Tự luận Giải tích Lớp 11 - Chương 2 - Chủ đề 2: Nhị thức Niu-tơn

 CHUÛ ÑEÀ 02.
 NHÒ THÖÙC NIU-TÔN
1. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn. Với mọi n Î ¥ và với mọi cặp số a, b ta có
 n
 n k n- k k
 (a + b) = å Cna b
 k= 0
hoặc
 n 0 n 1 n- 1 2 n- 2 2 n n
 (a + b) = Cna + Cna b + Cna b + L + Cnb .
2. Tính chất
 1) Số các số hạng của khai triển bằng n+ 1 .
 2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n .
 k n- k k
 3) Số hạng tổng quát thứ k + 1 có dạng Tk+ 1 = Cna b với k = 0, 1, 2, L , n .
 k n- k
 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau, nghĩa là Cn = Cn .
 0 n k- 1 k k
 5) Cn = Cn = 1 , Cn + Cn = Cn+ 1 .
 6) Nếu trong khai triển nhị thức Niu-tơn, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công 
 thức đặc biệt. Chẳng hạn
 n 0 n 1 n- 1 n 0 1 n n
 (1+ x) = Cnx + Cnx + ...+ Cn . Cho x = 1 , ta được Cn + Cn + ...+ Cn = 2 .
 n 0 n 1 n- 1 n n 0 1 n n
 (x- 1) = Cnx - Cnx + ...+ (- 1) Cn . Cho x = 1 , ta được Cn - Cn + ...+ (- 1) Cn = 0 .
 VẤN ĐỀ 01. XÁC ĐỊNH HỆ SỐ TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIU-TƠN
 æ ö10
 6 ç1 3 ÷
Bài 1. Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ç + x ÷ (với x ¹ 0 ).
 èçx ø÷
 Lời giải
Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
 10 10- k
 æ1 ö 10 æ1ö k 10
 ç + x3 ÷ = Ck ç ÷ x3 = Ck x4k- 10 .
 ç ÷ å 10 ç ÷ ( ) å 10
 èx ø k= 0 èxø k= 0
Số hạng chứa x6 ứng với 4k - 10 = 6 Û k = 4 .
 6 4
Vậy hệ số của x trong khai triển là C10 = 210 .
 æ ö16
 ç 3 ÷
Bài 2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ç2x- ÷ (với x ¹ 0 ).
 èç 3 x ø÷
 Lời giải
Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
 16 k 4k
 æ ö 16 æ ö 16 -
 3 ÷ 16- k 3 ÷ - k 16
 ç2x- ÷ = Ck (2x) ç- ÷ = Ck 216 k (- 3) .x 3 .
 ç 3 ÷ å 16 ç 3 ÷ å 16
 è x ø k= 0 è x ø k= 0 4k
Số hạng không chứa x tương ứng với 16- = 0 Û k = 12 .
 3
 12 4 12
Do đó số hạng cần tìm là C16 .2 .3 .
 5 7
Bài 3. Tìm hệ số của x3 trong khai triển thành đa thức của (x + 1) + (x- 2) .
 Lời giải
Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
 5 7 7
 5 k 5- k 7 l 7- l l l l l 7- l
 (x + 1) = å C5 .x và (x- 2) = å C7 .x .(- 2) = å C7 .(- 1) .2 .x .
 k= 0 l= 0 l= 0
 5
Số hạng chứa x3 trong khai triển (x + 1) tương ứng với 5- k = 3 Û k = 2 .
 7
Số hạng chứa x3 trong khai triển (x- 2) tương ứng với 7 - l = 3 Û l = 4 .
 3 5 7 2 4 4 4
Vậy hệ số của x trong khai triển của (x + 1) + (x- 2) là C5 + C7 (- 1) .2 = 570 .
 5 10
Bài 4. Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1- 2x) + x2 (1+ 3x) .
 Lời giải
Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
 5 5
 5 k 5- k k 5- k 6- k
 x(1- 2x) = x.å C5 .(- 2x) = å C5 .(- 2) .x .
 k= 0 k= 0
Số hạng chứa x5 tương ứng với 6- k = 5 Û k = 1 .
Tương tự, theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
 10 10
 2 10 2 l 10- l l 10- l 12- l
 x (1+ 3x) = x .å C10 .(3x) = å C10 .3 .x .
 l= 0 l= 0
Số hạng chứa x5 tương ứng với 12- l = 5 Û l = 7 .
