Tự luận Giải tích Lớp 11 - Chương 1 - Chủ đề 2: Phương trình lượng giác

 CHUÛ ÑEÀ 02. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
 VẤN ĐỀ 01. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
1. Phương trình bậc nhất đối với sin x có dạng asin x + b = 0 ( a ¹ 0).
 b
Cách giải. Phương trình Û asin x = - b Û sin x = - .
 a
 b
 ● Nếu - Ï é- 1;1ù. Kết luận phương trình vô nghiệm.
 a ë û
 b
 ● Nếu - Î é- 1;1ù. Xét hai trường hợp sau
 a ë û
 ì ü
 b ï 1 2 3 ï
 ▪ - = í 0;± ;± ;± ;± 1ý .
 ï ï
 a îï 2 2 2 þï
 é = a + p
 b êx k2
 Khi đó phương trình trở thành sin x = - Û sin x = sina Û ê , k Î ¢ .
 a ëx = p - a + k2p
 ì ü
 b ï 1 2 3 ï
 ▪ - ¹ í 0;± ;± ;± ;± 1ý .
 ï ï
 a îï 2 2 2 þï
 é æ bö
 êx = arcsinç- ÷+ k2p
 ê ç ÷
 b ê è aø
 Khi đó phương trình trở thành sin x = - Û ê , k Î ¢ .
 a æ bö
 êx = p - arcsinç- ÷+ k2p
 ê ç ÷
 ëê è aø
2. Phương trình bậc nhất đối với cos x có dạng acos x + b = 0 ( a ¹ 0).
 b
Cách giải. Phương trình Û acos x = - b Û cos x = - .
 a
 b
 ● Nếu - Ï é- 1;1ù. Kết luận phương trình vô nghiệm.
 a ë û
 b
 ● Nếu - Î é- 1;1ù. Xét hai trường hợp sau
 a ë û
 ì ü
 b ï 1 2 3 ï
 ▪ - = í 0;± ;± ;± ;± 1ý .
 ï ï
 a îï 2 2 2 þï
 é = a + p
 b êx k2
 Khi đó phương trình trở thành cos x = - Û cos x = cosa Û ê , k Î ¢ .
 a ëx = - a + k2p
 ì ü
 b ï 1 2 3 ï
 ▪ - ¹ í 0;± ;± ;± ;± 1ý .
 ï ï
 a îï 2 2 2 þï
 é æ bö
 êx = arccosç- ÷+ k2p
 ê ç ÷
 b ê è aø
 Khi đó phương trình trở thành cos x = - Û ê , k Î ¢ .
 a æ bö
 êx = - arccosç- ÷+ k2p
 ê ç ÷
 ëê è aø 3. Phương trình bậc nhất đối với tan x có dạng a tan x + b = 0 ( a ¹ 0).
 p
Cách giải. Điều kiện : cos x ¹ 0 Û x ¹ + kp, k Î ¢ .
 2
 b
Phương trình Û a tan x = - b Û tan x = - .
 a
 b ïì 1 ïü
 ● Nếu - = íï 0;± ;± 1;± 3ýï .
 a îï 3 þï
 b
 Khi đó phương trình trở thành tan x = - Û tan x = tanax = a + kp, k Î ¢ .
 a
 b ïì 1 ïü
 ● Nếu - ¹ íï 0;± ;± 1;± 3ýï .
 a îï 3 þï
 æ ö
 b ç b÷
 Khi đó phương trình trở thành tan x = - Û x = arctanç- ÷+ kp, k Î ¢ .
 a èç aø÷
Bài 1. Giải phương trình 
 a) 2sin 3x- 3 = 0 . b) cos(x + 300 )+ 2cos2 150 = 1 .
 æ ö
 x ç p÷
 c) tan + 2 = 0 . d) 2sinç2x- ÷+ 3 = 0 .
 2 èç 3ø÷
 Lời giải
 é p é p 2p
 ê3x = + k2p êx = + k
 3 p ê ê
a) Phương trình Û sin 3x = Û sin 3x = sin Û ê 3 Û ê 9 3 , (k Î ¢).
 2 3 ê 2p ê 2p 2p
 ê3x = + k2p êx = + k
 ëê 3 ëê 9 3
 p 2p 2p 2p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = + k ; x = + k , (k Î ¢).
