Tự luận Giải tích Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm

 CHÖÔNG 5.
 ÑAÏO HAØM
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
 1.1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a ; b) và x0 Î (a ; b), đạo hàm của hàm số tại điểm 
 x0 là
 f (x)- f (x0 )
 f '(x0 )= lim .
 x® x
 0 x- x0
 1.2. Chú ý : 
 ● Nếu kí hiệu Dx = x- x0 ; Dy = f (x0 + Dx)- f (x0 ) thì
 f (x0 + Dx)- f (x0 ) Dy
 f '(x0 )= lim = lim .
 x® x Dx® 0
 0 x- x0 Dx
 ● Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C)
 ● f '(x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị (C) của hàm số y = f (x) tại M0 (x0 , y0 ) thuộc (C). 
 ● Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M0 (x0 , y0 ) thuộc (C) là
 y = f '(x0 )×(x- x0 )+ y0 .
3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm
 3.1. Các quy tắc: Cho u = u(x); v = v(x) ; C là hằng số .
 ● (u± v)' = u'± v'
 ● (u.v)' = u'.v + v'.u Þ (C.u)¢= C.u¢
 æuö u'.v- v'.u æCö¢ C.u¢
 ç ÷= ¹ Þ ç ÷ = -
 ● ç ÷ , (v 0) ç ÷
 èçvø÷ v2 èçu ø÷ u2
 ¢ ¢ ¢
 ● Nếu y = f (u), u = u(x) Þ yx = yu.ux .
 3.2. Các công thức: 
 ● (C)¢= 0 ; (x)¢= 1 . 
 ¢ ¢
 ● (xn ) = n.xn- 1 Þ (un ) = n.un- 1.u¢, (n Î ¥ , n ³ 2)
 ¢ 1 ¢ u¢
 ● ( x) = , (x > 0) Þ ( u) = , (u > 0)
 2 x 2 u
 ● (sin x)¢= cos x Þ (sinu)¢= u.¢cosu
 ● (cos x)¢= - sin x Þ (cosu)¢= - u¢.sinu
 1 u¢
 ● (tan x)¢= Þ (tanu)¢=
 cos2 x cos2 u
 1 u¢
 ● (cot x)¢= - Þ (cotu)¢= - .
 sin2 x sin2 u 4. Vi phân
 4.1. Định nghĩa: 
 ● Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 vi phân của hàm số y = f (x) tại điểm x0 là
 ¢
 df (x0 )= f (x0 ).Dx .
 ● Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ¢(x) thì tích f ¢(x).Dx được gọi là vi phân của hàm số y = f (x). 
 Kí hiệu: df (x)= f ¢(x).Dx = f ¢(x).dx hay dy = y¢.dx .
 ¢
 4.2. Công thức tính gần đúng: f (x0 + Dx)» f (x0 )+ f (x0 ).Dx .
5. Đạo hàm cấp cao
 ¢¢ = é ¢ ù¢
 5.1. Đạo hàm cấp 2: f (x) ëêf (x)ûú .
 (n) é (n- 1) ù¢
 5.2. Đạo hàm cấp cao: f (x)= êf (x)ú , (n Î ¥ , n ³ 2) .
 ëê ûú
 VẤN ĐỀ 01. TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
 Q Phương pháp. Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau:
 Cách 1: Theo quy tắc
 Dy
 Bước 1 : Cho x một số gia Dx và tìm số gia Dy = f (x + Dx)- f (x). Lập tỉ số .
 Dx
 Dy
 Bước 2 : Tìm giới hạn lim .
 Dx® 0 Dx
 f (x)- f (x0 )
 Cách 2 : Áp dụng công thức f '(x0 )= lim .
 x® x
 0 x- x0
 ì
 ï 2- 4- x
 ï ; x ¹ 0
Bài 1. Cho hàm số f (x)= íï x . Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 .