 5 5 2 10 1 4 7 3
Vậy hệ số của x trong khai triển thành đa thức của x(1- 2x) + x (1+ 3x) là C5.(2) + C10 .3 = 3320 .
 6 7 8 9 10
Bài 5. Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của (1+ x) + (1+ x) + (1+ x) + (1+ x) + (1+ x) .
 Lời giải
 8 9 10
Số hạng chứa x8 chỉ có trong khai triển thành đa thức của (1+ x) , (1+ x) và (1+ x) .
 8 8 8 9 8 10 8
Hệ số của x trong khai triển (1+ x) là C8 ; trong khai triển (1+ x) là C9 ; trong khai triển (1+ x) là C10 .
 8 8 8 8
Vậy hệ số của x trong khai triển thành đa thức là C8 + C8 + C8 = 55 .
 6 7 2015
Bài 6. Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức của (1+ x) + (1+ x) + L + (1+ x) .
 Lời giải
 6 7 2015
Đặt f (x)= (1+ x) + (1+ x) + L + (1+ x) .
 6
Ta xem đây là tổng của một cấp số nhân với số hạng đầu là u1 = (1+ x) và công bội q = 1+ x . Do đó
 2010 2016 6
 6 (1+ x) - 1 (1+ x) - (1+ x)
 f (x)= (1+ x) . = .
 1+ x- 1 x
 7 2016
Suy ra hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức của f (x) chính là hệ số của x trong khai triển (1+ x) . 7
Vậy hệ số cần tìm là C2016 .
 10
Bài 7. Tìm hệ số của x4 trong khai triển thành đa thức của (1+ 2x + 3x2 ) .
 Lời giải
Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
 10 10 10 k 10- k
 1+ 2x + 3x2 = é(1+ 2x)+ 3x2 ù = Ck .(1+ 2x) . 3x2
 ( ) ëê ûú å 10 ( )
 k= 0
 10 k 10- k 10 k
 k l l 2 k l l 10- k 20+ l- 2k
 = å C10 å Ck (2x) (3x ) = å C10 å Ck .2 .3 .x .
 k= 0 l= 0 k= 0 l= 0
Số hạng chứa x4 ứng với 20 + l- 2k = 4 Û l = 2k - 16 . Kết hợp với điều kiện ta có hệ
 ïì l = 2k - 16
 ï
 íï 0 £ k £ 10, 0 £ l £ k Û (k;l)= {(8;0),(9; 2),(10; 4)} .
 ï
 îï k,l Î ¥
 4 8 2 9 2 2 4 4
Vậy hệ số của x bằng C10 .3 + C10 .C9 .2 .3 + C10 .2 = 8085.
 5
Bài 8. Tìm hệ số của x10 trong khai triển thành đa thức của (1+ x + x2 + x3 ) .
 Lời giải
Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
 5 5 5 5 l 5 5
 2 3 5 2 k k l 2 k l k+ 2l
 (1+ x + x + x ) = (1+ x) (1+ x ) = å C5 x .å C5 (x ) = å C5 .å C5.x .
 k= 0 l= 0 k= 0 l= 0
Số hạng chứa x10 ứng với k + 2l = 10 Û k = 10- 2l . Kết hợp với điều kiện ta có hệ
 ïì k + 2l = 10
 ï
 íï 0 £ k £ 5, 0 £ l £ 5 Û (k;l)= {(0; 5),(2; 4),(4; 3)} .
 ï
 îï k,l Î ¥
 10 0 5 2 4 4 3
Vậy hệ số của x bằng C5 .C5 + C5 .C5 + C5 .C5 = 101 .
Bài 9. Tìm số tự nhiên n , biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong khai triển nhị thức Niu-tơn 
 æ ön
 ç 1÷
của çx- ÷ bằng 4.
 èç 3ø÷
 Lời giải
Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
 æ ön æ ö æ ö2 æ ön
 ç 1÷ 0 n 1 ç 1÷ n- 1 2 ç 1÷ n- 2 n ç 1÷
 çx- ÷ = Cnx + Cn ç- ÷x + Cn ç- ÷ x + ...+ Cn ç- ÷ .
 èç 3ø÷ èç 3ø÷ èç 3ø÷ èç 3ø÷
 æ ö2
 2 ç 1÷ n- 2
Số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x là Cn ç- ÷ x .