 9 3 9 3
b) Phương trình Û cos(x + 300 )= 1- 2cos2 150 Û cos(x + 300 )= - cos 300 Û cos(x + 300 )= cos 2100
 é 0 0 0 é 0 0
 êx + 30 = 210 + k360 êx = 180 + k360
 Û Û , (k Î ¢).
 ê 0 0 0 ê 0 0
 ëêx + 30 = - 210 + k360 ëêx = - 240 + k360
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1800 + k3600 ; x = - 2400 + k3600 , (k Î ¢).
 x p
c) Điều kiện: ¹ + kp Û x ¹ p + k2p , (k Î ¢).
 2 2
 x x
Phương trình Û tan = - 2 Û = arctan(- 2)+ kp Û x = 2arctan(- 2)+ k2p , (k Î ¢).
 2 2
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình x = 2arctan(- 2)+ k2p , (k Î ¢).
 æ ö
 ç p÷ 3
d) Phương trình Û sinç2x- ÷= - < - 1 .
 èç 3ø÷ 2
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x và cos x .
 asin x + bcos x = c
Cách giải. Điều kiện để phương trình có nghiệm là c2 £ a2 + b2 .
Chia hai vế phương trình cho a2 + b2 , ta đựợc phương trình
 a b c
 sin x + cos x = .
 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2
 æ ö2 æ ö2
 ç a ÷ ç b ÷ a b
Do ç ÷ + ç ÷ = 1 nên ta đặt = cosa suy ra = sina .
 ç ÷ ç ÷
 èç a2 + b2 ø÷ èç a2 + b2 ø÷ a2 + b2 a2 + b2
 c c
Khi đó phương trình trở thành cosa sin x + sina cos x = Û sin(x + a)= .
 a2 + b2 a2 + b2
Bài 2. Giải phương trình
 a) 3 sin x + cos x = 2 . b) 3 cos x- sin x = 1 .
 Lời giải
 é p p é p
 ê ê
 æ ö x + = + k2p x = + k2p
 3 1 2 ç p÷ p ê 6 4 ê 12
a) Phương trình Û sin x + cos x = Û sinçx + ÷= sin Û ê Û ê , (k Î ¢).
 2 2 2 èç 6 ø÷ 4 ê p 3p ê 7p
 êx + = + k2p êx = + k2p
 ëê 6 4 ëê 12
 p 7p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = + k2p ; x = + k2p , (k Î ¢).
 12 12
 é p p é p
 ê ê
 æ ö x + = + k2p x = + k2p
 3 1 1 ç p÷ p ê 6 3 ê 6
b) Phương trình Û cos x- sin x = Û cosçx + ÷= cos Û ê Û ê , (k Î ¢).
 2 2 2 èç 6 ø÷ 3 ê p p ê p
 êx + = - + k2p êx = - + k2p
 ëê 6 3 ëê 2
 p p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = + k2p ; x = - + k2p , (k Î ¢).
 6 2
Bài 3. Giải phương trình
 a) 3sin x + 4cos x = 3 . b) 3sin x + 4cos x = 4 .
 c) 3sin x + 4cos x = 5 . d) 3sin x + 4cos x = 6 .
 Lời giải
 3 4 3
a) Phương trình Û sin x + cos x = .
 5 5 5
 3 4
Đặt = cosa; = sina . Ta được phương trình cosa sin x + sina cos x = cosa Û sin(x + a)= cosa
 5 5
 é p é p
 ê ê
 æ ö x + a = - a + k2p x = - 2a + k2p
 çp ÷ ê 2 ê 2
 Û sin(x + a)= sinç - a÷Û ê Û ê , (k Î ¢).
 èç2 ø÷ ê p ê p
 êx + a = + a + k2p êx = + k2p
 ëê 2 ëê 2
 p p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - 2a + k2p ; x = + k2p , (k Î ¢).
 2 2 3 4 4
b) Phương trình Û sin x + cos x = .
 5 5 5
 3 4
Đặt = cosa; = sina . Ta được phương trình cosa sin x + sina cos x = sina
 5 5
 é + a = a + p é = p
 êx k2 êx k2
 Û sin(x + a)= sina Û ê Û ê , (k Î ¢).
 ëx + a = p - a + k2p ëx = p - 2a + k2p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = k2p ; x = p - 2a + k2p , (k Î ¢).
 3 4
c) Phương trình Û sin x + cos x = 1 .
 5 5
 3 4
Đặt = cosa; = sina . Ta được phương trình cosa sin x + sina cos x = 1
 5 5
 p p
 Û sin(x + a)= 1 Û x + a = + k2p Û x = - a + k2p , (k Î ¢).
