Tự luận Đại số Lớp 10 - Chương 4.1: Bất đẳng thức. Bất phương trình (Có đáp án)

 CHÖÔNG IV : BAÁT ÑAÚNG THÖÙC – BAÁT PHÖÔNG TRÌNH
CHUÛ ÑEÀ 01. BAÁT ÑAÚNG THÖÙC
1. Định nghĩa. Cho a, b là hai số thực. Các mệnh đề "a > b", "a < b", "a ³ b", "a £ b" được gọi là những bất đẳng thức.
 Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng (mệnh đề đúng)
 Với A, B là mệnh đề chứa biến thì " A > B" là mệnh đề chứa biến.
 Chứng minh bất đẳng thức A > B (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến " A > B" 
 đúng với tất cả các giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện đó). Khi nói ta có bất đẳng thức A > B mà không nêu 
 điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực.
2. Tính chất
 a > b và b > c Þ a > c . a > b ³ 0 Þ a > b .
 a > b Û a + c > b + c . a ³ b ³ 0 Û a2 ³ b2 .
 a > b và c > d Þ a + c > b + d . a > b ³ 0 Þ an > bn .
 Nếu c > 0 thì a > b Û ac > bc .
 Nếu c b Û ac < bc .
3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
 - a £ a £ a với mọi số thực a .
 x 0 ).
 é >
 êx a
 x > a Û ê (với a > 0 ).
 ëx < - a
4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy)
 a) Đối với hai số không âm. Cho a ³ 0, b ³ 0 , ta có bất đẳng thức
 a + b
 ³ ab .
 2
 Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi a = b .
 Hệ quả.
 Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
 Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.
 b) Đối với ba số không âm. Cho a ³ 0, b ³ 0, c ³ 0 , ta có bất đăng thức
 a + b + c
 ³ 3 abc .
 3
 Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . 
 163 VAÁN ÑEÀ 01 PHÖÔNG PHAÙP BIEÁN ÑOÅI TÖÔNG ÑÖÔNG
 Phương Pháp. Để chứng minh bất đẳng thức A ³ B ta có thể sử dụng các cách sau:
 Ta đi chứng minh A- B ³ 0 . Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích 
 A- B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.
 Xuất phát từ bất đẳng thức đúng, biến đổi tương đương về bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 1. Cho a, b là các số thực. Chứng minh rằng
 2 2 æ ö2
 a + b ça + b÷
 a) ab £ . b) ab £ ç ÷ .
 2 èç 2 ø÷
 Lời giải
 a2 + b2
a) Ta có a2 + b2 - 2ab = (a- b)2 ³ 0 . Suy ra a2 + b2 ³ 2ab hay ³ ab .
 2
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b .
 æ ö2
 ça + b÷ 2 2 2
b) Bất đẳng thức tương đương với ç ÷ - ab ³ 0 Û a + 2ab + b ³ 4ab Û (a- b) ³ 0 (đúng).
 èç 2 ø÷
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b .
Bài 2. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn a ³ b . Chứng minh rằng
 3
 a) 4(a3 - b3 )³ (a- b) . b) a3 - 3a + 4 ³ b3 - 3b .
 Lời giải
 3
a) Bất đẳng thức tương đương 4(a- b)(a2 + ab + b2 )- (a- b) ³ 0
 é 2 2 2 ù é 2 2 ù
 Û (a- b)ê4 a + ab + b - (a- b) ú³ 0 Û (a- b)ê3a + 3ab + b ú³ 0 
 ëê ( ) ûú ë û
 éæ ö2 2 ù
 êç b÷ 3b ú
 Û 3(a- b)êça + ÷ + ú³ 0 (đúng với a ³ b ).
 êèç 2ø÷ 4 ú
 ë û
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b .
b) Bất đẳng thức tương đương a3 - b3 ³ 3a- 3b- 4
 1 3 1 3
 Theo câu a) ta có a3 - b3 ³ (a- b) , do đó ta chỉ cần chứng minh (a- b) ³ 3a- 3b- 4 . (*)
 4 4
 3 é 2 ù
 Thật vậy, (*)Û (a- b) - 12(a- b)+ 16 ³ 0 Û (a- b- 2)ê(a- b) + 2(a- b)- 8ú³ 0
 ëê ûú
 2
 Û (a- b- 2) (a- b + 4)³ 0 (đúng với a ³ b ).
