Tự luận Giải tích Lớp 11 - Xác suất - Chủ đề 1: Tính xác suất theo định nghĩa

 PHAÀN B – XAÙC SUAÁT
CHUÛ ÑEÀ 01.
 TÍNH XAÙC SUAÁT THEO ÑÒNH NGHÓA
1. Biến cố
 a) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
 ● Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặ dù biết tập hợp tất cả kết 
 quả có thể xảy ra của phép thử đó.
 ● Tập hợp mọi kết quả của một phép thử gọi là không gian mẫu và kí hiệu là W.
 b) Biến cố. Một tập con A của W được gọi là biến cố A .
 ● Nếu A = Æ thì biến cố A chắc chắn không xảy ra.
 ● Nếu A = W thì biến cố A chắc chắn xảy ra.
2. Xác suất của biến cố. Giả sử A là một biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng 
 W
 xuất hiện. Ta gọi tỉ số P(A)= A là xác suất của biến cố A . Trong đó
 W
 ● W : số phần tử của tập W.
 ● WA : số phần tử của tập A .
Bài 1. An mua một tờ vé số có năm chữ số. Biết điều lệ của giải thưởng như sau: "Giải đặc biệt" trúng năm số; "giải 
khuyến khích" dành cho những vé chỉ sai một chữ số ở bất cứ hàng nào so với giải đặc biệt. Biết rằng chỉ có một giải 
đặc biệt. Tính xác suất để An trúng
 a) Giải đặc biệt.
 b) Giải khuyến khích.
 Lời giải
Số các vé có năm chữ số tùy ý là 105 . Suy ra W= 105 .
a) Gọi A là biến cố "Người đó trúng giải đặc biệt".
Chỉ có một giải đặc biệt, suy ra WA = 1 .
 W 1
Vậy xác suất để An trúng giải đặc biệt là P(A)= A = = 0,00001 .
 W 105
b) Gọi B là biến cố "Người đó trúng giải khuyến khích".
 ● Giả sử giải đặc biệt là ABCDE .
 ● Các vé trúng giải khuyến khích:
 ▪ XBCDE với X ¹ A : có 9 vé.
 ▪ AXCDE với X ¹ B : có 9 vé.
 M
 ▪ ABXDE với X ¹ A : có 9 vé.
Số vé chỉ sai một chữ số ở bất cứ hàng nào so với giải đặc biệt là 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45 . Do đó WB = 45 .
 W 45
Vậy xác suất để An trúng giải khuyến khích là P(B)= B = = 0,00045 .
 W 105 Bài 2. Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng xe FORD”. Bạn 
được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen, tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng.
 Lời giải
 1 1
Số cách chọn lần lượt 2 nắp khoen từ 20 nắp khoen là C20 .C19 .
Gọi A là biến cố '' Cả 2 nắp khoen được chọn đều trúng thưởng '' .
 1
Số cách chọn nắp khoen đầu tiên trúng thưởng là C2 .
 1
Số cách chọn nắp khoen lần thứ hai trúng thưởng là C1 .
 1 1
Do đó số khả năng xảy ra biến cố A là C2 + C1 .
 C1 + C1 1
Vậy xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là P(A)= 2 1 = » 0,00526 .
 1 1 190
 C20 .C19
Bài 3. Xếp ngẫu nhiên 5 người A, B, C, D, E vào một cái bàn có 5 chỗ ngồi. Tính xác suất để hai người A và B ngồi 
đầu bàn.
 Lời giải
Hai người A và B ngồi đầu bàn chỉ có ở dạng bàn dài.
Xếp 5 người vào bàn 5 chỗ là một hoán vị của 5 phần tử nên có 5! = 120 cách xếp.
Gọi X là biến cố '' Xếp 5 người trong đó A và B ngồi đầu bàn '' , có hai giai đoạn:
 ● Xếp A và B ngồi đầu bàn có 2 cách.
 ● Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ có 3! Cách.
Do đó số khả năng xảy ra biến cố X là 2.3! = 12 .
 12
Vậy xác suất để hai người A và B ngồi đầu bàn là P(X)= = 0,1 .