 èç 3ø÷
 æ ö2 n n- 1
 2 ç 1÷ n! 1 ( ) 1 2
Yêu cầu bài toán Cn ç- ÷ = 4 Û . = 4 Û . = 4 Û n - n- 72 = 0 Û n = 9 hoặc n = - 8 .
 èç 3ø÷ 2!(n- 2)! 9 2 9
Do n Î ¥ nên ta chọn n = 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán. n+ 6
 æ 3 ö
 6 ç 5 + ÷ ¹
Bài 10. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của çx ÷ (với x 0 ), biết hệ số của số 
 èç x4 ø÷
hạng thứ ba trong khai triển bằng 594 .
 Lời giải
Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
 n+ 6 k
 æ 3 ö n+ 6 n+ 6- k æ3 ö n+ 6
 çx5 + ÷ = Ck x5 ç ÷ = Ck 3k x5n- 9k+ 30 .
 ç 4 ÷ å n+ 6 ( ) ç 4 ÷ å n+ 6
 è x ø k= 0 èx ø k= 0
 k k 5n- 9k+ 30
Suy ra số hạng tổng quát thứ k là Tk+ 1 = Cn+ 6 3 x .
 +
 2 2 (n 6)! 2
Theo yêu cầu bài toán, ta có C + 3 = 594 Û .9 = 594 Û n + 11n- 102 = 0 Û n = 6 hoặc n = - 17 (loại).
 n 6 2!(n+ 4)!
Số hạng chứa x6 ứng với 5n- 9k + 30 = 6 Û 30- 9k + 30 = 6 Û k = 6 .
 6 6 6
Vậy hệ số của số hạng chứa x là C12 3 .
 n
 æ 1 ö
 = ç 3 + ÷ = 3n + 3n- 5 + 3n- 10 +
Bài 11. Khai triển P(x) çx ÷ ta được P(x) a0x a1x a2x ...
 èç 2x2 ø÷
 4
Biết rằng ba hệ số đầu a0 , a1 , a2 lập thành cấp số cộng. Tìm hệ số của số hạng chứa x .
 Lời giải
Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
 n k
 æ 1 ö n n- k æ 1 ö n 1
 P(x)= çx3 + ÷ = Ck . x3 .ç ÷ = Ck . .x3n- 5k .
 ç 2 ÷ å n ( ) ç 2 ÷ å n k
 è 2x ø k= 0 è2x ø k= 0 2
 k 1
Suy ra hệ số ak = Cn . .
 2k
 0 2 1 1 1
Theo giả thiết, ta có a0 + a2 = 2a1 Û Cn + Cn . = 2Cn. (điều kiện n ³ 2 )
 22 2
 n! 1 (n- 1)n
 Û 1+ . = n Û 1+ = n Û n2 - 9n+ 8 = 0 Û n = 1 (loại) hoặc n = 8 .
 2!.(n- 2)! 4 8
 8
 æ 1 ö 8 1
Với n = 8 , ta được P(x)= çx3 + ÷ = Ck . .x24- 5k .
 ç 2 ÷ å 8 k
 è 2x ø k= 0 2
So hạng chứa x4 ứng với 24- 5k = 4 Û k = 4 .
 4 4 1
Vậy hệ số của số hạng chứa x là C8 . .
 24
 21
Bài 12. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (x3 + xy) .
 Lời giải
Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
 21 21 21- k 21
 3 k 3 k k 63- 2k k
 (x + xy) = å C21 (x ) (xy) = å C21x y .
 k= 0 k= 0
 21
Suy ra khai triển (x3 + xy) có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 và 12.
 10 43 10 11 41 11
Vậy số hạng thứ 11 là C21x y ; số hạng thứ 12 là C21x y . n
 æ 1 ö
 ç 3 - ÷ ¹
Bài 13. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ç3x ÷ (với x 0 ), biết rằng n là số 
 èç x2 ø÷
 n- 2
nguyên dương thỏa mãn hệ thức 2Pn - (4n+ 5)Pn- 2 = 3An .
 Lời giải
Điều kiện: n Î ¥ ,n ³ 3 .
 n! 3n(n- 1)
Ta có 2P - (4n+ 5).P = 3An- 2 Û 2n!- (4n+ 5)(n- 2)! = 3. Û 2n(n- 1)- (4n+ 5)=
 n n- 2 n 2! 2
 Û n2 - 9n- 10 = 0 Û n = 10 hoặc n = - 1 (loại).
 n 10
 æ 1 ö æ 1 ö
 = ç 3 - ÷ = ç 3 - ÷
Với n 10 , khi đó ç3x ÷ ç3x ÷ . Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
 èç x2 ø÷ èç x2 ø÷
 10 k
 æ 1 ö 10 10- k æ 1 ö 10 k
 ç3x3 - ÷ = Ck 3x3 ç- ÷ = Ck 310- k (- 1) x30- 5k .
