Tự luận Giải tích Lớp 11 - Chương 2 - Chủ đề 1: Hai quy tắc đếm cơ bản hoán vị, chỉnh vị, tổ hợp

 CHÖÔNG 2.
 TOÅ HÔÏP – XAÙC SUAÁT
 PHAÀN A – TOÅ HÔÏP
CHUÛ ÑEÀ 01. 
 HAI QUY TAÉC ÑEÁM CÔ BAÛN
 HOAÙN VÒ, CHÆNH HÔÏP, TOÅ HÔÏP
1. Quy tắc cộng. Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B . Nếu phương 
án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A 
thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
2. Quy tắc nhân. Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B . Nếu công đoạn A có m cách thực hiện 
và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.
3. Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp
 3.1. Giai thừa
 n! = 1.2.3...(n- 1).n
 0! = 1
 1! = 1
 n!.(n+ 1)= (n+ 1)!
 n! 1.2...k(k + 1)(k + 2)...n
 = = (k + 1)(k + 1)...n, (n; k Î ¢ + k £ n )
 k! 1.2...k
 3.2. Hoán vị. Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập A gồm n phần tử (n ³ 1) theo một thứ tự nhất định gọi là một 
 hoán vị của n phần tử đó.
 Số hoán vị n phần tử là: Pn = n!.
 3.3. Chỉnh hợp. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k (1£ k £ n) phần tử của A theo một thứ tự 
 nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A .
 n!
 Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Ak = .
 n (n- k)!
 3.4. Tổ hợp. Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1£ k £ n) phần tử của tập A được gọi là một tổ hợp 
 chập k của n phần tử đã cho.
 n!
 Số các tổ hợp chập k của n phần tử là Ck = .
 n k!(n- k)!
 k n- k
 Tính chất: Cn = Cn
 k- 1 k k
 Cn- 1 + Cn- 1 = Cn 3.5. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp
 k k
 Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức An = k!Cn .
 Chỉnh hợp: có thứ tự; Tổ hợp: không có thứ tự.
 Suy ra những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử là chỉnh hợp. Ngược lại, là tổ hợp.
 Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k £ n).
 k
 ▪ Không thứ tự, không hoàn lại Cn .
 k
 ▪ Có thứ tự, không hoàn lại An .
 VẤN ĐỀ 01. ĐẾM SỐ PHẦN TỬ CỦA MỘT TẬP HỢP HỮU HẠN
Bài 1. Giải bóng đá ngoại hạng Anh có 20 đội bóng thi đấu vòng tròn, có bao nhiêu trận đấu được tổ chức nếu 
 a) Thi đấu vòng tròn 1 lượt.
 b) Thi đấu vòng tròn 2 lượt.
 Lời giải
a) Mỗi trận đấu ứng với việc chọn 2 đội từ 20 đội.
Suy ra mỗi trận đấu là một tổ hợp chập 2 từ 20 phần tử.
 20!
Do đó số trận đấu được tổ chức là C2 = = 190 trận.
 20 2!.18!
b) Mỗi trận đấu ứng với việc chọn 2 đội từ 20 đội và có sự phân biệt giữa đội nhà và đội khách.
Suy ra mỗi trận đấu là một chỉnh hợp chập 2 từ 20 phần tử.
 20!
Do đó số trận đấu được tổ chức là A2 = = 380 trận.
 20 18!
Bài 2. Biển số đăng kí xe máy của các tỉnh trong cả nước hiện nay ngoài 2 chữ số kí hiệu mã tỉnh đầu tiên nó gồm 2 
nhóm: Nhóm thứ nhất gồm 1 chữ cái trong 26 chữ cái (không dùng hai chữ cái I và O ) và một trong các số từ 1 đến 9; 
Nhóm thứ hai gồm 4 chữ số trong các số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (ví dụ một biển số dạng 71Y2 3899 ). Hỏi số xe máy được 
đăng kí nhiều nhất ở một tỉnh có thể là bao nhiêu ?
 Lời giải
Để tạo được một biển số đăng kí xe máy, ta phải thực hiện liên tiếp theo các bước sau:
 ● Chọn một chữ cái trong 24 chữ cái nên có 24 cách (26 chữ nhưng không dùng 2 chữ I và O ).
 ● Chọn chữ số ở nhóm thứ nhất từ tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} nên có 9 cách.