 ï 1
 ï ; x = 0
 îï 4
 Lời giải
 2- 4- x 1 1
Do lim f (x)= lim = lim = = f (0). Suy ra f (x) liên tục tại x = 0 .
 x® 0 x® 0 x x® 0 (2 + 4- x) 4
 2- 4- x 1
 -
 f (x)- f (0) x2 1 1
Ta có f '(0)= lim = lim x 4 = lim = . Vậy f '(0)= .
 x® 0 x- 0 x® 0 x x® 0 4x2 (8- x + 4 4- x) 64 64
 ì
 ï 1- x - 1
 ï ; x ¹ 0
Bài 2. Cho hàm số f (x)= í x . Tìm a để hàm số có đạo hàm tại x = 0 và tính đạo hàm tại điểm đó.
 ï
 îï a; x = 0
 Lời giải
Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại x = 0 thì f (x) liên tục tại x = 0 . Do đó 
 1- x - 1 - x - 1 1
 f (0)= a = lim f (x)= lim = lim = lim = - .
 x® 0 x® 0 x x® 0 x( 1- x + 1) x® 0 1- x + 1 2 ì 2
 ï x ; x £ 1
Bài 3. Cho hàm số f (x)= í . Tìm a , b để hàm số có đạo hàm tại x = 1 .
 ï
 îï ax + b; x > 1
 Lời giải
Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại x = 1 thì f (x) liên tục tại x = 1 .
Ta có
 lim f (x)= lim (ax + b)= a + b ; f (1)= 1 ; lim f (x)= lim x2 = 1 .
 x® 1+ x® 1+ x® 1- x® 1-
Do đó f (x) liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi a + b = 1 .
Tại x = 1 cho số gia Dx .
 Dy f (1+ Dx)- f (1) a(1+ Dx)+ b- 1
 ● Dx > 0 suy ra 1+ Dx > 1 nên lim = lim = lim = a .
 Dx® 0+ Dx Dx® 0+ Dx Dx® 0+ Dx
 2
 Dy f (1+ Dx)- f (1) (1+ Dx) - 1
 ● Dx < 0 suy ra 1+ Dx < 1 nên lim = lim = lim = 2 .
 Dx® 0- Dx Dx® 0- Dx Dx® 0- Dx
Suy ra hàm số có đạo hàm tại x = 1 khi và chỉ khi a = 2 , suy ra b = - 1 .
Vậy a = 2 ; b = - 1 thỏa yêu cầu bài toán.
 ì 2
 ï - x + a; x ³ - 1
Bài 4. Cho hàm số f (x)= íï . Tìm a , b để hàm số có đạo hàm tại x = - 1 .
 ï 2
 îï x + bx; x < - 1
 Lời giải
Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại x = - 1 thì f (x) liên tục tại x = - 1 .
Ta có
 lim f (x)= lim (- x2 + a)= a- 1 ; f (- 1)= a- 1; lim f (x)= lim (x2 + bx)= 1- b .
 x® - 1+ x® - 1+ x® - 1- x® - 1-
Do đó f (x) liên tục tại x = - 1 khi và chỉ khi a- 1 = 1- b Û a + b = 2 .
Tại x = - 1 cho số gia Dx .
 Dy f (- 1+ Dx)- f (- 1)
 ● Dx > 0 suy ra - 1+ Dx > - 1 nên lim = lim
 Dx® 0+ Dx Dx® 0+ Dx
 2
 - (- 1+ Dx) + a- (- 1+ a)
 = lim = lim (2 + Dx)= 2 .
 Dx® 0+ Dx Dx® 0+
 Dy f (- 1+ Dx)- f (- 1)
 ● Dx < 0 suy ra - 1+ Dx < - 1 nên lim = lim
 Dx® 0- Dx Dx® 0- Dx
 2
 (- 1+ Dx) + b(- 1+ Dx)- (a- 1)
 = lim
 Dx® 0- Dx
 = lim (- 2 + Dx + b)= b- 2.
 Dx® 0-
Suy ra hàm số có đạo hàm tại x = - 1 khi và chỉ khi 2 = b- 2 Û b = 4 , suy ra a = - 2 .
