Tự luận Giải tích Lớp 11 - Chương 3 - Chủ đề 1: Phương pháo quy nạp toán học

 CHÖÔNG 3.
 DAÕY SOÁ. CAÁP SOÁ COÄNG VAØ CAÁP SOÁ NHAÂN
CHUÛ ÑEÀ 01. PHÖÔNG PHAÙP QUY NAÏP TOAÙN HOÏC
1. Định nghĩa. Để chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n , ta 
thực hiện như sau:
 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1 .
 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k ³ 1).
 Bước 3: Chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1 .
2. Chú ý. Nếu phải chứng minh mệnh đề P(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n ³ p thì
 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p .
 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k ³ p).
 Bước 3: Chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1 .
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi n Î ¥ * , ta có
 n(n+ 1) n(n+ 1)(2n+ 1)
 a) 1+ 2 + ...+ n = . b) 12 + 22 + ...+ n2 = .
 2 6
 2
 + + é + ù
 2 2 2 2 2n(n 1)(2n 1) 3 3 3 ên(n 1)ú
 c) 2 + 4 + 6 + L + (2n) = . d) 1 + 2 + ...+ n = ê ú .
 3 ë 2 û
 n(n+ 1)(n+ 2) 1 1 1 n
 e) 1.2 + 2.3 + ...+ n(n+ 1)= . f) + + ...+ = .
 3 1.2 2.3 n(n+ 1) n+ 1
 Lời giải
 1(1+ 1)
a) Khi n = 1 , ta được 1 = Û 1 = 1 : đúng.
 2
 k(k + 1)
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 1), tức là 1+ 2 + 3 + ...+ k = .
 2
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 , tức là ta phải chứng minh đẳng thức sau
 (k + 1)(k + 2)
 1+ 2 + 3 + ...+ k + (k + 1)= .
 2
 k(k + 1)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp 1+ 2 + 3 + ...+ k =
 2
 k(k + 1)
 Û 1+ 2 + 3 + ...+ k + (k + 1)= + (k + 1)
 2
 (k + 1)(k + 2)
 Û 1+ 2 + 3 + ...+ k + (k + 1)= .
 2
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
 n(n+ 1)
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học 1+ 2 + ...+ n = với mọi n nguyên dương.
 2 1(1+ 1)(2.1+ 1)
b) Khi n = 1 , ta được 12 = Û 1 = 1 : đúng.
 6
 k(k + 1)(2k + + 1)
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 1), tức là 12 + 22 + ...+ k2 = .
 6
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 , tức là ta phải chứng minh đẳng thức sau
 2 (k + 1)(k + 2)(2k + 3)
 12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1) = .
 6
 k(k + 1)(2k + + 1)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp 12 + 22 + ...+ k2 =
 6
 2 k(k + 1)(2k + 1) 2
 Û 12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1) = + (k + 1)
 6
 k + 1
 2 2 2 2 ( )é ù
 Û 1 + 2 + ...+ k + (k + 1) = êk(2k + 1)+ 6(k + 1)ú
 6 ë û
 2 (k + 1)
 Û 12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1) = (2k2 + 7k + 6)
 6
 2 (k + 1)(k + 2)(2k + 3)
 Û 12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1) = .
 6
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
 n(n+ 1)(2n+ 1)
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học 12 + 22 + ...+ n2 = với mọi n nguyên dương.
 6
 2.1(1+ 1)(2.1+ 1)
c) Khi n = 1 , ta được 22 = Û 4 = 4 : đúng.
 3
 2 2k(k + 1)(2k + 1)
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 1), tức là 22 + 42 + 62 + ...+ (2k) = .
 3
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 , tức là ta phải chứng minh đẳng thức sau
 2 2 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
 22 + 42 + 62 + ...+ (2k) + (2k + 2) = .
 3
 2 2k(k + 1)(2k + 1)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp 22 + 42 + 62 + ...+ (2k) =
 3
 2 2 2k(k + 1)(2k + 1) 2
 Û 22 + 42 + 62 + ...+ (2k) + (2k + 2) = + 4(k + 1)
 3
 2 k + 1
 2 2 2 2 2 ( )é ù
 Û 2 + 4 + 6 + ...+ (2k) + (2k + 2) = êk(2k + 1)+ 6(k + 1)ú
 3 ë û
 2 2 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
 Û 22 + 42 + 62 + ...+ (2k) + (2k + 2) = .
