Tự luận Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục

 PHAÀN B – GIÔÙI HAÏN CUÛA HAØM SOÁ. HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC
CHUÛ ÑEÀ 01. GIÔÙI HAÏN CUÛA HAØM SOÁ
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm
 1.1. Giới hạn hữu hạn: Cho x0 Î (a;b), f (x) là hàm số xác định trên tập hợp: D = (a;b)\{x0 } , nếu với mọi dãy 
 số xn Î (a;b)\{x0 } sao cho lim xn = x0 , ta đều có: lim f (xn )= L , thì lúc đó ta nói hàm số f (x) có giới hạn là 
 L khi dần đến x0 và được kí hiệu: lim f (x)= L . 
 x® x0
 · Chú ý:
 lim x = x0 lim C = C , (C: hằng số).
 x® x0 x® x0
 1.2. Giới hạn vô cực: Cho x0 Î (a;b), f (x) là hàm số xác định trên tập hợp: 
 · Nếu với mọi dãy số (xn ) với xn Î (a;b)\{x0 } sao cho lim xn = x0 , ta đều có: lim f (xn )= + ¥ thì ta nói 
 lim f (x)= + ¥ . 
 x® x0
 · Nếu với mọi dãy số (xn ) với xn Î (a;b)\{x0 } sao cho lim xn = x0 , ta đều có: lim f (xn )= - ¥ thì ta nói 
 lim f (x)= - ¥ . 
 x® x0
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
 2.1. Các định nghĩa: 
 · Cho f (x) là hàm số xác định trên (a;+ ¥ ) , nếu với mọi dãy số (xn ) với xn Î (a;+ ¥ )và lim xn = + ¥ , ta 
 đều có: lim f (xn )= L thì ta nói lim f (x)= L .
 x® + ¥
 · Các giới hạn lim f (x)= + ¥ ; lim f (x)= - ¥ ; lim f (x)= L; lim f (x)= + ¥ ; lim f (x)= - ¥ được 
 x® + ¥ x® + ¥ x® - ¥ x® - ¥ x® - ¥
 định nghĩa hoàn toàn tương tự.
 2.2. Các giới hạn đặc biệt: 
 ì
 ï + ¥ khi k = 2n
 · lim xk = + ¥ lim xk = íï
 ® + ¥ ® - ¥ ï
 x x îï - ¥ khi k = 2n+ 1
 C
 · lim C = C , (C là hằng số) lim = 0
 x® ± ¥ x® ± ¥ xk
3. Một số định lí về giới hạn
 3.1. Định lí 1: Nếu lim f (x)= L và lim g(x)= M thì:
 x® x0 x® x0
 (x® ± ¥ ) (x® ± ¥ )
 · é + ù= +
 lim ëêf (x) g(x)ûú L M 
 x® x0
 (x® ± ¥ )
 · é - ù= -
 lim ëêf (x) g(x)ûú L M 
 x® x0
 (x® ± ¥ ) · é ù= é ù= k = k Î ¢ +
 lim ëêf (x).g(x)ûú L.M ; lim ëêC. f (x)ûú C.L , (C là hằng số); lim C.x C.x0 , (C là hằng số, k )
 x® x0 x® x0 x® x0
 (x® ± ¥ ) (x® ± ¥ )
 f (x) L
 · lim = khi M ¹ 0
 ® ( )
 x x0 g(x) M
 (x® ± ¥ )
 3.2. Định lí 2: Giả sử lim f (x)= L
 x® x0
 (x® ± ¥ )
 · lim f (x) = L ;
 x® x0
 (x® ± ¥ )
 · lim 3 f (x) = 3 L ;
 x® x0
 (x® ± ¥ )
 · Nếu f (x)³ 0," x Î (x0 - e; x0 + e)\{x0 } ,(e> 0) và lim f (x)= L thì L ³ 0 và lim f (x) = L .
 x® x0 x® x0
 3.3. Định lí 3: Cho 3 hàm số f (x), g(x),h(x) xác định trên tập: D = (x0 - e; x0 + e)\{x0 } ,(e> 0)
 Nếu f (x)£ g(x)£ h(x)," x Î D và lim g(x)= lim h(x)= L thì: lim h(x)= L .
 x® x0 x® x0 x® x0
 Từ đó ta chứng minh được:
 sin x sinu(x)
 lim = 0 Þ lim = 1 khi lim u(x)= 0 .