 Đẳng thức không xảy ra.
Bài 3. Cho a, b là các số thực. Chứng minh rằng
 2 2
 a) a4 + b4 - 4ab + 2 ³ 0 . b) 2(a4 + 1)+ (b2 + 1) ³ 2(ab + 1) .
 Lời giải
a) Bất đẳng thức tương đương (a4 + b4 - 2a2b2 )+ (2a2b2 - 4ab + 2)³ 0
164 2 2
 Û (a2 - b2 ) + 2(ab- 1) ³ 0 (đúng).
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = ± 1 .
b) Bất đẳng thức tương đương với 2(a4 + 1)+ (b4 + 2b2 + 1)- 2(a2b2 + 2ab + 1)³ 0
 Û (a4 + b4 - 2a2b2 )+ (2a2 - 4ab + 2b2 )+ (a4 - 4a2 + 1)³ 0 
 2 2 2
 Û (a2 - b2 ) + 2(a- b) + (a2 - 1) ³ 0 (đúng).
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = ± 1 .
Bài 4. 
 1 1 2
 a) Cho a, b là các số thực thỏa mãn ab ³ 1. Chứng minh rằng + ³ .
 a2 + 1 b2 + 1 1+ ab
 1 1 1
 b) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng + ³ .
 2 2
 (1+ a) (1+ b) 1+ ab
 Lời giải
 1 1 2
a) Bất đẳng thức đã cho tương đương với + - ³ 0 
 a2 + 1 b2 + 1 1+ ab
 2 2
 æ 1 1 ÷ö æ 1 1 ÷ö ab- a ab- b
 Û ç - ÷+ ç - ÷³ 0 Û + ³ 0
 ç 2 ÷ ç 2 ÷ 2 2
 èça + 1 1+ abø èçb + 1 1+ abø (a + 1)(1+ ab) (b + 1)(1+ ab)
 é ù
 æ ö 2 2
 a- b ç b a ÷ a- b êb- a + a b- b aú
 Û ç - ÷³ 0 Û .ê ú³ 0
 ç 2 2 ÷ ê 2 2 ú
 1+ ab è1+ b 1+ a ø 1+ ab ê 1+ b 1+ a ú
 ë( )( ) û
 2
 a- b (a- b)(ab- 1) (a- b) (ab- 1)
 Û ³ ³ 0 (đúng với ab ³ 1) .
 1+ ab (1+ b2 )(1+ a2 ) (1+ ab)(1+ b2 )(1+ a2 )
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1 .
 é 2 2 ù 2 2
b) Bât đẳng thức tương đương (1+ ab)ê(1+ a) + (1+ b) ú³ (1+ a) (1+ b)
 ëê ûú
 2
 Û (1+ ab)é2(1+ a + b)+ a2 + b2 ù³ é(1+ a + b)+ abù
 ëê ûú ëê ûú
 Û 1+ ab(a2 + b2 )³ 2ab + a2b2
 Û ab(a2 + b2 - 2ab)+ (a2b2 - 2ab + 1)³ 0
 2 2
 Û ab(a- b) + (ab- 1) ³ 0 (đúng với a,b > 0 ).
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 .
Bài 5. Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng
 2 2
 a) 3(a2 + b2 + c2 )³ (a + b + c) . b) (a + b + c) ³ 3(ab + bc + ca).
 Lời giải
a) Bất đẳng thức tương đương 3(a2 + b2 + c2 )³ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
 165 2 2 2
 Û (a- b) + (b- c) + (c - a) ³ 0 (đúng).
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
b) Bất đẳng thức tương đương a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ³ 3(ab + bc + ca)
 Û 2(a2 + b2 + c2 )- 2(ab + bc + ca)³ 0
 2 2 2
 Û (a- b) + (b- c) + (c - a) ³ 0 (đúng).
