Tự luận Giải tích Lớp 11 - Chương 1 - Chủ đề 1: Hàm số lượng giác

 CHÖÔNG 1.
 HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC
 PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
CHUÛ ÑEÀ 01. HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC
 VẤN ĐỀ 01. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
 Q Phương pháp. Để tìm tập xác định của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:
 Tập xác định của hàm số y = f (x) là D = {x Î ¡ f (x)Î ¡ } .
 Tập xác định của các hàm số cơ bản: 
 = é ù Û
 ● y sin ëêf (x)ûú xác định f (x) xác định.
 = é ù Û
 ● y cos ëêf (x)ûú xác định f (x) xác định.
 é ù p
 ● y = tan êf (x)ú xác định Û f (x) xác định và f (x)¹ + kp , (k Î ¢).
 ë û 2
 = é ù Û ¹ p Î ¢
 ● y cot ëêf (x)ûú xác định f (x) xác định và f (x) k , (k ).
 Chú ý: 
 A
 ● có nghĩa khi B ¹ 0 và A có nghĩa.
 B
 ● A có nghĩa khi A ³ 0 và A có nghĩa.
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau
 æ ö æ ö
 ç 2x ÷ ç p÷
 a) y = sinç ÷. b) y = tançx- ÷.
 èçx- 1ø÷ èç 6 ø÷
 Lời giải
a) Hàm số xác định khi x- 1 ¹ 0 Û x ¹ 1 .
Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ \{1} .
 p p 2p
b) Hàm số xác định khi x- ¹ + kp Û x ¹ + kp , (k Î ¢).
 6 2 3
 ïì 2p ïü
Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ \íï + kp k Î ¢ýï .
 îï 3 þï
Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau
 æ ö
 çp ÷ 2
 a) y = tanç .cos x÷. b) y = sin x- 1 + 2- cos x .
 èç2 ø÷
 Lời giải
 p p ïì cos x ¹ 1
a) Hàm số xác định khi .cos x ¹ + kp Û cos x ¹ 1+ 2k Û íï Û x ¹ lp , (l Î ¢).
 2 2 îï cos x ¹ - 1
Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ \{lp l Î ¢} .
 p
b) Hàm số xác định khi sin x- 1³ 0 Û sin x ³ 1 Û sin x = 1 Û x = + k2p , (k Î ¢).
 2 ïì p ïü
Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ \íï + k2p k Î ¢ýï .
 îï 2 þï
Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau
 tan x + cot x
 a) y = cos x + sin x . b) y = .
 cos 2x
 Lời giải
 æ ö æ ö
 ç p÷ ç p÷
a) Hàm số xác định khi cos x + sin x ³ 0 Û 2 sinçx + ÷³ 0 Û sinçx + ÷³ 0
 èç 4ø÷ èç 4ø÷
 p p 3p
 Û k2p £ x + £ p + k2p Û - + k2p £ x £ + k2p , (k Î ¢).
 4 4 4
 ïì p 3p ïü
Vậy tập xác định của hàm số là D = íï x Î ¡ - + k2p £ x £ + k2p,k Î ¢ýï .
 îï 4 4 þï
 ïì cos x ¹ 0
 ï ïì sin 2x ¹ 0 p
b) Hàm số xác định khi íï sin x ¹ 0 Û íï Û sin 4x ¹ 0 Û 4x ¹ kp Û x ¹ k , (k Î ¢).
 ï îï cos 2x ¹ 0 4
 îï cos 2x ¹ 0
 ïì p ïü
Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ \íï k k Î ¢ýï .
 îï 4 þï
Bài 4. Tìm tập xác định của các hàm số sau
 1+ cos x
 a) y = sin x- 1 + cos x- 1 . b) y = .
 2- sin x
 Lời giải
 ïì sin x- 1³ 0 ïì sin x ³ 1 ïì sin x = 1
a) Hàm số xác định khi íï Û íï Û íï : vô lý.
 îï cos x- 1³ 0 îï cos x ³ 1 îï cos x = 1
Vậy tập xác định của hàm số là D = Æ.
b) Hàm số xác định khi 2- sin x > 0 Û sin x < 2 Û x Î ¡ .
Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ .
Bài 5. Tìm tập xác định của các hàm số sau
 tan x
 a) y = . b) y = 1- sin(x2 + 2x- 1) .
 cos2 x- 2cos x + 4
 Lời giải
 ì ïì p
 ï tan x ³ 0 ï kp £ x < + kp p
a) Hàm số xác định khi í Û í 2 Û kp £ x < + kp , (k Î ¢).
 ï cos2 x- 2cos x + 4 ¹ 0 ï 2
 î îï x Î ¡
 ïì p ïü
Vậy tập xác định của hàm số là D = íï x Î ¡ kp £ x < + kp,k Î ¢ýï .
 îï 2 þï
b) Hàm số xác định khi 1- sin(x2 + 2x- 1)³ 0 Û sin(x2 + 2x- 1)£ 1 Û x2 + 2x- 1Î ¡ Û x Î ¡ .
Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ . VẤN ĐỀ 02. XÉT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ
 Q Phương pháp. Để xét tính chẵn, lẻ của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:
 Hàm số y = f (x) được goi là hàm số chẵn nếu 
 ● Tập xác định của các hàm số có tính đối xứng, nghĩa là " x Î D suy ra - x Î D .
 ● f (- x)= f (x), " x Î D .
 Hàm số y = f (x) được goi là hàm số lẻ nếu 
 ● Tập xác định của các hàm số có tính đối xứng, nghĩa là " x Î D suy ra - x Î D .
 ● f (- x)= - f (x) , " x Î D .
 Chú ý: Nếu hàm số f (x) vi phạm một trong hai điều kiện thì ta kết luận hàm số f (x) không chẵn, 
 không lẻ.
Bài 6. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau
 a) y = 3x2 - cos 2x . b) y = x2 sin x + tan x .
 Lời giải
a) Tập xác định D = ¡ suy ra " x Î D thì - x Î D .
 2
Ta có f (- x)= 3(- x) - cos(- 2x)= 3x2 - cos 2x = f (x).
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
 ïì p ïü
b) Tập xác định D = ¡ \íï + kp k Î ¢ýï . Ta thấy " x Î D thì - x Î D .
 îï 2 þï
 2
Ta có f (- x)= (- x) sin(- x)+ tan(- x)= - x2 sin x- tan x = - (x2 sin x + tan x)= - f (x).
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Bài 7. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau
 æ ö
 ç p÷ 1 2
 a) y = 5cosç2x + ÷. b) y = - cos x .
 èç 3ø÷ x- 1
 Lời giải
a) Tập xác định D = ¡ suy ra " x Î D thì - x Î D .
 ïì æ ö æ ö æ ö ïì æ ö æ ö
 ï ç p ÷ ç p p÷ ç p p÷ 5 3 ï ç p ÷ ç p ÷
 ï f ç- ÷= 5cosç- + ÷= 5cosç- + ÷= ï f ç- ÷¹ f ç ÷
 ï èç 12ø÷ èç 6 3ø÷ èç 6 3ø÷ 2 ï èç 12ø÷ èç12ø÷
Ta có íï Þ íï .
 ï æp ö æp pö æpö ï æ p ÷ö æp ÷ö
 ï f ç ÷= 5cosç + ÷= 5cosç ÷= 0 ï f ç- ÷¹ - f ç ÷
 ï ç ÷ ç ÷ ç ÷ ï ç ÷ ç ÷
 îï è12ø è6 3ø è2ø îï è 12ø è12ø
Do đó hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.
b) Tập xác định D = ¡ \{1} .
Ta có x = - 1Î D nhưng - x = 1Ï D nên D không có tính đối xứng.
Do đó hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.
Bài 8. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau
 sin x- tan x cos3 x + sin2 x
 a) y = . b) y = .
 sin x + cot x cos 2x
 Lời giải ì ïì
 ï cos x ¹ 0 ï cos x ¹ 0
 ï ï ïì cos x ¹ 0 p
a) Hàm số xác định khi íï sin x ¹ 0 Û í sin x ¹ 0 Û íï Û x ¹ k , (k Î ¢).
