Tự luận Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Chủ đề 2: Hàm số liên tục

 CHUÛ ÑEÀ 02. HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC
1. Các khái niệm về hàm số liên tục
 1.1. Hàm số liên tục tại một điểm. Hàm số y = f (x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi lim f (x)= f (x0 ).
 x® x0
 1.2. Hàm số liên tục trên một khoảng. Hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (a;b) khi nó liên tục tại mọi điểm 
 thuộc khoảng đó.
 é ù é ù
 1.3. Hàm số liên tục trên một đoạn ëa;bû. Hàm số y = f (x) liên tục trên ëa;bû khi nó liên tục trên khoảng (a;b) và 
 ïì lim f (x)= f (a)
 ï +
 íï x® a .
 ï lim f (x)= f (b)
 îï x® b-
2. Các tính chất của hàm số liên tục
 2.1. Định lí 1.
 Hàm số đa thức liên tục trên ¡ .
 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
 2.2. Định lí 2. Giả sử y = f (x), y = g(x) liên tục tại điểm x0 . Khi đó
 Các hàm số y = f (x)+ g(x), y = f (x)- g(x), y = f (x).g(x) liên tục tại x0
 f (x)
 Hàm số y = liên tục tại x nếu g(x )¹ 0 .
 g(x) 0 0
 2.3. Định lí 3. Nếu y = f (x) liên tục trên éa;bù. Đặt m = min f (x), M = max f (x). Khi đó với mọi C Î (m; M) luôn 
 ë û é ù é ù
 ëa;bû ëa;bû
 tồn tại ít nhất một số c Î (a;b) sao cho f (c)= C .
 é ù
 Hệ quả 1. Nếu y = f (x) liên tục trên ëa;bû và f (a). f (b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c Î (a;b) sao cho 
 é ù
 f (c)= 0 . Nói cách khác: Nếu y = f (x) liên tục trên ëa;bû và f (a). f (b)< 0 thì phương trình f (x)= 0 có ít 
 nhất một nghiệm c Î (a;b).
 é ù
 Hệ quả 2. Nếu y = f (x) liên tục trên ëa;bû và f (x)¹ 0 , " x Î (a;b) thì f (x) không đổi dấu trên (a;b) .
 VẤN ĐỀ 01. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM LOẠI 1
Cho hàm số 
 ïì
 ï f1 (x) khi x ¹ x0
 f (x)= íï .
 ï =
 îï f2 (x) khi x x0
Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0 , ta thực hiện các bước sau
● Bước 1. Tính giới hạn lim f (x)= lim f1 (x)= L .
 x® x0 x® x0
● Bước 2. Tính f (x0 )= f2 (x0 ).
● Bước 3. Đánh giá hoặc giải phương trình L = f2 (x0 ), từ đó đưa ra kết luận. Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số 
 ì 2
 ï x - 2
 ï khi x ¹ 2
 f (x)= í tại x = 2 .
 ï x- 2
 ï
 îï 2 2 khi x = 2
 Lời giải
Hàm số xác định với mọi x Î ¡ .
Ta có 
 x2 - 2 (x- 2)(x + 2)
 lim f (x)= lim = lim = lim (x + 2)= 2 2 .
 x® 2 x® 2 x- 2 x® 2 x- 2 x® 2
 f ( 2)= 2 2 .
Do lim f (x)= f ( 2)= 2 2 nên hàm số liên tục tại x = 2 .
 x® 2
Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số 
 ì 2
 ï x - 4
 ï khi x ¹ 2
 f (x)= í x2 - 2x tại x = 2 .
 ï
 îï 2 khi x = 2
 Lời giải
Hàm số xác định với mọi x Î ¡ .
Ta có 
 x2 - 4 (x- 2)(x + 2) x + 2
 lim f (x )= lim = lim = lim = 2 .
 x® 2 x® 2 x2 - 2x x® 2 x(x- 2) x® 2 x
 f (2)= 2 .
Do lim f (x)= f (2)= 2 nên hàm số liên tục tại x = 2 .
 x® 2
Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số 
 ì
 ï 1- 2x- 3
 ï khi x ¹ 2
 f (x)= í 2- x tại x = 2 .
 ï
 îï 1 khi x = 2
 Lời giải
Hàm số xác định với mọi x Î ¡ .