 2 2
 p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - a + k2p , (k Î ¢).
 2
 3 4 6
d) Phương trình Û sin x + cos x = > 1 .
 5 5 5
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 4. Giải phương trình
 æ ö æ ö
 ç p÷ ç p÷
 a) 3 sin 3x + cos 3x = 2cos 2x . b) 3 cosçx + ÷+ sinçx- ÷= 2sin 2x .
 èç 2ø÷ èç 2ø÷
 Lời giải
 æ ö
 3 1 çp ÷
a) Phương trình Û sin 3x + cos 3x = cos 2x Û cosç - 3x÷= cos 2x
 2 2 èç6 ø÷
 ép é p 2p
 ê - = + p ê = -
 ê 3x 2x k2 êx k
 Û ê6 Û ê 30 5 , (k Î ¢).
 êp ê p
 ê - 3x = - 2x + k2p êx = - k2p
 ëê6 ëê 6
 p 2p p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - k ; x = - k2p , (k Î ¢).
 30 5 6
 æ ö æ ö æ ö æ ö
 ç p÷ ç p÷ 3 ç p÷ 1 ç p÷
b) Phương trình Û 3 cosçx + ÷- sinçx + ÷= 2sin 2x Û cosçx + ÷- sinçx + ÷= sin 2x
 èç 2ø÷ èç 2ø÷ 2 èç 2ø÷ 2 èç 2ø÷
 ép p é p p
 ê ê 2
 æ ö - x- = 2x + k2p x = - - k
 çp p÷ ê3 2 ê 18 3
 Û sinç - x- ÷= sin 2x Û ê Û ê , (k Î ¢).
 èç3 2ø÷ êp p ê 7p
 ê - x- = p - 2x + k2p êx = + k2p
 ëê3 2 ëê 6
 p 2p 7p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - - k ; x = + k2p , (k Î ¢).
 18 3 6
Bài 5. Giải phương trình
 a) cos 2x + 3 sin 2x = 3 cos x- sin x . b) cos 2x + 3 sin 2x + 3 sin x- cos x = 0 .
 c) cos 2x + 3 sin 2x + 3 sin x- cos x = 4 . d) cos 2x + 3 sin 2x + 3 sin x- cos x = 2
 Lời giải æ ö æ ö
 1 3 3 1 ç p÷ ç p÷
a) Phương trình Û cos 2x + sin 2x = cos x- sin x Û cosç2x- ÷= cosçx + ÷
 2 2 2 2 èç 3ø÷ èç 6 ø÷
 é p p é p
 ê2x- = x + + k2p êx = + k2p
 ê 3 6 ê
 Û ê Û ê 2 , (k Î ¢).
 ê p æ pö ê p 2p
 ê2x- = - çx + ÷+ k2p = +
 ç ÷ êx k
 ëê 3 è 6 ø ëê 18 3
 p p 2p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = + k2p ; x = + k , (k Î ¢).
 2 18 3
 1 3 1 3
b) Phương trình Û cos 2x + 3 sin 2x = cos x- 3 sin x Û cos 2x + sin 2x = cos x- sin x
 2 2 2 2
 é p p
 ê2x- = x- + k2p é
 æ ö æ ö ê x = k2p
 ç p÷ ç p÷ 3 3 ê
 Û cosç2x- ÷= cosçx- ÷Û ê Û ê 2p 2p , (k Î ¢).
 èç 3ø÷ èç 3ø÷ ê p æ pö ê = +
 ê2x- = - çx- ÷+ k2p êx k
 ç ÷ ë 9 3
 ëê 3 è 3ø
 2p 2p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = k2p ; x = + k , (k Î ¢).
 9 3
 æ ö æ ö
 1 3 3 1 çp ÷ ç p÷
c) Phương trình Û cos 2x + sin 2x + sin x- cos x = 2 Û sinç + 2x÷+ sinçx- ÷= 2
 2 2 2 2 èç6 ø÷ èç 6 ø÷
 ì æ ö
 ï çp ÷ ïì p p ïì p
 ï sinç + 2x÷= 1 ï + 2x = + k2p ï x = + kp
 ï èç6 ø÷ ï ï
 Û íï Û íï 6 2 Û íï 6 : vô nghiệm.