 3
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
 2 2n(n+ 1)(2n+ 1)
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học 22 + 42 + 62 + L + (2n) = với mọi n nguyên dương.
 3
 2
 é + ù
 3 ê1(1 1)ú
d) Khi n = 1 , ta được 1 = ê ú Û 1 = 1: đúng.
 ëê 2 ûú
 2
 é + ù
 3 3 3 êk(k 1)ú
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 1), tức là 1 + 2 + ...+ k = ê ú .
 ë 2 û Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 , tức là ta phải chứng minh đẳng thức sau
 2
 é + + ù
 3 3 3 3 ê(k 1)(k 2)ú
 1 + 2 + ...+ k + (k + 1) = ê ú .
 ë 2 û
 2
 é + ù
 3 3 3 êk(k 1)ú
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp 1 + 2 + ...+ k = ê ú
 ë 2 û
 2
 é + ù
 3 3 3 3 êk(k 1)ú 3
 Û 1 + 2 + ...+ k + (k + 1) = ê ú + (k + 1)
 ë 2 û
 2
 + é 2 + + ù
 3 (k 1) êk 4(k 1)ú
 Û 13 + 23 + ...+ k3 + (k + 1) = ë û
 4
 2 2
 3 (k + 1) (k + 2)
 Û 13 + 23 + ...+ k3 + (k + 1) =
 4
 2
 é + + ù
 3 3 3 3 ê(k 1)(k 2)ú
 Û 1 + 2 + ...+ k + (k + 1) = ê ú .
 ë 2 û
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
 2
 é + ù
 3 3 3 ên(n 1)ú
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học 1 + 2 + ...+ n = ê ú với mọi n nguyên dương.
 ë 2 û
 1(1+ 1)(1+ 2)
e) Khi n = 1 , ta được 1.2 = Û 2 = 2 : đúng.
 3
 k(k + 1)(k + 2)
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 1), tức là 1.2 + 2.3 + ...+ k(k + 1)= .
 3
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 , tức là ta phải chứng minh đẳng thức sau
 (k + 1)(k + 2)(k + 3)
 1.2 + 2.3 + ...+ k(k + 1)+ (k + 1)(k + 2)= .
 3
 k(k + 1)(k + 2)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp 1.2 + 2.3 + ...+ k(k + 1)=
 3
 k(k + 1)(k + 2)
 Û 1.2 + 2.3 + ...+ k(k + 1)+ (k + 1)(k + 2)= + (k + 1)(k + 2)
 3
 (k + 1)(k + 2)(k + 3)
 Û 1.2 + 2.3 + ...+ k(k + 1)+ (k + 1)(k + 2)= .
 3
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
 n(n+ 1)(n+ 2)
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học 1.2 + 2.3 + ...+ n(n+ 1)= với mọi n nguyên dương.
 3
 1 1 1 1
f) Khi n = 1 , ta được = Û = : đúng.
 1.2 1+ 1 2 2
 1 1 1 k
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 1), tức là + + ...+ = .
 1.2 2.3 k(k + 1) k + 1
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 , tức là ta phải chứng minh đẳng thức sau
 1 1 1 1 k + 1
 + + ...+ + = .
 1.2 2.3 k(k + 1) (k + 1)(k + 2) k + 2
 1 1 1 k
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp + + ...+ =
 1.2 2.3 k(k + 1) k + 1 1 1 1 1 k 1
 Û + + ...+ + = +
 1.2 2.3 k(k + 1) (k + 1)(k + 2) k + 1 (k + 1)(k + 2)
 1 1 1 1 k2 + 2k + 1
 Û + + ...+ + =
 1.2 2.3 k(k + 1) (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)
 1 1 1 1 k + 1
 Û + + ...+ + = .
 1.2 2.3 k(k + 1) (k + 1)(k + 2) k + 2
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
 1 1 1 n
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học + + ...+ = với mọi n nguyên dương.
 1.2 2.3 n(n+ 1) n+ 1
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi n Î ¥ * , ta có
 1 1
 a) 2n > 2n+ 1 với n ³ 3 . b) 1+ + ...+ < 2 n .
 2 n
 1 1 1 1 3 2n- 1 1
 c) 1+ + ...+ < 2- với n ³ 2 . d) . L < .
 22 n2 n 2 4 2n 2n+ 1
 Lời giải
a) Khi n = 3 , ta được 23 > 2.3 + 1 Û 8 > 7 : đúng.
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 3), tức là 2k > 2k + 1 .