 120
Bài 4. Xếp ngẫu nhiên 4 người A, B, C, D vào một cái bàn dài có 4 chỗ ngồi. Tính xác suất để hai người A và B ngồi 
cạnh nhau.
 Lời giải
Xếp 4 người vào bàn 4 chỗ là một hoán vị của 4 phần tử nên có 4! = 24 cách xếp.
Gọi X là biến cố '' Xếp 4 người vào bàn dài trong đó A và B ngồi cạnh nhau '' , có hai giai đoạn:
 ● Buộc A vào B có hai cách là: AB, BA .
 ● Xếp 3 người trong đó có một người đôi ( AB hoặc BA ) vào 3 chỗ có 3! cách.
Do đó số khả năng xảy ra biến cố X là 2.3! = 12 .
 12
Vậy xác suất để hai người A và B ngồi cạnh nhau là P(X)= = 0,5 .
 24
Bài 5. Xếp ngẫu nhiên 6 người A, B, C, D, E, F vào một cái bàn tròn có 6 chỗ ngồi. Tính xác suất để hai người A và 
 B ngồi cạnh nhau.
 Lời giải
Xếp 6 người vào bàn tròn để A và B ngồi cạnh nhau có hai giai đoạn:
 ● Xếp A vào bàn để làm mốc thì có một cách.
 ● Xếp 5 người còn lại vào 5 chỗ còn lại có 5! cách.
Do đó có tất cả 1.5! = 120 cách. 
Gọi X là biến cố '' Xếp 6 người vào bàn tròn trong đó A và B ngồi cạnh nhau '' , có ba giai đoạn.
 ● Xếp A vào một chỗ để làm mốc thì có 1 cách.
 ● Xếp B cạnh A có 2 cách.
 ● Xếp 4 người còn lại vào 4 chỗ còn lại có 4! cách.
Do đó số khả năng xảy ra biến cố X là 1.2.4! = 48 . 48
Vậy xác suất để hai người A và B ngồi cạnh nhau là P(X)= = 0,4 .
 120
Bài 6. Có 4 hành khách lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. 
Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai.
 Lời giải
Mỗi hành khách có 4 cách chọn toa nên có 44 cách xếp 4 người lên một đoàn tàu 4 toa.
Do đó số phần tử của không gian mẫu là W= 44 .
Gọi A là biến cố '' 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai '' , có hai giai đoạn:
 ● Chọn 3 hành khách trong 4 hành khách, chọn 1 toa trong 4 toa và xếp lên toa đó 3 hành khách vừa chọn. Suy 
 3 1
 ra có C4 .C4 cách.
 1
 ● Chọn 1 toa trong 3 toa còn lại và xếp lên toa đó 1 một hành khách còn lại. Suy ra có C3 cách.
 3 1 1
Do đó số khả năng xảy ra biến cố A là WA = C4 .C4 + C3 .
 C3.C1 + C1 48 3
Vậy xác suất của biến cố A là P(A)= 4 4 3 = = = 0,1875 .
 44 44 16
Bài 7. Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lý và 2 quyển sách Hóa. Lấy ngẫu nhiên ba quyển sách. Tính 
xác suất sao cho ba quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán.
 Lời giải
 3
Không gian mẫu là số cách lấy ra ba quyển sách từ bộ 9 quyển sách nên W= C9 cách.
Gọi A là biến cố '' Trong ba quyển lấy ra không có quyển sách Toán '' . Tức là trong ba quyển lấy ra được lấy từ bộ 5 
 3
quyển (3 cuốn sách Lý và 2 cuốn sách Hóa) nên không gian của biến cố A là WA = C5 .
Vậy xác suất để ba quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán là 
 C3 10 37
 P(A)= 1- P(A)= 1- 5 = 1- = » 0,881 .
 3 84 42
 C9
Bài 8. Có 8 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có ba quầy. Tính xác suất để 3 người cùng đến quầy thứ 
nhất.
 Lời giải
Mỗi người khách có 3 cách chọn quầy nên có 38 khả năng xảy ra.
Do đó số phần tử của không gian mẫu là W= 38 .
Gọi A là biến cố '' Có 3 người cùng đến quầy thứ nhất, 5 người còn lại đến quầy thứ hai hoặc ba '' , có hai giai đoạn:
 3
 ● Có C8 cách chọn 3 người khách vào quầy thứ nhất.