 ï ï ï sin x ¹ 0 2
 ï sin x + cot x ¹ 0 ï 2 î
 îï îï sin x + cos x ¹ 0
 ïì p ïü
Tập xác định D = ¡ \íï k k Î ¢ýï suy ra " x Î D thì - x Î D .
 îï 2 þï
 sin(- x)- tan(- x) - sin x + tan x sin x- tan x
Ta có f (- x)= = = = f (x).
 sin(- x)+ cot(- x) - sin x- cot x sin x + cot x
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
 p p p
b) Hàm số xác định khi cos 2x ¹ 0 Û 2x ¹ + kp Û x ¹ + k , (k Î ¢).
 2 4 2
 ïì p p ïü
Tập xác định D = ¡ \íï + k k Î ¢ýï suy ra " x Î D thì - x Î D .
 îï 4 2 þï
 3 2
 cos (- x)+ sin (- x) cos3 x + sin2 x
Ta có f (- x)= = = f (x).
 cos(- 2x) cos 2x
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
 VẤN ĐỀ 03. XÉT TÍNH TUẦN HOÀN VÀ TÌM CHU KỲ CỦA HÀM SỐ
 Q Phương pháp. Để xét tính tuần hoàn của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:
 Hàm số y = f (x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu 
 ì
 ï " x Î D Þ x ± T Î D
 $T ¹ 0 sao cho í .
 ï + = " Î
 îï f (x T) f (x), x D
 Nếu tồn tại số T > 0 nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T được gọi là chu kỳ của hàm số tuần 
 hoàn y = f (x).
 2p
 Chú ý: ● y = sin(ax + b) có chu kỳ T = .
 0 a
 2p
 ● y = cos(ax + b) có chu kỳ T = .
 0 a
 p
 ● y = tan(ax + b) có chu kỳ T = .
 0 a
 p
 ● y = cot(ax + b) có chu kỳ T = .
 0 a
 ● y = f1 (x) có chu kỳ T1 và y = f2 (x) có chu kỳ T2 thì hàm số y = f1 (x)± f2 (x) có chu kỳ 
 T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 .
Bài 9. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau
 1
 a) y = 1+ sin2 2x . b) y = .
 sin 2x
 Lời giải 1- cos 4x 3 1
a) Ta có y = f (x)= 1+ sin2 2x = 1+ = - cos 4x .
 2 2 2
Tập xác định D = ¡ .
Giả sử f (x + T)= f (x), " x Î D
 3 1 3 1
 Û - cos 4(x + T)= - cos 4x , " x Î D Û cos(4x + 4T)= cos 4x , " x Î D . (*)
 2 2 2 2
Khi cho x = 0 thì (*) cũng phải đúng, tức là
 p
 cos 4T = cos0 Û cos 4T = 1 Û 4T = k2p Û T = k , (k Î ¢).
 2
Ngược lại, dễ thấy 
 æ ö
 3 1 ç p÷ 3 1 3 1
 - cos 4çx + k ÷= - cos(4x + k2p)= - cos 4x , " x Î D .
 2 2 èç 2ø÷ 2 2 2 2
 ì
 p ï " x Î D Þ x ± T Î D
Vậy khi T = k , (k Î ¢) thì ta có í .
 ï + = " Î
 2 îï f (x T) f (x), x D
Tức là y = f (x)= 1+ sin2 2x làm hàm số tuần hoàn.
 p p
Mặt khác trong các số T = k thì số dương nhỏ nhất là T = .
 2 2
 p
Do đó hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn có chu kỳ T = .
 2
 p
b) Hàm số xác định khi sin 2x ¹ 0 Û 2x ¹ kp Û x ¹ k , (k Î ¢).
 2
 ïì p ïü
Tập xác định D = ¡ \íï k k Î ¢ýï .
 îï 2 þï
Giả sử f (x + T)= f (x), " x Î ¡
 1 1
 Û = , " x Î D Û sin(2x + 2T)= sin 2x , " x Î D . (*)
 sin 2(x + T) sin 2x
 p
Khi cho x = thì (*) cũng phải đúng, tức là
 4
 æ ö æ ö
 çp ÷ p çp ÷ p p
 sinç + 2T÷= sin Û sinç + 2T÷= 1 Û + 2T = + k2p Û T = kp , (k Î ¢).