Vậy a = - 2 ; b = 4 thỏa yêu cầu bài toán.
 x
Bài 5. a)Chứng minh hàm số y = liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0 .
 x + 1
 b) Chứng minh hàm số y = 3 x2 liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0 .
 Lời giải a) Ta có
 x x x - x
 lim f (x)= lim = lim = 0 ; f (0)= 0 ; lim f (x)= lim = lim = 0 .
 x® 0+ x® 0+ x + 1 x® 0+ x + 1 x® 0- x® 0- x + 1 x® 0- x + 1
Do đó f (x) liên tục tại x = 0 .
Tại x = 0 cho số gia Dx .
 ● Dx > 0 suy ra 0 + Dx > 0 nên 
 Dx Dx
 Dy f (Dx)- f (0) D + D + 1
 lim = lim = lim x 1 = lim x 1 = lim = 1.
 Dx® 0+ Dx Dx® 0+ Dx Dx® 0+ Dx Dx® 0+ Dx Dx® 0+ Dx + 1
 ● Dx < 0 suy ra 0 + Dx < 0 nên 
 Dx - Dx
 Dy f (Dx)- f (0) D + D + - 1
 lim = lim = lim x 1 = lim x 1 = lim = - 1 .
 Dx® 0- Dx Dx® 0- Dx Dx® 0- Dx Dx® 0+ Dx Dx® 0+ Dx + 1
 Dy Dy
Do lim ¹ lim nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0 .
 Dx® 0+ Dx Dx® 0- Dx
b) Ta có lim f (x)= 0 = f (0). Do đó f (x) liên tục tại x = 0 .
 x® 0
Tại x = 0 cho số gia Dx , ta có
 3 2
 Dy f (0 + Dx)- f (0) (0 + Dx) - 0 1
 lim = lim = lim = lim 3 = ¥ .
 Dx® 0 Dx Dx® 0 Dx Dx® 0 Dx Dx® 0 Dx
Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 0 .
Bài 6. Dùng định nghĩa để tính đạo hàm các hàm số sau
 2x- 1
 a) y = x2 - 3x + 2 tại x = 2 . b) y = tại x = 0 .
 x + 2
 Lời giải
a) Cho biến số một số gia Dx ¹ 0 tại x = 2 .
 2 2
Ta có Dy = f (x + Dx)- f (x)= (x + Dx) - 3(x + Dx)+ 2- (x2 - 3x + 2)= 2xDx + (Dx) - 3Dx .
 Dy
Suy ra = 2x + Dx- 3 .
 Dx
 Dy
Do đó lim = lim(2x + Dx- 3)= 2x- 3 , suy ra f '(2)= 2.2- 3 = 1 .
 x® 0 Dx x® 0
b) Cho biến số một số gia Dx ¹ 0 tại x = 0 sao cho x + Dx ¹ - 2 ..
 2(x + Dx)- 1 2x- 1 5Dx
Ta có Dy = f (x + Dx)- f (x)= - = .
 (x + Dx)+ 2 x + 2 (x + Dx + 2)(x + 2)
 Dy 5
Suy ra = .
 Dx (x + Dx + 2)(x + 2)
 Dy 5 5 5
Do đó lim = lim = , suy ra f '(0)= .
 2
 x® 0 Dx x® 0 (x + Dx + 2)(x + 2) (x + 2) 4 VẤN ĐỀ 02. TÍNH ĐẠO HÀM THEO CÔNG THỨC
Bài 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau
 1
 a) y = 2x4 - x3 + 2 x - 5 . b) y = (x2 - 1)(x2 - 4)(x2 - 9).
 3
 æ ö +
 ç 1 ÷ 2x 1
 c) y = ( x + 1)ç - 1÷. d) y = .