 ï æ pö ï p p ï 2p
 ï sinçx- ÷= 1 ï x- = + k2p ï x = + k2p
 ï ç ÷ ï ï
 îï è 6 ø îï 6 2 îï 3
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
 æ ö æ ö
 1 3 3 1 çp ÷ ç p÷
d) Phương trình Û cos 2x + sin 2x + sin x- cos x = 1 Û sinç + 2x÷+ sinçx- ÷= 1 .
 2 2 2 2 èç6 ø÷ èç 6 ø÷
 p p p
Đặt t = x- suy ra + 2x = 2t + .
 6 6 2
 æ ö
 ç p÷
Khi đó phương trình trở thành sinç2t + ÷+ sint = 1 Û cos 2t + sint = 1
 èç 2ø÷
 Û 1- 2sin2 t + sint = 1 Û sint(1- 2sint)= 0 .
 p p
● sint = 0 Û t = kp suy ra x- = kp Û x = + kp , (k Î ¢).
 6 6
 é p é p p
 êt = + k2p êx- = + k2p é p
 1 p ê 6 ê 6 6 êx = + k2p
● 1- 2sint = 0 Û sint = Û sint = sin Û ê suy ra ê Û ê 3 , (k Î ¢).
 2 6 ê 5p ê p 5p ê
 êt = + k2p êx- = + k2p ëêx = p + k2p
 ëê 6 ëê 6 6
 p p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = + kp ; x = + k2p ; x = p + k2p , (k Î ¢).
 6 3 DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình bậc hai đối với sin x có dạng asin2 x + bsin x + c = 0 (a ¹ 0).
 c
Cách giải. ● Nếu a + b + c = 0 . Kết luận phương trình Û sin x = 1 hoặc sin x = .
 a
 c
 ● Nếu a- b + c = 0 . Kết luận phương trình Û sin x = - 1 hoặc sin x = - .
 a
 ● Nếu a ± b + c ¹ 0 . Ta đặt t = sin x , điều kiện - 1£ t £ 1 . Khi đó ta được phương trình 
 at2 + bt + c = 0 .
 Giải phương trình bậc hai theo t và chọn t , thay t = sin x để tìm x .
2. Phương trình bậc hai đối với cos x có dạng acos2 x + bcos x + c = 0 (a ¹ 0).
 c
Cách giải. ● Nếu a + b + c = 0 . Kết luận phương trình Û cos x = 1 hoặc cos x = .
 a
 c
 ● Nếu a- b + c = 0 . Kết luận phương trình Û cos x = - 1 hoặc cos x = - .
 a
 ● Nếu a ± b + c ¹ 0 . Ta đặt t = cos x , điều kiện - 1£ t £ 1 . Khi đó ta được phương trình 
 at2 + bt + c = 0 .
 Giải phương trình bậc hai theo t và chọn t , thay t = cos x để tìm x .
3. Phương trình bậc hai đối với tan x có dạng a tan2 x + b tan x + c = 0 (a ¹ 0).
 p
Cách giải. Điều kiện: cos x ¹ 0 Û x ¹ + kp .
 2
 Đặt t = tan x . Khi đó ta được phương trình 
 at2 + bt + c = 0 .
 Giải phương trình bậc hai theo t , thay t = tan x để tìm x .
Bài 6. Giải phương trình
 æ ö æ ö æ ö æ ö
 2 ç p÷ ç p÷ 2 çp ÷ çp ÷
 a) 2sin ç2x- ÷- 7 sinç2x- ÷+ 3 = 0 . b) 2cos ç - x÷- 3 2 cosç - x÷+ 2 = 0 .
 èç 6 ø÷ èç 6 ø÷ èç3 ø÷ èç3 ø÷
 æ ö
 2 6 6 çp ÷
 c) tan x- (1+ 3)tan x + 3 = 0 . d) 4(sin x + cos x)- cosç - 2x÷= 0 .
 èç2 ø÷
 Lời giải
 æ ö æ ö æ ö æ ö
 2 ç p÷ ç p÷ ç p÷ ç p÷ 1
a) Ta có 2sin ç2x- ÷- 7 sinç2x- ÷+ 3 = 0 Û sinç2x- ÷= 3 hoặc sinç2x- ÷= .
 èç 6 ø÷ èç 6 ø÷ èç 6 ø÷ èç 6 ø÷ 2
 æ ö
 ç p÷
● sinç2x- ÷= 3 : vô nghiệm.