 èç2 ø÷ 2 èç2 ø÷ 2 2
Ngược lại, dễ thấy 
 1 1 1
 = = , " x Î D .
 sin 2(x + kp) sin(2x + 2kp) sin 2x
 ì
 ï " x Î D Þ x ± T Î D
Vậy khi T = kp , (k Î ¢) thì ta có í .
 ï + = " Î
 îï f (x T) f (x), x D
 1
Tức là y = f (x)= làm hàm số tuần hoàn.
 sin 2x
Mặt khác trong các số T = kp thì số dương nhỏ nhất là T = p .
Do đó hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn có chu kỳ T = p . Bài 10. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau
 a) y = x + sin x . b) y = sin2 2x + cos2 2x .
 Lời giải
a) Tập xác định D = ¡ .
Giả sử f (x + T)= f (x), " x Î D
 Û (x + T)+ sin(x + T)= x + sin x , " x Î D Û T + sin(x + T)= sin x , " x Î D . (*)
Cho x = 0 và x = p , ta được 
 ì
 ï T + sin x = sin 0 = 0
 í suy ra 2T + sinT + sin(p + T)= 0 Û T = 0 .
 ï + p + = p =
 îï T sin( T) sin 0
Điều này trái với định nghĩa là T > 0 . Vậy hàm số y = x + sin x không phải là hàm số tuần hoàn.
b) Tập xác định D = ¡ .
Ta có 
 sin2 2(x + T)+ cos2 2(x + T)= 1 = sin2 2x + cos2 2x , " x Î D
hay 
 f (x + T)= f (x), " x Î D .
Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn. Nhưng trong các số thực T dương không có số nhỏ nhất nên hàm số đã cho 
tuần hoàn nhưng không có chu kỳ.
 VẤN ĐỀ 04. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
 Q Phương pháp. 
 ● Nếu phải tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn (nhỏ hơn một 
 chu kỳ của hàm số đó) ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng, đoạn đó rồi dựa vào bảng 
 biến thiên suy ra kết quả.
 ● Nếu phải tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên toàn bộ tập xác định của nó ta có 
 thể biến đổi hàm số về dạng đơn giản nhất rồi dựa vào miền giá trị của hàm số đã cho để suy ra kết 
 quả.
 Chú ý: Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên X nếu
 ì
 ï " x Î X : f (x)£ M
 íï . Kí hiệu: M = max f (x).
 ï $ Î = X
 îï x0 X : f (x0 ) M
 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên X nếu
 ì
 ï " x Î X : f (x)³ m
 íï . Kí hiệu: m = min f (x).
 ï $ Î = X
 îï x0 X : f (x0 ) m
Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
 é p 2p ù æ pö æ pö é p p ù
 = ê- ú = ç + ÷- ç - ÷ ê- ú
 a) y sin x trên đoạn ; . b) y cosç2x ÷ cosç2x ÷ trên đoạn ; .
 ëê 3 3 ûú èç 4ø÷ èç 4ø÷ ëê 3 6 ûú
 Lời giải é p 2p ù
a) Ta có bảng biến thiên của hàm số y = sin x trên đoạn ê- ; ú.
 ëê 3 3 ûú
 p p 2p
 -
 x 3 0 2 3
 1
 sin x
 0 3
 3 2
 -
 2
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
 æ ö æ ö
 çp÷ ç p÷ 3
 max f (x)= f ç ÷= 1 và min f (x)= f ç- ÷= - .
 é p 2p ù èç2ø÷ é p 2p ù èç 3ø÷ 2
 ê- ; ú ê- ; ú
 ëê 3 3 ûú ëê 3 3 ûú
 æ ö æ ö
 ç p÷ ç p÷ p
b) Ta có y = cosç2x + ÷- cosç2x- ÷= - 2sin 2x.sin = - 2 sin 2x .