 ® ® ®
 x x0 x x x0 u(x) x x0
4. Giới hạn một bên
 4.1. Các định nghĩa:
 · Giới hạn bên phải: Giả sử f (x) là hàm số xác định trên khoảng (x0 ;b), nếu với mọi dãy số (xn ) với xn > x0 
 và lim xn = x0 , ta đều có: lim f (xn )= L , thì lúc đó ta nói hàm số f (x) có giới hạn bên phải là số thực L khi 
 dần đến x và được kí hiệu: lim f x = L .
 0 + ( )
 x® x0
 · Giới hạn bên trái: Giả sử f (x) là hàm số xác định trên khoảng (a; x0 ), nếu với mọi dãy số (xn ) với xn < x0 
 và lim xn = x0 , ta đều có: lim f (xn )= L , thì lúc đó ta nói hàm số f (x) có giới hạn bên trái là số thực L khi 
 dần đến x và được kí hiệu: lim f x = L .
 0 - ( )
 x® x0
 · Giới hạn vô cực: Giả sử f (x) là hàm số xác định trên khoảng (x0 ;b), nếu với mọi dãy số (xn ) với xn > x0 
 và lim xn = x0 , ta đều có: lim f (xn )= + ¥ , thì lúc đó ta nói hàm số f (x) có giới hạn bên phải là vô cực khi 
 dần đến x và được kí hiệu: lim f x = + ¥ .
 0 + ( )
 x® x0
 Các định nghĩa lim f x = - ¥ , lim f x = + ¥ , lim f x = - ¥ được phát biểu tương tự trên.
 + ( ) - ( ) - ( )
 x® x0 x® x0 x® x0
 4.2. Định lí:
 lim f x = L Û lim f x = lim f x = L
 ( ) + ( ) - ( )
 x® x0 x® x0 x® x0
 lim f x = + ¥ Û lim f x = lim f x = + ¥
 ( ) + ( ) - ( )
 x® x0 x® x0 x® x0
 lim f x = - ¥ Û lim f x = lim f x = - ¥
 ( ) + ( ) - ( )
 x® x0 x® x0 x® x0 5. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực:
 1
 · Nếu lim f (x) = + ¥ thì lim = 0
 x® x0 x® x0 f (x)
 ïì + ¥ khi L và lim g x cùng dâ'u
 ï ( )
 ï x® x0
 · Nếu lim f (x) = L ¹ 0 và lim g(x)= ± ¥ thì lim f (x).g(x)= íï
 ® ® ® ï '
 x x0 x x0 x x0 ï - ¥ khi L và lim g(x)trái dâ u
 ï ®
 îï x x0
 ïì + ¥ khi L và lim g x cùng dâ'u
 ï ( )
 f (x) ï x® x0
 · Nếu lim f (x) = L ¹ 0 và lim g(x)= 0 thì lim = íï
 ® ® ® ï '
 x x0 x x0 x x0 g(x) ï - ¥ khi L và lim g(x)trái dâ u
 ï ®
 îï x x0
 VẤN ĐỀ 01. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Bài 1. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
 x2 - 3x- 4 x2 - 4
 a) lim . b) lim .
 2
 x® - 1 x + 1 x® 1 (x- 1)
 æ ö
 ç 2 ÷ x
 c) lim çx- 9x + 2÷. d) lim(x- 2)sin .
 x® - ¥ è ø x® 2 x2 - 4
 Lời giải
 x2 - 3x- 4
a) Xét hàm số: f (x)= , với mọi dãy số (x )mà x ¹ - 1," n 
 x + 1 n n
 2
 xn - 3xn - 4 (xn + 1)(xn - 4)
và lim xn = - 1 , ta có: f (xn )= = = xn - 4 
 xn + 1 xn + 1
 x2 - 3x- 4
 Þ f (xn )= lim(xn - 4)= lim xn - lim 4 = - 1- 4 = - 5 , nên lim = - 5 .
 x® - 1 x + 1
 x2 - 4
b) Xét hàm số: f (x)= lim , với mọi dãy số (x )mà x ¹ 1," n 
 2 n n
 x® 1 (x- 1)
 x 2 - 4
và lim x = 1, ta có: f (x )= n 
 n n 2
 (xn - 1)
 2 2 2 2 2
Do lim(xn - 4)= 1 - 4 = - 3 0 
 x2 - 4
 Þ f (x )= - ¥ , nên lim = - ¥ .