 ç 2 ÷ å 10 ( ) ç 2 ÷ å 10
 è x ø k= 0 è x ø k= 0
Số hạng không chứa x ứng với 30- 5k = 0 Û k = 6 .
 6 4 6
Vậy số hạng không chứa x của khai triển là C10 .3 .(- 1) = 17010 .
 æ ön
 4 ç2 3 ÷
Bài 14. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ç - x ÷ (với x ¹ 0 ), biết n là số tự 
 èçx ø÷
 n- 6 2
nhiên thỏa mãn hệ thức Cn- 4 + nAn = 454 .
 Lời giải
Điều kiện: n Î ¥ ,n ³ 6 .
 - - -
 n- 6 2 (n 4)! n! (n 5)(n 4)
Ta có C - + nA = 454 Û + n. = 454 Û + n.(n- 1)n = 454
 n 4 n (n- 6)!.2! (n- 2)! 2
 Û 2n3 - n2 - 9n- 888 = 0 Û n = 8 .
 æ ön æ ö8
 ç2 3 ÷ ç2 3 ÷
Với n = 8 , khi đó ç - x ÷ = ç - x ÷ . Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
 èçx ø÷ èçx ø÷
 8 8- k
 æ2 ö 8 æ2ö k 8 k
 ç - x3 ÷ = Ck ç ÷ - x3 = Ck 28- k - 1 x4k- 8 .
 ç ÷ å 8 ç ÷ ( ) å 8 ( )
 èx ø k= 0 èxø k= 0
Số hạng chứa x4 tương ứng với 4k - 8 = 4 Û k = 3 .
 4 3 5 3
Vậy hệ số của x là C8 2 (- 1) = - 1792 .
 æ ön
 5 ç 2 ÷
Bài 15. Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ç x - ÷ (với x > 0 ), biết n là số nguyên dương 
 èç 3 x ø÷
 1 1 16
thỏa mãn hệ thức + = .
 2 3 4
 Cn Cn Cn
 Lời giải
Điều kiện: n Î ¥ ,n ³ 4 .
 1 1 16 2!(n- 2)! 3!(n- 3)! 16.4!(n- 4)!
Ta có + = Û + = Û (n- 3)(n- 2)+ 3(n- 3)= 16.12
 2 3 4 n! n! n!
 Cn Cn Cn
 Û n2 - 2n- 195 = 0 Û n = 15 hoặc n = - 13 (loại). æ ön æ ö15
 ç 2 ÷ ç 2 ÷
Với n = 15 , khi đó ç x - ÷ = ç x - ÷ . Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
 èç 3 x ø÷ èç 3 x ø÷
 15 15 k 15 15- k k
 æ 2 ÷ö 15- k æ 2 ÷ö k -
 ç x - ÷ = Ck x ç- ÷ = Ck 2k (- 1) x 2 3 .
 ç 3 ÷ å 15 ( ) ç 3 ÷ å 15
 è x ø k= 0 è x ø k= 0
 15- k k
Số hạng chứa x5 tương ứng với - = 5 Û k = 3 .
 2 3
 5 3 3
Vậy hệ số của x là - C15 2 = - 3640 .
 æ ön
 ç3 2 ÷
Bài 16. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ç x + ÷ (với x > 0 ), biết rằng n là số 
 èç x ø÷
 6 7 8 9 8
nguyên dương thỏa mãn hệ thức Cn + 3Cn + 3Cn + Cn = 2Cn+ 2 .
 Lời giải
Điều kiện: n Î ¥ ,n ³ 9 .
 k k+ 1 k+ 1
Áp dụng công thức Cn + Cn = Cn+ 1 .
 6 7 8 9 6 7 7 8 8 9 7 8 9
Ta có Cn + 3Cn + 3Cn + Cn = (Cn + Cn )+ 2(Cn + Cn )+ (Cn + Cn )= Cn+ 1 + 2Cn+ 1 + Cn+ 1
 7 8 8 9 8 9 9
 = (Cn+ 1 + Cn+ 1)+ (Cn+ 1 + Cn+ 1)= Cn+ 2 + Cn+ 2 = Cn+ 3 .