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 , tức là ta phải chứng minh bất đẳng thức sau
 2k+ 1 > 2(k + 1)+ 1 .
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp 2k > 2k + 1
 Û 2.2k > 2.(2k + 1)
 (do 2k - 1> 0 , " k ³ 3 ).
 = 2(k + 1)+ 1+ (2k - 1)> 2(k + 1)+ 1
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học 2n > 2n+ 1 với mọi n ³ 3 .
b) Khi n = 1 , ta được 1< 2. 1 Û 1< 2 : đúng.
 1 1
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 1), tức là 1+ + ...+ < 2 k .
 2 k
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 , tức là ta phải chứng minh bất đẳng thức sau
 1 1 1
 1+ + ...+ + < 2 k + 1 .
 2 k k + 1
 1 1
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp 1+ + ...+ < 2 k
 2 k
 1 1 1 1
 Û 1+ + ...+ + < 2 k +
 2 k k + 1 k + 1
 2 k. k + 1 + 1 (k + k + 1)+ 1 2(k + 1)
 = £ = = 2 k + 1.
 k + 1 k + 1 k + 1
(do theo bất đẳng thức Cauchy, ta có 2 k k + 1 £ k + k + 1 )
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
 1 1
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học 1+ + ...+ < 2 n với mọi n nguyên dương.
 2 n 1 1 5 3
c) Khi n = 2 , ta được 1+ < 2- Û < : đúng.
 22 2 4 2
 1 1 1
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 2), tức là 1+ + ...+ < 2- .
 22 k2 k
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 , tức là ta phải chứng minh bất đẳng thức sau
 1 1 1 1
 1+ + ...+ + < 2- .
 2 2 2
 2 k (k + 1) k + 1
 1 1 1
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp 1+ + ...+ < 2-
 22 k2 k
 1 1 1 1 1
 Û 1+ + ...+ + < 2- +
 2 2 2 2
 2 k (k + 1) k (k + 1)
 2
 (k + 1) - k k(k + 1)+ 1 k(k + 1) 1
 = 2- = 2- < 2- = 2- .
 2 2 2
 k(k + 1) k(k + 1) k(k + 1) k + 1
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
 1 1 1
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học 1+ + ...+ < 2- với mọi n ³ 2 .
 22 n2 n
 1 1 1 1
d) Khi n = 1 , ta được < Û < : đúng.
 2 2.1+ 1 2 3
 1 3 5 2k - 1 1
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 1), tức là . . ... < .
 2 4 6 2k 2k + 1
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 , tức là ta phải chứng minh bất đẳng thức sau
 1 3 5 2k - 1 2k + 1 1
 . . ... . < .
 2 4 6 2k 2(k + 1) 2k + 3
 1 3 5 2k - 1 1
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp . . ... <
 2 4 6 2k 2k + 1
 1 3 5 2k - 1 2k + 1 1 2k + 1
 Û . . ... . < . .
 2 4 6 2k 2(k + 1) 2k + 1 2(k + 1)
 2
 1 2k + 1 1 1 (2k + 1) 1
Ta cần chứng minh . < Û . <
 2
 2k + 1 2(k + 1) 2k + 3 (2k + 1) 4(k + 1) (2k + 3)
 2 2
 Û (2k + 1) (2k + 3)< 4(k + 1) (2k + 1)Û 0 < 2k + 1 : luôn đúng. 
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
 1 3 2n- 1 1
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học . L < với mọi n nguyên dương.
 2 4 2n 2n+ 1
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi n Î ¥ * , ta có
 a) n3 + 3n2 + 5n chi hết cho 3. b) 7.22n- 2 + 32n- 1 chi hết cho 5.
 3 3
 c) 32n+ 1 + 2n+ 2 chi hết cho 7. d) n3 + (n+ 1) + (n+ 2) chi hết cho 9.
 e) (13n - 1) chi hết cho 12. f) 5.33n- 2 + 23n- 1 chi hết cho 19.
 Lời giải 3 2
a) Khi n = 1 , ta có u1 = 1 + 3.1 + 5.1 = 9M3 : đúng.
 3 2
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 1), tức là uk = k + 3k + 5kM3 .
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 , tức là ta phải chứng minh
 3 2
 uk+ 1 = (k + 1) + 3(k + 1) + 5(k + 1)M3 .
 3 2 2 2
Ta có uk+ 1 = (k + 3k + 5k)+ 3k + 9k + 9 = uk + 3(k + 3k + 3)M3 .