 ● Còn lại 5 người khách xếp vào hai quầy. Mỗi người khách có hai cách chọn (vào quầy thứ hai hoặc thứ ba). 
 Suy ra có 25 cách xếp.
 3 5
Do đó số khả năng xảy ra biến cố A là WA = C8 .2 .
 C3.25
Vậy xác suất của biến cố A là P(A)= 8 » 0,273 .
 38
Bài 9. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4 . Lấy 
ngẫu nhiên ba số bất kì trong tập S . Tính xác suất để trong ba số được lấy ra có đúng một số có chữ số 3.
 Lời giải Gọi số có ba chữ số khác nhau là abc với a, b, c Î A = {0;1; 2; 3; 4} và a ¹ 0 . 
 2
Vì a ¹ 0 nên có 4 cách chọn a từ A\{0} , sau đó có A4 cách chọn b, c từ A\{a} .
 2
Do đó số phần tử của tập S là 4.A4 = 48 số.
 2
Lập luận tương tự như trên ta được trong S có 3.A3 = 18 số không có chữ số 3. Suy ra có 48- 18 = 30 số có chữ số 3.
Gọi X là biến cố '' Ba số được lấy ra từ tập S có đúng một số có chữ số 3 '' .
 3 3
 ● Số cách lấy ba số bất kì thuộc tập S là C48 cách hay không gian mẫu có W= C48 = 17296 . 
 1
 ● Số cách lấy một số luôn có chữ số 3 là C30 = 30 cách.
 2
 ● Số cách lấy hai số không có chữ số 3 là C18 = 153 cách.
Suy ra số cách lấy ba số từ tập S mà trong đó có đúng một số có chữ số 3 là 30.153 = 4590 cách hay tập các kết quả 
thuận lợi cho biến cố X là WX = 4590 .
 W 4590
Vậy xác suất cần tính của biến cố X là P(X)= X = » 0,265 .
 W 17296
Bài 10. Cho tập hợp X = {x Î ¥ 2x2 - 31x + 15 £ 0} . Chọn ngẫu nhiên từ tập X ba số tự nhiên. Tính xác suất để ba số 
được chọn có tổng là một số lẻ.
 Lời giải
 1
Ta có 2x2 - 31x + 15 £ 0 Û £ x £ 15 .Vì x thuộc ¥ nên X = {1; 2; 3;...;15} .
 2
 3
Số cách chọn ngẫu nhiên ba số tự nhiên trong tập X là C15 .
Gọi A là biến cố '' Ba số được chọn có tổng là một số lẻ '' , ta có các trường hợp:
 3
 ● Cả ba số đều lẻ. Suy ra số cách chọn là C8 (vì tập X có 8 số lẻ và 7 số chẵn).
 2 1
 ● Có hai số chẵn và một số lẻ. Suy ra số cách chọn là C7 .C8 .
 3 2 1
Do đó tập các kết quả thuận lợi cho biến cố A là C8 + C7 .C8 .
 C3 + C2 .C1 224 32
Vậy xác suất cần tìm là P(A)= 8 7 8 = = » 0,492 .
 3 455 65
 C15
Bài 11. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 được lập từ các chữ 
số 0, 1, 2, 3, 5, 4, 6 . Chọn ngẫu nhiên một số từ X , tính xác suất để số được chọn chia hết cho 5.
 Lời giải
Gọi số có năm chữ số đôi một khác nhau là abcde với a, b, c, d, e Î {0, 1, 2, 3, 5, 4, 6} và a ¹ 0 . Ta có
 ● 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5.
 4
 ● Bốn chữ số còn lại có A6 cách chọn.
 4
Suy ra có 5A6 số luôn có mặt chữ số 5, kể cả chữ số 0 ở vị trí đầu tiên.
 3
Xét các số có chữ số 0 ở vị trí đầu tiên, khi đó có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5, ba chữ số còn lại có A5 cách chọn nên 
 3 4 3
có 4A5 số. Vì vậy trong tập X có 5A6 - 4A5 = 1560 số.