 èç 4ø÷ èç 4ø÷ 4
 é p p ù
Bảng biến thiên của hàm số y = - 2 sin 2x trên đoạn ê- ; ú.
 ëê 3 6 ûú
 p
 p - p
 - 0
 x 3 4 6
 2p p p
 2x - - 0
 3 2 3
 2
 - 2 sin 2x
 6 0 6
 -
 2 2
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
 æ ö æ ö
 ç p÷ çp÷ 6
 max f (x)= f ç- ÷= 2 và min f (x)= f ç ÷= - .
 é p p ù èç 4ø÷ é p p ù èç6 ø÷ 2
 ê- ; ú ê- ; ú
 ëê 3 6 ûú ëê 3 6 ûú
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
 æ ö
 ç p÷
 a) y = 3- sinç2x + ÷. b) y = 5 + 4sin 2xcos 2x .
 èç 4ø÷
 c) y = 1- sin(x2 )- 1 . d) y = tan x + cot x .
 Lời giải
a) Hàm số có tập xác định D = ¡ .
 æ ö æ ö æ ö
 ç p÷ ç p÷ ç p÷
Ta có - 1£ sinç2x + ÷£ 1 Û 1³ - sinç2x + ÷³ - 1 Û 4 ³ 3- sinç2x + ÷³ 2 Û 4 ³ y ³ 2 .
 èç 4ø÷ èç 4ø÷ èç 4ø÷
 æ ö
 ç p÷ p p p
● y = 2 Û sinç2x + ÷= 1 Û 2x + = + k2p Û x = + kp , (k Î ¢).
 èç 4ø÷ 4 2 8
 p
Vậy min y = 2 khi x = + kp , (k Î ¢).
 ¡ 8 æ ö
 ç p÷ p p 3p
● y = 4 Û sinç2x + ÷= - 1 Û 2x + = - + k2p Û x = - + kp , (k Î ¢).
 èç 4ø÷ 4 2 8
 3p
Vậy max y = 4 khi x = - + kp , (k Î ¢).
 ¡ 8
b) Hàm số có tập xác định D = ¡ .
Ta có y = 5 + 4sin 2xcos 2x = 5 + 2sin 4x .
Do - 1£ sin 4x £ 1 Û - 2 £ 2sin 4x £ 2 Û 3 £ 5 + 2sin 4x £ 7 Û 3 £ y £ 7 .
 p p p
● y = 3 Û sin 4x = - 1 Û 4x = - + k2p Û x = - + k , (k Î ¢).
 2 8 2
 p p
Vậy min y = 3 khi x = - + k , (k Î ¢).
 ¡ 8 2
 p p p
● y = 7 Û sin 4x = 1 Û 4x = + k2p Û x = + k , (k Î ¢).
 2 8 2
 p p
Vậy max y = 7 khi x = + k , (k Î ¢).
 ¡ 8 2
c) Hàm số có tập xác định D = ¡ .
Ta có - 1£ sin(x2 )£ 1 Û 1³ - sin(x2 )³ - 1 Û 2 ³ 1- sin(x2 )³ 0
 Û 2 ³ 1- sin(x2 ) ³ 0 Û 2 - 1³ 1- sin(x2 )- 1³ - 1 Û 2 - 1³ y ³ - 1 .
 p p
● y = - 1 Û sin(x2 )= 1 Û x2 = + k2p Û x = + k2p , (k Î ¢ + ).
 2 2
 p
Vậy min y = - 1 khi x = + k2p , (k Î ¢ + ).
 ¡ 2
 p p
● y = 2 - 1 Û sin x2 = - 1 Û x2 = - + k2p Û x = - + k2p , (k Î ¢ + ).
 2 2
 p
Vậy max y = 2 - 1 khi x = - + k2p , (k Î ¢ + ).
 ¡ 2
 ïì p ïü
d) Hàm số có tập xác định D = ¡ \íï k k Î ¢ýï .
 îï 2 þï
 sin x cos x sin2 x + cos2 x 2
Ta có y = tan x + cot x = + = = .
 cos x sin x sin xcos x sin 2x
Với x Î D thì - 1£ sin 2x < 0 hoặc 0 < sin 2x £ 1 . 