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
 3 2
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học un = n + 3n + 5n chia hết cho 3, với mọi n nguyên dương.
 2.1- 2 2.1- 1
b) Khi n = 1 , ta có u1 = 7.2 + 3 = 7.1+ 3 = 10M5 : đúng.
 2k- 2 2k- 1
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 1), tức là uk = 7.2 + 3 M5 .
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 , tức là ta phải chứng minh
 2k 2k+ 1
 uk+ 1 = 7.2 + 3 M5 .
 2k 2k+ 1 2k- 2 2k- 1 2k- 2 2k- 1 2k- 1 2k- 1
Ta có uk+ 1 = 7.2 + 3 = 4.(7.2 )+ 9(3 )= 4(7.2 + 3 )+ 5.(3 )= 4uk + 5.(3 )M5 .
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
 2n- 2 2n- 1
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học un = 7.2 + 3 chia hết cho 5, với mọi n nguyên dương.
 3 3
c) Khi n = 1 , ta có u1 = 3 + 2 = 35M7 : đúng.
 2k+ 1 k+ 2
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 1), tức là uk = 3 + 2 M7 .
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 , tức là ta phải chứng minh
 2k+ 3 k+ 3
 uk+ 1 = 3 + 2 M7 .
 2k+ 3 k+ 3 2 2k+ 1 k+ 2 2k+ 1 k+ 2 k+ 2 k+ 2
Ta có uk+ 1 = 3 + 2 = 3 .3 + 2.2 = 9(3 + 2 )- 7.2 = 9uk - 7.2 M7 .
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
 2n+ 1 n+ 2
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học un = 3 + 2 chia hết cho 7, với mọi n nguyên dương.
 3 3 3
d) Khi n = 1 , ta có u1 = 1 + (1+ 1) + (1+ 2) = 1+ 8 + 27 = 36M9 : đúng.
 3 3 3
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 1), tức là uk = k + (k + 1) + (k + 2) M9 .
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 , tức là ta phải chứng minh
 3 3 3
 uk+ 1 = (k + 1) + (k + 2) + (k + 3) M9 .
 3 3 3 3 3 3 2
Ta có uk+ 1 = (k + 1) + (k + 2) + (k + 3) = (k + 1) + (k + 2) + k + 9k + 27k + 27
 é 3 3 ù
 = ê(k + 1) + (k + 2) + k3 ú+ 9 k2 + 3k + 3 = u + 9 k2 + 3k + 3 M9 .
 ëê ûú ( ) k ( )
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
 3 3 3
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học un = n + (n+ 1) + (n+ 2) chia hết cho 9, với mọi n nguyên dương.
 1
e) Khi n = 1 , ta có u1 = 13 - 1 = 12M12 : đúng.
 k
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 1), tức là uk = 13 - 1M12 .
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 , tức là ta phải chứng minh
 k+ 1
 uk+ 1 = 13 - 1M12 .
 k+ 1 k k k k
Ta có uk+ 1 = 13 - 1 = 13.13 - 1 = (13 - 1)+ 12.13 = uk + 12.13 M12 . Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
 n
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học un = 13 - 1 chia hết cho 12, với mọi n nguyên dương.
 3.1- 2 3.1- 1 1 2
f) Khi n = 1 , ta có u1 = 5.2 + 3 = 5.2 + + 3 = 5.2 + 9 = 19M19 : đúng.
 3k- 2 3k- 1
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 1), tức là uk = 5.2 + 3 M19 .
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 , tức là ta phải chứng minh
 3k+ 1 3k+ 2
 uk+ 1 = 5.2 + 3 M19 .
 3k+ 1 3k+ 2 3k- 2 3k- 1 3k- 2 3k- 1 3k- 1 3k- 1
Ta có uk+ 1 = 5.2 + 3 = 8.(5.2 )+ 27.3 = 8(5.2 + 3 )+ 19.3 = 8uk + 19.3 M19 .
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
 3n- 2 3n- 1
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học un = 5.2 + 3 chia hết cho 19, với mọi n nguyên dương.
CHUÛ ÑEÀ 02. DAÕY SOÁ
1. Định nghĩa. Một hàm số u xác định trên tập ¥ * được gọi là dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số):
 u : ¥ * ¾ ¾® ¡
 n ˆ ¾ ¾® u(n)
2. Cách cho một dãy số. Có 3 cách thông dụng
 2
 Cách 1. Cho bằng công thức tổng quát un . Ví dụ cho dãy số (un ) có un = n+ cos n .