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
Bài 6. Chứng minh rằng
 a) a + b + c ³ ab + bc + ca với a, b, c là các số thực dương.
 b) a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2(a + b + c) với a, b, c là các số thực.
 Lời giải
a) Bất đẳng thức tương đương 2a + 2b + 2c - 2 ab - 2 bc - 2 ca ³ 0
 2 2 2
 Û ( a - b) + ( b - c) + ( c - a) ³ 0 (đúng).
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c > 0 .
b) Bất đẳng thức tương đương (a2 + 2a + 1)+ (b2 + 2b + 1)+ (b2 + 2b + 1)³ 0
 2 2 2
 Û (a- 1) + (b- 1) + (c - 1) ³ 0 (đúng).
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 .
Bài 7. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh 2(1+ a + b + c + ab + bc + ca)+ abc ³ 0 .
 Lời giải
 2 2 2 é ù
 Vì a + b + c = 1 suy ra a,b,c Î ë- 1;1û nên ta có
 (1+ a)(1+ b)(1+ c)³ 0 Û 1+ a + b + c + ab + bc + ca + abc ³ 0 . (1)
 2
 (1+ a + b + c) 1+ a2 + b2 + c2 + 2a + 2b + 2c + 2ab + 2bc + 2ca
 Mặt khác, ta có ³ 0 Û ³ 0
 2 2
 Û 1+ a + b + c + ab + bc + ca ³ 0 . (2)
 Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được điều cần chứng minh.
 ì
 ï (1+ a)(1+ b)(1+ c)= 0
 ï
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi íï 1+ a + b + c = 0 Û (a;b;c)= (- 1;- 1;1) và các hoán vị của nó.
 ï
 ï 2 2 2
 îï a + b + c = 1
Bài 8. Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b + c + d + e).
 Lời giải
 Bất đẳng thức tương đương a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e)³ 0
 æ2 ö æ2 ö æ2 ö æ2 ö
 ça 2 ÷ ça 2 ÷ ça 2 ÷ ça 2 ÷
 Û ç - ab + b ÷+ ç - ac + c ÷+ ç - ad + d ÷+ ç - ae + e ÷³ 0
 èç 4 ø÷ èç 4 ø÷ èç 4 ø÷ èç 4 ø÷
166 æ ö2 æ ö2 æ ö2 æ ö2
 ça ÷ ça ÷ ça ÷ ça ÷
 Û ç - b÷ + ç - c÷ + ç - d÷ + ç - e÷ ³ 0 (đúng).
 èç2 ø÷ èç2 ø÷ èç2 ø÷ èç2 ø÷
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e .
 VAÁN ÑEÀ 02 PHÖÔNG PHAÙP SO SAÙNH
 a a + c
Bài 9. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng nếu a > b thì > .
 b b + c
 Lời giải
 a a + c a(b + c)- b(a + c) c(a- b)
 Lập hiệu - = = .
 b b + c b(b + c) b(b + c)
 c(a- b)
 Vì a, b, c > 0 và a > b nên > 0 . Suy ra điều cần chứng minh.
 b(b + c)
Bài 10. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng
 a + b a b a b c d
 a) £ + . b) 1< + + + < 2 .
 1+ a + b 1+ a 1+ b a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b
 Lời giải
 a + b a b a b
a) Vì a, b dương nên £ + £ + .
 1+ a + b 1+ a + b 1+ a + b 1+ a 1+ b
b) Vì a, b, c, d dương nên
 a a a b b b
 < < ; < < ;
 a + b + c + d a + b + c a + c a + b + c + d b + c + d b + d
 c c c d d d
 < < ; < < .
 a + b + c + d c + d + a a + c a + b + c + d d + a + b b + d
 Cộng các bất đẳng thức vế theo vế, ta có điều cần chứng minh.
Bài 11. Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh 
 x2 + xy + y2 + y2 + yz + z2 + z2 + zx + x2 ³ (x + y + z) 3 .