 + +
 9 8 (n 3)! (n 2)! n+ 3
Giả thiết bài toán Û C + = 2C + Û = 2. Û = 2 Û n = 15 .
 n 3 n 2 9!(n- 6)! 8!(n- 6)! 9
 æ ön æ ö15
 ç3 2 ÷ ç3 2 ÷
Khi đó ç x + ÷ = ç x + ÷ . Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
 èç x ø÷ èç x ø÷
 15 k 30- 5k
 æ 2 ÷ö 15 15- k æ2 ÷ö 15
 ç3 x + ÷ = Ck 3 x ç ÷ = Ck 2k x 6 .
 ç ÷ å 15 ( ) ç ÷ å 15
 è x ø k= 0 è x ø k= 0
 30- 5k
Số hạng không chứa x tương ứng với = 0 Û k = 6 .
 6
 6 6
Vậy số hạng cần tìm là C15 2 = 320320 .
 n
Bài 17. Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (2 + 3x) , biết n là số nguyên dương 
 1 2 n 20
thỏa mãn hệ thức C2n+ 1 + C2n+ 1 + ...+ C2n+ 1 = 2 - 1.
 Lời giải
 2n+ 1 0 1 2n+ 1
Ta có (1+ 1) = C2n+ 1 + C2n+ 1 + ...+ C2n+ 1 . (1)
 0 2n+ 1 1 2n 2 2n- 1 n n+ 1
Lại có C2n+ 1 = C2n+ 1 ; C2n+ 1 = C2n+ 1 ; C2n+ 1 = C2n+ 1 ; ; C2n+ 1 = C2n+ 1 . (2)
 22n+ 1
Từ (1) và (2), suy ra C0 + C1 + ...+ Cn = Û C1 + ...+ Cn = 22n - 1 Û 220 - 1 = 22n - 1 Û n = 10 .
 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2 2n+ 1 2n+ 1
 n 10
Khi đó (2 + 3x) = (2 + 3x) . Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
 10 10
 10 k 10- k k k 10- k k k
 (2 + 3x) = å C10 2 (3x) = å C10 2 3 x .
 k= 0 k= 0
Số hạng chứa x10 tương ứng với k = 10 . 10 10 0 10 10
Vậy hệ số của x là C10 2 3 = 3 .
 2n
Bài 18. Tìm hệ số của số hạng chứa x7 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (2- 3x) , biết n là số nguyên dương 
 1 3 2n+ 1
thỏa mãn hệ thức C2n+ 1 + C2n+ 1 + ...+ C2n+ 1 = 1024 .
 Lời giải
 2n+ 1 0 2n+ 1 1 2n 2n+ 1
Xét khai triển (x + 1) = C2n+ 1x + C2n+ 1x + ...+ C2n+ 1 .
 2n+ 1 0 1 2n+ 1
Cho x = 1 , ta được 2 = C2n+ 1 + C2n+ 1 + ...+ C2n+ 1 . (1)
 0 1 2n+ 1
Cho x = - 1 , ta được 0 = - C2n+ 1 + C2n+ 1 - ...+ C2n+ 1 . (2)
 2n+ 1 1 3 2n+ 1 2n+ 1
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được 2 = 2(C2n+ 1 + C2n+ 1 + ...+ C2n+ 1 )Û 2 = 2.1024 Û n = 5 .
 2n 10
Với n = 5 , khi đó (2- 3x) = (2- 3x) . Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
 10 10
 10 k 10- k k k 10- k k k
 (2- 3x) = å C10 2 (- 3x) = å C10 2 (- 3) x .
 k= 0 k= 0
Số hạng chứa x7 tương ứng với k = 7 .
 7 7 3 7
Vậy hệ số của x trong khai triển là - C10 2 3 .
 æ ö2
 10 ç1 2 ÷ 3n
Bài 19. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển đa thức f (x)= ç x + x + 1÷ (x + 2) với n là số tự nhiên 
 èç4 ø÷
 3 n- 2
thỏa mãn hệ thức An + Cn = 14n .
 Lời giải
Điều kiện: n Î ¥ ,n ³ 3 .
 n! n! n(n- 1)
Ta có A3 + Cn- 2 = 14n Û + = 14n Û n(n- 1)(n- 2)+ = 14n
 n n (n- 3)! (n- 2)!2! 2
 5
 Û 2n2 - 5n- 25 = 0 Û n = 5 hoặc n = - (loại).
