi X, A, B lần lượt là các biến cố '' Sau hai lần quay liên tiếp được 60 điểm '' , '' Lần quay thứ nhất được 30 điểm, lần 
quay thứ hai được 30 điểm '' , '' Lần quay thứ nhất được 30 điểm, lần quay thứ hai được ô nhân đôi '' thì A, B là hai 
biến cố xung khắc. Khi đó X = A È B . Áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta có
 P(X)= P(A)+ P(B).
● Xét biến cố A : '' Lần quay thứ nhất được 30 điểm, lần quay thứ hai được 30 điểm '' .
Gọi A1 , A2 lần lượt là các biến cố '' Lần quay thứ nhất được 30 điểm '' , '' Lần quay thứ hai được 30 điểm '' thì A1 , A2 
là các biến cố độc lập. Khi đó A = A1A2 . Áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta có
 2 2
 P(A)= P(A ).P(A )= . = 0,04 .
 1 2 10 10
● Xét biến cố B : '' Lần quay thứ nhất được 30 điểm, lần quay thứ hai được ô nhân đôi '' .
Gọi B1 , B2 lần lượt là các biến cố '' Lần quay thứ nhất được 30 điểm '' , '' Lần quay thứ hai được ô nhân đôi '' thì 
 B1 , B2 là các biến cố độc lập. Khi đó B = B1B2 . Áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta có
 2 1
 P(B)= P(B ).P(B )= . = 0,02 .
 1 2 10 10
Vậy xác suất sau hai lần quay liên tiếp người đó được 60 điểm là P(X)= P(A)+ P(B)= 0,06 .
Bài 5. Nguyễn Phú Khánh đầu tư vào ba loại cổ phiếu I, II, III . Xác suất trong thời gian t các cổ phiếu này lần lượt 
tăng giá là 0,6 ; 0,7 ; 0,8 . Biết rằng các cổ phiếu hoạt động độc lập . Tìm xác suất trong thời gian t để trong ba cổ 
phiếu này có ít nhất một cổ phiếu tăng giá.
 Lời giải
Xác suất trong thời gian t cổ phiếu I không tăng giá là 1- 0,6 = 0,4 .
Xác suất trong thời gian t cổ phiếu II không tăng giá là 1- 0,7 = 0,3 . Xác suất trong thời gian t cổ phiếu III không tăng giá là 1- 0,8 = 0,2 .
Gọi X, A, B, C lần lượt là các biến cố: '' Không có cổ phiếu nào tăng giá '' , '' Cổ phiếu I không tăng giá '' , '' Cổ phiếu 
 II không tăng giá '' , '' Cổ phiếu III không tăng giá '' thì các biến cố A, B, C độc lập. Khi đó X = ABC . Áp dụng quy 
tắc nhân xác suất, ta có
 P(X)= P(A).P(B).P(C)= 0,4.0,3.0,2 = 0,024 .
Vậy xác suất trong ba cổ phiếu có ít nhất một cổ phiếu tăng giá là P(X)= 1- P(X)= 1- 0,024 = 0,976 .
Bài 6. Nguyễn Phú Khánh đầu tư vào ba loại cổ phiếu I, II, III . Xác suất trong thời gian t các cổ phiếu này lần lượt 
tăng giá là 0,6 ; 0,7 ; 0,8 . Biết rằng các cổ phiếu hoạt động độc lập . Tìm xác suất trong thời gian t để trong ba cổ 
phiếu này có đúng một cổ phiếu tăng giá.
 Lời giải
Gọi X là biến cố '' Có đúng một cổ phiếu tăng giá '' trong khoảng thời gian t .
 Ai là biến cố '' Cổ phiếu i tăng giá '' trong khoảng thời gian t (i = I, II, III).
 Ai là biến cố đối lặp với biến cố Ai .
Các biến cố A1 A2 A3 , A1A2 A3 , A1 A2 A3 xung khắc từng đôi. Khi đó X = A1 A2 A3 È A1A2 A3 È A1 A2 A3 . Áp dụng quy 
tắc cộng xác suất, ta có
 P(X)= P(A1 A2 A3 )+ P(A1A2 A3 )+ P(A1 A2 A3 ).