 èç 6 ø÷
 é p p é p
 ê ê
 æ ö æ ö 2x- = + k2p x = + kp
 ç p÷ 1 ç p÷ p ê 6 6 ê 6
● sinç2x- ÷= Û sinç2x- ÷= sin Û ê Û ê , (k Î ¢).
 èç 6 ø÷ 2 èç 6 ø÷ 6 ê p 5p ê p
 ê2x- = + k2p êx = + kp
 ëê 6 6 ëê 2
 p p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = + kp ; x = + kp , (k Î ¢).
 6 2 æp ö æp ö æp ö æp ö 1
 2 ç - ÷- ç - ÷+ = Û ç - ÷= ç - ÷=
b) Ta có 2cos ç x÷ 3 2 cosç x÷ 2 0 cosç x÷ 2 hoặc cosç x÷ .
 èç3 ø÷ èç3 ø÷ èç3 ø÷ èç3 ø÷ 2
 æ ö
 çp ÷
● cosç - x÷= 2 : vô nghiệm.
 èç3 ø÷
 ép p é p
 ê ê
 æ ö æ ö - x = + k2p x = - k2p
 çp ÷ 1 çp ÷ p ê3 4 ê 12
● cosç - x÷= Û cosç - x÷= cos Û ê Û ê , (k Î ¢).
 èç3 ø÷ èç3 ø÷ 4 êp p ê 7p
 2 ê - x = - + k2p êx = - k2p
 ëê3 4 ëê 12
 p 7p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - k2p ; x = - k2p , (k Î ¢).
 12 12
 p
c) Điều kiện: cos x ¹ 0 Û x ¹ + kp .
 2
Ta có tan2 x- (1+ 3)tan x + 3 = 0 Û tan x = 1 hoặc tan x = 3 .
 p
● tan x = 1 Û x = + kp , (k Î ¢).
 4
 p p
● tan x = 3 Û tan x = tan Û x = + kp , (k Î ¢).
 3 3
 p p
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình x = + kp ; x = + kp , (k Î ¢).
 4 3
 3 3
d) Ta có sin6 x + cos6 x = (sin2 x + cos2 x) - 3sin2 xcos2 x(sin2 x + cos2 x)= 1- 3sin2 xcos2 x = 1- sin2 2x .
 4
 æ ö
 ç 3 2 ÷ 2 4
Do đó phương trình Û 4ç1- sin 2x÷- sin 2x = 0 Û 3sin 2x + sin 2x- 4 = 0 Û sin 2x = 1 hoặc sin 2x = - .
 èç 4 ø÷ 3
 p p
● sin 2x = 1 Û 2x = + k2p Û x = + kp , (k Î ¢).
 2 4
 4
● sin 2x = - : vô nghiệm.
 3
 p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = + kp , (k Î ¢).
 4
DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI sin x và cos x .
 asin2 x + bsin xcos x + c cos2 x = 0 .
Cách giải. ● Kiểm tra cos x = 0 có là nghiệm của phương trình không ?
 ● Khi cos x ¹ 0 , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta thu được phương trình 
 a tan2 x + b tan x + c = 0.
 Đây là phương trình bậc hai đối với tan x mà ta đã biết ở dạng 3.
Đặc biệt. Phương trình dạng asin2 x + bsin xcos x + c cos2 x = d ta làm như sau:
 Phương trình Û asin2 x + bsin xcos x + c cos2 x = d.1
 Û asin2 x + bsin xcos x + c cos2 x = d(sin2 x + cos2 x)
 Û (a- d)sin2 x + bsin xcos x + (c - d)cos2 x = 0. Bài 7. Giải phương trình
 a) sin2 x- ( 3 + 1)sin xcos x + 3 cos2 x = 0 . b) 3sin2 x + 5cos2 x- 2cos 2x- 4sin 2x = 0 .
 Lời giải
a) Ta thấy cos x = 0 không là nghiệm của phương trình.
 é p
 é = êx = + kp
 2 êtan x 1 ê 4
Với cos x ¹ 0 , phương trình Û tan x- ( 3 + 1)tan x + 3 = 0 Û ê Û ê , (k Î ¢).
 tan x = 3 ê p
 ëê êx = + kp
 ëê 3
 p p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = + kp ; x = + kp , (k Î ¢).
 4 3
b) Ta có 3sin2 x + 5cos2 x- 2cos 2x- 4sin 2x = 0 Û 5sin2 x- 8sin xcos x + 3cos2 x = 0 .