 2
 2
 æ1 ö 3n 1 4 15 1 19 1 19
Với n = 5 , khi đó f x = ç x2 + x + 1÷ x + 2 = x + 2 x + 2 = x + 2 = Ck 2k x19- k .
 ( ) ç ÷ ( ) ( ) ( ) ( ) å 19
 è4 ø 16 16 16 k= 0
Số hạng chứa x10 tương ứng với 19- k = 10 Û k = 9 .
 1
Vậy hệ số của x10 là C10 29 = 25C10 = 2956096 .
 16 19 19
 n
Bài 20. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển đa thức P(x)= (1- x- 3x3 ) với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ 
 n- 2 2
thức Cn + 6n+ 5 = An+ 1 .
 Lời giải
Điều kiện: n Î ¥ ,n ³ 2 .
 +
 n- 2 2 n! (n 1)!
Ta có C + 6n+ 5 = A + Û + 6n+ 5 = Û n(n- 1)+ 12n+ 10 = 2n(n+ 1)
 n n 1 (n- 2)!.2! (n- 1)!
 Û n2 - 9n- 10 = 0 Û n = - 1 (loại) hoặc n = 10 .
 n 10 10 10 k
 3 3 é 3 ù k k 3
Với n = 10 , khi đó P(x)= (1- x- 3x ) = (1- x- 3x ) = ê1- (x + 3x )ú = å C10 (- 1) (x + 3x )
 ë û k= 0 10 k 10 k
 k k k 2 k l k l k+ 2l
 = å C10 (- 1) x (1+ 3x ) = å C10 å Ck (- 1) 3 x .
 k= 0 k= 0 l= 0
 ïì k + 2l = 4
 ï
Số hạng chứa x4 tương ứng với íï 0 £ k £ 10 Û (k;l)= {(4;0),(2;1)} .
 ï
 îï 0 £ l £ k
 4 4 0 2 1
Vậy hệ số chứa x là C10C4 + C10C2 3 = 480 .
 VẤN ĐỀ 02. TÍNH TỔNG HỮU HẠN
Bài 21. Tính tổng
 0 1 2 n 0 1 2 2n
 a) S = Cn + Cn + Cn + ...+ Cn . b) S = C2n + C2n + C2n + ...+ C2n .
 Lời giải
 n
a) Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1+ x) , ta có
 n 0 1 2 2 n n
 (1+ x) = Cn + Cnx + Cn x + L + Cn x .
 n 0 1 2 n
Cho x = 1 , ta được (1+ 1) = Cn + Cn + Cn + L + Cn .
 0 1 2 n n
Vậy S = Cn + Cn + Cn + ...+ Cn = 2 .
 2n
b) Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1+ x) , ta có
 2n 0 1 2 2 2n 2n
 (1+ x) = C2n + C2nx + C2nx + L + C2n x .
 2n 0 1 2 2n
Cho x = 1 , ta được (1+ 1) = C2n + C2n + C2n + L + C2n .
 0 1 2 2n 2n
Vậy S = C2n + C2n + C2n + ...+ C2n = 2 .
 0 1 2 3 n n
Bài 22. Tính tổng S = Cn + 3Cn + 3 Cn + ...+ 3 Cn .
 Lời giải
 n
Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1+ x) , ta có
 n 0 1 2 2 n n
 (1+ x) = Cn + Cnx + Cn x + L + Cn x .
 n 0 1 2 3 n n
Cho x = 3 , ta được (1+ 3) = Cn + 3Cn + 3 Cn + ...+ 3 Cn .
 0 1 2 3 n n n
Vậy S = Cn + 3Cn + 3 Cn + ...+ 3 Cn = 4 .
 1 3 2n- 1 0 2 2n 2n- 1
Bài 23. Chứng minh rằng C2n + C2n + ...+ C2n = C2n + C2n + ...+ C2n = 2 .
 Lời giải
 2n
Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1+ x) , ta có
 2n 0 1 2 2 3 3 2n- 1 2n- 1 2n 2n
 (1+ x) = C2n + C2nx + C2nx + C2nx + L + C2n x + C2n x .