 ● Chọn 4 chữ số ở nhóm thứ hai nên có 104 cách.
Vậy theo quy tắc nhân số xe máy được đăng kí nhiều nhất ở một tỉnh có thể là 24.9.104 = 2.160.000 .
Bài 3. Một đoàn tàu có ba toa chở khách là toa I , toa II , toa III . Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tàu. Biết rằng 
mỗi toa ít nhất có 4 chỗ trống 
 a) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu để có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên.
 b) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa tàu đó. 
 Lời giải
a) Để hoàn thành công việc '' sắp xếp 4 vị khách vào các toa tàu sao cho có 3 người vào một toa '' phải thực hiện hai giai 
đoạn liên tiếp như sau: 
 ● Giai đoạn thứ nhất. '' Sắp 3 người vào 1 trong 3 toa '' . Để thực hiện giai đoạn này ta phải làm hai công đoạn: 
 3
 Chọn 3 trong 4 người khách nên C4 cách. Sắp 3 người đã chọn vào 1 trong 3 toa nên có 3 cách.
 3
 Do đó giai đoạn thứ nhất có C4 .3 = 12 cách.
 ● Giai đoạn thứ hai. Sau khi thực hiện giai đoạn thứ nhất, sắp 1 người khách còn lại vào 1 trong 2 toa còn lại nên 
 có 2 cách.
Theo quy tắc nhân, suy ra đáp án bài toán là có 12.2 = 24 cách thực hiện.
b) Nhận xét. Có 3 toa tàu nhưng có tới 4 vị khách nên tồn tại ít nhất một toa có từ 2 khách trở lên.
Do đó ta chi ra ba trường hợp sau:
 ● Trường hợp thứ nhất. '' Sắp 4 người vào 1 toa '' . Để thực hiện trường hợp này ta phải làm hai công đoạn:
 Sắp 4 người vào 1 toa nên có 3 cách.
 Hai toa còn lại để trống, tức chỉ có 1 cách.
 Do đó trường hợp thứ nhất có 3.1 = 3 cách thực hiện.
 ● Trường hợp thứ hai. '' Sắp xếp sao cho có 3 người vào một toa '' . Đã làm ở câu a) có 24 cách.
 ● Trường hợp thứ ba. '' Sắp xếp sao cho có 2 người vào một toa '' . Để thực hiện trường hợp này ta phải làm hai 
 công đoạn:
 ▪ Công đoạn một. Chọn 2 người trong 4 người vào 1 phòng trong 3 phòng:
 2
 Chọn 2 người nên có C4 cách.
 Sau khi chọn 2 người đưa vào 1 phòng trong 3 phòng nên có 3 cách.
 2
 Như vậy công đoạn một có C4 .3 = 18 cách thực hiện.
 ▪ Công đoạn hai. Sau khi đưa 2 người vào 1 phòng, ta cần phải đưa 2 người còn lại vào 2 hoặc 1 toa còn lại. Có 
 hai khả năng xảy ra
 Khả năng thứ nhất. Đưa 2 người vào cùng 1 toa nên có 2 cách.
 Khả năng thứ hai. Đưa 1 người vào 1 toa nên có 2 cách. 
 Như vậy công đoạn hai có 2.2 = 4 cách thực hiện.
 Do đó trường hợp thứ ba có 18.4 = 72 cách thực hiện.
Tóm lại, tổng hợp các kết quả suy ra đáp số bài toán là 3 + 24 + 72 = 99 cách.
Bài 4. Gieo đồng thời 4 con xúc xắc. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra mà tổng số chấm trên các mặt xuất hiện của 4 
con xúc xắc là 8 .
 Lời giải
Gọi a, b, c, d lần lượt là số chấm xuất hiện trên 4 con xúc xắc, mỗi một khả năng xảy ra là một bộ (a, b, c, d) với 
 a, b, c, d Î {1, 2, 3, 4, 5, 6} và a + b + c + d = 8 . Vì 8 là số chẵn nên bốn số (a, b, c, d) chỉ có thể là bốn số đều chẵn 
hoặc là bốn số đều lẻ hoặc hai số lẻ và hai số chẵn. Thử lại ta thấy chỉ có năm bộ sau thỏa mãn
 {1, 1, 1, 5}; {1, 1, 2, 4}; {1, 2, 2, 3}; {1, 1, 3, 3}; {2, 2, 2, 2} .
