Tự luận Đại số Lớp 10 - Chương 5: Góc lượng giác. Công thức lượng giác (Có đáp án)

 CHÖÔNG V : GOÙC LÖÔÏNG GIAÙC. COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC
CHUÛ ÑEÀ 01. GOÙC VAØ CUNG LÖÔÏNG GIAÙC
 Cung tròn bán kính R , có độ dài l , có số đo radian là a (0 £ a £ 2p), có số đo a0 (0 £ a £ 360) thì 
 a a
 = , l = Ra .
 p 180
 Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou , tia cuối Ov và số đo độ hay radian của nó.
 v
 v
 V
 O
 O
 U u
 u
 Ð
 Cung lựng giác U V được xác định bởi mút đầu, mút cuối và số đo của nó trên đường tròn định hướng. Chiều 
 quay dương là ngược chiều quay kim đồng hồ.
 Nếu một góc lượn giác (Ou,Ov)có số đo a radian thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu Ou , tia cuối Ov có số 
 Ð
 đo a + 2kp, k Î ¢ , mỗi góc tương ứng với một giá trị của k . Các cung lượng giác U V tương ứng trên đường 
 tròn định hướng tâm O cũng có tính chất như vậy. Tương tự cho đơn vị độ. 
 Hệ thức Sa-lơ: Với ba tia tùy ý Ou, Ov, Ow , ta có
 sđ(Ou,Ov)+ sđ(Ov,Ow)= sđ(Ou,Ow)+ k2p (k Î ¢).
 VAÁN ÑEÀ 01 ÑÔN VÒ VAØ ÑOÄ DAØI CUNG
 Một cung có số đo a radian hoặc a độ thì có
 a a pa a.180
 = Þ a = , a =
 p 180 180 p
 æ ö0
 0 p ç180÷
 l = rad , 1rad = ç ÷
 180 èç p ø÷
 Với p » 3,14 thì l0 » 0,0175rad và ngược lại, 1rad » 57017'45'' .
 Trên đường tròn (O; R), một cung có số đo a rad thì có độ dài l = aR .
 237 Bài 1.
 a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 720 , 6000 , - 37045'30'' .
 5p 3p
 b) Đổi số đo của các góc sau ra độ: , , - 4 .
 18 5
 Lời giải
 p p 2p p 10p
a) Vì 10 = rad nên 720 = 72. = ; 6000 = 600. = ;
 180 180 5 180 3
 æ ö0 æ ö0 æ ö0
 0 0 ç45÷ ç 30 ÷ ç4531÷ 4531 p
 - 37 45'30'' = - 37 - ç ÷ - ç ÷ = ç ÷ = . » 0,6587 .
 èç60ø÷ èç60.60ø÷ èç 120 ø÷ 120 180
 æ ö0 æ ö0 æ ö0
 ç180÷ 5p ç5p 180÷ o 3p ç3p 180÷ o
b) Vì 1rad = ç ÷ nên = ç . ÷ = 50 ; = ç . ÷ = 108 ;
 èç p ø÷ 18 èç18 p ø÷ 5 èç 5 p ø÷
 0 0
 æ 180ö æ720ö
 - 4 = - ç4. ÷ = - ç ÷ » - 2260048' .
 èç p ø÷ èç p ø÷
Bài 2. Một đường tròn có bán kính 36m . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là
 3p
 a) . b) 510 .
 4
 Lời giải
 pa
 Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có l = Ra = .R nên
 180
 3p
a) Ta có l = Ra = 36. = 27p » 84,8m .
 4
 pa p51 51p
b) Ta có l = .R = .36 = » 32,04m .
 180 180 5
Bài 3. Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.
 a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
 b) Tính quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính bánh xe đạp là 680 mm.
 Lời giải
 11 22p
a) Trong 1 giây, bánh xe quay được vòng, tức là quay được một góc (rad) hay 7920.
 5 5
 22p
b) Trong 1 phút, bánh xe lăn được l = 340. .60 » 281,990(mm) » 282(m) .