 èç x ø÷ - 3x + 1
 x2 - 3x + 3 1+ x- x2
 e) y = . f) y = .
 x- 1 1- x + x2
 Lời giải
 1
a) Ta có y' = 8x3 - x2 + .
 x
 ¢ ¢ ¢
b) Ta có y' = (x2 - 1) (x2 - 4)(x2 - 9)+ (x2 - 1)(x2 - 4) (x2 - 9)+ (x2 - 1)(x2 - 4)(x2 - 9)
 = 2x(x2 - 4)(x2 - 9)+ (x2 - 1)2x(x2 - 9)+ (x2 - 1)(x2 - 4)2x = 2x(3x4 - 28x2 + 49).
 ¢æ1 ö æ1 ö¢ 1 æ1 ö æ 1 ö 1 æx + 1ö
 = + ç - ÷+ + ç - ÷ = ç - ÷+ + ç- ÷= - ç ÷
c) Ta có y' ( x 1) ç 1÷ ( x 1)ç 1÷ ç 1÷ ( x 1)ç ÷ ç ÷.
 èç x ø÷ èç x ø÷ 2 x èç x ø÷ èç 2x x ø÷ 2 x èç x ø÷
 ¢ ¢
 (2x + 1) (- 3x + 1)- (2x + 1)(- 3x + 1) 2(- 3x + 1)+ 3(2x + 1) 5
d) Ta có y' = = = .
 2 2 2
 (- 3x + 1) (- 3x + 1) (- 3x + 1)
 2 ¢ 2 2
 - + - - - + - ¢ - - - - + 2
 (x 3x 3) (x 1) (x 3x 3)(x 1) (2x 3)(x 1) (x 3x 3) x - 2x
e) Ta có y' = = = .
 2 2 2
 (x- 1) (x- 1) (x- 1)
 ¢ ¢
 (1+ x- x2 ) (1- x + x2 )- (1+ x- x2 )(1- x + x2 )
f) Ta có y' =
 2
 (1- x + x2 )
 2 2
 (1- 2x)(1- x + x )- (1+ x- x )(- 1+ 2x) 2(1- 2x)
 = = .
 2 2
 (1- x + x2 ) (1- x + x2 )
Bài 8. Tính đạo hàm của các hàm số sau
 4 5
 a) y = ( x2 + x + 1) . b) y = (x2 - 2x) .
 2
 1 (x + 1)
 c) y = . d) y = .
 2 3
 (x2 - 2x + 5) (x- 1)
 3 3
 æ2x + 1ö æ 3 ö
 = ç ÷ = ç - ÷
 e) y ç ÷ . f) y ç2 ÷ .
 èç x- 1 ø÷ èç x2 ø÷
 Lời giải ¢ 3 3
a) Ta có y'= 4.( x2 + x + 1) .( x2 + x + 1) = 4.( 2x + 1).( x2 + x + 1) .
 ¢ 4 4
b) Ta có y' = 5.(x2 - 2x) .(x2 - 2x) = 5.(2x- 2).(x2 - 2x) .
 é 2 ù¢
 2
 - êx - 2x + 5 ú 2 ¢ 2
 ê( ) ú - 2.(x - 2x + 5) (x - 2x + 5) - 2.(2x- 2)
c) Ta có y'= ë û = = .
 4 4 3
 (x2 - 2x + 5) (x2 - 2x + 5) (x2 - 2x + 5)
 é 2 ù¢ 3 2 é 3 ù¢
 ê(x + 1) ú .(x- 1) - (x + 1) .ê(x- 1) ú ¢ 3 2 ¢ 2
 ê ú ê ú 2.(x + 1) .(x + 1).(x- 1) - (x + 1) .3.(x- 1) .(x- 1)
d) Ta có y'= ë û ë û =
 6 6
 (x- 1) (x- 1)
 3 2 2 2
 2.(x + 1).(x- 1) - 3(x + 1) .(x- 1) 2.(x + 1).(x- 1)- 3(x + 1) - x2 - 6x- 5
 = = = .
