Tự luận Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Chủ đề 1: Dãy số có giới hạn 0

 CHÖÔNG 4.
 GIÔÙI HAÏN 
 PHAÀN A – GIÔÙI HAÏN CUÛA DAÕY SOÁ
CHUÛ ÑEÀ 01. DAÕY SOÁ COÙ GIÔÙI HAÏN 0
1. Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số (un ) có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng 
 của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
 Kí hiệu: 
 lim(un )= 0 hoặc lim un = 0 hoặc un ® 0
2. Nhận xét
 · lim un = 0 Û lim un = 0 .
 *
 · Nếu (un ) có un = 0 , " n Î ¥ thì lim un = lim 0 = 0 .
 ïì
 ï un £ vn
 · Cho hai dãy số (u ) và (v ). Nếu íï thì lim u = 0 .
 n n ï = n
 îï lim(vn ) 0
3. Các dãy số có giới hạn 0 thường gặp
 1 1 C
 · lim = 0 ; lim = 0 (a > 0); lim = 0 với C là hằng số.
 n na n
 1 1
 · lim = 0 (k Î ¢ + ); lim = 0 (k ³ 2, k Î ¢).
 n® + ¥ nk k n
 · lim qn = 0 (q < 1).
Bài 1. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0
 n
 (- 1) nsin 2n
 a) un = . b) un = .
 3n+ 2 n3 + 2
 n
 (- 1) cosn 3sin n- 4cosn
 c) un = . d) un = .
 n 2n2 + 1
 Lời giải
 1 1 1
a) Ta có: 0 £ u = < < , " n Î ¥ * .
 n 3n+ 2 3n n
 n
 1 (- 1)
Mà lim = 0 nên suy ra lim = 0 .
 n 3n+ 2 n sin 2n n n 1 *
b) Ta có 0 £ un = £ < £ , " n Î ¥ .
 n3 + 2 n3 + 2 n3 n2
 1 nsin 2n
Mà lim = 0 nên suy ra lim = 0 .
 n2 n3 + 2
 n
 (- 1) cosn 1
c) Ta có 0 £ £ , " n Î ¥ * .
 n n
 n
 1 (- 1) cosn
Mà lim = 0 nên suy ra lim = 0 .
 n n
d) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
 3sin n- 4cosn £ (32 + 42 )(sin2 n+ cos2 n) = 5 .
 3sin n- 4cosn 5 5 1
Do đó 0 £ £ < < , " n Î ¥ * .
 2n2 + 1 2n2 + 1 2n2 n2
 1 3sin n- 4cosn
Mà lim = 0 nên suy ra lim = 0 .
 n2 2n2 + 1
Bài 2. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0
 n n
 3 3 3 sin 2n+ 4
 a) un = n + 2 - n + 1 . b) un = .
 2n + 4.5n
 np
 n+ cos
 n+ sin 2n 5
 c) un = . d) .
 n2 + n n n + n
 Lời giải
 n3 + 2- n3 + 1
 3 3 ( ) 1
a) Ta có un = n + 2 - n + 1 = = .
 n3 + 2 + n3 + 1 n3 + 2 + n3 + 1
 1 2 2 1 *
Do đó 0 £ un = < = = , " n Î ¥ .
 n3 + 2 + n3 + 1 n2 + n2 2n n
 1 æ 3 3 ö
Mà lim = 0 nên suy ra limç n + 2 - n + 1÷= 0 .
 n èç ø÷
 æ ön æ ön
 ç3÷ ç4÷
 n n n n n n ç ÷ + ç ÷
 3 sin 2n+ 4 3 sin 2n + 4 3 + 4 èç5ø÷ èç5ø÷
b) Ta có 0 £ £ £ = , " n Î ¥ * .
 n n n n n n n
 2 + 4.5 2 + 4.5 2 + 4.5 æ2ö
 ç ÷ + 4
 èç5ø÷
 éæ ön æ ön ù æ ön æ ön éæ ön ù æ ön n n
 êç3÷ ç4÷ ú ç3÷ ç4÷ êç2÷ ú ç2÷ 3 sin 2n+ 4
Mà lim êç ÷ + ç ÷ ú= limç ÷ + limç ÷ = 0 và lim êç ÷ + 4ú= limç ÷ + 4 = 0 + 4 = 4 nên lim = 0 .