 5
 VAÁN ÑEÀ 02 CUNG VAØ GOÙC LÖÔÏNG GIAÙC
 Số đo góc lượng giác
 sđ(Ou,Ov)= a + k2p hoặc a0 + k3600 với k là số nguyên
 Ð 0 0
 Số đo cung lượng giác: Sđ U V = a + k2p hoặc a + k360
 Để xác định công thứcÐ số đo tổng quát thì ta chỉ cần xác định số đo của một cung góc lượng giác của nó. Mỗi 
 cung lượng giác U V ứng với một góc lượng giác (Ou,Ov) và ngược lại. Số đo của cung lượng giác và góc 
 lượng giác tương ứng là bằng nhau. 
238 Bài 4. Tìm số đo a của góc lượng giác (Ou,Ov) với 0 £ a £ 2p , biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc 
đó có số đo là
 33p
 a) . b) 30 . 
 4
 Lời giải
 33p
a) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo là + k2p, k Î ¢ .
 4
 ì ì ì
 ï 33p ï 33 ï 33 25
 ï 0 £ + k2p £ 2p ï 0 £ + k2 £ 2 ï - £ k £ -
 Vì 0 £ a £ 2p nên í 4 Û í 4 Û í 8 8 Û k = - 4 .
 ï ï ï
 îï k Î ¢ îï k Î ¢ îï k Î ¢
 33p p
 Suy ra a = + (- 4).2p = .
 4 4
b) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo là 30 + k2p, k Î ¢ .
 ì ì
 ì ï 15 ï 15 p - 15
 ï 0 £ 30 + k2p £ 2p ï 0 £ + k £ 1 ï - £ k £
 Vì 0 £ a £ 2p nên í Û í p Û í p p Û k = - 4 .
 îï k Î ¢ ï ï
 îï k Î ¢ îï k Î ¢
 Suy ra a = 30 + (- 4).2p = 30- 8p » 4,867 .
Bài 5. Tìm góc lượng giác (Ou,Ov)có số đo dương nhỏ nhất, biết một góc lượng giác đó có số đo
 30p
 a) - 900 . b) .
 7
 Lời giải
a) Nếu một góc lượng giác có số đo a0 thì cần xác định số nguyên k để 0 < a + k3600 £ 3600 , khi đó a + k3600 là số 
 dương nhỏ nhất cần tìm.
 Với a = - 900 thì k = 1 , số dương nhỏ nhất cần tìm là 270 .
b) Nếu một góc lượng giác có số đo a (rad) thì cần xác định số nguyên k để 0 < a + k2p £ 2p , khi đó a + k2p là số 
 dương nhỏ nhất cần tìm.
 30p 2p
 Với a = thì k = - 2 , số dương nhỏ nhất cần tìm là .
 7 7
 p 29p 22 6p 41p
Bài 6. Cho góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo - . Trong các số - ; - ; ; , những số nào là số đo của một 
 7 7 7 7 7
góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho ?
 Lời giải
 æ ö æ ö æ ö æ ö
 29p ç p÷ 22 ç p÷ 6p ç p÷ 41p ç p÷
 Ta có - - ç- ÷= (- 2).2p , - - ç- ÷= - 3p , - ç- ÷= p và - ç- ÷= 3.2p .
 7 èç 7 ø÷ 7 èç 7 ø÷ 7 èç 7 ø÷ 7 èç 7 ø÷
 29p 41p
 Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p nên các số - ; là số đo của một góc 
 7 7
 lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho.
 39p mp
Bài 7. Hai góc lượng giác có số đo và ( m là số nguyên ) có thể cùng tia đầu, tia cuối được không ?
 7 9
 Lời giải
 239 mp 39p
 Giả sử hai góc có cùng tia đầu, tia cuối khi đó - = k2p , k Î ¢ .
 9 7
 351
 Hay 7m- 9.39. = 9.7.k2 Û 7(m- 18k)= 351 Û m- 18k = với k,m Î ¢ .
 7
 Vì vế trái là một số nguyên, vế phải là số thập phân nên dẫn tới vô lí.
 39p mp
 Vậy hai góc lương giác và ( m là số nguyên ) không thể cùng tia đầu, tia cuối.
 7 9
Bài 8. Cho sđ (Ou, Ov)= a và sđ (Ou', Ov')= b . Chứng minh rằng hai góc hình học uOv, u'Ov' bằng nhau khi và chỉ 
khi hoặc b - a = k2p hoặc b + a = k2p với k Î ¢ .
 Lời giải
 Ta có sđ(Ou, Ov)= a và sđ(Ou', Ov')= b suy ra tồn tại p < a0 £ p , p < b0 £ p và số nguyên k0 , l0 sao cho 
 a = a0 + k0 2p, b = b0 + l0 2p ..