Nên mỗi khả năng xảy ra có thể theo một trong năm phương án sau:
 ● Phương án 1: Khi a, b, c, d Î {1, 1, 1, 5} .
 Bước 1: Chọn 1 trong 4 vị trí để xếp số 5 , suy ra có 4 cách.
 Bước 2: Lấy 3 số 1 xếp vào 3 vị trí còn lại, suy ra có 1 cách.
 Nên trong phương án này có 4.1 = 4 khả năng.
 ● Phương án 2: Khi a, b, c, d Î {1, 1, 2, 4} .
 2
 Bước 1: Chọn 2 trong 4 vị trí (có tính đến thứ tự) để xếp số 2 và số 4 , suy ra có A4 = 12 cách.
 Bước 2: Chọn 2 số 1 xếp vào 2 vị trí còn lại, suy ra có 1 cách.
 Nên trong phương án này có 12.1 = 12 khả năng.
 ● Phương án 3: Khi a, b, c, d Î {1, 2, 2, 3} . Trương tự như Phương án 2 nên có 12 khả năng. ● Phương án 4: Khi a, b, c, d Î {1, 1, 3, 3} .
 2
 Bước 1: Chọn 2 trong 4 vị trí (không tính đến thứ tự) để xếp 2 số 1 , suy ra có C4 = 6 cách.
 Bước 2: Xếp hai số 3 vào 2 vị trí còn lại, suy ra có 1 cách
 Nên trong phương án này có 6.1 = 6 khả năng.
 ● Phương án 5: Khi a, b, c, d Î {2, 2, 2, 2} có 1 cách.
Vậy theo quy tắc cộng, ta có số khả năng xảy ra là 4 + 12 + 12 + 6 + 1 = 35 .
Bài 5. Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc.
a) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
b) Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng giới tính đứng kề nhau?
 Lời giải
a) Mỗi cách xếp 5 nam và 5 nữ thành một hàng dọc là một hoán vị của 10 phần tử.
Vậy có tất cả 10! 3628800 cách.
b) Ta có thể thực hiện theo một trong hai phương án sau:
 ● Phương án thứ nhất: Nam đứng ở vị trí số lẻ, nữ đứng ở vị trí số chẵn
 Xếp 5 nam vào 5 vị trí số lẻ có 5! cách.
 Xếp 5 nữ vào 5 vị trí số chẵn có 5! cách.
 Trường hợp này có 5!.5! 14400 cách. 
 ● Phương án thứ hai: Nam đứng ở vị trí số chẵn, nữ đứng ở vị trí số lẻ
 Xếp 5 nam vào 5 vị trí số lẻ có 5! cách.
 Xếp 5 nữ vào 5 vị trí số chẵn có 5! cách.
 Trường hợp này có 5!.5! 14400 cách.
Vậy theo quy tắc cộng ta có số cách xếp là 1440 14400 28800 cách.
Bài 6. Có tất cả bao nhiêu cặp vợ chồng thực hiện việc bắt tay lẫn nhau (tất nhiên mỗi người không bắt tay vợ hoặc 
chồng của mình) trong một buổi gặp mặt, biết rằng có tất cả có 40 cái bắt tay.
 Lời giải
Giữa hai cặp vợ chồng bất kỳ có tất cả 4 lần bắt tay thỏa mãn yêu cầu bài toán (hai người đàn ông, hai người đàn bà và 
2 lần chéo nhau).
 2
Giả sử số cặp vợ chồng cần tìm là n (n ³ 2). Khi đó số cách chọn ra 2 cặp bất kỳ từ n cặp đó là Cn .
 2
Vậy tổng số cái bắt tay được thực hiện lúc này là 4Cn .
Theo giả thiết bài toán, ta có 
 n! (n- 1)n
 4C2 = 40 Û 4 = 40 Û = 10 Û n2 - n- 20 = 0 Û n = - 4 (loại) hoặc n = 5
 n 2!(n- 2)! 2
Vậy có tất cả 5 cặp vợ chồng.