 n 2
 x® 1 (x- 1)
 æ ö
 ç 2 ÷
c) Xét hàm số: f (x)= lim çx- 9x + 2÷, với mọi dãy số (xn )mà xn = - ¥ ," n , ta có: 
 x® - ¥ èç ø÷
 æ ÷ö
 2 2 ç 2 ÷
 f (x )= x - 9x + 2 = x - x 9 + = x ç1+ 9 + ÷ 
 n n n n n 2 n ç 2 ÷
 xn èç xn ø÷ æ ö
 ç 2 ÷ æ ö
 = - ¥ ç + + ÷= + = > Þ = - ¥ ç - 2 + ÷= - ¥
Do lim xn ; limç1 9 ÷ 1 3 4 0 lim f (xn ) , nên lim çx 9x 2÷ .
 ç 2 ÷ x® - ¥ è ø
 èç xn ø÷
 x
d) Xét hàm số: f (x)= (x- 2)sin , với mọi dãy số (xn )mà xn ¹ 2," n 
 x2 - 4
 x
và lim x = 2 , ta có: f (x )= (x - 2)sin n 
 n n n 2
 xn - 4
 x
Do f (x ) = x - 2 . sin n £ x - 2 ," n và lim x - 2 = 2- 2 = 0 
 n n 2 n n
 xn - 4
 x
 Þ f (xn )= 0 , nên lim(x- 2)sin = 0 .
 x® 2 x2 - 4
Bài 2. Dùng định nghĩa tìm giới hạn của hàm số
 æ ö 2
 ç 1÷ 3x - x + 1
 a) limçx.sin ÷. b) lim .
 x® 0èç xø÷ x® 2 x- 1
 x2 + 2x- 3
 c) lim .
 x® 1 2x2 - x- 1
 Lời giải
a) Xét dãy (xn ) mà xn ¹ 0," n và lim xn = 0 . Ta có
 1
 f (xn ) = xn sin £|xn |.
 xn
 æ ö
 ç 1÷
Vì lim|xn |= 0 Þ lim f (xn )= 0. Do đó limçx.sin ÷= 0 .
 x® 0èç xø÷
 3x2 - x + 1
b) Hàm số f (x) = xác định trên ¡ \{1} .
 x- 1
Giả sử (xn ) là dãy số tùy ý mà xn ® 2 .
 2 2
 3xn - xn + 1 3.2 - 2 + 1
Khi đó lim f (xn ) = = = 11 .
 xn - 1 2- 1
 3x2 - x + 1
Vậy lim = 11 .
 x® 2 x- 1
 x2 + 2x- 3 ïì 1ïü
c) Hàm số f (x) = xác định trên ¡ \íï 1, ýï .
 2x2 - x- 1 îï 2þï
Giả sử (xn ) là dãy số tùy ý mà xn ® 1 .
 2
 xn + 2xn - 3 (xn - 1)(xn + 3) xn + 3 4
Khi đó f (xn ) = lim = lim = lim = .
 2 - - 1 1 3
 2xn xn 1 2(x - 1)(x + ) 2(x + )
 n n 2 n 2
 x2 + 2x- 3 4
Vậy lim = .
 x® 1 2x2 - x- 1 3 3
Bài 3. Chứng minh rằng lim sin không tồn tại.
 x® - 1 x + 1
 Lời giải
 3
Xét hàm số: f (x)= sin . Chọn các dãy số
 x + 1
 3 6
 (x ) với x = - 1 và (x ') với x ' = - 1
 n n 2np n n (4n+ 1)p
 æ ö
 æ 3 ö ç 6 ÷
 = ç - ÷= - = ç - ÷= -
Ta thấy lim xn limç 1÷ 1, lim xn ' limç 1÷ 1 
 èç2np ø èç(4n+ 1)p ø÷
 3
 Þ f (x )= sin = sin(2np)= 0 Þ lim f (x )= lim 0 = 0 ;
 n 3 n
 - 1+ 1
 2np
 æ ö
 3 çp ÷
 f (xn ')= sin = sinç + 2np÷= 1 Þ lim f (xn ')= 1 
 6 èç2 ø÷
 4np + p
 3
Vì lim f (xn )¹ lim f (xn ') nên lim sin không tồn tại.