 êèç5ø÷ èç5ø÷ ú èç5ø÷ èç5ø÷ êèç5ø÷ ú èç5ø÷ n + n
 ë û ë û 2 4.5
 n+ sin 2n n+ sin 2n n+ 1 1
c) Ta có 0 £ £ £ = , " n Î ¥ * .
 n2 + n n2 + n n2 + n n
 1 n+ sin 2n
Mà lim = 0 nên suy ra lim = 0 .
 n n2 + n np np
 n+ cos n+ cos
 5 n+ 1 1
d) Ta có 0 £ 5 £ £ = , " n Î ¥ * .
 n n + n n n + n n n + n n
 np
 n+ cos
 1
Mà lim = 0 nên suy ra lim 5 = 0 .
 n n n + n
 n
Bài 3. Cho dãy số (un ) với un = .
 3n
 u 2
 a) Chứng minh rằng n+ 1 £ với mọi n Î ¥ * .
 un 3
 æ ön
 ç2÷
 b) Bằng phương pháp quy nạo chứng minh rằng 0 < un < ç ÷ với mọi n Î ¥ * .
 èç3ø÷
 c) Dãy (un ) có giới hạn 0.
 Lời giải
 n+ 1
 u n+ 1 n+ 1 1
a) Với mọi n Î ¥ , ta có n+ 1 = 3 = . .
 un n n 3
 3n
 n+ 1
Mặt khác, n+ 1£ n+ n £ 2n . Suy ra £ 2 .
 n
 u 2
Do đó n+ 1 £ với mọi n Î ¥ * .
 un 3
 æ ön
 * ç2÷
b) Rõ ràng với mọi n Î ¥ , ta có un > 0 . Do đó ta chỉ cần chứng minh un < ç ÷ .
 èç3ø÷
 1
 1 1 æ2ö
 = = = < ç ÷ =
● Với n 1 , ta có u1 ç ÷ . Nghĩa là mệnh đề đúng với n 1 .
 31 3 èç3ø÷
 æ ök
 ç2÷
● Giả sử mệnh đề đúng với n = k ³ 1 , tức là uk < ç ÷ .
 èç3ø÷
 æ ök+ 1
 ç2÷
● Bây giờ ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 , tức là cần chứng minh uk+ 1 < ç ÷ .
 èç3ø÷
 k k+ 1 k+ 1
 u 2 2 2 æ2ö æ2ö æ2ö
Theo chứng minh câu a) ta có k+ 1 £ suy ra u £ .u < .ç ÷ = ç ÷ hay u < ç ÷ .
 k+ 1 k ç ÷ ç ÷ k+ 1 ç ÷
 uk 3 3 3 è3ø è3ø è3ø
 æ ön
 ç2÷ *
Nghĩa là mệnh đề cũng đúng với n = k + 1 . Vậy 0 < un < ç ÷ với mọi n Î ¥ .
 èç3ø÷
 æ ön æ ön
 ç2÷ ç2÷
c) Theo câu b), ta có 0 < un < ç ÷ . Mà limç ÷ = 0 . Do đó lim un = 0 .
 èç3ø÷ èç3ø÷ CHUÛ ÑEÀ 02. DAÕY SOÁ COÙ GIÔÙI HAÏN HÖÕU HAÏN
1. Định nghĩa. Ta nói dãy số (un )có giới hạn là số thực L nếu lim(un - L)= 0 .
 Khi đó ta viết
 lim (un )= L , viết tắt là lim(un )= L hoặc lim un = L .
 n® + ¥
2. Một số định lý.
 Định lý 1. Giả sử lim un = L . Khi đó
 3 3
 • lim un = L và lim un = L .
 • Nếu un ³ 0 với mọi n thì L ³ 0 và lim un = L .
 Định lý 2. Giả sử lim un = L , lim vn = M và C là một hằng số. Khi đó
 • lim(un ± vn )= L ± M .
 • lim(un.vn )= L.M .
 • lim(Cun )= CL .
 æ ö
 çu ÷ L
 • limç n ÷= với M ¹ 0 .
 ç ÷
 èvn ø M
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
 Với cấp số nhân (un ) có công bội q thỏa mãn q < 1 thì
 u
 S = u + u + ... = 1 .