Bài 7. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Toán và 3 cuốn sách 
Nhạc. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
 a) Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc hai thể loại Văn và Toán. Hỏi có 
 bao nhiêu cách tặng?
 b) Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một 
 cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
 Lời giải 6
a) Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn (Văn và Toán) có kể thứ tự. Vậy số cách tặng là A9 = 60480 .
b) Do tổng bất kỳ hai loại sách luôn lớn hơn 6 nên nếu ta chọn bất kỳ thì sau khi tặng xong ta luôn luôn còn lại ít nhất 
hai loại sách.
 6
 Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là A12 = 665280 .
 5
 Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là A6 .7 = 5040 .
 4 2
 Số cách chọn sao cho không còn sách Toán là A6 .A8 = 20160 .
 3 3
 Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là A6 .A9 = 60480 .
Vậy số cách chọn cần tìm là 665280- (5040 + 20160 + 60480)= 579600 .
Bài 8. Một người có 8 bì thư và 6 tem thư, người đó cần gửi thư cho 3 người bạn. Hỏi người đó có bao nhiêu cách 
chọn 3 bì thư và 3 tem thư sau đó dán mỗi tem lên mỗi bì thư để gửi thư ?
 Lời giải
Để thực hiện công việc đó người đó phải thực hiện liên tiếp ba bước sau:
 3
 ● Chọn 3 bì thư trong 8 bì thư có C8 cách.
 3
 ● Chọn 3 tem thư trong 6 tem thư có C6 cách.
 ● Dán 3 tem thư vào 3 bì thư có P3 cách.
 3 3
Vậy theo quy tắc nhân, số cách người đó có thể chọn là C8 .C6 .P3 = 6720 .
Bài 9. Một hộp có 7 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 7 viên bi từ hộp. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 7 viên bi có 
đủ ba màu ?
 Lời giải
 7
Nếu lấy tùy ý 7 viên bi từ 16 viên bi, suy ra số cách lấy C16 11440 cách.
Tìm số cách lấy vi phạm.
 7
 ● Trường hợp 1: Không lấy bi xanh, tức là lấy 7 viên bi từ 9 viên bi đỏ và đen nên số cách lấy là C9 cách.
 7
 ● Trường hợp 2: Không lấy bi đỏ, tức là lấy 7 viên bi từ 11 viên bi xanh và đen nên số cách lấy là C11 cách.
 7
 ● Trường hợp 3: Không lấy bi đen, tức là lấy 7 viên bi từ 12 viên bi xanh và đỏ nên số cách lấy là C12 cách.
Trong quá trình đếm, khi lấy 7 bi toàn màu xanh được đếm cả hai lần (ở trường hợp 2 và trường hợp 3) nên số cách 
 7 7 7
lấy vi phạm là C9 C11 C12 1 1157 cách.
Vậy số cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán là 11440 1157 10283 cách.
Bài 10. Đội học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12 ; 6 học sinh khối 11 và 5 học 
sinh khối 10 . Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được 
chọn ?
 Lời giải
 8
Chọn 8 học sinh tùy ý từ 18 em trong đội tuyển nên có C18 cách.
Ta xét các trường hợp không thỏa yêu cầu bài toán:
 8
 ● Chọn 8 học sinh từ khối 10 và khối 11 nên có C11 cách.
 8
 ● Chọn 8 học sinh từ khối 10 và khối 12 nên có C12 cách.
 8
 ● Chọn 8 học sinh từ khối 11 và khối 12 nên có C13 cách.
 8 8 8 8
Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là C18 - (C11 + C12 + C13 )= 43758- 1947 = 41811 cách. Bài 11. Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lí nam. Cần lập một đoàn công tác gồm 3 người cần có 
cả nam và nữ, cần có cả nhà Toán học và nhà Vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
 Lời giải
Để thực hiện công việc trên, ta có ba phương án sau:
 ● Phương án 1: Chọn 1 nhà Toán học nam, 1 nhà Toán học nữ, 1 nhà Vật lí nam.
 1 1 1
 Do đó phương án này có C5.C3.C4 = 5.3.4 = 60 cách.
 ● Phương án 2: Chọn 1 nhà Toán học nữ, 2 nhà Vật lí nam.
 1 2
 Do đó phương án này có C3.C4 = 18 cách.
 ● Phương án 3: Chọn 2 nhà Toán học nữ, 1 nhà Vật lí nam.
 2 1
 Do đó phương án này có C3 .C4 = 12 cách.
Vậy theo quy tắc cộng, ta có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn.