● Các biến cố A1 , A2 , A3 độc lập nên P(A1 A2 A3 )= P(A1).P(A2 ).P(A3 )= 0,6.0,3.0,2 = 0,036 .
● Các biến cố A1 , A2 , A3 độc lập nên P(A1A2 A3 )= P(A1).P(A2 ).P(A3 )= 0,4.0,7.0,2 = 0,056 .
● Các biến cố A1 , A2 , A3 độc lập nên P(A1 A2 A3 )= P(A1).P(A2 ).P(A3 )= 0,4.0,3.0,8 = 0,096 .
Vậy xác suất có đúng một cổ phiếu tăng giá là P(X)= P(A1 A2 A3 )+ P(A1A2 A3 )+ P(A1 A2 A3 )= 0,188 .
Bài 7. Một chiếc tàu khoan thăm dò dầu khí trên thềm lục địa có xác suất khoan trúng túi dầu là 0,2 . Tính xác suất để 
trong năm lần khoan độc lập, chiếc tàu đó khoan trúng túi dầu trúng một lần duy nhất.
 Lời giải
Gọi X là biến cố "Trúng một lần duy nhất trong năm lần khoan".
 Ai là biến cố '' Lần khoan thứ i trúng túi dầu '' i 1, 2, 3, 4, 5 .
 Ai là biến cố đối lặp với biến cố Ai .
Theo giả thiết, ta có P(Ai )= 0,2 , suy ra P(Ai )= 1- P(Ai )= 1- 0,2 = 0,8 với i 1, 2, 3, 4, 5 .
a) Các biến cố A1 A2 A3 A4 A5 , A1A2 A3 A4 A5 ,L , A1 A2 A3 A4 A5 xung khắc từng đôi. Khi đó 
 X = A1 A2 A3 A4 A5 È A1A2 A3 A4 A5 ÈL È A1 A2 A3 A4 A5 .
Áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta có
 P(X)= P(A1 A2 A3 A4 A5 )+ P(A1A2 A3 A4 A5 )+ L + P(A1 A2 A3 A4 A5 ).
● Các biến cố A1 , A2 , A3 , A4 , A5 độc lập nên 4
 P(A1 A2 A3 A4 A5 )= P(A1).P(A2 ).P(A3 ).P(A4 ).P(A5 )= 0,2.(0,8) = 0,08192 .
● Tương tự P(A1A2 A3 A4 A5 )= P(A1 A2 A3 A4 A5 )= P(A1 A2 A3 A4 A5 )= P(A1 A2 A3 A4 A5 )= 0,08192 .
Vậy trong năm lần khoan độc lập, xác suất chiếc tàu đó khoan trúng túi dầu duy nhất một lần là
 P(X)= P(A1 A2 A3 A4 A5 )+ P(A1A2 A3 A4 A5 )+ L + P(A1 A2 A3 A4 A5 )= 0,4096 .
Bài 8. Một hộp có 10 phiếu, trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có mười người lần lượt lấy ngẫu nhiên mỗi người một 
phiếu. Tính xác suất người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng.
 Lời giải
Gọi X là biến cố '' Người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng '' .
 Ai là biến cố '' Người thứ i lấy được phiếu trúng thưởng '' i 1, 2, 3 .
 Ai là biến cố đối lặp với biến cố Ai .
Các biến cố A1 A2 A3 , A1A2 A3 , A1 A2 A3 xung khắc từng đôi. Khi đó X = A1 A2 A3 È A1A2 A3 È A1 A2 A3 .
Áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta có
 P(X)= P(A1 A2 A3 )+ P(A1A2 A3 )+ P(A1 A2 A3 ).
 2 8 1 1
● Các biến cố A1 , A2 , A3 độc lập nên P(A1 A2 A3 )= P(A1).P(A2 ).P(A3 )= . . = .
 10 9 8 45
 8 2 1 1
● Các biến cố A1 , A2 , A3 độc lập nên P(A1A2 A3 )= P(A1).P(A2 ).P(A3 )= . . = .
 10 9 8 45
 8 7 2 7
● Các biến cố A1 , A2 , A3 độc lập nên P(A1 A2 A3 )= P(A1).P(A2 ).P(A3 )= . . = .
 10 9 8 45
 1
Vậy xác suất người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng là P(X)= P(A1 A2 A3 )+ P(A1A2 A3 )+ P(A1 A2 A3 )= .