 2n 0 1 2 3 2n- 1 2n
Cho x = - 1 , ta được (1- 1) = C2n - C2n + C2n - C2n + L - C2n + C2n (1)
 0 1 2 3 2n- 1 2n
 Û 0 = C2n - C2n + C2n - C2n + L - C2n + C2n
 1 3 2n- 1 0 2 2n
 Û C2n + C2n + ...+ C2n = C2n + C2n + ...+ C2n . 2n 0 1 2 3 2n- 1 2n
Cho x = 1 , ta được (1+ 1) = C2n + C2n + C2n + C2n + L + C2n + C2n . (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được
 2n 0 2 2n 0 2 2n 2n- 1
 2 = 2(C2n + C2n + ...+ C2n ) Û C2n + C2n + ...+ C2n = 2 .
 1 3 2n- 1 0 2 2n 2n- 1
Vậy C2n + C2n + ...+ C2n = C2n + C2n + ...+ C2n = 2 .
 0 2 2 4 4 2n 2n 2n- 1 2n
Bài 24. Chứng minh rằng C2n + 3 C2n + 3 C2n + ...+ 3 C2n = 2 (2 + 1).
 Lời giải
 2n
Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1+ x) , ta có
 2n 0 1 2 2 2n- 1 2n- 1 2n 2n
 (1+ x) = C2n + C2nx + C2nx + L + C2n x + C2n x .
 2n 0 1 2 2 2n- 1 2n- 1 2n 2n
Cho x = 3 , ta được (1+ 3) = C2n + C2n 3 + C2n 3 + L + C2n 3 + C2n 3 . (1)
 2n 0 1 2 2 2n- 1 2n- 1 2n 2n
Cho x = - 3 , ta được (1- 3) = C2n - C2n 3 + C2n 3 - L - C2n 3 + C2n 3 . (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được
 4n 2n
 2n 2n 0 2 2 4 4 2n 2n 2 + 2 0 2 2 2n 2n
 4 + (- 2) = 2(C2n + 3 C2n + 3 C2n + ...+ 3 C2n ) Û = C2n + C2n 3 + ...+ C2n 3
 2
 22n 22n + 1
 ( ) 0 2 2 2n 2n 2n- 1 2n 0 2 2 2n 2n
 Û = C2n + C2n 3 + ...+ C2n 3 Û 2 (2 + 1)= C2n + C2n 3 + ...+ C2n 3
 2
 0 2 2 4 4 2n 2n 2n- 1 2n
Vậy C2n + 3 C2n + 3 C2n + ...+ 3 C2n = 2 (2 + 1).
Bài 25. Chứng minh rằng
 2 2 2 2 2 2
 0 1 n n 1 2 n n n
 a) (Cn ) + (Cn ) + ...+ (Cn ) = C2n . b) (Cn ) + 2(Cn ) + ...+ n(Cn ) = C2n .
 2
 Lời giải
 2n
a) Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1+ x) , ta có
 2n 0 1 n n 2n 2n
 (1+ x) = C2n + C2nx + ...+ C2nx + ...+ C2n x .
 2n n n 0 1 n n 0 1 n n
Mặt khác, ta có (1+ x) = (1+ x) (1+ x) = (Cn + Cnx + ...+ Cn x )(Cn + Cnx + ...+ Cn x ). Khi nhân hai đa thức này với 
 é 2 2 2 ù
 n 0 n + 1 n- 1 + + n 0 n = ê 0 + 1 + + n = n ú n
nhau ta thấy số hạng chứa x có dạng (CnCn CnCn ... CnCn )x ê(Cn ) (Cn ) ... (Cn ) C2n úx .
 ë û
 2 2 2
 n 0 1 n n
Hai đa thức trên đồng nhất nên hệ số của số hạng chứa x phải bằng nhau, tức là (Cn ) + (Cn ) + ...+ (Cn ) = C2n .
 2 2 2
 1 2 n
b) Đặt S = (Cn ) + 2(Cn ) + ...+ n(Cn ) .
Do 
 1 n- 1 2 n- 2 n 0
 Cn = Cn ; Cn = Cn ; ; Cn = Cn .
 2 2 2 é 2 2 2 ù
 = 1 + 2 + + n = ê 1 + 2 + + n ú= n
Suy ra 2S n(Cn ) n(Cn ) ... n(Cn ) n ê(Cn ) (Cn ) ... (Cn ) ú nC2n .
 ë û
 2 2 2
 1 2 n n n
Vậy (Cn ) + 2(Cn ) + ...+ n(Cn ) = C2n .