Gọi A là biến cố '' Số được chọn từ X chia hết cho 5 '' . Ta có hai trường hợp sau
 3 3
 ● Trường hợp 1: e = 0 . Khi đó có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5, ba chữ số còn lại có A5 cách nên có 4A5 số. 3
 ● Trường hợp 2: e = 5 . Khi đó a có 5 cách chọn từ {1, 2, 3, 4, 6} ; các chữ số b , c , d có A5 cách chọn nên có 
 3
 5A5 số.
 3 3
Do đó trong tập X có 4A5 + 5A5 = 560 số chia hết cho 5.
 540 9
Vậy xác suất cần tìm của biến cố A là P(A)= = » 0,346 .
 1560 26
Bài 12. Cho tập hợp A = {0,1,2,3,4,5} . Tìm số phần tử của tập S gồm các số có ba chữ số khác nhau được lập thành 
từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S , tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ 
số đầu.
 Lời giải
Gọi số có ba chữ số đôi một khác nhau là abc với a, b, c Î A = {0,1,2,3,4,5} và a ¹ 0 . Ta có
 ● Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn (vì a ¹ 0 ).
 ● Số cách chọn chữ số b có 5 cách chọn (vì b ¹ a ).
 ● Số cách chọn chữ số c có 4 cách chọn (vì c ¹ a , c ¹ b ).
Do đó số phần tử của tập S là 5.5.4 = 100 phần tử.
Gọi X là biến cố '' Số được lấy ra từ S có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu '' . Khi đó ta có các bộ số là 1b2 hoặc 2b4 
thỏa mãn biến cố X và mỗi bộ thì b có 4 cách chọn nên có tất cả 8 số thỏa yêu cầu.
 8 2
Vậy xác suất của biến cố X là P(X)= = = 0,08 .
 100 25
Bài 13. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập các số lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập, 
tính xác suất để lấy được một số nhỏ hơn 2015.
 Lời giải
Số lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau có dạng abcd . Gọi A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} .
 ● Số cách chọn d = {1, 3, 5} có 3 cách chọn.
 ● Số cách chọn a Î A\{0, d} có 4 cách chọn.
 2
 ● Chọn thứ tự b, c trong tập A\{a, d} có A4 = 12 cách.
Do đó ta lập được 3.4.12 = 144 số lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau.
Gọi X là biến cố '' Số lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 2015’’, có hai trường hợp:
 ● Là số 2013 : có 1 số duy nhất.
 2
 ● Số có dạng 1bcd . Chọn d = {3, 5} có 2 cách chọn; chọn thứ tự b, c trong tập A\{1, d} có A4 = 12 cách. Suy 
 ra số các số thuộc dạng này có 2.12 = 24 số.
Do đó tập các kết quả thuận lợi cho biến cố X là 1+ 24 = 25 .
 25
Vậy xác suất cần tính là P(X)= » 0,174 .
 144
Bài 14. Có 27 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 27. Chọn ngẫu nhiên ra 8 tấm thẻ. Tìm xác suất để có 3 tấm thẻ mang số 
lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có đúng 2 tấm thẻ mang số chia hết cho 4.
 Lời giải
 8
Chọn ngẫu nhiên 8 tấm thẻ từ 27 tấm thẻ nên không gian mẫu có W= C27 .
Nhận xét. Từ 1 đến 27 có: 14 số lẻ; 6 số chẵn chia hết cho 4; 7 số chẵn không chia hết cho 4. Gọi A là biến cố '' 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có đúng 2 tấm thẻ mang số chia hết cho 4 '' .
 3
 ● Chọn 3 tấm thẻ trong 14 tấm thẻ mang số lẻ nên có C14 cách chọn.
 3
 ● Chọn 3 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 4 nên có C7 cách chọn;
 2
 2 tấm thẻ mang số chẵn và chia hết cho 4 nên có C6 cách chọn.
 3 3 2
Do đó tập các kết quả thuận lợi cho biến cố A là WA = C14 .C7 .C6 .
 W C3 .C3.C2 196
Vậy xác suất của biến cố A là P = A = 14 7 6 = » 0,086 .