 5
Bài 9. Một máy bay có ba bộ phận I, II, III có tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ rơi khi có một viên đạn trúng 
vào I , hoặc hai viên đạn trúng vào II , hoặc ba viên đạn trúng vào III . Giả sử các bộ phận I, II, III lần lượt chiếm 
 15% , 30% và 50% diện tích máy bay. Tính xác suất để máy bay rơi nếu máy bay bị trúng hai viên đạn.
 Lời giải
Gọi X, A, B lần lượt là biến cố " Máy bay rơi nếu trúng hai viên đạn" , "Có ít nhất một viên đạn trúng vào bộ phận I ", 
"Cả hai viên đạn trúng vào bộ phận II " thì A, B là hai biến cố xung khắc. Khi đó X = A È B . Áp dụng quy tắc cộng 
xác suất, ta có
 P(X)= P(A)+ P(B).
● Xét biến cố A : "Có ít nhất một viên đạn trúng vào bộ phận I ".
Khi đó A là biến cố "Cả hai viên đạn đều không trúng vào bộ phận I ".
 15
Xác suất viên đạn trúng vào bộ phận I là = 0,15 .
 100
Suy ra xác suất viên đạn không trúng vào bộ phận I là 1- 0,15 = 0,85 . Gọi A1 , A2 lần lượt là các biến cố "Viên đạn thứ nhất không trúng vào bộ phận I ", "Viên đạn thứ hai không trúng 
vào bộ phận I " thì hai biến cố A1 , A2 độc lập. Khi đó A = A1 A2 . Áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta có
 P A P A1 .P A2 0,85.0,85 0,7225 .
Suy ra P A 1 P A 0,2775 .
● Xét biến cố B : "Cả hai viên đạn trúng vào bộ phận II ".
 30
Xác suất viên đạn trúng vào II là = 0,3 .
 100
Gọi B1 , B2 lần lượt là các biến cố "Viên đạn thứ nhất trúng vào bộ phận II ", "Viên đạn thứ hai trúng vào bộ phận II " 
thì hai biến cố B1 , B2 độc lập. Khi đó B = B1 B2 . Áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta có
 P B P B1 .P B2 0,3.0,3 0,09 .
Vậy xác suất máy bay rơi nếu trúng hai viên đạn là P(X)= P(A)+ P(B)= 0,2775 + 0,99 = 0,3675 .
Bài 10. Một máy bay có ba bộ phận I, II, III có tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ rơi khi có một viên đạn trúng 
vào I , hoặc hai viên đạn trúng vào II , hoặc ba viên đạn trúng vào III . Giả sử các bộ phận I, II, III lần lượt chiếm 
 15% , 30% và 50% diện tích máy bay. Tính xác suất để máy bay rơi nếu máy bay bị trúng ba viên đạn.
 Lời giải
Xác suất viên đạn trúng vào bộ phận II là 0,3 . Xác suất viên đạn trúng vào bộ phận III là 0,5 .
Gọi X, A, B, C lần lượt là biến cố '' Máy bay không rơi khi trúng ba viên đạn" , "Viên đạn thứ nhất trúng bộ phận II , 
viên đạn thứ hai và thứ ba trúng bộ phận III ", "Viên đạn thứ hai trúng bộ phận II , viên đạn thứ nhất và thứ ba trúng 
bộ phận III ", "Viên đạn thứ ba trúng bộ phận II , viên đạn thứ nhất và thứ hai trúng bộ phận III " thì A, B, C là các 
biến cố xung khắc. Khi đó X = A È BÈC . Áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta có
 P(X)= P(A)+ P(B)+ P(C).
● Xét biến cố A : "Viên đạn thứ nhất trúng bộ phận II , viên đạn thứ hai và thứ ba trúng bộ phận III ".
Gọi A1 , A2 , A3 lần lượt là các biến cố "Viên đạn thứ nhất trúng bộ phận II ", "Viên đạn thứ hai trúng bộ phận III ", 
"Viên đạn thứ ba trúng bộ phận III " thì các biến cố A1 , A2 , A3 độc lập. Khi đs A = A1A2 A3 . Áp dụng quy tắc nhân 
xác suất, ta có
 P(A)= P(A1).P(A2 ).P(A3 )= 0,3.0,5.0,5 = 0,075 .