 x® - 1 x + 1
 VẤN ĐỀ 02. TÍNH GIỚI HẠN THEO QUY TẮC
Bài 4. Tìm các giới hạn sau
 (x3 - 3x)(x + 1)
 a) lim (3x2 - 2x + 1). b) lim .
 x® - 1 x® 2 x2 + 3
 Lời giải
 2
a) lim (3x2 - 2x + 1) = 3 lim x2 - 2 lim x + lim 1 = 3(1) - 2.1+ 1 = 2 
 x® - 1 x® - 1 x® - 1 x® - 1
b) Do lim(x2 + 3)= 22 + 3 = 7 ¹ 0 , lim(x3 - 3x)(x + 1)= lim(x3 - 3x).lim(x + 1)= (23 - 3.2).(2 + 1)= 6 
 x® 2 x® 2 x® 2 x® 2
 3 - +
 (x 3x)(x 1) 6
Nên lim = .
 x® 2 x2 + 3 7
Bài 5. Tìm các giới hạn sau
 x2 2x4 + 3x + 2
a) lim . b) lim 3 . 
 x® 3 x3 - x- 6 x® - 2 x2 - x + 2
 Lời giải
 x2 x2 32 1
a) lim ; do lim = = > 0 
 x® 3 x3 - x- 6 x® 3 x3 - x- 6 33 - 3- 6 2
 x2 1 2
 Þ lim = = .
 x® 3 x3 - x- 6 2 2
 2x4 + 3x + 2 2x4 + 3x + 2 7 2x4 + 3x + 2 7 3 28
b) lim 3 ; do lim = Þ lim 3 = 3 = .
 x® - 2 x2 - x + 2 x® - 2 x2 - x + 2 2 x® - 2 x2 - x + 2 2 2 Bài 6. Tìm các giới hạn sau
 x2 - 3x + 2 x + 2 2x + 5
 a) lim . b) lim . 
 x® 2 x2 - 4 x® - 2 x + 2
 Lời giải
 x2 - 3x + 2 - (x- 1)(x- 2) - x + 1 1
a) Ta có lim = lim = lim = - .
 x® 2 x2 - 4 x® 2 (x- 2)(x + 2) x® 2 x + 2 4
 x2 - 3x + 2 1 1
Suy ra lim = - = .
 x® 2 x2 - 4 4 4
 2
 x + 2 x + 5 x - 4(2x + 5) x2 - 8x- 20
b) Ta có lim = lim = lim
 x® - 2 x + 2 x® - 2 (x + 2)(x- 2 2x + 5) x® - 2 (x + 2)(x- 2 2x + 5)
 (x + 2)(x- 10) x- 10
 = lim = lim = 3 .
 x® - 2 (x + 2)(x- 2 2x + 5) x® - 2 (x- 2 2x + 5)
 VẤN ĐỀ 03. GIỚI HẠN MỘT BÊN
Bài 7. Tìm các giới hạn sau
 x- 15 1+ 3x- 2x2
 a) lim . b) lim . 
 x® 2+ x- 2 x® 3- x- 3
 Lời giải
a) Ta có: lim (x- 15)= 2- 15 = - 13 0 (do x ® 2+ Þ x > 2) 
 x® 2+ x® 2+
 x- 15
 Þ lim = - ¥ . 
 x® 2+ x- 2
 1+ 3x- 2x2
b) Ta có: lim = 1+ 3.3- 18 = - 8 < 0, lim (x- 3)= 0, x- 3 < 0 (do x ® 3- Þ x < 3)
 x® 3- x- 3 x® 3-
 1+ 3x- 2x2
 Þ lim = + ¥ . 
 x® 3- x- 3
Bài 8. Tìm các giới hạn sau
 x2 - 3x + 1 - 1+ 3x- 2x2
 a) lim . b) lim .
 + +
 x® (- 2) x + 2 x® 1 x- 1
 Lời giải
 2 æ + ö
a) Ta có: lim x - 3x + 1 = 11> 0, lim x + 2 = 0, x + 2 > 0 çdo x ® (- 2) Þ x > - 2÷
 + + èç ø÷
 x® (- 2) x® (- 2)
 x2 - 3x + 1
 Þ lim = + ¥ . 