Ta có 
 1- 2x- 3 2(2- x) 2
 lim f (x )= lim = lim = lim = 1 .
 x® 2 x® 2 2- x x® 2 (2- x)(1+ 2x- 3) x® 2 (1+ 2x- 3)
 f (2)= 1 .
Do lim f (x)= f (2)= 1 nên hàm số liên tục tại x = 2 .
 x® 2 Bài 4. Xét tính liên tục của hàm số 
 ì
 ï sin px
 ï khi x ¹ 1
 f (x)= í x- 1 tại x = 1 .
 ï
 îï - p khi x = 1
 Lời giải
Hàm số xác định với mọi x Î ¡ .
Ta có 
 é ù
 sin px sin(px- p + p) - sin p(x- 1) ê sin p(x- 1)ú
 lim f (x )= lim = lim = lim = lim ê(- p). ú= - p .
 x® 1 x® 1 - x® 1 - x® 1 - x® 1 p -
 x 1 x 1 x 1 ëê (x 1) ûú
 f (1)= - p .
Do lim f (x)= f (1)= - p nên hàm số liên tục tại x = 1 .
 x® 1
Bài 5. Tìm m để hàm số liên tục tại điểm đã chỉ ra
 ì 3 2
 ï x - x + 2x- 2
 ï khi x ¹ 1
 f (x)= í x- 1 tại x = 1 .
 ï
 îï 3x + m khi x = 1
 Lời giải
Hàm số xác định với mọi x Î ¡ .
Ta có 
 2
 x3 x2 2x 2 x 1 x 2 
 lim f x lim lim lim x2 2 3 .
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 f (1)= 3 + m .
Để f x liên tục tại x 1 3 m 3 m 0 .
Vậy với m = 0 hàm số liên tục tại x = 1 .
Bài 6. Tìm m để hàm số liên tục tại điểm đã chỉ ra
 ì
 ï 2 1
 ï x sin khi x ¹ 0
 f (x)= í x tại x = 0 .
 ï
 îï m khi x = 0
 Lời giải
Hàm số xác định với mọi x Î ¡ . Ta có 
 1 1
 0 £ x2 sin £ x2 . Mà lim x2 = 0 . Do đó lim f (x)= lim x2 sin = 0 .
 x x® 0 x® 0 x® 0 x
 f (0)= m .
Để f x liên tục tại x = 0 Û m = 0 .
Vậy với m = 0 hàm số liên tục tại x = 0 .
Bài 7. Tìm m để hàm số liên tục tại điểm đã chỉ ra
 ïì 1+ cos x
 ï khi x ¹ p
 ï 2
 f (x)= íï - p tại x = p .
 ï (x )
 ï
 îï m khi x = p
 Lời giải Hàm số xác định với mọi x Î ¡ . Ta có 
 æ ö é æ öù2
 x 2 çx p÷ ê çx p÷ú
 2cos2 2sin ç - ÷ sinç - ÷
 1+ cos x èç2 2ø÷ 1 ê èç2 2ø÷ú 1
 lim f (x)= lim = lim 2 = lim = lim ê ú = .
 x® p x® p 2 x® p 2 x® p 2 2 x® p ê æx pö ú 2
 (x- p) (x- p) (x- p) ê ç - ÷ ú
 ê ç ÷ ú
 ë è2 2ø û
 f (p)= m .
 1 1
Để f x liên tục tại x = p Û = m . Vậy với m = hàm số liên tục tại x = p .
 2 2
Bài 8. Tìm m để hàm số liên tục tại điểm đã chỉ ra
 ì 2
 ï 2x + 2x
 ï 2mx + khi x ¹ - 1
 ï +
 f (x)= íï 1 x tại x = - 1 .
 ï 1- x - 1+ x
 ï khi x = - 1
 îï x
 Lời giải
Hàm số xác định với mọi x Î ¡ . Ta có 
 æ 2 + ö 2 +
 ç 2x 2x÷ 2x 2x
 lim f (x)= lim ç2mx + ÷= lim 2mx + lim = - 2m + lim 2x = - 2m- 2 .
 x® - 1 x® - 1èç 1+ x ø÷ x® - 1 x® - 1 1+ x x® - 1
 1+ 1 - 1- 1
 f (- 1)= = - 2 .
 - 1
 2- 2
Để f x liên tục tại x = - 1 Û - 2m- 2 = - 2 Û m = .