 1 2 1- q
 VẤN ĐỀ 01. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CHỨNG MINH RẰNG lim un = L
 e Phương pháp chung: Bài toán được chuyển về việc đi chứng minh lim(un - L)= 0 .
Bài 4. Chứng minh rằng 
 æ- 3 ö æ 2 + + ö
 ç n ÷ çn 3n 2÷ 1
 a) limç ÷= - 1 . a) limç ÷= . 
 èçn3 + 1ø÷ èç 2n2 + n ø÷ 2
 Lời giải
 æ- 3 ÷ö æ ö
 ç n ÷ ç 1 ÷
a) Ta có limç - (- 1)÷= limç ÷.
 èçn3 + 1 ø÷ èçn3 + 1ø÷
 æ ö
 1 1 * 1 ç 1 ÷
Vì 0 £ < , " n Î ¥ . Mà lim = 0 nên suy ra limç ÷= 0 .
 n3 + 1 n3 n3 èçn3 + 1ø÷
 æ- 3 ö
 ç n ÷
Do đó limç ÷= - 1 .
 èçn3 + 1ø÷ æ 2 + + ö +
 çn 3n 2 1÷ 5n 4
b) Ta có limç - ÷= lim .
 èç 2n2 + n 2ø÷ 2(2n2 + n)
 5n+ 4 5n+ 5 5 1 æ5 1ö 5 1 5n+ 4
Vì 0 < < = . , " n Î ¥ * . Mà limç . ÷= .lim = 0 nên suy ra lim = 0 .
 ç ÷
 2(2n2 + n) 2n(n+ 1) 2 n è2 nø 2 n 2(2n2 + n)
 æ 2 + + ö
 çn 3n 2÷ 1
Do đó limç ÷= .
 èç 2n2 + n ø÷ 2
Bài 5. Chứng minh rằng 
 æ n - ö æ ö
 ç3.3 sin3n÷ ç 2 ÷ 1
 a) limç ÷= 3 . b) limç n + n - n÷= .
 èç 3n ø÷ è ø 2
 Lời giải
 æ n ö
 ç3.3 - sin3n ÷ æ- sin3nö
 ç - ÷= ç ÷
a) Ta có limç 3÷ limç ÷.
 èç 3n ø÷ èç 3n ø÷
 n n
 - sin 3n - sin3n 1 æ1ö æ1ö æ- sin3nö
 £ = £ = ç ÷ " Î ¥ * ç ÷ = ç ÷=
Vì 0 ç ÷ , n . Mà limç ÷ 0 nên suy ra limç ÷ 0 .
 3n 3n 3n èç3ø÷ èç3ø÷ èç 3n ø÷
 æ n - ö
 ç3.3 sin3n÷
Do đó limç ÷= 3 .
 èç 3n ø÷
 2
 æ 1ö 2 n + n - (2n+ 1) - 1
b) Ta có limç n2 + n - n- ÷= lim = lim .
 èç ø÷ æ ö
 2 2 2ç2 n2 + n + 2n+ 1 ÷
 èç ( )ø÷
 - 1 1 1 1 1
Vì 0 £ £ £ = . , " n Î ¥ * .
 æ ö æ ö æ ö
 2ç2 n2 + n + 2n+ 1 ÷ 2ç2 n2 + n + 2n+ 1 ÷ 2ç2 n2 + 2n÷ 8 n
 èç ( )ø÷ èç ( )ø÷ èç ø÷
 æ ö
 1 1 1 1 ç 2 1÷
Mà lim . = lim = 0 nên suy ra limç n + n - n- ÷.
 8 n 8 n èç 2ø÷
 æ 2 ö 1
Do đó limç n + n - n÷= .
 èç ø÷ 2
 VẤN ĐỀ 02. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN
 e Phương pháp chung: Dựa vào Định lý 1 và Định lý 2.
Bài 6. Tìm các giới hạn sau
 - 2 + + æ ö
 4n n 2 2 ç 3 1 ÷
 a) lim . b) lim(2n+ 1) ç - ÷. 
 2n2 + n+ 1 èçn2 + 2n n2 + 3n- 1ø÷
 Lời giải 1 2
 - 4 + +
 - 4n2 + n+ 2 n 2
a) Ta có lim = lim n .