 Lời giải
 æ ö2 æ ö2 æ ö2 æ ö
 2 2 çx + y÷ çx- y÷ çx + y÷ çx + y÷
 Với x, y, z ³ 0 , ta có x + xy + y = 3ç ÷ + ç ÷ ³ 3ç ÷ = ç ÷ 3 .
 èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷
 æ ö æ ö
 2 2 çy + z÷ 2 2 çz + x÷
 Tương tự, ta có y + yz + z = ç ÷ 3 và z + zx + x = ç ÷ 3 .
 èç 2 ø÷ èç 2 ø÷
 Cộng các bất dẳng thức vế theo vế, ta có điều cần chứng minh.
 ab bc ca
Bài 12. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng + + £ 1 .
 a5 + b5 + ab b5 + c5 + bc c5 + a5 + ca
 Lời giải
 Ta có a5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4 )
 167 = (a + b)éa2b2 + a3 (a- b)- b3 (a- b)ù
 ëê ûú
 é 2 2 3 3 ù
 = (a + b)êa b + (a- b) a - b ú
 ë ( )û
 é 2 ù
 = (a + b)êa2b2 + (a- b) a2 + ab + b2 ú³ (a + b)a2b2 .
 ëê ( )ûú
 ab ab 1 1 c
 Do đó £ = £ = .
 a5 + b5 + ab a2b2 (a + b)+ ab ab(a + b)+ 1 ab(a + b + c) a + b + c
 bc a ca b
 Tương tự, ta có £ ; £ .
 b5 + c5 + bc a + b + c c5 + a5 + ca a + b + c
 Cộng các bất dẳng thức vế theo vế, ta có điều cần chứng minh.
Bài 13. Chứng minh rằng x6 + x4 + x2 + 1> x5 + x3 + x , với mọi x Î ¡ .
 Lời giải
 Xét x £ 0 thì VT > 1> 0 > VP .
 Xét x ³ 1 thì VT- VP = x5 (x- 1)+ x3 (x- 1)+ x(x- 1)> 0 .
 Xét 0 0 .
 Do đó ta có điều cần chứng minh.
Bài 14. Chứng minh với mọi số nguyên dương n , ta có
 1 1 1 1 1 1
 a) + + ...+ < 1. b) + + ...+ < 2 .
 1.2 2.3 n(n+ 1) 12 22 n2
 Lời giải
 1 k + 1- k 1 1
a) Ta có = = - , với mọi k ³ 1.
 k(k + 1) k(k + 1) k k + 1
 æ ö æ ö æ ö æ ö
 1 1 1 ç1 1÷ ç1 1÷ ç1 1÷ ç1 1 ÷ 1
 Do đó + + ...+ = ç - ÷+ ç - ÷+ ç - ÷+ ...+ ç - ÷= 1- < 1 .
 1.2 2.3 n(n+ 1) èç1 2ø÷ èç2 3ø÷ èç3 4ø÷ èçn n+ 1ø÷ n+ 1
 1 1 1 1
b) Ta có < = - , với mọi k ³ 2 .
 k2 k(k - 1) k - 1 k
 1 1 1 æ1 1ö æ1 1ö æ 1 1ö 1
 + + + < + ç - ÷+ ç - ÷+ + ç - ÷= - <
 Do đó ... 1 ç ÷ ç ÷ ... ç ÷ 2 2 .
 12 22 n2 èç1 2ø÷ èç2 3ø÷ èçn- 1 nø÷ n
Bài 15. Chứng minh với mọi số nguyên dương n , ta có
 1 1 1 1 3 2n- 1 1
 a) + + ...+ £ 2 n - 1 . b) . ... £ .
 1 2 n 2 4 2n 2n
 Lời giải
 1 2 2
a) Ta có = £ = 2( k - k - 1), với k ³ 1.
 k k + k k + k - 1
 1 1 1 1 é ù
 Do đó + + ...+ £ + 2( 2 - 1)+ ...+ 2 ê n - n- 1ú= 1- 2 + 2 n = 2 n - 1 .