 2
 2- 2
Vậy với m = hàm số liên tục tại x = - 1 .
 2
 VẤN ĐỀ 02. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM LOẠI 2
Cho hàm số 
 ïì
 ï f1 (x) khi x < x0
 f (x)= íï .
 ï ³
 îï f2 (x) khi x x0
Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0 , ta thực hiện các bước sau
● Bước 1. Tính f (x0 )= f2 (x0 ).
● Bước 2. (Liên tục trái) Tính giới hạn lim f x = lim f x = L .
 - ( ) - 1 ( ) 1
 x® x0 x® x0
Đánh giá hoặc giải phương trình L1 = f2 (x0 ), từ đó đưa ra kết luận.
● Bước 3. (Liên tục phải) Tính giới hạn lim f x = lim f x = L .
 + ( ) + 1 ( ) 2
 x® x0 x® x0
Đánh giá hoặc giải phương trình L2 = f2 (x0 ) , từ đó đưa ra kết luận.
● Bước 4. Đánh giá hoặc giải phương trình L1 = L2 , từ đó đưa ra kết luận. Bài 9. Xét tính liên tục của hàm số 
 ïì x- 5
 ï khi x > 5
 ï
 f (x)= íï 2x- 1 - 3 tại x = 5 .
 ï
 ï 2
 ï - + £
 îï (x 5) 3 khi x 5
 Lời giải
Hàm số xác định với mọi x Î ¡ . Ta có 
 f (5)= 3 .
 é 2 ù
 lim f (x)= lim ê(x- 5) + 3ú= 3 .
 x® 5- x® 5- ëê ûú
 x- 5 (x- 5)( 2x- 1 + 3) 2x- 1 + 3
 lim f (x)= lim = lim = lim = 3 .
 x® 5+ x® 5+ 2x- 1 - 3 x® 5+ 2x- 1- 9 x® 5+ 2
Do lim f (x)= lim f (x) nên hàm số liên tục tại x = 5 .
 x® 5- x® 5+
Bài 10. Xét tính liên tục của hàm số 
 ì
 ï 1- cos x khi x £ 0
 f (x)= í tại x = 0 .
 ï
 îï x + 1 khi x > 0
 Lời giải
Hàm số xác định với mọi x Î ¡ . Ta có 
 f (0)= 1- cos0 = 0 .
 lim f (x)= lim (1- cos x)= 1- cos0 = 0 .
 x® 0- x® 0-
 lim f (x)= lim x + 1 = 0 + 1 = 1 .
 x® 0+ x® 0+
Do lim f (x)¹ lim f (x) nên không tồn tại lim f (x). Vậy hàm số f (x) gián đoạn tại x = 0 .
 x® 0+ x® 0- x® 0
Bài 11. Xét tính liên tục của hàm số 
 ïì 3
 ï x + khi x £ 0
 ï 2
 f (x)= íï tại x = 0 .
 ï x + 1 - 1
 ï khi x > 0
 ï 3
 îï 1+ x - 1
 Lời giải
Hàm số xác định với mọi x Î ¡ . Ta có 
 3
 f (0)= .
 2
 æ ö
 ç 3÷ 3
 lim f (x)= lim çx + ÷= .
 x® 0- x® 0- èç 2ø÷ 2
 æ ö
 ç3 2 3 ÷
 xç (1+ x) + 1+ x + 1÷ 3 2 3
 x + 1 - 1 èç ø÷ (1+ x) + 1+ x + 1 3
 lim f (x)= lim = lim = lim = .
 x® 0+ x® 0+ 3 1+ x - 1 x® 0+ x( x + 1 + 1) x® 0+ x + 1 + 1 2
Do lim f (x)= lim f (x) nên hàm số liên tục tại x = 0 .
 x® 0- x® 0+ Bài 12. Tìm m để hàm số liên tục tại điểm đã chỉ ra
 ì 2
 ï x + x khi x < 1
 ï
 f (x)= íï 2 khi x = 1 tại x = 1 .
 ï
 ï mx + 1 khi x > 1
 îï
 Lời giải
Hàm số xác định với mọi x Î ¡ . Ta có 
 f (1)= 2 .
 lim f (x)= lim (mx + 1)= m + 1 .
 x® 1+ x® 1+
 lim f (x)= lim (x2 + x)= 2 .
 x® 1- x® 1-
Để f x liên tục tại x = 1 Û lim f (x)= lim f (x)= f (1)Û m + 1 = 2 Û m = 1 .
 x® 1+ x® 1-
Vậy với m = 1 hàm số liên tục tại x = 1 .