 · ·
 Khi đó a0 là số đo của uOv và b0 là số đo của u'Ov' .
 éa = b
 a = b Û ê 0 0
 Hai góc hình học uOv, u'Ov' bằng nhau khi và chỉ khi 0 0 ê
 ëa0 = - b0
 Û b - a = k2p hoặc b + a = k2p với k Î ¢ .
CHUÛ ÑEÀ 02. GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC
 Đường tròn lượng giác: Đường tròn đơn vị (R = 1), định 
 hướng, với điểm gốc A(1;0). y
 Hệ tọa độ vuông góc Oxy gắn với đường tròn lượng giác: O 
 là tâm đường tròn, Ox là tia OA .
 Điểm M trên đường tròn lượng giác xác định bởi số (cung M
 hoặc góc) a : Điểm M sao cho AM là cung lượng giác a 
 α x
 a
 hoặc (OA,OM) là góc lượng giác . O A
 Giá trị lượng giác: Cho goác lượng giác a , xét điểm M trên 
 đường tròn lượng giác xác định bởi a . Nếu M có tọa độ 
 r r
 (x; y) trong hệ tọa độ (O;i; j) gắn với đường tròn đó thì 
 cosa = x, sina = y . Nói cách khác 
 uuuur r r sina cosa
 OM = cosa i + sina j , tana = (khi cosa ¹ 0 ); cota = (khi sina ¹ 0 ).
 cosa sina
 Một số tính chất cơ bản
 1
 1+ tan2 a =
 - 1£ sina £ 1; - 1£ cosa £ 1 cos2 a
 2 a + 2a = 1
 sin cos 1 1+ cot2 a =
 sin2 a
 Các trục lượng giác
240 Trục sin là trục tung Oy , trục cos là truch hoành Ox .
 Trục tan là At cùng hướng với trục tung với A(1;0). Trục cot là Bs cùng hướng với trục hoành với B(0;1).
 Giá tri lượng giác của các góc (cung) cóa liên quan đặc biệt (giả sử các biểu thức có nghĩa)
 Đối nhau: 
 sin(- a)= - sina tan(- a)= - tana
 cos(- a)= cosa cot(- a)= - cota
 Hơn kém p : 
 sin(p + a)= - sina tan(p + a)= tana
 cos(p + a)= - cosa cot(p + a)= cota
 Bù nhau: 
 sin(p - a)= sina tan(p - a)= - tana
 cos(p - a)= - cosa cot(p - a)= - cota
 Phụ nhau: 
 æ ö æ ö
 çp ÷ çp ÷
 sinç - a÷= cosa tanç - a÷= cota
 èç2 ø÷ èç2 ø÷
 æ ö æ ö
 çp ÷ çp ÷
 cosç - a÷= sina cotç - a÷= tana
 èç2 ø÷ èç2 ø÷
 p
 Hơn kém : 
 2
 æ ö æ ö
 çp ÷ çp ÷
 sinç + a÷= cosa tanç + a÷= - cota
 èç2 ø÷ èç2 ø÷
 æ ö æ ö
 çp ÷ çp ÷
 cosç + a÷= - sina cotç + a÷= - tana
 èç2 ø÷ èç2 ø÷
 VAÁN ÑEÀ 01 BIEÅU DIEÃN GOÙC VAØ CUNG LÖÔÏNG GIAÙC
 Phương Pháp. Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử dụng các kết quả sau
 Góc a và góc a + k2p, k Î ¢ có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
 k2p
 Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng a + ( với k là số nguyên và m 
 m
 là số nguyên dương) là m. Từ đó để biểu diễn các góc lượng giác đó ta lần lượt cho k từ 0 tới (m- 1) 
 rồi biểu diễn các góc đó.
Bài 1. Biểu diễn các góc (cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau
 p 11p
 a) . b) - .
 4 2
 c) 1200 . d) - 7650 .
 Lời giải
 p
 1
a) Ta có 4 = . Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau. 
 2p 8
 p
 Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo .
 1 4
 241 11p p 11p
b) Ta có - = - + (- 3).2p do đó điểm biểu diễn bởi góc - 
 2 2 2 y
 p
 trùng với góc - . B
 2 M
 2 M
 11p 1
 Khi đó điểm B' là điểm biểu diễn bởi góc có số đo - .