 6 4 4
 (x- 1) (x- 1) (x- 1)
 2 é ¢ ¢ù 2 2
 æ2x + 1ö¢ æ2x + 1ö ê(2x + 1) (x- 1)- (2x + 1)(x- 1) úæ2x + 1ö 9(2x + 1)
e) Ta có y' = 3.ç ÷ .ç ÷ = 3.ê ú.ç ÷ = - .
 ç ÷ ç ÷ ê 2 úç ÷ 4
 è x- 1 ø è x- 1 ø ê x- 1 úè x- 1 ø x- 1
 ë ( ) û ( )
 2 2 2
 æ 3 ö¢ æ 3 ö æ 6 ö æ 3 ö 18 æ 3 ö
 = ç - ÷ ç - ÷ = ç + ÷ç - ÷ = ç - ÷
f) Ta có y' 3.ç2 ÷ .ç2 ÷ 3.ç0 ÷.ç2 ÷ .ç2 ÷ .
 èç x2 ø÷ èç x2 ø÷ èç x3 ø÷èç x2 ø÷ x3 èç x2 ø÷
Bài 9. Tính đạo hàm của các hàm số sau
 a) y = x + x . b) y = (x- 2). x2 + 3 .
 3 3
 c) y = (x- 2) . d) y = (1+ 1- 2x) .
 x3 4x + 1
 e) y = . f) y = .
 - 2
 x 1 x + 2
 Lời giải
 1
 ¢ 1+
 (x + x) 2 x + 1
a) Ta có y'= = 2 x = .
 2 x + x 2 x + x 4. x. x + x
 æ ö¢ x 2x2 - 2x + 3
b) Ta có y' = x- 2 ¢. x2 + 3 + x- 2 .ç x2 + 3÷ = x2 + 3 + x- 2 . = .
 ( ) ( ) èç ø÷ ( )
 x2 + 3 x2 + 3
 é 3 ù¢
 ê(x- 2) ú ¢ 2 2 2
 ê ú 3.(x- 2) .(x- 2) 3(x- 2) 3(x- 2)
c) Ta có y' = ë û = = = .
 3 3 3 3
 2 (x- 2) 2 (x- 2) 2 (x- 2) 2 (x- 2)
 2 æ ö 2 2
 ¢ ç 1 ÷ 3
d) Ta có y' = 3.(1+ 1- 2x) .(1+ 1- 2x) = 3.ç0- ÷.(1+ 1- 2x) = - .(1+ 1- 2x) .
 èç 1- 2x ø÷ 1- 2x 3 ¢ 3 ¢ 2 3
 æ 3 ö¢ (x ) .(x- 1)- x .(x- 1) 3x .(x- 1)- x
 ç x ÷
 ç ÷ 2 2 2
 èçx- 1ø÷ (x- 1) (x- 1) x (2x- 3)
e) Ta có y' = = = = .
 3 3 3 3
 x x x 2 x
 2 2 2 2.(x- 1)
 x- 1 x- 1 x- 1 x- 1
 æ ÷ö
 ¢ 2 ç x ÷
 ¢ 2 æ 2 ö 4 x + 2 - (4x + 1)ç ÷
 (4x + 1) x + 2 - (4x + 1)ç x + 2÷ ç ÷
 èç ø÷ èç x2 + 2 ø÷ - x + 8
f) Ta có y' = = = .
 2 2
 x + 2 x + 2 (x2 + 2) x2 + 2
Bài 10. Tính đạo hàm của các hàm số sau
 æ ö2
 3 ç sin x ÷
 a) y = sin (2x + 1). b) y= ç ÷ .
 èç1+ cos xø÷
 c) y = 2sin2 4x- 3cos3 5x . d) y = sin x + 2x .
 3
 e) y = sin 2 + x2 . f) y = ( 2 + sin2 2x) .
 Lời giải
 = é + ù¢ 2 + = é + ù 2 + = + 2 +
a) Ta có y' 3 ëêsin(2x 1)ûú sin (2x 1) 3 ëê2cos(2x 1)ûúsin (2x 1) 6cos(2x 1)sin (2x 1).