 ïì u = 2
 ïì u = ... ï 1
 Cách 2. Cho bằng công thức truy hồi íï 1 . Ví dụ cho dãy số (u ) có íï .
 ï = n ï 1
 îï un+ 1 theo un ï un+ 1 = (un + 1)
 îï 3
 Cách 3. Diễn đạt bằng lời.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
 *
 Dãy số (un ) được gọi là dãy số tăng Û un+ 1 > un với " n Î ¥
 *
 Û un+ 1 - un > 0 với " n Î ¥
 un+ 1 *
 Û > 1 với " n Î ¥ và (un > 0).
 un
 *
 Dãy số (un ) được gọi là dãy số giảm Û un+ 1 < un với " n Î ¥
 *
 Û un+ 1 - un < 0 với " n Î ¥
 un+ 1 *
 Û 0).
 un
4. Dãy số bị chặn
 *
 Dãy số (un ) được gọi là bị chặn trên Û $M Î ¡ : un £ M , " n Î ¥ .
 *
 Dãy số (un ) được gọi là bị chặn dưới Û $m Î ¡ : un ³ m , " n Î ¥ .
 *
 Dãy số (un ) được gọi là bị chặn Û $m, M Î ¡ : m £ un £ M , " n Î ¥ . VẤN ĐỀ 01. TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
 TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ KHI CHO BẰNG HỆ THỨC TRUY HỒI
Bài 4. Hãy viết ba số hạng đầu của dãy số (un ) cho bởi
 n
 2n2 - 1 n+ (- 1)
 a) un = . b) un = .
 n2 + 1 2n+ 1
 +
 2 (n 1)!
 c) un = n+ cos n . d) un = .
 2n
 Lời giải
 2.12 - 1 1 2.22 - 1 7 2.32 - 1 17
a) Ta có u1 = = ; u2 = = ; u3 = = .
 12 + 1 2 22 + 1 5 32 + 1 10
 1 2 3
 1+ (- 1) 2 + (- 1) 3 3 + (- 1) 2
b) Ta có u = = 0, u = = , u = = .
 1 2.1+ 1 2 2.2 + 1 5 3 2.3 + 1 7
 2 2 2
c) Ta có u1 = 1+ cos 1, u2 = 2 + cos 2, u3 = 3 + cos 3 .
 (1+ 1)! (2 + 1)! 3 (3 + 1)!
d) Ta có u1 = = 1, u2 = = , u3 = = 3 .
 21 22 2 23
Bài 5. Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số (un ) cho bởi
 ïì ïì u = 0
 ï u1 = 2 ï 1
 ï ï
 a) í 1 . b) í 2 .
 ï u = (u + 1) ï un+ 1 =
 ï n+ 1 n ï 2
 îï 3 îï un + 1
 ïì u = 15, u = 9 ïì u = 1, u = - 2
 c) íï 1 2 . d) íï 1 2 .
 ï = - ï = -
 îï un+ 2 un un+ 1 îï un+ 2 un+ 1 2un
 Lời giải
 æ ö
 1 1( ) 1 1( ) 2 1 1ç2 ÷ 5
a) Ta có u1 = 2, u2 = (u1 + 1)= 2 + 1 = 1, u3 = (u2 + 1)= 1+ 1 = , u4 = (u3 + 1)= ç + 1÷= .
 3 3 3 3 3 3 3èç3 ø 9
 2 2 2 2 2 2 2 50
b) Ta có u = 0, u = = = 2, u = = = , u = = = .
 1 2 2 2 3 2 2 4 2 2
 u + 1 0 + 1 u + 1 2 + 1 5 u + 1 æ2ö 29
 1 2 3 ç ÷ + 1
 èç5ø÷
c) Ta có u1 = 15, u2 = 9, u3 = u1 - u2 = 15- 9 = 6, u4 = u2 - u3 = 9- 6 = 3 .
d) Ta có u1 = 1, u2 = - 2, u3 = u2 - 2u1 = - 2- 2.1 = - 4, u4 = u3 - 2u2 = - 4- 2.(- 2)= 0 .
Bài 6. 