 1 2
● Trường hợp - 1£ sin 2x < 0 Û £ - 1 Û £ - 2 hay y Î (- ¥ ;- 2ù.
 sin 2x sin 2x û
 1 2
● Trường hợp 0 < sin 2x £ 1 Û ³ 1 Û ³ 2 hay y Î é2;+ ¥ ).
 sin 2x sin 2x ë
Vậy hàm số y = tan x + cot x không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
 a) y = cos2 x + 2sin x + 2 . b) y = sin4 x- 2cos2 x + 1 .
 c) y = 3sin4 x + cos 4x . d) y = 2sin4 x + cos4 x .
 Lời giải
a) Hàm số có tập xác định D = ¡ . 2
Ta có y = cos2 x + 2sin x + 2 = (1- sin2 x)+ 2sin x + 2 = - sin2 x + 2sin x + 3 = - (sin x- 1) + 4 .
 2
Do - 1£ sin x £ 1 Û - 2 £ sin x- 1£ 0 Û 4 ³ (sin x- 1) ³ 0
 2 2
 Û - 4 £ - (sin x- 1) £ 0 Û 0 £ - (sin x- 1) + 4 £ 4 Û 0 £ y £ 4 .
 p
● y = 0 Û sin x = - 1 Û x = - + k2p , (k Î ¢).
 2
 p
Vậy min y = 0 khi x = - + k2p , (k Î ¢).
 ¡ 2
 p
● y = 4 Û sin x = 1 Û x = + k2p , (k Î ¢).
 2
 p
Vậy max y = 4 khi x = + k2p , (k Î ¢).
 ¡ 2
b) Hàm số có tập xác định D = ¡ .
 2 2
Ta có y = (1- cos2 x) - 2cos2 x + 1 = cos4 x- 4cos2 x + 2 = (cos2 x- 2) - 2 .
 2
Do 0 £ cos2 x £ 1 Û - 2 £ cos2 x- 2 £ - 1 Û 4 ³ (cos2 x- 2) ³ 1
 2
 Û 2 ³ (cos2 x- 2) - 2 ³ - 1 Û 2 ³ y ³ - 1 .
● y = - 1 Û cos2 x = 1 Û cos x = ± 1 Û x = kp , (k Î ¢).
Vậy min y = - 1 khi x = kp , (k Î ¢).
 ¡
 p
● y = 2 Û cos2 x = 0 Û cos x = 0 Û x = + kp , (k Î ¢).
 2
 p
Vậy max y = 2 khi x = + kp , (k Î ¢).
 ¡ 2
c) Hàm số có tập xác định D = ¡ .
 æ ö2 æ ö2
 4 ç1- cos 2x÷ 2 11 2 3 1 11ç 3 ÷ 5
Ta có y = 3sin x + cos 4x = 3ç ÷ + 2cos 2x- 1 = cos 2x- cos 2x- = çcos 2x- ÷ - .
 èç 2 ø÷ 4 2 4 4 èç 11ø÷ 11
 æ ö2
 14 3 8 ç 3 ÷ 196
Do - 1£ cos 2x £ 1 Û - £ cos 2x- £ Û 0 £ çcos 2x- ÷ £
 11 11 11 èç 11ø÷ 121
 æ ö2 æ ö2
 11ç 3 ÷ 49 5 11ç 3 ÷ 5 5
 Û 0 £ çcos 2x- ÷ £ Û - £ çcos 2x- ÷ - £ 4 Û - £ y £ 4 .
 4 èç 11ø÷ 11 11 4 èç 11ø÷ 11 11
 5 3 3 1 3
● y = - Û cos 2x = Û 2x = ± arccos + k2p Û x = ± arccos + kp , (k Î ¢).
 11 11 11 2 11
 5 1 3
Vậy min y = - khi x = ± arccos + kp , (k Î ¢).
 ¡ 11 2 11
 p
● y = 4 Û cos 2x = - 1 Û 2x = p + k2p Û x = + kp , (k Î ¢).
 2
 p
Vậy max y = 4 khi x = + kp , (k Î ¢).