Bài 12. Cho đa giác lồi có n (n ³ 4) cạnh. Tìm n để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh ?
 Lời giải
Đa giác có n cạnh nên có n đỉnh.
Cứ 2 điểm phân biệt thì tạo thành một đường chéo hoặc cạnh của đa giác.
 2
Do đó số đường chéo của đa giác là Cn - n .
 n! (n- 1)n
Theo giả thiết bài toán, ta có C2 - n = n Û - n = n Û - n = n Û n = 5 .
 n 2!.(n- 2)! 2
Vậy n = 5 thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 13. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 . Trên d1 có 6 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt 
 (n ³ 2, n Î ¥ ). Tìm n , biết rằng có 96 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho.
 Lời giải
Cứ 3 điểm phân biệt không thẳng hàng thì tạo thành một tam giác.
 3 3 3
Do đó số tam giác được lập thành từ (n+ 6) điểm đã cho như bài toán là Cn+ 6 - C6 - Cn .
 3 3 3
Theo giả thiết bài toán, ta có Cn+ 6 - C6 - Cn = 96 với n ³ 2 , n Î ¥
 (n+ 6)! n!
 Û - 20- = 96 Û (n+ 4)(n+ 5)(n+ 6)- 120- (n- 2)(n- 1)n = 576
 3!(n+ 3)! 3!(n- 3)!
 é =
 2 ên 4
 Û 18n + 72n- 576 Û ê .
 ën = - 8
Đối chiếu điều kiện ta chọn n = 4 thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 14. Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có 20 cạnh. Xét tam giác có đúng 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H).
a) Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy.
b) Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của (H).
c) Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của (H).
d) Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của (H).
 Lời giải a) Mỗi tam giác được tạo thành từ 3 trong số 20 đỉnh của đa giác (H) ứng với một tổ hợp chập 3 của 20 phần tử.
 3
Vậy có tất cả C20 = 1440 tam giác.
b) Chọn đỉnh thứ nhất của tam giác là đỉnh của (H) nên có 20 cách.
Chọn hai đỉnh còn lại của tam giác kề với đỉnh đã chọn (bên trái và bên phải) nên có 1 cách.
Vậy có tất cả 20.1 = 20 tam giác.
c) Chọn một cạnh của tam giác là cạnh của đa giác (H) nên có 20 cách.
Chọn đỉnh còn lại của tam giác không kề với 2 đỉnh đã chọn nên có 20- 4 = 16 cách.
Vậy số tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác là 20.16 = 320 tam giác.
d) Số tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác là 1440- (20 + 320)= 800 tam giác.
 é
Bài 15. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số trong nửa khoảng ë3000; 4000) được tạo nên từ các số 
 0, 1, 2, 3, 4, 5 nếu
 a) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau.
 b) Các chữ số của nó khác nhau.
 Lời giải
 é
Các số tự nhiên có 4 chữ số trong khoảng ë3000; 4000) có dạng 3abc với a, b Î A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} và c Î {0, 2, 4} .
a) Để tạo được một số dạng này ta phải thực hiện liên tiếp ba bước sau:
 Chọn a Î A : có 6 cách.
 Chọn b Î A : có 6 cách.
 Chọn c Î {0, 2, 4} : có 3 cách.
Vậy theo quy tắc nhân, ta có 6.6.3 = 108 số.
b) Để tạo được một số dạng này ta phải thực hiện liên tiếp ba bước sau:
 Chọn c Î {0; 2; 4} : có 3 cách.
 Chọn b Î A\{3;c} : có 4 cách.
 Chọn a Î A\{3;c;b} : có 3 cách.
Vậy theo quy tắc nhân, ta có 3.4.3 = 36 số.
Bài 16. Từ các chữ số 1, 2, 4, 5, 7 có thể lập được
a) Bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số.
b) Bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau.
c) Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau.
 Lời giải
Đặt A = {1, 2, 4, 5, 7} . Gọi số cần tìm có dạng a1a2a3a4 trong đó ai Î A , với i = 1,4 .
a) Để tạo được số tự nhiên có 4 chữ số (các chữ số có thể trùng nhau), ta phải thực hiện liên tiếp bốn bước sau:
 Chọn a1 Î A có 5 cách.
 Chọn a2 Î A có 5 cách.