 2 1 1
 2n + n+ 1 2 + +
 n n2
 æ 1 2 ö 1 2
 ç- + + ÷= - + + = - + + = -
Do limç 4 ÷ lim( 4) lim lim 4 0 0 4 ;
 èç n n2 ø÷ n n2
 æ 1 1 ö 1 1
 ç + + ÷= + + = + + =
 limç2 ÷ lim 2 lim lim 2 0 0 2 . 
 èç n n2 ø÷ n n2
 - 4n2 + n+ 2 - 4
Vậy lim = = - 2 .
 2n2 + n+ 1 2
 æ ö2 æ ö
 2 ç 1÷ ç 7 3 ÷
 + 2 + - ç2 + ÷ ç2 + - ÷
 2 æ ö (2n 1) (2n 7n 3) èç nø÷ èç n 2 ø÷
 ç 3 1 ÷ n
b) Ta có lim(2n+ 1) ç - ÷= lim = lim .
 èçn2 + 2n n2 + 3n- 1ø÷ 2 + 2 + - æ 2öæ 3 1 ö
 (n 2n)(n 3n 1) ç1+ ÷ç1+ - ÷
 ç ÷ç 2 ÷
 è nø÷èç n n ø÷
 2
 æ 1ö æ 7 3 ö 2
 ç + ÷ ç + - ÷= + + - = =
Do limç2 ÷ ç2 ÷ (2 0) (2 0 0) 4.2 8 ;
 èç nø÷ èç n n2 ø÷
 æ 2öæ 3 1 ö
 ç + ÷ç + - ÷= + + - =
 limç1 ÷ç1 ÷ (1 0)(1 0 0) 1 .
 èç nø÷èç n n2 ø÷
 æ ö
 2 ç 3 1 ÷ 8
Vậy lim(2n+ 1) ç - ÷= = 8 .
 èçn2 + 2n n2 + 3n- 1ø÷ 1
Bài 7. Tìm các giới hạn sau
 9n2 + 2n - 3n 34 n5 + 4n- 2
 a) lim . b) lim . 
 + 4 5
 4n 3 2 n - 3n
 Lời giải
 æ 2 ÷ö
 ç + - ÷ 2
 nç 9 3÷ 9 + - 3
 9n2 + 2n - 3n èç n ø÷ 9 + 0 - 3 0
a) Ta có lim = lim = lim n = = = 0 .
 4n+ 3 æ 3ö 3 4 + 0 4
 nç4 + ÷ 4 +
 èç nø÷ n
 æ ö
 4 5 ç 4 2 ÷ 4 2
 n ç3 + - ÷ 3 + -
 4 5 ç 4 4 5 ÷ 4 4
 3 n + 4n- 2 èç n n ø÷ n 5 3 + 0- 0 3
b) Ta có lim = lim = lim n = = .
 4 5 æ 3 ö 3 2- 0 2
 2 n - 3n 4 5 ç - ÷ 2-
 n ç2 ÷ 4
 èç 4 n ø÷ n
Bài 8. Tìm các giới hạn sau
 æ ö æ ö
 a) limç 4n2 + 2n - 2n÷. b) limç3 2n- n3 + n- 1÷. 
 èç ø÷ èç ø÷
 Lời giải
 æ ö 4n2 + 2n- 4n2 2n 1 1 1
a) Ta có limç 4n2 + 2n - 2n÷= lim = lim = lim = = .
 èç ø÷
 2 æ 1 ÷ö æ 1 ÷ö 1+ 0 + 1 2
 4n + 2n + 2n ç + + ÷ ç + + ÷
 2nç 1 1÷ ç 1 1÷
 èç 2n ø÷ èç 2n ø÷ 3 3
 æ ö 2n- n + (n- 1)
b) Ta có limç3 2n- n3 + n- 1÷= lim 
 ç ÷ 2
 è ø æ ö 2
 ç3 2n- n3 ÷ - n- 1 3 2n- n3 + n- 1
 èç ø÷ ( ) ( )
 æ ö
 2 ç 5 1 ÷
 n .ç- 3 + - ÷
 - 3n2 + 5n- 1 èç n 2 ø÷
 = lim = lim n
 2 é 2 ù
 æ3 3 ö 3 3 2 æ ö æ ö æ ö2
 ç 2n- n ÷ - n- 1 2n- n + n- 1 2 êç 2 ÷ 1 2 1 ú
 ç ÷ ( ) ( ) n .êç3 - 1÷ - ç1- ÷3 - 1 + ç1- ÷ ú
 è ø ç 2 ÷ ç ÷ 2 ç ÷
 êèç n ø÷ è nø÷ n è nø÷ ú
 ëê ûú 
 5 1
 - 3 + -
 n 2 - 3 + 0- 0 - 3
 = lim n = = = - 1.