Bài 13. Cho hàm số
 ì 2
 ï x - 3x + 2
 ï khi x ¹ 1
 f (x)= í x- 1 .
 ï
 ï
 îï a khi x = 1
 a) Tìm a để hàm số liên tục trái tại điểm x = 1 .
 b) Tìm a để hàm số liên tục phải tại điểm x = 1 .
 c) Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x = 1 .
 Lời giải
Ta có 
 ïì x- 2 khi x > 1
 ï
 f (x)= íï a khi x = 1
 ï
 îï 2- x khi x < 1
a) Để f x liên tục trái tại Û lim f (x) tồn tại và lim f (x)= f (1).
 x® 1- x® 1-
Ta có 
 lim f (x)= lim (2- x)= 1 và f (1)= a .
 x® 1- x® 1-
Vậy với a = 1 hàm số liên tục trái tại x = 1 .
b) Để f x liên tục phải tại Û lim f (x) tồn tại và lim f (x)= f (1).
 x® 1+ x® 1+
Ta có 
 lim f (x)= lim (x- 2)= - 1 và f (1)= a .
 x® 1+ x® 1+
Vậy với a = - 1 hàm số liên tục trái tại x = 1 .
c) Do lim f (x)¹ lim f (x) nên hàm số không liên tục tại x = 1 .
 x® 1- x® 1+ VẤN ĐỀ 03. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, TRÊN MỘT ĐOẠN
Bài 14. Cho hàm số f (x) xác định bởi 
 ì 2
 ï x - x- 2 khi x ³ 3
 ï
 f (x)= í x- 3 .
 ï khi - 1< x < 3
 îï x + 1 - 2
Chứng minh rằng hàm số liên tục trên khoảng (- 1;+ ¥ ).
 Lời giải
● Nếu x > 3 . Hàm số f (x)= x2 - x- 2 là hàm đa thức nên liên tục trên (3;+ ¥ ). (1)
 x- 3
● Nếu - 1< x < 3 . Hàm số f (x)= . Ta có
 x + 1 - 2
 x + 1 - 2 ¹ 0 với mọi x Î (- 1; 3).
 x- 3 và x + 1 - 2 đều liên tục trên (- 1; 3).
Do đó hàm số f (x) liên tục trên (- 1; 3). (2)
● Xét tại x = - 3 . Ta có 
 x- 3 (x- 3)( x + 1 + 2)
 lim f (x)= lim = lim = lim ( x + 1 + 2)= 4 .
 x® 3- x® 3- x + 1 - 2 x® 3- x- 3 x® 3-
 lim f (x)= lim (x2 - x- 2)= 4 .
 x® 3+ x® 3+
Vì lim f (x)= lim f (x)= 4 nên hàm số f (x) liên tục tại x = 3 . (3)
 x® 3- x® 3+
Từ (1), (2) và (3) ta kết luận hàm số liên tục trên khoảng (- 1;+ ¥ ).
Bài 15. Xác định a để hàm số 
 ì 2
 ï x - 1
 ï khi x ¹ 1
 f (x)= í x - 1
 ï
 îï a khi x = 1
 é ù
liên tục trên đoạn ë0;1û.
 Lời giải
 é
Hàm số xác định và liên tục trên ë0;1).
Xét bên trái x = 1 . Ta có
 f (1)= a .
 x2 - 1 é ù
 lim f (x)= lim = lim ê(x + 1)( x + 1)ú= 4 .
 x® 1- x® 1- x - 1 x® 1- ë û
Để hàm số liên tục bên trái của 1 khi và chỉ khi lim f (x)= f (1)Û 4 = a .
 x® 1-
 é ù
Vậy với a = 4 thì hàm số liên tục trên ë0;1û. VẤN ĐỀ 04. SỬ DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
\
 é ù
1. Định lý. Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn ëa;bû và f (a). f (b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c Î (a;b) sao cho 
 f (c)= 0 .
 é ù
2. Hệ quả. Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn ëa;bû và f (a). f (b)< 0 thì phương trình f (x)= 0 có ít nhất 1 nghiệm 
 trên khoảng (a;b) .