 é ¢ ¢ù
 æ sin x ö¢ æ sin x ö ê(sin x) (1+ cos x)- (sin x)(1+ cos x) úæ sin x ö
b) Ta có y'= 2.ç ÷ .ç ÷= 2.ê ú.ç ÷
 ç ÷ ç ÷ ê 2 úç ÷
 è1+ cos xø è1+ cos xø ê 1+ cos x úè1+ cos xø
 ë ( ) û
 é 2 ù
 êcos x(1+ cos x)+ sin xúæ sin x ö 2(2 + cos x)sin x
 = 2.ê ú.ç ÷= ,
 ê 2 úç ÷ 3
 + è1+ cos xø +
 ëê (1 cos x) ûú (1 cos x)
c) Ta có y' = 2.2.(sin 4x)¢sin 4x- 3.3.(cos 5x)¢.cos2 5x = 2.2.(4.cos 4x)sin 4x- 3.3.(- 5.sin 5x).cos2 5x
 = 8sin 8x + 45sin 5xcos2 5x .
 ¢
 (sin x + 2x) cos x + 2
d) Ta có y' = = .
 2 sin x + 2x 2 sin x + 2x
 ¢
 + 2
 æ ö¢ (2 x ) x
e) Ta có y' = ç 2 + x2 ÷ .cos 2 + x2 = .cos 2 + x2 = .cos 2 + x2 .
 èç ø÷
 2 2 + x2 2 + x2
 ¢ 2 é ù 2
f) Ta có y' = 3.( 2 + sin2 2x) .( 2 + sin2 2x) = 3.ê0 + 2.(sin 2x)¢.sin 2xú.( 2 + sin2 2x)
 ëê ûú
 2 2
 é ù 2 2
 = 3.ë0 + 2.2.cos 2x.sin 2xû.( 2 + sin 2x) = 6sin 4x( 2 + sin 2x) .
Bài 11. Tính đạo hàm của các hàm số sau
 æ + ö
 2 2 2 ç x 1÷
 a) y = sin(cos x tan x). b) y = cos ç ÷.
 èç x - 1ø÷
 Lời giải é ù
 2 2 ¢ 2 2 ê 2 ¢ 2 2 2 ¢ú 2 2
a) Ta có y' = (cos x tan x) .cos(cos x tan x)= ê(cos x) .tan x + cos x.(tan x) ú.cos(cos x tan x)
 ëê ûú
 é ù
 = ê2.(cos x)¢.cos x.tan2 x + cos2 x.2.(tan x)¢.tan xú.cos(cos2 x tan2 x)
 ëê ûú
 é æ 1 ö ù
 = ê2.(- sin x).cos x.tan2 x + cos2 x.2.ç ÷.tan xú.cos cos2 x tan2 x
 ê ç 2 ÷ ú ( )
 ë ècos xø û
 = (- sin 2x.tan2 x + 2 tan x).cos(cos2 x tan2 x).
 é ù
 é æ öù¢ æ ö æ ö¢ æ ö æ ö
 ê ç x + 1÷ú ç x + 1÷ êç x + 1÷ ç x + 1÷ú ç x + 1÷
b) Ta có y' = 2. cosç ÷ .cosç ÷= - 2.êç ÷ .sinç ÷ú.cosç ÷
 ê ç ÷ú ç ÷ êç ÷ ç ÷ú ç ÷
 ê èç x - 1ø÷ú èç x - 1ø÷ êèç x - 1ø÷ èç x - 1ø÷ú èç x - 1ø÷
 ë û ë û
 é ù
 ê ¢ú
 æ ö¢ æ + ö 2( x - 1) æ + ö æ + ö
 ç 2 ÷ ç x 1÷ ê ú ç x 1÷ 1 ç x 1÷
 = - ç1+ ÷ .sin 2ç ÷= - ê0- ú.sin 2ç ÷= .sin 2ç ÷.