 1 2 n 1 ë û
 2 2
 2k - 1 (2k - 1) (2k - 1) 2k - 1
b) Ta có = £ = , với k ³ 1.
 2 2
 2k (2k) (2k) - 1 2k + 1
168 1 3 2n- 1 1 3 2n- 1 1 1
 Do đó . ... £ . ... = £ .
 2 4 2n 3 5 2n+ 1 2n+ 1 2n
Bài 16. Chứng minh với mọi số nguyên dương n , ta có 
 1 1 1 1 1 1 1 1
 a) + + ...+ ³ . b) + + ...+ < .
 n+ 1 n+ 2 2n 2 1.3 1.3.5 1.3.5...(2n+ 1) 2
 Lời giải
 1 1 1
a) Đặt S = + + ...+ .
 n n+ 1 n+ 2 2n
 1 1
 Ta có S là tổng của n số hạng, trong đó số hạng nhỏ nhất là , các số hạng khác đều lớn hơn .
 n 2n 2n
 1 1
 Do đó S ³ .n = .
 n 2n 2
 1 1 1
b) Ta có + + ...+
 1.3 1.3.5 1.3.5...(2n+ 1)
 1 1 1
 < + + ...+
 1.3 3.5 (2n- 1)(2n+ 1)
 æ ö æ ö æ ö
 1 ç1 1÷ 1 ç1 1÷ 1 ç 1 1 ÷ 1 1 1
 < ç - ÷+ ç - ÷+ ...+ ç - ÷= - < .
 2 èç1 3ø÷ 2 èç3 5ø÷ 2 èç2n- 1 2n+ 1ø÷ 2 2(2n+ 1) 2
Bài 17. Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c . Chứng minh rằng
 a) Nửa chu vi lớn hơn độ dài mỗi cạnh. b) a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
 Lời giải
a) Vì a,b,c là ba cạnh của tam giác nên a + b > c .
 a + b + c c + c
 Do đó p = > = c . Tương tự p > b và p > a .
 2 2
b) Ta có a < b + c suy ra a2 < (b + c)a Û a2 < ab + ac .
 Tương tự, ta có b2 < ab + bc và c2 < ac + bc .
 Cộng các bất dẳng thức vế theo vế, ta có điều cần chứng minh.
 VAÁN ÑEÀ 03 PHÖÔNG PHAÙP DUØNG BAÁT ÑAÚNG THÖÙC COÂSI
 Cho a , b là hai số không âm. Ta có 
 æ ö2
 a + b ça + b÷
 ³ ab hoặc ab £ ç ÷ .
 2 èç 2 ø÷
 Cho a , b , c là ba số không âm. Ta có 
 æ ö3
 a + b + c 3 ça + b + c÷
 ³ abc hoặc abc £ ç ÷ .
 3 èç 3 ø÷
 169 Bài 18. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh rằng
 æ ö2 æ ö2
 1 4 ç 1÷ ç 1÷ 25
 a) + ³ 9 . b) çx + ÷ + çy + ÷ ³ .
 x y èç xø÷ èç yø÷ 2
 Lời giải
 1 4
a) Đặt A = + , ta cần chứng minh A ³ 9 .
 x y
 æ ö æ ö
 ç1 4÷ ç1 4÷ 4x y
 Ta có A = 1.ç + ÷= (x + y)ç + ÷= 5 + + . 
 èçx yø÷ èçx yø÷ y x
 4x y 4x y 4x y
 Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số không âm và , ta có + ³ 2 . = 4 .
 y x y x y x
 4x y
 Do đó A = 5 + + ³ 5 + 4 = 9 .
 y x
 ïì 1
 ïì 4x y ï x =
 ï = ïì y = 2x ï
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi íï y x Û íï Û íï 3 .
 ï ï x + y = 1 ï 2
 ï x + y = 1 î ï y =
 îï îï 3
 æ ö2 æ ö2
 ç 1÷ ç 1÷ 25
b) Đặt B = çx + ÷ + çy + ÷ , ta cần chứng minh B ³ .