3. Chú ý.
 é ù
 ● Nếu f (a). f (b)£ 0 thì phương trình có nghiệm thuộc ëa;bû.
 ● Nếu f (x) liên tục trên éa;+ ¥ ) và f (a). lim f (x)< 0 thì phương trìn f (x)= 0 có nghiệm thuộc (a;+ ¥ ).
 ë x® + ¥
 ● Nếu f (x) liên tục trên (- ¥ ;bù và f (b). lim f (x)< 0 thì phương trình f (x)= 0 có nghiệm thuộc (- ¥ ;b).
 û x® - ¥
 é ù é ù
 ● Để chứng minh f (x)= 0 có ít nhất n nghiệm trên ëa;bû, ta chia đoạn ëa;bû thành n đoạn nhỏ rời nhau, rồi 
 chứng minh trên mỗi khoảng đó phương trình có ít nhất một nghiệm.
Bài 1. Chứng minh rằng phương trình 
 a) x2 cos x + xsin x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;p).
 b) x3 + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn - 1 .
 c) x4 - 3x2 + 5x- 6 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).
 Lời giải
 2 é ù é ù
a) Xét hàm số f (x)= x cos x + xsin x + 1 = 0 trên đoạn ë0;pû. Hàm số f (x) liên tục trên đoạn ë0;pû.
 ì
 ï f (0)= 1> 0
Mặt khác íï suy ra f (0). f (p)< 0 .
 ï p = p2 p + p p + = - p2 <
 îï f ( ) cos sin 1 1 0
Do đó tồn tại một số c Î (0;p) sao cho f (c)= 0 nghĩa là phương trình x2 cos x + xsin x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm 
thuộc khoảng (0;p).
 3 é ù é ù
b) Xét hàm số f (x)= x + x + 1 = 0 trên đoạn ë- 1;0û. Hàm số f (x) liên tục trên đoạn ë- 1;0û.
 ì
 ï f (- 1)= - 1< 0
Mặt khác íï suy ra f (- 1). f (0)< 0 .
 ï = >
 îï f (0) 1 0
Do đó tồn tại một số c Î (- 1;0) sao cho f (c)= 0 nghĩa là phương trình x3 + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn 
hơn - 1 .
 4 2 é ù é ù
c) Xét hàm số f (x)= x - 3x + 5x- 6 = 0 trên đoạn ë1; 2û. Hàm số f (x) liên tục trên đoạn ë1; 2û.
 ì
 ï f (1)= - 3 < 0
Mặt khác íï suy ra f (1). f (2)< 0 .
 ï = >
 îï f (2) 32 0
Do đó tồn tại một số c Î (1; 2) sao cho f (c)= 0 nghĩa là phương trình x4 - 3x2 + 5x- 6 = 0 có ít nhất một nghiệm 
thuộc khoảng (1; 2). Bài 2. Chứng minh rằng phương trình 
 a) x3 + mx2 - 1 = 0 luôn có một nghiệm dương.
 3
 b) ( x- 1) + mx = m + 1 luôn có một nghiệm lớn hon 1 .
 Lời giải
a) Xét hàm số f (x)= x3 + mx2 - 1 trên ¡ . Hàm số f (x) liên tục trên ¡ .
Ta có
 ● f (0)= - 1< 0 .
 ● lim f (x)= + ¥ nên tồn tại c > 0 để f (c)> 0 .
 x® + ¥
Suy ra f (0). f (c)< 0 .
Vậy phương trình f (x)= 0 luôn có một nghiệm thuộc khoảng (0;c) hay phương trình x3 + mx2 - 1 = 0 luôn có một 
nghiệm dương.
b) Đặt t = x- 1 . Điều kiện: t ³ 0 .
Khi đó phương trình trở thành t3 + mt2 - 1 = 0 .
 3 2 é é
Xét hàm số f (t)= t + mt - 1 trên ë0;+ ¥ ). Hàm số f (t) liên tục trên ë0;+ ¥ ).
Ta có● f (0)= - 1< 0 .
 ● lim f (t)= + ¥ nên tồn tại c > 0 để f (c)> 0 .
 t® + ¥
Suy ra f (0). f (c)< 0 .
Do đó phương trình f (t)= 0 luôn có một nghiệm t0 thuộc khoảng (0;c). Khi đó
 2
 x- 1 = t0 Û x = t0 + 1> 1 .