 +
 x® (- 2) x + 2
 2
 2 - 2x- 1 x- 1
 - 1+ 3x- 2x - (2x- 1)(x- 1) ( )( ) é ù
b) Ta có lim = lim = lim = lim ê- (2x- 1) x- 1ú= 0 .
 x® 1+ x- 1 x® 1+ x- 1 x® 1+ x- 1 x® 1+ ë û Bài 9. Tính các giới hạn sau
 x- 5 x- 5
 a) lim . b) lim .
 x® 5+ x2 - 25 x® 5- x2 - 25
 Lời giải
 x- 5 x- 5 1 1
a) Ta có : lim = lim = lim = .
 x® 5+ x2 - 25 x® 5+ (x- 5)(x + 5) x® 5+ x + 5 10
 x- 5 5- x - 1 1
b) Ta có : lim = lim = lim = - .
 x® 5- x2 - 25 x® 5- (x- 5)(x + 5) x® 5- x + 5 10
 x- 5 x- 5 x- 5
Lưu ý : Do lim ¹ lim nên không tồn tại lim .
 x® 5+ x2 - 25 x® 5- x2 - 25 x® 5 x2 - 25
 ì 2
 ï x - 3x + 2
 ï khi x > 1
 ï 2
Bài 10. Cho hàm số f (x)= í x - 1 . Tính các giới hạn sau
 ï x
 ï - khi x £ 1
 îï 2
 a) lim f (x). b) lim f (x). c) lim f (x), (nếu có). 
 x® 1- x® 1+ x® 1
 Lời giải
 æ ö
 ç x÷ 1
a) lim f (x) = lim ç- ÷= - . 
 x® 1- x® 1- èç 2ø÷ 2
 x2 - 3x + 2 (x- 1)(x- 2) x- 2 1
b) lim f (x)= lim = lim = lim = - .
 x® 1+ x® 1+ x2 - 1 x® 1+ (x- 1)(x + 1) x® 1+ x + 1 2
 1 1
c) Ta có lim f (x) = lim f (x)= - . Nên lim f (x)= - .
 x® 1- x® 1+ 2 x® 1 2
 é ù
 = lim ê- (2x- 1)( x- 1)ú= - (2- 1) 1- 1 = 0 .
 x® 1+ ë û
 ì 3
 ï x khi x < - 1
Bài 11. Cho hàm số f (x)= íï . Tìm lim f (x).
 ï 2 ® -
 îï 2x - 3 khi x ³ - 1 x 1
 Lời giải
 2
Ta có lim f x = lim 2x2 - 3 = 2. - 1 - 3 = - 1 ; lim f x = lim x3 = - 1 .
 + ( ) + ( ) ( ) - ( ) -
 x® (- 1) x® (- 1) x® (- 1) x® (- 1)
Do lim f x = lim f x nên lim f x = - 1 .
 + ( ) - ( ) ( )
 x® (- 1) x® (- 1) x® - 1
 VẤN ĐỀ 04. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
Bài 12. Tính các giới hạn sau
 é æ öù
 3 + + ê ç 2 + ÷ú
 3x x 1 ç x 7x ÷
 a) lim . b) lim ê(1- 2x)ç3- ÷ú.
 x® - ¥ x2 + 3x- 1 x® + ¥ ê ç x2 - 1 ÷ú
 ëê è øûú
 Lời giải æ ö
 3 ç 1 1 ÷ 1 1
 x ç3 + + ÷ 3 + +
 3x3 + x + 1 èç 2 3 ø÷ 2 3
a) Ta có lim = lim x x = lim x× x x = - ¥ .
 2 æ ö
 x® - ¥ x + 3x- 1 x® ¥ 2 3 1 x® - ¥ 3 1
 x ç1+ - ÷ 1+ -
 ç 2 ÷ 2
 è x x ø÷ x x
 é æ öù
 ê ç 7 ÷ú
 é 2 ù ç 1+ ÷
 ê x + 7x ú ê æ1 öç ÷ú
b) Ta có lim ê(1- 2x)(3- )ú = lim êxç - 2÷ç3- x ÷ú = - ¥ .
 2 ê èç ø÷ç ÷ú
 x® + ¥ ëê x - 1 ûú x® + ¥ ê x ç 1 ÷ú
 ç 1- ÷
 ëê è x øûú
 æ ö
 ç 7 ÷
 æ ö ç 1+ ÷
 ç1 ÷ ç x ÷
Vì lim x = + ¥ ; lim ç - 2÷= - 2 , lim ç3- ÷= 2 .
 x® ¥ x® + ¥ èx ø x® + ¥ ç 1 ÷
 ç 1- ÷
 èç x ø÷
Bài 13. Tính các giới hạn sa
 x- 1 3x- 1
 a) lim x . b) lim . 