 ïì 1 +
 ï u = 22n 1 - 7
 a) Cho dãy số (u ) có íï 1 với n ³ 1 . Chứng minh rằng u = với n ³ 1 .
 n ï 3 n
 ï = + 3
 îï un+ 1 4un 7
 ïì u = 2
 b) Cho dãy số (u ) có íï 1 với n ³ 1 . Chứng minh rằng u = 3n - n với n ³ 1 .
 n ï = + - n
 îï un+ 1 3un 2n 1
 Lời giải 22.1+ 1 - 7 1
a) Khi n = 1 , ta có u = = : đúng.
 1 3 3
 2(k+ 1)+ 1
 22k+ 1 - 7 2 - 7 22k+ 3 - 7
Giả sử u = với k ³ 1. Ta cần chứng minh u = = .
 k 3 k+ 1 3 3
Theo công thức dãy số đã cho, ta có
 22k+ 1 - 7 22k+ 3 - 7
 u = 4u + 7 = 4. + 7 = .
 k+ 1 k 3 3
 22n+ 1 - 7
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học, ta có u = với mọi n nguyên dương.
 n 3
 1
b) Khi n = 1 , ta có u1 = 3 - 1 = 3- 1 = 2 : đúng.
 k k+ 1
Giả sử uk = 3 - k với k ³ 1. Ta cần chứng minh uk+ 1 = 3 - (k + 1) .
Theo công thức dãy số đã cho, ta có
 k k+ 1
 uk+ 1 = 3uk + 2k - 1 = 3(3 - k)+ 2k - 1 = 3 - (k + 1) .
 n
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học, ta có un = 3 - n với mọi n nguyên dương.
Bài 7. Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số (un ), dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức 
đó bằng qui nạp
 ïì
 ïì u = 1 ï u1 = 3
 a) íï 1 . b) íï .
 ï u = 2u + 3 ï = + 2
 îï n+ 1 n îï un+ 1 1 un
 ïì 5
 ï u =
 ï 1 4
 c) íï .
 ï u + 1
 ï u = n
 îï n+ 1 2
 Lời giải
a) Ta có
 2
 u1 = 1 = 2 - 3
 3
 u2 = 5 = 2 - 3
 4
 u3 = 13 = 2 - 3
 5
 u4 = 29 = 2 - 3
 ............................
 n+ 1
Dự đoán: un = 2 - 3 . Ta chứng minh lại bằng quy nạp toán học.
 2
Khi n = 1 , ta được u1 = 2 - 3 = 1 : đúng.
 k+ 1 k+ 2
Giả sử uk = 2 - 3 với k ³ 1. Ta cần chứng minh uk+ 1 = 2 - 3 .
Theo công thức dãy số đã cho, ta có
 k+ 1 k+ 2
 uk+ 1 = 2uk + 3 = 2(2 - 3)+ 3 = 2 - 3 .
 n+ 1
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là un = 2 - 3 , với mọi n nguyên dương. b) Ta có
 2
 u1 = 3 = 3 + 0
 2
 u2 = 10 = 3 + 1
 2
 u3 = 11 = 3 + 2
 2
 u4 = 12 = 3 + 3
 .................................
 2
Dự đoán: un = 3 + n- 1 . Ta chứng minh lại bằng quy nạp toán học.
 2
Khi n = 1 , ta được u1 = 3 + 0 = 3 : đúng.
 2 2
Giả sử uk = 3 + k - 1 với k ³ 1. Ta cần chứng minh uk+ 1 = 3 + k .
Theo công thức dãy số đã cho, ta có
 2 2 2
 uk+ 1 = 1+ uk = 1+ (3 + k - 1) = 3 + k .
 2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là un = 3 + n- 1= n+ 8 , với mọi n nguyên dương.
c) Ta có
 5 1
 u1 = = 1+
 4 21+ 1
 9 1
 u2 = = 1+
 8 22+ 1
 17 1
 u3 = = 1+
 16 23+ 1
 33 1
 u4 = = 1+
 32 24+ 1
 .................................
 1
Dự đoán: un = 1+ . Ta chứng minh lại bằng quy nạp toán học.
 2n+ 1
 1 1 5
Khi n = 1 , ta được u1 = 1+ = 1+ = : đúng.
 21+ 1 4 4
 1 1
Giả sử uk = 1+ với k ³ 1. Ta cần chứng minh uk+ 1 = 1+ .
 2k+ 1 2k+ 2
Theo công thức dãy số đã cho, ta có
 1
 1+ + 1
 + k+ 1
 uk 1 2 1
 uk+ 1 = = = 1+ .
 2 2 2k+ 2
 1
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là un = 1+ , với mọi n nguyên dương.
 2n+ 1