Ta thấy cos x = 0 không là nghiệm của phương trình.
 é p
 é = ê
 êtan x 1 x = + kp
 2 ê 4
Với cos x ¹ 0 , phương trình Û 5tan x- 8 tan x + 3 = 0 Û ê 3 Û ê , (k Î ¢).
 êtan x = ê 3
 ëê 5 êx = arctan + kp
 ëê 5
 p 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = + kp ; x = arctan + kp , (k Î ¢).
 4 5
Bài 8. Giải phương trình
 a) sin2 x- ( 3 + 1)sin xcos x + 3 cos2 x = 1 . b) sin2 x- ( 3 + 1)sin xcos x + 3 cos2 x = 3 .
 c) 2sin2 x + (1- 3)sin xcos x + (1- 3) cos2 x = 1 . d) 3 cos2 x + 2sin xcos x- 3 sin2 x = 1.
 Lời giải
a) Phương trình Û sin2 x- ( 3 + 1)sin xcos x + 3 cos2 x = sin2 x + cos2 x
 Û - ( 3 + 1)sin xcos x + ( 3 - 1)cos2 x = 0
 é ù
 Û cos x ê 3 - 1 cos x- 3 + 1 sin xú= 0.
 ë( ) ( ) û
 p
● cos x = 0 Û x = + kp , (k Î ¢).
 2
 3 - 1
● ( 3 - 1)cos x- ( 3 + 1)sin x = 0 Û tan x = Û tan x = 2- 3 Û x = arctan(2- 3)+ kp , (k Î ¢).
 3 + 1
 p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = + kp ; x = arctan(2- 3)+ kp , (k Î ¢).
 2
b) Phương trình Û sin2 x- ( 3 + 1)sin xcos x + 3 cos2 x = 3(sin2 x + cos2 x)
 Û (1- 3)sin2 x- ( 3 + 1)sin xcos x = 0
 é ù
 Û sin x ê1- 3 sin x- 3 + 1 cos xú= 0.
 ë( ) ( ) û
● sin x = 0 Û x = kp , (k Î ¢).
 3 + 1
● (1- 3)sin x- ( 3 + 1)cos x = 0 Û tan x = Û tan x = - 2- 3 Û x = arctan(- 2- 3)+ kp , (k Î ¢).
 1- 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = kp ; x = arctan(- 2- 3)+ kp , (k Î ¢).
c) Phương trình Û 2sin2 x + (1- 3)sin xcos x + (1- 3) cos2 x = sin2 x + cos2 x
 Û sin2 x + (1- 3)sin xcos x- 3 cos2 x = 0 .
Ta thấy cos x = 0 không là nghiệm của phương trình.
 é p
 é = - êx = - + kp
 2 êtan x 1 ê 4
Với cos x ¹ 0 , phương trình Û tan x + (1- 3)tan x- 3 = 0 Û ê Û ê , (k Î ¢).
 tan x = 3 ê p
 ëê êx = + kp
 ëê 3
 p p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - + kp ; x = + kp , (k Î ¢).
 4 3
d) Phương trình Û 3 cos2 x + 2sin xcos x- 3 sin2 x = sin2 x + cos2 x .
 Û - ( 3 + 1)sin2 x + 2sin xcos x + ( 3 - 1)cos2 x = 0 .
Ta thấy cos x = 0 không là nghiệm của phương trình.
Với cos x ¹ 0 , phương trình Û - ( 3 + 1)tan2 x + 2 tan x + ( 3 - 1)= 0
 étan x = 1 é p
 ê êx = + kp
 ê ê
 Û 1- 3 Û ê 4 , (k Î ¢).
 ê =
 êtan x êx = arctan - 2 + 3 + kp
 ëê 1+ 3 ëê ( )
 p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = + kp ; x = arctan(- 2 + 3)+ kp , (k Î ¢).
 4
 æ ö æ ö
 ç1+ cos 2x÷ ç1- cos 2x÷
Cách 2. Phương trình Û 3ç ÷+ sin 2x- 3ç ÷- 1 = 0 Û sin 2x + 3 cos 2x = 1
 èç 2 ø÷ èç 2 ø÷
 é p
 ê
 æ ö x = - + kp
 1 3 1 ç p÷ p ê 12
 Û sin 2x + cos 2x = Û sinç2x + ÷= sin Û ê , (k Î ¢).