 èç xø÷ èç yø÷ 2
 æ ö2 æ ö2
 2 2 ç1÷ ç1÷
 Ta có B = 4 + x + y + ç ÷ + ç ÷ .
 èçxø÷ èçyø÷
 x + y 1 1
 Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương x và y , ta có ³ xy Û ³ xy Û ³ xy .
 2 2 4
 2 1 1 1 1 1 2
 Khi đó x2 + y2 = (x + y) – 2xy ³ 1- = (1) và + ³ 2 = ³ 8 (2).
 2 2 x2 y2 x2 y2 xy
 Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.
 1
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = .
 2
Bài 19. Cho a, b là số thực dương thỏa mãn a2 + b2 = 2 . Chứng minh rằng
 æa böæa b ö 5
 ç + ÷ç + ÷³ + ³ + 2 + 2
 a) ç ÷ç ÷ 4 . b) (a b) 16ab (1 a )(1 b ) . 
 èçb aø÷èçb2 a2 ø÷
 Lời giải
a) Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có
 a b a b a b a b 2
 + ³ 2 . = 2 , + ³ 2 . = .
 b a b a b2 a2 b2 a2 ab
 æa böæa b ö 4
 ç + ÷ç + ÷³
 Suy ra ç ÷ç ÷ . (1)
 èçb aø÷èçb2 a2 ø÷ ab
 Mặt khác, ta có 2 = a2 + b2 ³ 2 a2b2 = 2ab . Suy ra ab £ 1. (2)
170 æa böæa b ö
 ç + ÷ç + ÷³
 Từ (1) và (2), suy ra ç ÷ç ÷ 4 .
 èçb aø÷èçb2 a2 ø÷
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 .
 5
b) Ta có (a + b) = (a2 + 2ab + b2 )(a3 + 3ab2 + 3a2b + b3 ).
 Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có 
 a2 + 2ab + b2 ³ 2 2ab(a2 + b2 ) = 4 ab ;
 (a3 + 3ab2 )+ (3a2b + b3 )³ 2 (a3 + 3ab2 )(3a2b + b3 ) = 4 ab(1+ b2 )(a2 + 1)
 Suy ra (a2 + 2ab + b2 )(a3 + 3ab2 + 3a2b + b3 )³ 16ab (a2 + 1)(b2 + 1) .
 5
 Do đó (a + b) ³ 16ab (1+ a2 )(1+ b2 ) .
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 .
Bài 20. 
 1 1 1
 a) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn + = . Chứng minh rằng x + y ³ 4 .
 x y 2
 b) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x2 + y2 = 1 . Chứng minh rằng x 1+ y + y 1+ x £ 2 + 2 .
 Lời giải
 æ ö
 1 ç1 1÷ 1 1 1 1
a) Áp dụng bất đẳng thức CôSi , ta có ç + ÷³ . hay ³ suy ra xy ³ 4 .
 2 èçx yø÷ x y 4 xy
 Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức CôSi , ta có x + y ³ 2 xy ³ 2 4 = 4 .
 ì
 ï x = y
 ï
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi í 1 1 1 Û x = y = 4 .
 ï + =
 îï x y 2
b) Đặt B = x 1+ y + y 1+ x , ta cần chứng minh B £ 2 + 2 .
 Áp dụng bất đẳng thức CôSi , ta có
 (2 + 2)x2 + (y + 1)³ 2 2 + 2 . x . y + 1 ³ 2 2 + 2 .x y + 1 ; (1)
 (2 + 2)y2 + (x + 1)³ 2 2 + 2 . y . x + 1 ³ 2 2 + 2 .y x + 1 ; (2)
 1 æ 1ö 1 1
 ç 2 + ÷³ ³
 çx ÷ .2 x . x ; (3)
 2 èç 2ø÷ 2 2
 1 æ 1ö 1 1
 ç 2 + ÷³ ³
 çy ÷ .2 y . y . (4)
 2 èç 2ø÷ 2 2
 æ ö
 ç 1 ÷ 2 2 1
 Cộng từng vế của (1), (2), (3) và (4), ta được ç2 + 2 + ÷(x + y )+ 2 + ³ 2 2 + 2 .B .