 3 2
 x® + ¥ 4x + x x® - ¥ 9x2 + 2x- 1
 Lời giải
 1
 1-
 x- 1 x3 - x2 x3 - x2 1 1
a) Ta có lim x = lim = lim = lim x = = .
 x® + ¥ 3 2 x® + ¥ 3 2 x® + ¥ 3 2 x® + ¥ 1 4 2
 4x + x 4x + x 4x + x 4 +
 x
 æ ö
 ç 1÷
 xç3- ÷
 3x- 1 3x- 1 èç xø÷
b) Ta có lim = lim = lim
 x® - ¥ 2 x® - ¥ 2 1 x® - ¥ 2 1
 9x + 2x- 1 x 9 + - - x 9 + -
 x x2 x x2
 1
 3-
 3
 = lim x = = - 1 .
 x® - ¥ 2 1 - 3
 - 9 + -
 x x2
Bài 14. Tính các giới hạn sau
 æ 2 ö æ 2 ö
 a) lim ç x + x + 1 - x÷. b) lim ç x + 3x + 1 + x÷.
 x® + ¥ èç ø÷ x® - ¥ èç ø÷
 Lời giải
 1
 +
 æ ö 2 + + - 2 + 1
 ç 2 ÷ x x 1 x x 1 x 1
a) Ta có lim ç x + x + 1 - x÷= lim = lim = lim = .
 x® + ¥ è ø x® + ¥ 2 x® + ¥ 2 x® + ¥ 1 1 2
 x + x + 1 + x x + x + 1 + x 1+ + + 1
 x x2
 1 1
 3 + 3 +
 æ ö 3x + 1 3
b) Ta có lim ç x2 + 3x + 1 + x÷= lim = lim x = lim x = - .
 èç ø÷
 x® - ¥ x® - ¥ x2 + 3x + 1 - x x® - ¥ x2 + 3x + 1 x® - ¥ 3 1 2
 - 1 - 1+ + - 1
 x x x2 Bài 15. Tính các giới hạn sau
 5x + 3 1- x x2 + 2x + 3x
 a) lim .B lim .
 x® - ¥ - x® + ¥ 2
 1 x 4x + 1 - x + 2
 Lời giải
 3 1- x 1 1
 5 + 5 + 3 -
 5x + 3 1- x 2 x
a) Ta có lim = lim x = lim x = - 5 .
 x® - ¥ 1- x x® - ¥ 1 x® - ¥ 1
 - 1 - 1
 x x
 æ ö
 2 ç 2 ÷ 2
 2 x 1+ + 3x xç 1+ + 3÷ 1+ + 3
 x + 2x + 3x èç x ø÷
b) Ta có lim = lim x = lim = lim x = 4 .
 x® + ¥ 2 x® + ¥ x® + ¥ æ ö x® + ¥
 4x + 1 - x + 2 1 ç 1 2÷ 1 2
 x 4 + - x + 2 xç 4 + - 1+ ÷ 4 + - 1+
 x èç x xø÷ x x
Bài 16. Tính các giới hạn sau
 (2x- 1)(x + 3)- x x3 - 3x + 1
 a) lim . b) lim .
 x® + ¥ 4- x + 2 x x® - ¥ 2x2 - x3
 Lời giải
 é æ 1öæ 3ö 1 ù
 ê ç2- ÷ç1+ ÷- ú
 (2x- 1)(x + 3)- x (2x- 1)(x + 3)- x ê èç xø÷èç xø÷ x ú
a) Ta có lim = lim = lim êx. ú
 x® + ¥ - + x® + ¥ - + x® + ¥ ê 4 ú
 4 x 2 x 4 x 2x ê + ú
 ê 1 ú
 ë x û
 éæ öæ ö ù
 êç 1÷ç 3÷ 1 ú
 ç2- ÷ç1+ ÷-
 êèç xø÷èç xø÷ x ú 2
Mà lim x = + ¥ , lim ê ú= = 2 > 0
 x® + ¥ ê 4 ú
 ê + ú 1
 ê 1 ú
 ë x û
 (2x- 1)(x + 3)- x
 Þ lim = + ¥ .