 èç - ø÷ ç - ÷ ê 2 ú ç - ÷ 2 ç - ÷
 x 1 è x 1ø ê x - 1 ú è x 1ø x. x - 1 è x 1ø
 ë ( ) û ( )
 æ ö
 ç3p x÷
Bài 12. Cho hàm số f (x)= 1- sin(p + x)+ 2cosç + ÷. Giải phương trình f ¢(x)= 0 .
 èç 2 2ø÷
 Lời giải
 æ ö
 ç3p x÷ x
Ta có f ¢(x)= 0- cos(p + x)- sinç + ÷= cos x + cos .
 èç 2 2ø÷ 2
 x x x x x 1
Phương trình f ¢(x)= 0 Û cos x + cos = 0 Û 2cos2 + cos - 1 = 0 Û cos = - 1 hoặc cos = .
 2 2 2 2 2 2
 x x
● cos = - 1 Û = p + k2p Û x = 2p + k4p , (k Î ¢).
 2 2
 x 1 x p x p 2p
● cos = Û cos = cos Û = ± + k2p Û x = ± + k4p , (k Î ¢).
 2 2 2 3 2 3 3
 2p
Vậy phương trình f ¢(x)= 0 có nghiệm x = 2p + k4p ; x = ± + k4p , (k Î ¢).
 3
Bài 13. Giải phương trình f ¢(x)= g(x) với f (x)= sin3 2x và g(x)= 4cos 2x- 5sin 4x .
 Lời giải
Ta có f ¢(x)= 3.(sin 2x)¢.sin2 2x = 6cos 2xsin2 2x .
Phương trình f ¢(x)= g(x)Û 6cos 2xsin2 2x = 4cos 2x- 5sin 4x Û 2cos 2x(3sin2 x- 2 + 5sin 2x)= 0 .
 p p p
● cos 2x = 0 Û 2x = + kp Û x = + k , (k Î ¢).
 2 4 2
 é
 é = - ê 1
 êsin x 2 x = arcsin + k2p
 2 1 ê 3
● 3sin x + 5sin 2x- 2 = 0 Û ê 1 Û sin x = Û ê , (k Î ¢).
 êsin x = 3 ê 1
 ëê 3 êx = p - arcsin + k2p
 ëê 3
 p p 1 1
Vậy phương trình f ¢(x)= g(x) có nghiệm x = + k ; x = arcsin + k2p ; x = p - arcsin + k2p , (k Î ¢).
 4 2 3 3 x2
Bài 14. Giải bất phương trình f ¢(x)> g¢(x) với f (x)= 2x3 - x2 + 3 và g(x)= x3 + - 3 .
 2
 Lời giải
Ta có f ¢(x)= 6x2 - 2x và g¢(x)= 3x2 + x .
 é <
 ¢ ¢ 2 2 2 êx 0
Bất phương trình f (x)> g (x)Û 6x - 2x > 3x + x Û 3x - 3x > 0 Û ê .
 ëx > 1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình f ¢(x)> g¢(x) là S = (- ¥ ;0)È(1;+ ¥ ).
 mx3
Bài 15. Cho hàm số f (x)= - 3x2 + mx- 5 . Xác định m để f ¢(x)> 0 với mọi x Î ¡ .
 3
 Lời giải
Ta có f ¢(x)= mx2 - 6x + m .
Yêu cầu bài toán Û mx2 - 6x + m > 0 , " x Î ¡ . (*)
● m = 0 , bất phương trình trở thành - 6x > 0 Û x < 0 : không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 ì 2
 ï D ' = 9- m 3
● m ¹ 0 . Khi đó (*)Û í Û íï Û m > 3 .
 ï ï
 îï m > 0 îï m > 0
Vậy m > 3 thỏa yêu cầu bài toán.
 1
Bài 16. Cho hàm số f (x)= x3 - 2x2 + mx + 5 . Xác định m để f ¢(x)< 0 với mọi x Î (0; 2).