● Xét biến cố B : "Viên đạn thứ hai trúng bộ phận II , viên đạn thứ nhất và thứ ba trúng bộ phận III ".
Gọi B1 , B2 , B3 lần lượt là các biến cố "Viên đạn thứ nhất trúng bộ phận III ", "Viên đạn thứ hai trúng bộ phận II ", 
"Viên đạn thứ ba trúng bộ phận III " thì các biến cố B1 , B2 , B3 độc lập. Khi đó B = B1B2B3 . Áp dụng quy tắc nhân xác 
suất, ta có
 P(B)= P(B1).P(B2 ).P(B3 )= 0,5.0,3.0,5 = 0,075 .
● Xét biến cố C : "Viên đạn thứ ba trúng bộ phận II , viên đạn thứ nhất và thứ hai trúng bộ phận III ".
Gọi C1 , C2 , C3 lần lượt là các biến cố "Viên đạn thứ nhất trúng bộ phận III ", "Viên đạn thứ hai trúng bộ phận III ", 
"Viên đạn thứ ba trúng bộ phận II " thì các biến cố C1 , C2 , C3 độc lập. Khi đó C = C1C2C3 . Áp dụng quy tắc nhân xác 
suất, ta có
 P(A)= P(C1).P(C2 ).P(C3 )= 0,5.0,5.0,3 = 0,075 .
Do đó P(X)= P(A)+ P(B)+ P(C)= 0,225 .
Vậy xác suất để máy bay rơi nếu máy bay bị trúng ba viên đạn là P(X)= 1- P(X)= 1- 0,225 = 0,775 . Bài 11. Một máy bay có năm động cơ, trong đó có ba động cơ nằm ở cánh trái và hai động cơ nằm ở cánh phải. Mỗi 
động cơ ở cánh trái có xác suất hỏng là 0,3 ; còn mỗi động cơ ở cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,2 . Các động cơ hoạt 
động độc lập với nhau. Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn nếu có ít nhất ba động cơ làm việc.
 Lời giải
Gọi X, A, B lần lượt là các biến cố '' Máy bay không bay được '' , '' Máy bay bị hỏng cả năm động cơ '' , '' Máy bay bị 
hỏng bốn động cơ '' thì A, B là các biến cố xung khắc. Khi đó X = A È B . Áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta có
 P(X)= P(A)+ P(B).
 3 2
● Xét biến cố A : '' Máy bay bị hỏng cả năm động cơ '' . Ta có P A 0,3 . 0,2 0,00108 .
● Xét biến cố B : '' Máy bay bị hỏng bốn động cơ '' .
Gọi B1 , B2 lần lượt là các biến cố '' Ba động cơ bên trái và một động cơ bên phải hỏng '' , '' Hai động cơ bên trái và hai 
 = È
động cơ bên phải hỏng '' thì B1 , B2 là các biến cố xung khắc. Khi đó B B1 B2 . Áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta có
 P(B)= P(B1)+ P(B2 ).
 ◦ Biến cố B1 : '' Ba động cơ bên trái và một động cơ bên phải hỏng '' .
 3 1
 Do đó P B1 0,3 C2 . 0,2 . 0,8 0,00864 .
 ◦ Biến cố B2 : '' Hai động cơ bên trái và hai động cơ bên phải hỏng '' .
 2 2 2
 Do đó P B2 C3 0,3 . 0,7 . 0,2 0,00756 .
Suy ra P B P B1 P B2 0,0162 .
Do đó xác xuất của biến cố X : '' Máy bay không bay được '' là P X P A P B 0,01728 .
Vậy xác suất để máy bay bay được là P X 1 P X 0,98272 .
Bài 12. Một máy bay có năm động cơ, trong đó có ba động cơ nằm ở cánh trái và hai động cơ nằm ở cánh phải. Mỗi 
động cơ ở cánh trái có xác suất hỏng là 0,3 ; còn mỗi động cơ ở cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,2 . Các động cơ hoạt 
động độc lập với nhau. Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn nếu có ít nhất trên mỗi cánh có một 
động cơ làm việc.