 A W 8 2277
 C27
Bài 15. Một số điện thoại có bảy chữ số, trong đó chữ số đầu là chữ số 8 . Số điện thoại được gọi là may mắn nếu bốn 
chữ số đầu là bốn chữ số chẵn phân biệt và ba chữ số còn lại là ba chữ số lẻ, đồng thời hai chữ số 0 và 9 không đứng 
liền nhau. Tính xác suất để một người khi lắp đặt điện thoại ngẫu nhiên được một số điện thoại may mắn.
 Lời giải
Số các số điện thoại có bảy chữ số, trong đó chữ số đầu là chữ số 8 có 106 số.
Do đó số phần tử của không gian mẫu là W= 106 .
Gọi A là biến cố '' Số điện thoại may mắn '' . Ta có hai trường hợp xảy ra:
 ● Trường hợp 1: Số điện thoại may mắn có dạng 8a2a3 0a5a6a7 .
 2
 ▪ Chọn thứ tự a2 , a3 từ tập {2, 4, 6} nên có A3 = 6 cách.
 ▪ Chọn a5 từ tập {1, 3, 5, 7, 9}\{9} nên có 4 cách.
 ▪ Chọn a6 , a7 từ tập {1, 3, 5, 7, 9} nên có 5.5 = 25 cách.
 Suy ra số các số dạng này là 6.4.25 = 600 số .
 ● Trường hợp 2: Số điện thoại may mắn có dạng 8a2a3a4a5a6a7 với a4 ¹ 0 .
 ▪ Chọn a4 từ tập {2, 4, 6} nên có 3 cách.
 2
 ▪ Chọn thứ tự a2 , a3 từ tập {0, 2, 4, 6}\{a4 } nên có A3 = 6 cách.
 ▪ Chọn a5 , a6 , a7 từ tập {1, 3, 5, 7, 9} nên có 5.5.5 = 125 cách.
 Suy ra số các số dạng này là 3.6.125 = 2250 số.
Do đó tập các kết quả thuận lợi cho biến cố A là WA = 600 + 2250 = 2850 .
 W 2850
Vậy xác suất cần tìm là P(A)= A = = 0,00285 .
 W 106
Bài 16. Trong một buổi liên hoan có 15 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 5 người để biểu diễn 
một tiết mục văn nghệ. Tính xác suất để 5 người được chọn không có cặp vợ chồng nào.
 Lời giải
 5
Số phần tử không gian mẫu W= C30 = 142506 .
Gọi A là biến cố '' 5 người được chọn không có cặp vợ chồng nào '' . ● Chọn 1 cặp vợ chồng có 4 cách chọn, chọn thêm 3 người trong 28 người nhưng không có cặp vợ chồng nào 
 3 3
 thì có C28 - 3 cách chọn. Suy ra số cách chọn trong trường hợp này là 4(.C28 - 3)= 13092 .
 2
 ● Chọn 2 cặp vợ chồng có C4 cách chọn, chọn thêm 1 người trong 26 người còn lại thì có 26 cách chọn. Suy ra 
 2
 số cách chọn trong trường hợp này là C4 .26 = 156 .
 5
Do đó tập các kết quả thuận lợi cho biến cố A là WA = C30 - (13092 + 156)= 129258 .
 W 129258 7181
Vậy xác suất của biến cố A là P = A = = = 0,907 .
 A W 142506 7917
Bài 17. Có năm đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 1cm, 3cm, 5cm, 7cm và 9cm . Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong 
năm đoạn thẳng trên, tính xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác.
 Lời giải
 3
Số cách lấy ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng là C5 = 10 cách.
Để ba đoạn thẳng tạo thành một tam giác thì chỉ có các bộ (3cm, 5cm, 7cm) hoặc (5cm, 7cm, 9cm) thỏa mãn.
Suy ra có 2 cách lấy ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng để lập thành một tam giác.
 3
Vậy xác suất cần tìm là P = .
 10
Bài 18. Một ngân hàng đề thi gồm 30 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm 5 câu được lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi. Thí sinh 
 A đã học thuộc 10 câu trong ngân hàng đề thi. Tìm xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được một đề thi có ít nhất 3 
câu đã thuộc.
 Lời giải
 5
Chọn ngẫu nhiên 5 đề thi từ 30 đề thi của ngân hàng thì có C30 cách.
 5
Do đó số phần tử của không gian mẫu là W= C30 = 142506 .