 æ ö2 2 2 2 3
 ç 2 ÷ æ 1ö 2 æ 1ö (- 1) - 1.(- 1)+ 1
 ç3 - 1÷ - ç1- ÷3 - 1 + ç1- ÷
 ç 2 ÷ ç ÷ 2 ç ÷
 èç n ø÷ è nø÷ n è nø÷
Bài 9. Tìm các giới hạn sau
 n2 + 3 1- n6 æ ö
 a) lim . b) limç n2 + 2n+ 3 - 3 n2 + n3 ÷. 
 èç ø÷
 n4 + 1 - n2
 Lời giải
 6 6 æ 4 2 ö
 3 n + 1- n ç n + 1 + n ÷
 n2 + 1- n6 ( )èç ø÷
a) Ta có lim = lim 
 4 2 é 2 ù
 + - 3 æ3 ö
 n 1 n n4 + 1- n4 ên4 - n2 × 1- n6 + ç 1- n6 ÷ ú
 ( )ê èç ø÷ ú
 ëê ûú
 æ 1 1 1 ÷ö
 4 ç + + ÷ 1 1 1
 n ç ÷ + +
 n4 + 1 + n2 èç n4 n8 n2 ø÷ 4 8 2
 = lim = lim = lim n n n
 æ ö2 é æ ö2 ù æ ö2
 4 - 2 ×3 - 6 + ç3 - 6 ÷ ê 1 ç 1 ÷ ú 1 ç 1 ÷
 n n 1 n ç 1 n ÷ n4 .ê1- 3 - 1 + ç3 - 1÷ ú 1- 3 - 1 + ç3 - 1÷
 è ø ç ÷ 6 ç 6 ÷ 
 ê n6 èç n6 ø÷ ú n èç n ø÷
 ëê ûú
 0 + 0 + 0 0
 = lim = = 0.
 2 1+ 1+ 1
 1- 3 0 + 1 + (3 0- 1)
 æ ö æ ö
b) Ta có limç n2 + 2n+ 3 - 3 n2 + n3 ÷= limç n2 + 2n+ 3 - n+ n- 3 n2 + n3 ÷ 
 èç ø÷ èç ø÷
 3 2 3
 2 2 n - n + n
 æ 2 ö æ 3 2 3 ö n + 2n+ 3- n ( )
 = limç n + 2n+ 3 - n÷+ limçn- n + n ÷= lim + lim
 èç ø÷ èç ø÷ 2 2
 + + + 2 3 2 3 æ3 2 3 ö
 n 2n 3 n n + n. n + n + ç n + n ÷
 èç ø÷
 2n+ 3 - n2
 = lim + lim
 2 2
 + + + 2 3 2 3 æ3 2 3 ö
 n 2n 3 n n + n. n + n + ç n + n ÷
 èç ø÷
 3
 2 +
 - 1 2 - 1 1 2
 = lim n + lim = + = 1- = .
 æ ö2 1+ 1 1+ 1+ 1 3 3
 2 3 1 ç 1 ÷
 1+ + + 1 + 3 + + ç3 + ÷
 n 2 1 1 ç 1÷
 n n èç n ø÷ Bài 10. Tìm các giới hạn sau
 22 + 3n - 4n 1+ 2 + 22 + ...+ 2n
 a) lim . b) lim .
 2n + 3n+ 1 + 4n+ 1 1+ 3 + 32 + ...+ 3n
 Lời giải
 æ ön æ ön
 ç1÷ ç3÷
 2 n n 4.ç ÷ + ç ÷ - 1
 2 + 3 - 4 èç4ø÷ èç4ø÷ 4.0 + 0- 1 1
a) Ta có lim = lim = = - .
 n n+ 1 n+ 1 n n
 2 + 3 + 4 æ1ö æ3ö 0 + 3.0 + 4 4
 ç ÷ + 3.ç ÷ + 4
 èç2ø÷ èç4ø÷
 æ ön æ ön
 ç2÷ ç1÷
 2 n n+ 1 n 4.ç ÷ - 2.ç ÷
 1+ 2 + 2 + ...+ 2 2 - 1 4.2 - 2 èç3ø÷ èç3ø÷ 4.0- 2.0 0
b) Ta có lim = lim = lim = lim = = = 0 .