 ¡ 2
d) Hàm số có tập xác định D = ¡ .
 æ ö2 æ ö2 æ ö2
 4 4 ç1- cos 2x÷ ç1+ cos 2x÷ 3 2 1 3 3 ç 1÷ 2
Ta có y = 2sin x + cos x = 2ç ÷ + ç ÷ = cos 2x- cos 2x + = çcos 2x- ÷ + .
 èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ 4 2 4 4 èç 3ø÷ 3 æ ö2
 4 1 2 ç 1÷ 16
Do - 1£ cos 2x £ 1 Û - £ cos 2x- £ Û 0 £ çcos 2x- ÷ £
 3 3 3 èç 3ø÷ 9
 æ ö2 æ ö2
 3 ç 1÷ 4 2 3 ç 1÷ 2 2
 Û 0 £ çcos 2x- ÷ £ Û £ çcos 2x- ÷ + £ 2 Û £ y £ 2 .
 4 èç 3ø÷ 3 3 4 èç 3ø÷ 3 3
 2 1 1 1 1
● y = Û cos 2x = Û 2x = ± arccos + k2p Û x = ± arccos + kp , (k Î ¢).
 3 3 3 2 3
 2 1 1
Vậy min y = khi x = ± arccos + kp , (k Î ¢).
 ¡ 3 2 3
 p
● y = 2 Û cos 2x = - 1 Û 2x = p + k2p Û x = + kp , (k Î ¢).
 2
 p
Vậy max y = 2 khi x = + kp , (k Î ¢).
 ¡ 2
Bài 14. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
 æ ö
 2 ç p÷ 6 6
 a) y = 4sin x + 2 sinç2x + ÷. b) y = sin x + cos x .
 èç 4ø÷
 Lời giải
a) Hàm số có tập xác định D = ¡ .
 æ ö æ ö
 2 ç p÷ ç p÷
Ta có y = 4sin x + 2 sinç2x + ÷= 2(1- cos 2x)+ sin 2x + cos 2x = sin 2x- cos 2x + 2 = 2 sinç2x- ÷+ 2 .
 èç 4ø÷ èç 4ø÷
 æ ö æ ö æ ö
 ç p÷ ç p÷ ç p÷
Do - 1£ sinç2x- ÷£ 1 Û - 2 £ 2 sinç2x- ÷£ 2 Û 2- 2 £ 2 sinç2x- ÷+ 2 £ 2 + 2 .
 èç 4ø÷ èç 4ø÷ èç 4ø÷
 æ ö
 ç p÷ p p p
● y = 2- 2 Û sinç2x- ÷= - 1 Û 2x- = - + k2p Û x = - + kp , (k Î ¢).
 èç 4ø÷ 4 2 8
 p
Vậy min y = 2- 2 khi x = - + kp , (k Î ¢).
 ¡ 8
 æ ö
 ç p÷ p p 3p
● y = 2 + 2 Û sinç2x- ÷= 1 Û 2x- = + k2p Û x = + kp , (k Î ¢).
 èç 4ø÷ 4 2 8
 3p
Vậy max y = 2 + 2 khi x = + kp , (k Î ¢).
 ¡ 8
b) Hàm số có tập xác định D = ¡ .
 3 3
Ta có y = sin6 x + cos6 x = (sin2 x + cos2 x) - 3sin2 xcos2 x(sin2 x + cos2 x)= 1- sin2 2x .
 4
 3 3 3 1 1
Do 0 £ sin2 2x £ 1 Û 0 ³ - sin2 2x ³ - Û 1³ 1- sin2 2x ³ Û 1³ y ³ .
 4 4 4 4 4
 1 p p p
● y = Û sin2 2x = 1 Û sin 2x = ± 1 Û 2x = + kp Û x = + k , (k Î ¢).
 4 2 4 2
 1 p p
Vậy min y = khi x = + k , (k Î ¢).
 ¡ 4 4 2
 p
● y = 1 Û sin2 2x = 0 Û sin 2x = 0 Û 2x = kp Û x = k , (k Î ¢).
 2
Vậy max y = 1 khi x = kp , (k Î ¢).
 ¡