 2 Bài 26. Tính tổng 
 2014 0 2013 1 2012 2 2014
 a) S = 3 .C2014 - 3 .C2014 + 3 .C2014 - L + C2014 . 
 2015 0 2014 1 1 2013 2 2 2015 2015
 b) S = 3 C2015 + 3 .4 .C2015 + 3 .4 .C2015 + L + 4 .C2015 .
 2016 1 0 2015 2 1 2014 3 2 1 2016 2015
 c) S = 4 .5 .C2015 + 4 .5 .C2015 + 4 .5 .C2015 + ...+ 4 .5 .C2015 .
 Lời giải
 2014
a) Khai triển nhị thức Niu-tơn của (x- 1) , ta có
 2014 0 2014 1 2013 2 2012 2014
 (x- 1) = C2014x - C2014x + C2014x - L + C2014 .
 2014 2014 0 2013 1 2012 2 2014
Cho x = 3 , ta được (3- 1) = 3 .C2014 - 3 .C2014 + 3 .C2014 - L + C2014 .
 2014 0 2013 1 2012 2 2014 2014
Vậy S = 3 .C2014 - 3 .C2014 + 3 .C2014 - L + C2014 = 2 .
 2015
b) Khai triển nhị thức Niu-tơn của (x + 4) , ta có
 2015 0 2015 1 2014 2 2013 2 2015 2015
 (x + 4) = C2015x + C2015x .4 + C2015x .4 + L + C2015 .4 .
 2015 2015 0 2014 1 1 2013 2 2 2015 2015
Cho x = 4 , ta được (3 + 4) = 3 C2015 + 3 .4 .C2015 + 3 .4 .C2015 + L + 4 .C2015 .
 2015 0 2014 1 1 2013 2 2 2015 2015 2015
Vậy S = 3 C2015 + 3 .4 .C2015 + 3 .4 .C2015 + L + 4 .C2015 = 7 .
 2016 1 0 2015 2 1 2014 3 2 1 2016 2015
c) Ta có S = 4 .5 .C2015 + 4 .5 .C2015 + 4 .5 .C2015 + ...+ 4 .5 .C2015
 2015 0 2014 1 2013 2 2 2015 2015
 = 4.5.(4 .C2015 + 4 .5.C2015 + 4 .5 .C2015 + ...+ .5 .C2015 )
 2015
 = 20.(4 + 5) = 20.92015
 0 2015 1 2014 k 2015- k 2015 0
Bài 27. Tính tổng S = C2016C2016 + C2016C2015 + ...+ C2016C2016- k + ...+ C2016C1 .
 Lời giải
 k n- k- 1 k
Trước hết ta chứng minh công thức Cn .Cn- k = nCn- 1 . Thật vậy, ta có
 - -
 k n- k- 1 n! (n k)! n! (n 1)! k
 C .C - = . = = n. = nC - .
 n n k k!.(n- k)! (n- k - 1)!.1! k!.(n- k - 1)! k!.(n- 1- k)! n 1
 k n- k- 1 k
Áp dụng công thức Cn .Cn- k = nCn- 1 , ta có
 0 1 k 2015
 S = 2016C2015 + 2016C2015 + ...+ 2016C2015 + ...+ 2016C2015
 2015
 k 2015 2016
 = 2016 å C2015 = 2016.(1+ 1) = 1008.2 .
 k= 0
 0 2015 1 2014 k 2015- k 2015 0 2016
Vậy S = C2016C2016 + C2016C2015 + ...+ C2016C2016- k + ...+ C2016C1 = 1008.2 .
 20 C0 21C1 22 C2 23C3 22010 C2010
Bài 28. Tính tổng S = 2010 - 2010 + 2010 - 2010 + ...+ 2010 .
 1 2 3 4 2011
 Lời giải
 k k k k k
 k 2 C (- 2) 2010! (- 2) 2010! 1 (- 2) 2011! 1 k+ 1
Ta có (- 1) 2010 = = = × = - ×(- 2) Ck+ 1 .
 (k + 1) k!(2010- k)!(k + 1) (k + 1)!(2010- k)! 2011 (k + 1)!(2011- k - 1)! 4022 2011
 1 é 1 2 2011 ù
Suy ra S = - ×ê(- 2) C1 + (- 2) C2 + ...+ (- 2) C2011ú
 4022 ëê 2011 2011 2011 ûú