 2 n n+ 1 n n
 1+ 3 + 3 + ...+ 3 3 - 1 3.3 - 1 æ1ö 3- 0 3
 3- ç ÷
 2 èç3ø÷
Bài 11. Tìm các giới hạn sau
 æ ö
 ç 1 1 1 ÷ æ 1 öæ 1 ö æ 1 ö
 a) limç + + ×××+ ÷. b) limç1- ÷ç1- ÷×××ç1- ÷.
 ç ÷ ç 2 ÷ç 2 ÷ ç 2 ÷
 èç1.3 3.5 (2n- 1)(2n+ 1)ø÷ èç 2 øèç 3 ø èç n ø
 Lời giải
a) Ta có 
 + - - æ ö
 1 1 2k 1 (2k 1) 1 ç 1 1 ÷
 = × = ç - ÷.
 (2k - 1)(2k + 1) 2 (2k - 1)(2k + 1) 2 èç2k - 1 2k + 1ø÷
 æ ö æ ö
 ç 1 1 1 ÷ 1 ç1 1 1 1 1 1 ÷ 1 æ 1 ö 1
 ç + + ×××+ ÷= ç - + - + ×××+ - ÷= ç - ÷=
Suy ra limç ÷ lim ç ÷ lim ç1 ÷ .
 èç1.3 1.5 (2n- 1)(2n+ 1)ø÷ 2 èç1 3 3 5 (2n- 1) (2n+ 1)ø÷ 2 èç 2n+ 1ø 2
 æ ö
 æ öæ öæ ö ç ÷æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö
 ç 1 ÷ç 1 ÷ç 1 ÷ ç 1 ÷ç 1 ÷ ç1 3÷ ç2 4÷ ç3 5÷ çn- 2 n ÷ çn- 1 n+ 1÷ n+ 1
b) Ta có ç1- ÷ç1- ÷ç1- ÷×××ç1- ÷ç1- ÷= ç × ÷×ç × ÷×ç × ÷× ××× ×ç × ÷×ç × ÷= .
 èç 2 ø÷èç 2 ø÷èç 2 ø÷ ç 2 ÷èç 2 ø÷ èç2 2ø÷ èç3 3ø÷ èç4 4ø÷ èçn- 1 n- 1ø÷ èç n n ø÷ 2n
 2 3 4 èç (n- 1) ø÷ n
 1
 1+
 æ 1 öæ 1 ö æ 1 ö n+ 1 1
 ç - ÷ç - ÷×××ç - ÷= = n =
Suy ra limç1 ÷ç1 ÷ ç1 ÷ lim lim .
 èç 22 ø÷èç 32 ø÷ èç n2 ø÷ 2n 2 2
Bài 12. Tìm các giới hạn sau
 æ ö
 ç 1 1 1 ÷ 1.3.5.7. ... .(2n- 1)
 a) limç + + ×××+ ÷. b) lim .
 ç ÷
 èç 4n2 + 1 4n2 + 2 4n2 + n ø÷ 2.4.6. ... .(2n)
 Lời giải
a) Ta có
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 + + ×××+ £ + + ×××+ £ + + ×××+
 4n2 4n2 4n2 4n2 + 1 4n2 + 2 4n2 + n 4n2 + n 4n2 + n 4n2 + n
hay
 n 1 1 1 n
 £ + + ×××+ £ với mọi n Î ¥ * .
 4n2 4n2 + 1 4n2 + 2 4n2 + n 4n2 + n n 1 1 n 1 1 1
Mà lim = lim = ; lim = lim = = .
 2 2 2 2 1 4 + 0 2
 4n 4n + n 4 +
 n
 æ ö
 ç 1 1 1 ÷ 1
Do đó limç + + ×××+ ÷= .