 èç 2 ø÷ 2
 Suy ra 2(2 + 2)³ 2 2 + 2 .B hay B £ 2 + 2 .
 171 ì
 ï 2 + 2 x2 = y + 1; 2 + 2 y2 = x + 1
 ï ( ) ( ) 1
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi íï Û x = y = .
 ï 2 2 1
 ï x = y = 2
 îï 2
Bài 21.
 8
 a) Cho a, b là các số thực thuộc đoạn é0;1ù. Chứng minh rằng (1 – a)(1 – b)(a + b)£ .
 ë û 27
 æ ö3 æ ö3
 ç 1÷ ç 1÷ 343
 b) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b = 4 . Chứng minh rằng ç1+ a + ÷ + ç1+ b + ÷ ³ .
 èç aø÷ èç bø÷ 4
 Lời giải
 é ù
a) Do a, b Î ë0; 1û nên 1- a ³ 0; 1- b ³ 0; a + b ³ 0 .
 Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho ba số không âm, ta có
 æ ö3
 ç1- a + 1- b + a + b÷ 8
 (1- a)(1- b)(a + b)£ ç ÷ Û (1- a)(1- b)(a + b) £ .
 èç 3 ø÷ 27
 ïì 1- a = 1- b 1
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi íï Û a = b = .
 îï 1- b = a + b 3
 æ ö3 æ ö3
 ç 1÷ ç 1÷ 343
b) Đặt B = ç1+ a + ÷ + ç1+ b + ÷ , ta cần chứng minh B ³ .
 èç aø÷ èç bø÷ 4
 Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho ba số dương, ta có
 æ ö3 æ ö3 æ ö3 æ ö
 ç 1÷ ç7÷ ç7÷ 7 7 ç 1÷
 ç1+ a + ÷ + ç ÷ + ç ÷ ³ 3 . ç1+ a + ÷; (1)
 èç aø÷ èç2ø÷ èç2ø÷ 2 2 èç aø÷
 æ ö3 æ ö3 æ ö3 æ ö
 ç 1÷ ç7÷ ç7÷ 7 7 ç 1÷
 ç1+ b + ÷ + ç ÷ + ç ÷ ³ 3 . ç1+ b + ÷. (2)
 èç bø÷ èç2ø÷ èç2ø÷ 2 2 èç bø÷
 æ ö3 æ ö3 3 æ ö2 æ ö
 ç 1÷ ç 1÷ 7 ç7÷ ç 1 1÷
 Cộng từng vế của (1) và (2), ta có ç1+ a + ÷ + ç1+ b + ÷ + ³ 3ç ÷ .ç2 + a + b + + ÷.
 èç aø÷ èç bø÷ 2 èç2ø÷ èç a bø÷
 1 1 4
 Lại có bất đẳng thức + ³ .
 a b a + b
 æ ö3 æ ö3 3 æ ö2 æ ö
 ç 1÷ ç 1÷ 7 ç7÷ ç 4 ÷
 Suy ra ç1+ a + ÷ + ç1+ b + ÷ + ³ 3ç ÷ .ç2 + a + b + ÷.
 èç aø÷ èç bø÷ 2 èç2ø÷ èç a + bø÷
 3 æ ö2 æ ö
 7 ç7÷ ç 4÷ 343
 Mà theo giả thiết a + b = 4 nên B+ ³ 3ç ÷ .ç2 + 4 + ÷Û B ³ .
 2 èç2ø÷ èç 4ø÷ 4
 ì
 ï 1 7 1 7
 ï 1+ a + = ;1+ b + =
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi í a 2 b 2 Û a = b = 2 .
 ï
 îï a = b; a + b = 4
Bài 22.
 a) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn x + y = (x- y) xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y .
 b) Cho x, y, z là hai số thực dương thỏa mãn 2 xy + xz = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 3yz 4xz 5xy
 P = + + .
 x y z
172