 Lời giải
Gọi X, A, B lần lượt là các biến cố '' Máy bay bay được '' , '' Cánh phải có ít nhất một động cơ làm việc '' , '' Cánh trái có 
ít nhất một động cơ làm việc '' thì A, B là các biến cố độc lập. Khi đó X = AB . Áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta có
 P(X)= P(A).P(B).
 2
● Xét biến cố A : '' Cánh phải có ít nhất một động cơ làm việc '' . Ta có P A 1 0,2 0,96 .
 2
● Xét biến cố B : '' Cánh trái có ít nhất một động cơ làm việc '' . Ta có P B 1 0,3 0,973 .
Vậy xác suất để máy bay bay được là P(X)= P(A).P(B)= 0,93408 .
Bài 13. Một chiếc xe máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II 
chạy tốt tương ứng là 0,8 và 0,7 . Hãy tính xác suất để
 a) Cả hai động cơ đều không chạy tốt.
 b) Có ít nhất một động cơ chạy tốt.
 Lời giải Xác suất động cơ I chạy không tốt là 1- 0,8 = 0,2 .
Xác suất động cơ I chạy không tốt là 1- 0,7 = 0,3 .
a) Gọi X, A, B lần lượt là các biến cố '' Cả hai động cơ chạy không tốt '' , '' Động cơ I chạy không tốt '' , '' Động cơ II 
chạy không tốt '' thì các biến cố A, B độc lập. Khi đó X = AB . Áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta có
 P(X)= P(A).P(B)= 0,2.0,3 = 0,06 .
b) Gọi Y là biến cố: "Có ít nhất một động cơ chạy tốt". Khi đó Y = X .
Do đó P(Y)= P(X)= 1- P(X)= 1- 0,06 = 0,94 .
Bài 14. Có hai xạ thủ một cách độc lập với nhau cùng bắn vào một bia mỗi người một viên đạn. Xác suất bắn trong bia 
của người thứ nhất là 0,7 , của người thứ hai là 0,6 . Tính xác suất để có đúng một viên đạn trúng bia.
 Lời giải
Gọi X là biến cố '' Có đúng một viên đạn trúng bia '' .
 Ai là biến cố '' Viên đạn thứ i trúng bia '' với i = 1,2 .
 Ai là biến cố đối lặp của biến cố Ai .
Các biến cố A1 A2 và A1A2 xung khắc. Khi đó X = A1 A2 È A1A2 . Áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta có
 P(X)= P(A1 A2 )+ P(A1A2 ).
● Các biến cố A1 , A2 độc lập nên P(A1 A2 )= P(A1).P(A2 )= 0,7.0,4 = 0,28 .
● Các biến cố A1 , A2 độc lập nên P(A1A2 )= P(A1).P(A2 )= 0,3.0,6 = 0,18 .
Vậy xác suất có đúng một viên đạn trúng bia là P(X)= P(A1 A2 )+ P(A1A2 )= 0,46 .
Bài 15. Xạ thủ Việt bắn hai viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của Việt trong một lần bắn là 0,75 . Xạ thủ Nam 
bắn ba viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của Nam trong một lần bắn là 0,85 . Tính xác suất để mục tiêu không 
trúng đạn.
 Lời giải
Xác suất bắn trượt của Việt trong một lần bắn là 1- 0,75 = 0,25 .
Gọi A, A1 , A2 lần lượt là các biến cố '' Việt bắn trượt cả hai lần bắn '' , '' Việt bắn trượt lần bắn thứ nhất '' , '' Việt bắn 
trượt lần bắn thứ hai '' thì A1 , A2 là các biến cố độc lập. Khi đó A = A1A2 . Áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta có
 P(A)= P(A1).P(A2 )= 0,25.0,25 = 0,0625 .
Xác suất bắn trượt của Nam trong một lần bắn là 1- 0,85 = 0,15 .
Gọi B, B1 , B2 , B3 lần lượt là các biến cố '' Nam bắn trượt cả ba lần bắn '' , '' Nam bắn trượt lần bắn thứ nhất '' , '' Nam 
bắn trượt lần bắn thứ hai '' , '' Nam bắn trượt lần bắn thứ ba '' thì B1 , B2 , B3 là các biến cố độc lập. Khi đó B = B1B2B3 . 
Áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta có
 P(B)= P(B1).P(B2 ).P(B3 )= 0,15.0,15.0,15 = 0,00375 .
Gọi X là biến cố '' Mục tiêu không trúng đạn '' thì X = AB . Do A, B là các biến cố độc lập nên 
 P(X)= P(A)+ P(B)= 0,065875 . Bài 16. Ba sinh viên cùng làm bài kiểm tra học phần độc lập với nhau. Xác suất làm được bài của sinh viên thứ nhất là 
 0,8 ; của sinh viên thứ hai là 0,95 ; của sinh viên thứ ba là 0,6 . Tính xác suất để có hai sinh viên làm được bài.
 Lời giải
Gọi X là biến cố '' Có hai sinh viên làm được bài '' .
 Ai là biến cố '' Sinh viên thứ i làm được bài '' với i = 1, 2, 3 .
 Ai là biến cố đối lặp của Ai .
Các biến cố A1A2 A3 , A1 A2 A3 và A1A2 A3 xung khắc. Khi đó X = A1A2 A3 È A1 A2 A3 È A1A2 A3 . Áp dụng quy tắc 
cộng xác suất, ta có
 P(X)= P(A1A2 A3 )+ P(A1 A2 A3 )+ P(A1A2 A3 ).
● Các biến cố A1 , A2 , A3 độc lập nên P(A1A2 A3 )= P(A1).P(A2 ).P(A3 )= 0,2.0,95.0,6 = 0,114 .
● Các biến cố A1 , A2 , A3 độc lập nên P(A1 A2 A3 )= P(A1).P(A2 ).P(A3 )= 0,8.0,05.0,6 = 0,024 .
● Các biến cố A1 , A2 , A3 độc lập nên P(A1A2 A3 )= P(A1).P(A2 ).P(A3 )= 0,8.0,95.0,4 = 0,304 .
Vậy xác suất để có hai sinh viên làm được bài là P(X)= P(A1A2 A3 )+ P(A1 A2 A3 )+ P(A1A2 A3 )= 0,442 .
Bài 17. Trong một kì thi vào Đại học mỗi thí sinh phải lần lượt thi ba môn. Khả năng để một thí sinh nào đó thi đạt 
môn thứ nhất là 0,8; nếu thi đạt môn thứ nhất thì khả năng thi đạt môn hai là 0,8 nhưng nếu thi không đạt môn thứ 
nhất thì khả năng thi đạt môn thứ hai là 0,6; nếu thi đạt cả hai môn đầu thì khả năng thi đạt môn ba là 0,8; nếu thi 
không đạt cả hai môn đầu thì khả năng thi đạt môn ba là 0,5; nếu chỉ có một môn trong hai môn thi trước đạt thì khả 
năng thi đạt môn ba là 0,7. Tính xác suất để thí sinh đó thi chỉ đạt có hai môn.
 Lời giải
Gọi X là biến cố '' Thí sinh chỉ đạt hai môn thi '' .
 Ai là biến cố '' Thí sinh thi đạt môn thi thứ i '' với i = 1, 2, 3 .
 Ai là biến cố đối lặp của Ai .
Các biến cố A1A2 A3 , A1 A2 A3 và A1A2 A3 xung khắc. Khi đó X = A1A2 A3 È A1 A2 A3 È A1A2 A3 . Áp dụng quy tắc 
cộng xác suất, ta có
 P(X)= P(A1A2 A3 )+ P(A1 A2 A3 )+ P(A1A2 A3 ).
● Các biến cố A1 , A2 , A3 độc lập nên P(A1A2 A3 )= P(A1).P(A2 ).P(A3 )= 0,2.0,6.0,7 = 0,084 .
● Các biến cố A1 , A2 , A3 độc lập nên P(A1 A2 A3 )= P(A1).P(A2 ).P(A3 )= 0,8.0,2.0,7 = 0,112 .
● Các biến cố A1 , A2 , A3 độc lập nên P(A1A2 A3 )= P(A1).P(A2 ).P(A3 )= 0,8.0,8.0,2 = 0,128 .
Vậy xác suất thí sinh chỉ thi đạt hai môn thi là P(X)= P(A1A2 A3 )+ P(A1 A2 A3 )+ P(A1A2 A3 )= 0,324 .