 3
Vậy phương trình ( x- 1) + mx = m + 1 luôn có một nghiệm lớn hon 1 .
Bài 3. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm
 a) x5 - 3x + 3 = 0 . b) x4 + x3 - 3x2 + x + 1 = 0 .
 Lời giải
a) Xét hàm số f (x)= x5 - 3x + 3 .
 ì
 ï f (- 2)= - 32 + 6 + 9 = - 17 < 0
Ta có íï suy ra f (- 2). f (0)< 0 .
 ï = >
 îï f (0) 3 0
 5 é ù
Mà f (x)= x - 3x + 3 là đa thức nên liên tục trên ë- 2;0û.
Vậy phương trình x5 - 3x + 3 = 0 có ít nhất một nghiệm trên (- 2;0).
b) Xét hàm số f (x)= x4 + x3 - 3x2 + x + 1.
 ì
 ï f (- 1)= 1- 1- 3- 1+ 1 = - 3 < 0
Ta có íï suy ra f (- 1). f (0)< 0 .
 ï = >
 îï f (0) 1 0
 4 3 2 é ù
Mà f (x)= x + x - 3x + x + 1 là đa thức nên liên tục trên ë- 1;0û
Vậy phương trình x4 + x3 - 3x2 + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trên (- 1;0). Bài 4. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm
 3
 a) (1- m2 )(x + 1) + x2 - x- 3 = 0 . b) (m2 + m + 5)x7 + x5 - 1 = 0 .
 4 3
 c) m(x + 1) (x- 2) - (x- 1)(x- 3)= 0 .
 Lời giải
 3
a) Xét hàm số f (x)= (1- m2 )(x + 1) + x2 - x- 3 . 
 ì
 ï f (- 1)= - 1< 0
Ta có íï suy ra f (- 2). f (- 1)< 0 .
 ï - = + 2 > "
 îï f ( 2) 2 m 0, m
 2 3 2 é ù
Mà f (x)= (1- m )(x + 1) + x - x- 3 là đa thức nên liên tục trên ë- 2;- 1û.
 3
Vậy phương trình (1- m2 )(x + 1) + x2 - x- 3 = 0 có ít nhất một nghiệm trên (- 2;- 1) với mọi giá trị của m .
b) Xét hàm số f (x)= (m2 + m + 5)x7 + x5 - 1 . 
 ïì f (0)= - 1< 0
 ï
 ï 2
Ta có í æ 1ö 19 suy ra f (0). f (1)< 0 .
 ï f 1 = m2 + m + 5 = çm + ÷ + > 0, " m
 ï ( ) ç ÷
 îï è 2ø 4
 2 7 5 é ù
Mà f (x)= (m + m + 5)x + x - 1 là đa thức nên liên tục trên ë0;1û.
Vậy phương trình (m2 + m + 5)x7 + x5 - 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trên (0;1) với mọi giá trị của m .
 4 3
c) Xét hàm số f (x)= m(x + 1) (x- 2) - (x- 1)(x- 3). 
 ì
 ï f (1)= - 16m
Ta có íï suy ra f (1). f (3)= - 16.81.m2 .
 ï =
 îï f (3) 81m
● Nếu m = 0 thì phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = 3 .
● Nếu m ¹ 0 thì f (1). f (3)= - 16.81.m2 < 0 .
 4 3 é ù
Mà f (x)= m(x + 1) (x- 2) - (x- 1)(x- 3) là đa thức nên liên tục trên ë1; 3û nên phương trình đã cho có ít nhất một 
nghiệm trên (1; 3) với mọi giá trị của m .
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m .
Bài 5. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm
 a) cos x + mcos 2x = 0 . b) m(2cos x- 2)= 2sin 5x + 1.
 1 1
 c) - = m .
 cos x sin x
 Lời giải
a) Xét hàm số f (x)= cos x + mcos 2x liên tục trên ¡ .
 ïì æpö p p 2
 ï ç ÷
 ï f ç ÷= cos + mcos = æ ö æ ö
 ï è4ø 4 2 2 çp÷ ç3p÷ 1
Ta có í suy ra f ç ÷×f ç ÷= - < 0, " m .
 ï æpö p p è4ø è 4 ø 2
 ï ç3 ÷ 3 3 2
 ï f ç ÷= cos + mcos = -
 îï è 4 ø 4 2 2