 3
 Lời giải
Ta có f ¢(x)= x2 - 4x + m .
Yêu cầu bài toán Û x2 - 4x + m < 0 , " x Î (0; 2).
 ïì D ' = 4- m < 0
● Trường hợp 1. x2 - 4x + m < 0 , " x Î ¡ Û íï : vô lý.
 îï 1< 0
 ¢
● Trường hợp 2. Phương trình f (x)= 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 £ 0 < 2 £ x2 
 ïì
 ï f ¢(0)£ 0 ïì m £ 0
 Û íï Û íï Û m £ 0 .
 ï ¢ £ ï 4- 8 + m £ 0
 îï f (2) 0 î
Vậy m £ 0 thỏa yêu cầu bài toán.
 1
Bài 17. Cho hàm số f (x)= x3 - (2m + 1)x2 + m2x- 4 . Xác định m để
 3
 a) f ¢(x)> 0 với mọi x > 0 .
 b) f ¢(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
 c) Trong trường hợp f ¢(x)= 0 có hai nghiệm, tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m .
 Lời giải
Ta có f ¢(x)= x2 - 2(2m + 1)x + m2 .
a) Yêu cầu bài toán x2 - 2(2m + 1)x + m2 0 . ïì 2 2
 2 2 ï D ' = (2m + 1) - m < 0 1
● Trường hợp 1. x - 2(2m + 1)x + m > 0 , " x Î ¡ Û íï Û - 1< m < - .
 ï 3
 îï 1> 0
 ¢
● Trường hợp 2. Phương trình f (x)= 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 £ x2 £ 0 
 ïì 1
 ïì 2 ï m £ - 1 Ú m ³ -
 ï D ' = 3m + 4m + 1³ 0 ï 3
 ï ï
 ï ï 2
 Û í f ¢(0)³ 0 Û íï m ³ 0 Û m £ - 1 .
 ï ï
 ï 2m + 1£ 0 ï 1
 ï ï m £ -
 îï ï
 îï 2
 1
Kết hợp hai trường hợp ta được m < - thỏa yêu cầu bài toán.
 3
 ì
 ì ïì 2 ï 1
 ï D ' > 0 ï 3m + 4m + 1> 0 ï m -
b) Phương trình f ¢(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu Û í Û í Û í 3 .
 îï P > 0 ï m2 > 0 ï
 îï îï m ¹ 0
 1
Vậy m < - 1 hoặc - < m ¹ 0 thỏa yêu cầu bài toán.
 3
 ém £ - 1
 2 ê
c) Để phương trình f ¢(x)= 0 có hai nghiệm Û D ' = 3m + 4m + 1³ 0 Û ê 1 .
 êm ³ -
 ëê 3
 ïì
 ï x1 + x2 = 2(2m + 1) (1)
Theo định lý Vi-et, ta có íï .
 ï = 2
 îï x1.x2 m (2)
 æ ö2
 x1 + x2 - 2 çx1 + x2 - 2÷
Từ (1) suy ra m = . Thay vào (2), ta được x .x = ç ÷ .
 4 1 2 èç 4 ø÷
 æ ö2
 çx1 + x2 - 2÷
Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là x .x = ç ÷ .
 1 2 èç 4 ø÷
 VẤN ĐỀ 03. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG
 Q Phương pháp. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là (C).
 1. Khi biết tiếp điểm: Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M(x0 ; y0 ) có phương trình là 
 ¢
 y = f (x0 ).(x- x0 )+ y0 .
 2. Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc là k thì ta gọi 
 ¢
 M(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Suy ra f (x0 )= k . (1)
 Giải phương trình (1) tìm x0 , suy ra y0 = f (x0 ). 
 Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng: y = k(x- x0 )+ y0 .
 Chú ý: 
 ¢
 a) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M(x0 ; y0 ) thuộc (C) là k = f (x0 )= tana . Trong đó là 
 góc giữa chiều dương của trục hoành và tiếp tuyến.
 b) Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau .
 c) Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng - 1 .