Bài 18. Trong một kì thi mỗi thí sinh được phép thi ba lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9. Nếu trượt lần đầu thì 
xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3. Tính xác suất 
để thí sinh thi đậu.
 Lời giải Gọi X là biến cố '' Thí sinh thi đậu '' .
 Ai là biến cố '' Thí sinh thi đậu lần thứ i '' với i = 1, 2, 3 .
 Ai là biến cố đối lặp của Ai .
Các biến cố A1 , A1A2 và A1 A2 A3 xung khắc. Khi đó X = A1 È A1A2 È A1 A2 A3 . Áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta có
 P(X)= P(A1)+ P(A1A2 )+ P(A1 A2 A3 ).
● Ta có P(A1)= 0,9
● Các biến cố A1 , A2 độc lập nên P(A1A2 )= P(A1).P(A2 )= 0,1.0.7 = 0.07 .
● Các biến cố A1 , A2 , A3 độc lập nên P(A1 A2 A3 )= P(A1).P(A2 ).P(A3 )= 0,1.0,3.0.3 = 0,009 .
Vậy xác suất thí sinh thi đậu là P(X)= P(A1)+ P(A1A2 )+ P(A1 A2 A3 )= 0,979 .
Bài 19. Trong một lớp học có sáu bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị hỏng là 0,3 . Lớp học đủ độ sáng nếu có ít nhất 
bốn bóng đèn sáng. Tính xác suất để lớp học không đủ độ sáng.
 Lời giải
Xác suất không bị hỏng của mỗi bóng đèn là 1- 0,3 = 0,7 .
Gọi X, A, B, C là các biến cố '' Lớp học đủ độ sáng '' , '' Lớp học có sáu bóng đèn sáng '' , '' Lớp học có năm bóng đèn 
sáng '' , '' Lớp học có bốn bóng đèn sáng '' thì các biến cố A, B, C xung khắc. Khi đó X = A È BÈC . Áp dụng quy tắc 
cộng xác suất, ta có
 P(X)= P(A)+ P(B)+ P(C).
 6
● Xét biến cố A : '' Lớp học có sáu bóng đèn sáng '' . Do đó P A 0,7 0,117649 .
● Xét biến cố B : '' Lớp học có năm bóng đèn sáng '' . Tức là có một bóng đèn bị hỏng và năm bóng còn lại sáng bình 
 5 5 1
thường. Do đó P(B)= C6 .(0,7) .(0,3) = 0,302526 .
● Xét biến cố C : '' Lớp học có bốn bóng đèn sáng '' . Tức là có hai bóng đèn bị hỏng và bốn bóng còn lại sáng bình 
 4 4 2
thường. Do đó P(C)= C6 .(0,7) .(0,3) = 0,324135 .
Suy ra P(X)= P(A)+ P(B)+ P(C)= 0,74431.
Vậy xác xuất để lớp học không đủ độ sáng là P(X)= 1- P(X)= 0,25569 .
Bài 20. Anh chàng nhà quê lên thành phố muốn có người yêu nên quyết định sang Thái Lan làm phẫu thuật thẩm mỹ. 
Anh ta quyết định phẫu thuật bốn bộ phận trên mặt và hai bộ phận khác trên cơ thể. Khả năng biến chứng hậu phẫu 
của một bộ phận trên mặt là 10% và một bộ phận trên cơ thể là 25% . Nếu có bốn bộ phận biến chứng thì anh ta sẽ tử 
vong. Biết rằng có ít nhất một bộ phận trên cơ thể bị biến chứng. Tính xác suất để anh ta còn sống quay về Việt Nam.
 Lời giải
Gọi X, A, B lần lượt là các biến cố '' Anh chàng nhà quê tử vong '' , '' Một bộ phận trên cơ thể bị biến chứng và trên 
mặt có ba hoặc bốn bộ phận bị biến chứng '' , '' Hai bộ phận trên cơ thể bị biến chứng và trên mặt có hai, ba hoặc bốn bộ 
phận bị biến chứng '' thì A, B là các biến cố xung khắc. Khi đó X = A È B . Áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta có
 P(X)= P(A)+ P(B).
● Xét biến cố A : '' Một bộ phận trên cơ thể bị biến chứng và trên mặt có ba hoặc bốn bộ phận bị biến chứng '' .