 Chọn a3 Î A có 5 cách.
 Chọn a4 Î A có 5 cách.
Do đó theo quy tắc nhân ta có thể lập được 5.5.5.5 = 625 số. b) Để tạo được số dạng trên với a1 , a2 , a3 , a4 đôi một khác nhau, ta phải thực hiện liên tiếp 4 bước sau:
 Chọn a1 Î A có 5 cách.
 Chọn a2 Î A\{a1} có 5 cách.
 Chọn a3 Î A\{a1 , a2 } có 5 cách.
 Chọn a4 Î A\{a1 , a2 , a3} có 5 cách.
Vậy theo quy tắc nhân ta có thể lập được 5.4.3.2 = 120 số.
c) Để tạo được một số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau, ta phải thực hiện theo hai bước liên tiếp:
 Chọn a4 Î {2, 4} : có 2 cách.
 3
 Chọn ba chữ số a1 , a2 , a3 thuộc A\{a4 } xếp vào các vị trí còn lại: có A4 cách.
 3
Vậy theo quy tắc nhân có tất cả 2.A4 = 48 số.
Bài 17. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} .
 a) Có bao nhiêu tập con X của A thỏa điều kiện X chứa 1 và không chứa 2.
 b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123 .
 Lời giải
a) Tập con X của A chứa 1 và không chứa 2 có dạng 
 X = {1} ÈY
trong đó Y là tập con của tập B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} .
 0 1 2 6 6
Mà số tập con của B là C6 + C6 + C6 + ...+ C6 = 2 = 64 .
Do đó số tập con X thoả yêu cầu bài toán là 26 = 64 tập con.
b) Gọi số cần tìm có dạng a1a2a3a4a5 .
 ● Trước hết ta tìm các số chẵn có năm chữ số khác nhau.
 Chọn a5 Î {2, 4, 6, 8} : có 4 cách.
 4
 Chọn bốn chữ số thuộc A\{a5} xếp vào các vị trị còn lại: có A7 cách.
 4
Do đó có tất cả 4.A7 = 3360 số thuộc dạng này.
 ● Tiếp theo ta tìm các số chẵn có năm chữ số có dạng 123a4a5 .
 Chọn a5 Î {4, 6, 8} : có 3 cách.
 Chọn a4 Î A\{1, 2, 3, a5} : có 4 cách.
Do đó có tất cả 3.4 = 12 số thuộc dạng này.
Vậy các số chẵn gồm năm chữ số đôi một khác nhau không bắt đầu bởi 123 là 3360- 12 = 3348 số.
Bài 18. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có sáu chữ số khác nhau và chữ 
số 2 đứng cạnh chữ số 3.
 Lời giải
Đặt nhóm hai chữ số 2,3 là a .
 ● Trường hợp 1. Nếu số cần tìm có dạng aa1a2a3a4 với a1 , a2 , a3 , a4 thuộc {0, 1, 4, 5} .
 Hoán vị hai chữ số 2 và 3 trong nhóm a nên có 2 cách.
 4
 Chọn thứ tự a1 , a2 , a3 , a4 thuộc {0, 1, 4, 5} nên có A4 = 4! = 24 cách.
Do đó có tất cả 2.24 = 48 số trong trường hợp này. ● Trường hợp 2. Nếu số cần tìm có dạng a1aa2a3a4 với a1 , a2 , a3 , a4 thuộc {0, 1, 4, 5} và a1 ¹ 0 .
 Chọn a1 thuộc {1, 4, 5} nên có 3 cách.
 Hoán vị hai chữ số 2 và 3 trong nhóm a nên có 2 cách.
 3
 Chọn thứ tự a2 , a3 , a4 thuộc {0, 1, 4, 5}\{a1} nên có A3 = 3! = 6 cách.
Do đó có tất cả 3.2.6 = 36 số trong trường hợp này.
 ● Tương tự cho các trường hợp số có dạng a1a2aa3a4 , a1a2a3aa4 , a1a2a3a4a . Suy ra có 3(36)= 108 số.
Vậy có tất cả 48 + 36 + 108 = 192 số cần tìm.
Bài 19. Từ các chữ số 0, 1, 3, 6, 9 .
 a) Có thể lập thành bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau.
 b) Có thể lập thành bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 .
 Lời giải
Đặt A = {0,1,3,6,9} .