 ç ÷
 èç 4n2 + 1 4n2 + 2 4n2 + n ø÷ 2
 2 2 2 2 2
 1.3.5.7. ... .(2n- 1) 1 .3 .5 .7 . ... .(2n- 1) 1.3 3.5 (2n- 1)(2n+ 1) 1 1
b) Ta có u = , suy ra u2 = = × ××× × < .
 n n 2 2 2 2
 2.4.6. ... .(2n) 22.42.62. ... .(2n) 2 4 (2n) 2n+ 1 2n+ 1
 2
 1.3 3.5 (2n- 1)(2n+ 1) 22 42 (2n)
(do × ××× < × ××× = 1 )
 2 2 2 2 2 2
 2 4 (2n) 2 4 (2n)
 -
 1 * 1 1.3.5.7. ... .(2n 1)
Vậy ta có 0 < un < , " n Î ¥ . Mà lim = 0 nên suy ra lim = 0 . 
 2n+ 1 2n+ 1 2.4.6. ... .(2n)
 VẤN ĐỀ 03. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
 u
 e Phương pháp. Sử dụng công thức S = u + u + ... = 1 với q 1 .
 1 2 1- q
Bài 13. Tính các tổng sau
 1 1 1 1 1 n 1
 a) S = + + ...+ + ... b) S = 1- + - L + (- 1) . + L
 3 32 3n 2 4 2n
 c) S = 16- 8 + 4- 2 + ... 
 Lời giải
 1 1 1 1 1
a) Xét dãy số (un ): , , L , , L là một cấp số nhân có u1 = , q = .
 3 32 3n 3 3
 1
 1 1 1 1
Do đó S = + + ...+ + ... = 3 = .
 3 2 n 1 2
 3 3 1-
 3
 1 1 n 1 1
b) Xét dãy số (un ): 1, - , , L , (- 1) . , L là một cấp số nhân có u1 = 1 , q = - .
 2 4 2n 2
 1 1 n 1 1 2
Do đó S = 1- + - L + (- 1) . + L = = .
 2 4 2n æ 1ö 3
 1- ç- ÷
 èç 2ø÷
 1
c) Xét dãy số (u ): 16,- 8,4,- 2,... là một cấp sốn nhân có u = 16 , q = - .
 n 1 2
 16 32
Do đó S = 16- 8 + 4- 2 + ... = = .
 1 3
 1+
 2 Bài 14. Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số
 a) A = 0,353535... . b) B = 5,231231... . 
 Lời giải
 35
 35 35 2 35
a) Ta có A = 0,353535... = 0,35 + 0,0035 + ... = + + ... = 10 = .
 2 4 1 99
 10 10 1-
 102
 231
 231 231 3 231 1742
b) Ta có B = 5,231231... = 5 + 0,231+ 0,000231+ ... = 5 + + + ... = 5 + 10 = 5 + = .
 3 6 1 999 333
 10 10 1-
 103
CHUÛ ÑEÀ 03. DAÕY SOÁ COÙ GIÔÙI HAÏN VOÂ CÖÏC
1. Dãy số có giới hạn + ¥
 Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số (un ) có giới hạn là + ¥ nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của 
 dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
 Khi đó ta viết
 lim(un )= + ¥ hoặc lim un = + ¥ .
 Từ định nghĩa, ta có các kết quả
 lim n = + ¥ ; lim n = + ¥ ; lim 3 n = + ¥ .
2. Dãy số có giới hạn - ¥
 Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số (un ) có giới hạn là - ¥ nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy 
 số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
 Khi đó ta viết
 lim(un )= - ¥ hoặc lim un = - ¥ .
 Nhận xét. Nếu lim(un )= - ¥ thì lim(- un )= + ¥ .
3. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
 • Quy tắc nhân
 lim un lim vn lim(un.vn ) lim un lim vn lim(un.vn )
 + ¥ + ¥ + ¥ + ¥ + + ¥
 + ¥ - ¥ - ¥ + ¥ - - ¥
 - ¥ + ¥ - ¥ - ¥ + - ¥
 - ¥ - ¥ + ¥ - ¥ - + ¥
 • Quy tắc chia
 un
 lim un = L ¹ 0 có dấu lim vn = 0,vn ¹ 0 có dấu lim
 vn
 + + + ¥
 + - - ¥
 - + - ¥
 - - + ¥