 2 2 2 èç 3ø÷ 6 ê p
 êx = + kp
 ëê 4
 p p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = + kp ; x = - + kp , (k Î ¢).
 4 12
Nhận xét. Việc biến đổi lượng giác thành thạo giúp cho chúng ta tìm được nghiệm đẹp trong việc giải phương trình.
DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG GIỮA sin x VÀ cos x
 a(sin x + cos x)+ bsin xcos x + c = 0
 æ ö
 ç p÷
Cách giải. Đặt t = sin x + cos x = 2 sinçx + ÷. Điều kiện: - 2 £ t £ 2 .
 èç 4ø÷
 2
 2 t - 1
Suy ra t2 = (sin x + cos x) = 1+ 2sin xcos x nên sin xcos x = .
 2
Khi đó phương trình trở thành
 æ2 - ö
 çt 1÷ 2
 at + bç ÷+ c = 0 Û bt + 2at + 2c - b = 0 .
 èç 2 ø÷ æ ö
 ç p÷
Giải phương trình bậc hai theo t và chọn t , thay t = 2 sinçx- ÷ để tìm x .
 èç 4ø÷
Chu ý: Dạng a(sin x- cos x)+ bsin xcos x + c = 0 thì ta đặt t = sin x- cos x .
Bài 9. Giải phương trình
 3
 a) (2 + 2)(sin x + cos x)- 2sin xcos x- 2 2 - 1 = 0 . b) 1+ sin3 x + cos3 x = sin 2x .
 2
 c) sin 2x + 4(cos x- sin x)= 4 . d) sin x- cos x + 4sin 2x = 1 .
 Lời giải
 æ ö
 ç p÷
a) Đặt t = sin x + cos x = 2 sinçx + ÷. Điều kiện: - 2 £ t £ 2 .
 èç 4ø÷
 2
Suy ra t2 = (sin x + cos x) = 1+ 2sin xcos x nên 2sin xcos x = t2 - 1 .
Khi đó phương trình trở thành
 (2 + 2)t - (t2 - 1)- 2 2 - 1 = 0 Û t2 - (2 + 2)t + 2 2 = 0 Û t = 2 hoặc t = 2 (loại).
 æ ö æ ö
 ç p÷ ç p÷ p p p
Với t = 2 suy ra 2 sinçx + ÷= 2 Û sinçx + ÷= 1 Û x + = + k2p Û x = + k2p , (k Î ¢).
 èç 4ø÷ èç 4ø÷ 4 2 4
 p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = + k2p , (k Î ¢).
 4
b) Phương trình Û 1+ (sin x + cos x)(sin2 x- sin xcos x + cos2 x)= 3sin xcos x
 Û 1+ (sin x + cos x)(1- sin xcos x)= 3sin xcos x .
 æ ö
 ç p÷
Đặt t = sin x + cos x = 2 sinçx + ÷. Điều kiện: - 2 £ t £ 2 .
 èç 4ø÷
 2
 2 t - 1
Suy ra t2 = (sin x + cos x) = 1+ 2sin xcos x nên sin xcos x = .
 2
Khi đó phương trình trở thành
 æ 2 - ö æ2 - ö
 ç t 1÷ çt 1÷ 3 2
 1+ tç1- ÷= 3ç ÷Û t + 3t - 3t - 5 = 0 Û t = - 1 hoặc t = - 1± 6 (loại).
 èç 2 ø÷ èç 2 ø÷
 é p
 æ pö æ pö 1 æ pö æ pö êx = - + k2p
 = - ç + ÷= - Û ç + ÷= - Û ç + ÷= ç- ÷Û ê Î ¢
Với t 1 suy ra 2 sinçx ÷ 1 sinçx ÷ sinçx ÷ sinç ÷ 2 , (k ).
 èç 4ø÷ èç 4ø÷ 2 èç 4ø÷ èç 4ø÷ ê
 ëêx = p + k2p
 p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - + k2p ; x = p + k2p , (k Î ¢).
 2
 æ ö
 ç p÷
c) Đặt t = cos x- sin x = 2 cosçx + ÷. Điều kiện: - 2 £ t £ 2 .
 èç 4ø÷
 2
Suy ra t2 = (cos x- sin x) = 1- 2sin xcos x nên 2sin xcos x = 1- t2 .
Khi đó phương trình trở thành
 1- t2 + 4t = 4 Û t2 - 4t + 3 = 0 Û t = 1 hoặc t = 3 (loại).