 ïì
 ï a1 , a2 , a3 , a4 Î A
 ï
a) Gọi số cần tìm có dạng a1a2a3a4 với í a1 ¹ 0 và a1 , a2 , a3 , a4 đôi một khác nhau.
 ï
 ï Î
 îï a4 {0, 6}
 ● Trường hợp 1. Nếu a4 = 0 thì có 1 cách chọn a4 .
 3
 Khi đó a1 , a2 , a3 được chọn thứ tự từ tập A\{0} nên có A4 cách.
 3
 Do đó có tất cả 1.A4 = 24 số trong trường hợp này. 
 ● Trường hợp 2. Nếu a4 = {6} thì có 1 cách chọn. Khi đó
 Chọn a1 Î A\{0, a4 } : có 3 cách.
 2
 Chọn thứ tự a2 , a3 từ tập A\{a1 , a4 } nên có A3 cách.
 2
 Do đó theo quy tắc nhân có 1.3.A3 = 18 số trong trường hợp này.
Vậy theo quy tắc cộng số các số cần tìm là 24 + 18 = 42 số.
b) Số chia hết cho 3 phải có tổng các chữ số chia hết cho 3 .
Trong các tập con có bốn phần tử của A chỉ có một tập B = {0,3,6,9} có tổng các phần tử chia hết cho 3 , nên 
 a1 , a2 , a3 , a4 Î B , do đó để tạo được một số thỏa yêu cầu ta phải thực hiện theo các bước sau:
 Chọn a1 Î B\{0} : có 3 cách.
 3
 Chọn thứ tự a2 , a3 , a4 từ tập B\{a1} : có A3 cách.
 3
Vậy có tất cả 3.A3 = 18 số.
Bài 20. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu cách lập ra một số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau sao cho
a) Số tạo thành là một số chẵn.
b) Số tạo thành là một số bé hơn hay bằng 345 .
c) Số tạo thành là một số chẵn bé hơn hay bằng 345 .
 Lời giải Đặt A = {1, 2, 3, 4, 5} .
 ïì
 ï a1 , a2 , a3 Î A
a) Gọi số cần tìm có dạng a a a với í và a , a , a đôi một khác nhau.
 1 2 3 ï Î 1 2 3
 îï a3 {2, 4}
Để lập được một số chẵn dạng trên, ta thực hiện hai bước liên tiếp
 Chọn a3 Î {2, 4} : có 2 cách.
 2
 Chọn thứ tự a1 , a2 từ tập A\{a3} : có A4 cách. 
 2
Vậy có tất cả 2.A4 = 24 số.
b) Ta có các trường hợp sau
 ● Trường hợp 1: a1 = 1 .
 Chọn a2 Î A\{1} : có 4 cách.
 Chọn a3 Î A\{1, a2 } : có 3 cách.
 Do đó trong trường hợp này có 4.3 = 12 số.
 ● Trường hợp 2: a1 = 2 .
 Chọn a2 Î A\{2} : có 4 cách.
 Chọn a3 Î A\{2, a2 } : có 3 cách.
 Do đó trong trường hợp này có 4.3 = 12 số.
 ● Trường hợp 3: a1 = 3 .
 Chọn a2 Î A\{3, 5} : có 3 cách.
 Chọn a3 Î A\{3, a2 } : có 3 cách.
 Do đó trong trường hợp này có 3.3 = 9 số.
Vậy có tất cả 12 + 12 + 9 = 33 số.
c) Ta có các trường hợp sau
 ● Trường hợp 1: a1 = 1 .
 Chọn a3 Î {2, 4} : có 2 cách.
 Chọn a2 Î A\{1, a3} : có 3 cách.
 Do đó trong trường hợp này có 2.3 = 6 số.
 ● Trường hợp 2: a1 = 2 .
 Chọn a3 = 4 : có 1 cách.
 Chọn a2 Î A\{2, 4} : có 3 cách.
 Do đó trong trường hợp này có 1.3 = 3 số.
 ● Trường hợp 3: a1 = 3 .
 Chọn a3 Î {2, 4} : có 2 cách
 Chọn a2 Î A\{3, a3 , 5} : có 2 cách.
 Do đó trong trường hợp này có 2.2 = 4 số.
Vậy có tất cả 6 + 3 + 4 = 13 số.