 x® + ¥ 4- x + 2 x
 3 1
 1- +
 x3 - 3x + 1 x3 - 3x + 1 2 3 1- 0 + 0
b) lim = lim = lim x x = = - 1 = 1 .
 x® - ¥ 2 3 x® - ¥ 2 3 x® - ¥ 2 0- 1
 2x - x 2x - x - 1
 x VẤN ĐỀ 05. CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH
 0 f (x) 0
 1. Dạng : Nếu lim f (x)= 0 ; lim g(x)= 0 thì lim được gọi là có dạng vô định . Để tính được các 
 ® ® ®
 0 x x0 x x0 x x0 g(x) 0
 (x® ± ¥ ) (x® ± ¥ ) (x® ± ¥ )
dạng giới hạn này ta phải khử dạng vô định, có một số loại thường gặp và cách khử dạng vô định của chúng như sau:
 P(x)
 · Nếu biểu thức dưới dấu giới hạn có dạng: trong đó P(x), Q(x) là hai da thức của x .
 Q(x)
 m
 P(x) (x- x ) .P (x) k
Để khử dạng vô định ta biến đổi: = 0 1 rồi giản ước các thừa số có dạng (x- x ) ; k = max(m,n) .
 Q(x) n 0
 (x- x0 ) .Q1 (x)
 · Nếu biểu thức dưới dấu giới hạn có chứa dấu căn: ta nhân và chia biểu thức liên hợp của biểu thức chứa căn tiến về 
0, rồi làm tương tự như dạng trên ta sẽ khử được dạng vô định.
 ¥ f (x) ¥
 2. Dạng : Nếu lim f (x)= ± ¥ ; lim g(x)= ± ¥ thì lim được gọi là có dạng vô định .
 ® ® ®
 ¥ x x0 x x0 x x0 g(x) ¥
 (x® ± ¥ ) (x® ± ¥ ) (x® ± ¥ )
Chia tử và mẫu cho xk với xk là lũy thừa có số mũ lớn nhất của tử và mẫu, (hoặc rút xk làm nhân tử) sau đó áp dụng 
các định lý về giới hạn hữu hạn hoặc các quy tắc về giới hạn vô cực.
 3. Dạng 0´ ¥ ; ¥ - ¥ : 
 = = ± ¥ é ù ´ ¥
Nếu lim f (x) 0 ; lim g(x) thì lim ëêf (x).g(x)ûú được gọi là có dạng vô định 0 .
 x® x0 x® x0 x® x0
 (x® ± ¥ ) (x® ± ¥ ) (x® ± ¥ )
 = + ¥ = + ¥ é - ù ¥ - ¥
Nếu lim f (x) ; lim g(x) thì lim ëêf (x) g(x)ûú được gọi là có dạng vô định .
 x® x0 x® x0 x® x0
 (x® ± ¥ ) (x® ± ¥ ) (x® ± ¥ )
Khi gặp hai dạng này thì ta tìm cách đưa về một trong hai dạng đầu.
 4. Chú ý: 
Để tìm giới hạn của hàm khi x ® x0 (hoặc x ® ± ¥ ), thì trước hết ta phải xét xem có gặp phải dạng vô định hay 
không? Nếu không gặp phải dạng vô định thì ta có ngay kết quả. Nếu gặp phải dạng vô định thì vận dụng các phương 
pháp nêu trên để khử dạng vô định.
Bài 17. Tìm các giới hạn sau
 x2 + 3x- 10 x3 + 3x2 - 9x- 2
 a) lim . b) lim . 
 x® 2 3x2 - 5x- 2 x® 2 x3 - x- 6
 Lời giải
 x2 + 3x- 10 (x + 5)(x- 2) x + 5
a) Ta có lim = lim = lim = 1 .
 x® 2 3x2 - 5x- 2 x® 2 (3x + 1)(x- 2) x® 2 3x + 1
 2
 3 2 - + + 2
 x + 3x - 9x- 2 (x 2)(x 5x 1) x + 5x + 1 15
b) Ta có lim = lim = lim = .
 x® 2 x3 - x- 6 x® 2 (x- 2)(x2 + 2x + 3) x® 2 x2 + 2x + 3 11
Bài 18. Tìm các giới hạn sau
 x + x2 + ...+ xn - n xn - nx + n- 1
 a) lim . b) lim . 
 2
 x® 1 x- 1 x® 1 (x- 1)
 Lời giải