 2
 120 1 x
c) Ta có = . Ta chia đường tròn thành ba phần bằng nhau.
 360 3 A' O A
 0
 Khi đó điểm M2 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 120 .
 M3
d) Ta có - 7650 = - 450 + (- 2).3600 do đó điểm biểu diễn bởi góc B'
 - 7650 trùng với góc - 450 .
 45 1
 Hơn nữa = . Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm ).
 360 8
 ¼ 0
 Khi đó điểm M3 (điểm chính giữa cung nhỏ AB' ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo - 765 .
Bài 2. Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với k là số nguyên tùy ý)
 p
 a) x = kp . b) x = + kp .
 1 2 3
 Lời giải
 k2p
a) Ta có x = do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng 
 1 2 y
 x1 = kp . Với M
 k = 0 Þ x1 = 0 được biểu diễn bởi điểm A .
 k = 1 Þ x1 = p được biểu diễn bởi B .
 p 2kp
b) Ta có x = + do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo B A x
 2 3 2
 p
 dạng x = + kp . Với 
 2 3
 p
 k = 0 Þ x2 = được biểu diễn bởi M .
 3 N
 4p
 k = 1 Þ x = được biểu diễn bởi N .
 3
 VAÁN ÑEÀ 02 GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC
 Phương pháp. Để xác định giá trị lượng giác ta sử dụng các phương pháp sau
 Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác.
 Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.
 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt.
 Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm ngọn của cung (tia cuối 
 của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác.
242 Bài 3. Tìm các điểm của đường tròn lượng giác xác định bởi số a thỏa mãn
 a) cosa = 1- sin2 a . b) sin2 a = sina .
 Lời giải
 Gọi điểm cuối của góc lượng giác a là M(x; y). Do M(x; y) thuộc đường tròn (0;1) nên x2 + y2 = 1 .
a) Ta có cosa = 1- sin2 a Û cosa = cos2 a Û cosa = cosa Û cosa ³ 0 .
 ì 2 2
 ï x + y = 1
 Vậy điểm M(x; y) thỏa mãn í (góc phần tư thứ I và thứ IV).
 ï
 îï x ³ 0
b) Ta có sin2 a Û sina Û sina = sina Û sina ³ 0 .
 ì 2 2
 ï x + y = 1
 Vậy điểm M(x; y) thỏa mãn í (góc phần tư thứ I và thứ II).
 ï
 îï y ³ 0
Bài 4. Điểm cuối M của góc lượng giác a ở vị trí nào thì
 a) sina , cosa cùng dấu ? b) sina , tana khác dấu ?
 Lời giải
a) Điểm M trong các góc phần tư thứ I và III thì sina , cosa cùng dấu.
b) Điểm M trong các góc phần tư thứ II và III thì sina , tana khác dấu.
Bài 5. Xét dấu các số sau đây
 æ ö æ ö
 0 0 ç p÷ ç p÷ p
 a) sin156 ; cos(- 80 ). b) sinça + ÷; tança - ÷ với 0 < a < .
 èç 4ø÷ èç 2ø÷ 2
 Lời giải
a) Do 00 0 .
 Do - 900 0 .
 æ ö
 p p p 3p ç p÷
b) Do 0 0 .
 2 4 4 4 èç 4ø÷
 æ ö
 p p p ç p÷
 Do 0 < a < nên - < a - < 0 nên tança - ÷< 0 .
 2 2 2 èç 2ø÷
 p
Bài 6. Cho < a < p . Xác định dấu của các biểu thức sau
 2
 æ ö
 ç p ÷ 14p
 a) cosç- + a÷.tan(p - a). b) sin .cot(p + a).
 èç 2 ø÷ 9
 Lời giải
 æ ö
 p p p ç p ÷
a) Ta có 0 .
 2 2 2 èç 2 ø÷
 p
 Và 0 0 .
 2
 æ ö
 ç p ÷
 Vậy cosç- + a÷.tan(p + a)> 0 .
 èç 2 ø÷
 3p 14p 14p
b) Ta có < < 2p suy ra sin < 0 .
 2 9 9
 243 p 3p
 Và < a < p Û < p + a < 2p suy ra cot(p + a)< 0 .
 2 2
 14p
 Vậy sin .cot(p + a)> 0 .