Gọi A là biến cố '' Thí sinh A rút ngẫu nhiên được một đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc '' . Ta có các trường hợp:
 3 2
 ● Trường hợp 1: Đề thi có 3 câu đã thuộc, có C10 .C20 = 22800 trường hợp.
 4 1
 ● Trường hợp 2: Đề thi có 4 câu đã thuộc, có C10C20 = 4200 trường hợp.
 5 0
 ● Trường hợp 3: Đề thi có 5 câu đã thuộc, có C10C20 = 252 trường hợp.
Do đó số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là WA = 22800 + 4200 + 252 = 27252 trường hợp.
 W 27252 1514
Vậy xác suất của biến cố A là P = A = = » 0,191.
 A W 142506 7917
Bài 19. Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy được 5 bông hồng trong đó có 
 ì
 ï m- 2 2 9 19 1
 ï C + C + + < A
ít nhất 3 bông hồng nhung? Biết m, n là nghiệm của hệ í m n 3 2 2 m .
 ï
 îï Pn- 1 = 720
 Lời giải ì
 ï m- 2 2 9 19 1
 ï C + c + < A (1)
Ta có íï m n+ 3 m . Từ (2)Û (n- 1)! = 720 Û (n- 1)! = 6! Û n = 7 . Thay vào (1), ta được
 ï 2 2
 ï =
 îï Pn- 1 720 (2)
 m! 10! 19 m! m(m- 1) 9 19
 + + 9 < . Û + 45 + < m Û m2 - 20m + 99 < 0 Û 9 < m < 11 .
 2!(m- 2)! 2!8! 2 (m- 1)! 2 2 2
Do m Î ¥ * nên suy ra m = 10 . Vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung.
 5
Chọn ngẫu nhiên 5 bông hồng từ 17 bông hồng thì có C17 cách.
 5
Do đó số phần tử của không gian mẫu là W= C17 = 6188 .
Gọi A là biến cố '' 5 bông hồng được chọn có ít nhất 3 bông hồng nhung '' . Ta có các trường hợp:
 3 2
 ● Trường hợp 1: Có 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng nên ta được C7 .C10 = 1575 cách.
 4 1
 ● Trường hợp 2: Có 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng nên ta được C7 .C10 = 350 cách.
 5
 ● Trường hợp 3: Có 5 bông hồng nhung nên ta được C7 = 21 cách.
Do đó số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là WA = 1575 + 350 + 21 = 1946 cách.
 W 1946 139
Vậy xác suất của biến cố A là P = A = = » 0,314 .
 A W 6188 442
Bài 20. Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 5 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời. Tính xác suất để một học 
sinh làm bài thi được ít nhất 3 câu hỏi.
 Lời giải
Mỗi câu đều có 4 phương án trả lời. Theo quy tắc nhân ta có số phương án trả lời của bài thi là W= 45 .
Gọi A là biến cố '' Học sinh làm bài thi được ít nhất 3 câu hỏi '' . Ta có các trường hợp:
 ● Trường hợp 1: Học sinh làm được 5 câu hỏi, có duy nhất 1 khả năng xảy ra vì bài thi có duy nhất 1 đáp án.
 ● Trường hợp 2: Học sinh làm được 4 câu hỏi, tức là 
 4
 ▪ Làm đúng được 4 câu nên có C5 cách.
 1
 ▪ Làm sai 1 câu nên có C3 cách chọn phương án sai cho câu đó vì mỗi câu có 3 phương án sai.
 4 1
 Suy ra số khả năng xảy ra trong trường hợp này là C5 .C3 .
 ● Trường hợp 3: Học sinh làm được 3 câu hỏi, tức là
 3
 ▪ Làm đúng được 3 câu nên có C5 cách.
 2
 1
 ▪ Làm sai 2 câu nên có (C3 ) cách chọn phương án sai.
 2
 3 1
 Suy ra số khả năng xảy ra trong trường hợp này là C5 .(C3 ) .
 2
 4 1 3 1
Do đó số khả năng xảy ra biến cố A là WA = 1+ C5 .C3 + C5 .(C3 ) = 106 .
 WA 106 53
Vậy xác suất của biến cố A là PA = = = » 0,104 .
 W 45 512