 9
Bài 7. Tính giá trị các biểu thức sau
 7p 5p 7p
 a) A = sin + cos9p + tan(- )+ cot . b) B = sin2 25°+ sin2 45°+ sin2 60°+ sin2 65° .
 6 4 2
 Lời giải
 æ ö æ ö æ ö
 ç p÷ ç p÷ çp ÷
a) Ta có A = sinçp + ÷+ cos(p + 4.2p)- tançp + ÷+ cotç + 3p÷
 èç 6 ø÷ èç 4ø÷ èç2 ø÷
 p p p 1 5
 = - sin + cosp - tan + cot = - - 1- 1+ 0 = - .
 6 4 2 2 2
B) Vì 250 + 650 = 900 suy ra sin 650 = cos 250 .
 æ ö2 2
 0 ç 2 ÷ æ1ö 7
 = 2 °+ 2 + 2 °+ 2 ° = + ç ÷ + ç ÷ =
 Do đó B (sin 25 cos 25) sin 45 sin 60 1 ç ÷ ç ÷ .
 èç 2 ø÷ èç2ø÷ 4
Bài 8. Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
 æ ö æ ö
 ç3p ÷ ç3p ÷
 a) A = cos(5p - x)- sinç + x÷+ tanç - x÷+ cot(3p - x).
 èç 2 ø èç 2 ø
 1 1 1
 b) B = 2 - . + với p < x < 2p .
 sin(x + 2013p) 1+ cos x 1- cos x
 Lời giải
a) Ta có cos(5p - x)= cos(p - x + 2.2p)= cos(p - x)= - cos x ;
 æ ö æ ö æ ö
 ç3p ÷ ç p ÷ çp ÷
 sinç + x÷= sinçp + + x÷= - sinç + x÷= - cos x ;
 èç 2 ø èç 2 ø èç2 ø
 æ ö æ ö æ ö
 ç3p ÷ ç p ÷ çp ÷
 tanç - x÷= tançp + - x÷= tanç - x÷= cot x ;
 èç 2 ø èç 2 ø èç2 ø
 cot(3p - x)= cot(- x)= - cot x ;
 Suy ra A = - cos x- (- cos x)+ cot x + (- cot x)= 0 .
b) Ta có sin(x + 2013p)= sin(x + p + 1006.2p)= sin(x + p)= - sin x .
 æ ö
 1 1- cos x + 1+ cos x 1 2 1 2 ç 1 ÷
 Do đó B = 2 + . = 2 + . = 2 + . = 2 ç1+ ÷.
 sin x (1- cos x)(1+ cos x) sin x 1- cos2 x sin x sin2 x èç sin x sin x ø÷
 æ 1 ö
 p < < p Þ < = ç - ÷= - 2
 Vì x 2 sin x 0 nên B 2 ç1 ÷ 2 cot x .
 èç sin2 xø÷
Bài 9. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc a , biết
 1 2 3p
 a) sina = và 900 < a < 1800 . b) cosa = - và p < a < .
 3 3 2
 Lời giải
a) Vì 900 < a < 1800 nên cosa < 0 .
244 1 2 2
 Ta có sin2 a + cos2 a = 1 suy ra cosa = - 1- sin2 a = - 1- = - .
 9 3
 sina 1 cosa
 Do đó tana = = - và cota = = - 2 2 .
 cosa 2 2 sina
 3p
b) Vì p < a < nên sina < 0 .
 2
 4 5
 Ta có sin2 a + cos2 a = 1 suy ra sina = - 1- cos2 a = - 1- = - .
 9 3
 sina 5 cosa 2
 Do đó tana = = và cota = = .
 cosa 2 sina 5
Bài 10. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc a , biết
 a) tana = 2 và p 0 .
 Lời giải
 1 1
a) Vì tana = 2 suy ra cota = = .
 tana 2
 1 1 1 1 1
 Ta có tan2 a + 1 = Û cos2 a = = = Û cosa = ± . 
 2 2 2
 cos a tan a + 1 (2) + 1 5 5
 1
 Do p 0 nên cosa < 0 . Vậy cosa = - .
 5
 a æ ö
 sin ç 1 ÷ 2 5
 Ta có tana = suy ra sina = tana.cosa = 2.ç- ÷= - .
 cosa èç 5 ø÷ 5
b) Vì tana , cota cùng dấu và tana + cota > 0 nên tana > 0, cota > 0 .
 1 1 25 1 1
 Ta có tan2 a + 1 = = = Û tan2 a = suy ra tana = . 
 2 2
 cos a (0,8) 24 24 2 6
 1 2
 cota = = 2 6 , sina = tana cosa = .
 tana 5 6
Bài 11.
 1
 a) Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc a , biết sina = và tana + cota < 0 .
 5
 1
 b) Cho 3sin4 a - cos4 a = . Tính giá trị biểu thức A = 2sin4 a - cos4 a .
 2
 Lời giải
 1
a) Ta có cot2 a + 1 = = 25 Û cot2 a = 24 hay cota = ± 2 6 .
 sin2 a
 Vì tana , cota cùng dấu và tana + cota < 0 nên tana < 0, cota < 0 .
 1 1
 Do đó cota = - 2 6 . Ta lại có tana = = - .
 cota 2 6
 cosa - 2 6
 Ta có cota = suy ra cosa = cota sina = .
 sina 5
 1 2 1
b) Ta có 3sin4 a - cos4 a = Û 3sin4 a - (1- sin2 a) =
 2 2
 245 Û 6sin4 a - 2(1- 2sin2 a + sin4 a)= 1 Û 4sin4 a + 4sin2 a - 3 = 0
 Û (2sin2 a - 1)(2sin2 a + 3)= 0 Û 2sin2 a - 1 = 0 (do 2sin2 a + 3 > 0 ).
 1
 Suy ra sin2 a = .
 2
 1 1
 Ta lại có cos2 a = 1- sin2 a = 1- = .
 2 2
 æ ö2 æ ö2
 ç1÷ ç1÷ 1
 Vậy A = 2ç ÷ - ç ÷ = .
 èç2ø÷ èç2ø÷ 4
Bài 12. 
 2 tana + 3cota
 a) Cho cosa = . Tính giá trị biểu thức A = .
 3 tana + cota
 sina - cosa
 b) Cho tana = 3 . Tính giá trị biểu thức B = .
 sin3 a + 3cos3 a + 2sina
 c) Cho cota = 5 . Tính giá trị biểu thức C = sin2 a - sina cosa + cos2 a .
 Lời giải
 1
 1 + 2
 tana + 3 2 2
 a tan a + 3 a 2 4 17
a) Ta có A = tan = = cos = 1+ 2cos a = 1+ 2. = .
 1 2 1 9 9
 tana + tan a + 1
 tana cos2 a
 sina cosa
 - tana tan2 a + 1 - tan2 a + 1
 3 a 3 a ( ) ( ) 3(9 + 1)- (9 + 1) 2
b) Ta có B = cos cos = = = .
 sin3 a 3cos3 a 2sina 3 a + + a 2 a + 27 + 3 + 2.3(9 + 1) 9
 + + tan 3 2 tan (tan 1)
 cos3 a cos3 a cos3 a
 2 a - a a + 2 a æ a 2 a ö
 2 sin sin cos cos 2 ç cos cos ÷
c) Ta có C = sin a. = sin a ç1- + ÷
 sin2 a èç sina sin2 a ø÷
 1 1 6- 5
 = (1- cota + cot2 a)= (1- 5 + 5)= .
 + 2 a 2 6
 1 cot 1+ ( 5)
Bài 13. Biết sin x + cos x = m .
 a) Tìm sin xcos x và sin4 x- cos4 x . b) Chứng minh rằng m £ 2 .
 Lời giải
 2
a) Ta có (sin x + cos x) = sin2 x + 2sin xcos x + cos2 x = 1+ 2sin xcos x . (*)
 m2 - 1
 Mặt khác sin x + cos x = m nên m2 = 1+ 2sina cosa hay sina cosa = . 
 2
 Đặt A = sin4 x- cos4 x . Ta có A = (sin2 x + cos2 x)(sin2 x- cos2 x) = (sin x + cos x)(sin x- cos x) .
 2 2
 Suy ra A2 = (sin x + cos x) (sin x- cos x) = (1+ 2sin xcos x)(1- 2sin xcos x)
 æ 2 - öæ 2 - ö + 2 - 4
 ç m 1÷ç m 1÷ 3 2m m
 = ç1+ ÷ç1- ÷= .
 èç 2 ø÷èç 2 ø÷ 4
246