Tự luận Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình. Hệ phương trình (Có đáp án)

 CHÖÔNG III : PHÖÔNG TRÌNH – HEÄ PHÖÔNG TRÌNH
CHUÛ ÑEÀ 01. ÑAÏI CÖÔNG VEÀ PHÖÔNG TRÌNH
1. Định nghĩa. Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là D f và Dg . Đặt D = D f ÇDg .
 Mệnh đề chứa biến " f (x)= g(x)" được gọi là phương trình một ẩn ; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D 
 gọi là tập xác định của phương trình.
 x0 Î D gọi là một nghiệm của phương trình f (x)= g(x) nếu " f (x0 )= g(x0 )" là mệnh đề đúng.
 Chú ý: Các nghiệm của phương trình f (x)= g(x) là các hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f (x) và 
 y = g(x).
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
 a) Phương trình tương đương. Hai phương trình f1 (x)= g1 (x) và f2 (x)= g2 (x) được gọi là tương đương 
 nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu là f1 (x)= g1 (x)Û f2 (x)= g2 (x).
 Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.
 b) Phương trình hệ quả. Phương trình f2 (x)= g2 (x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình 
 f1 (x)= g1 (x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f1 (x)= g1 (x).
 Kí hiệu là f1 (x)= g1 (x)Þ f2 (x)= g2 (x).
 c) Các định lý
 Định lý 1. Cho phương trình f (x)= g(x) có tập xác định D ; y = h(x) là hàm số xác định trên D . Khi đó 
 trên D , phương trình đã cho tương đương với phương trình sau 
 1) f (x)+ h(x)= g(x)+ h(x).
 2) f (x).h(x)= g(x).h(x) nếu h(x)¹ 0 với mọi x Î D .
 Định lý 2. Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình 
 đã cho, tức là f (x)= g(x)Þ f 2 (x)= g2 (x).
 TÌM ÑIEÀU KIEÄN XAÙC ÑÒNH CUÛA PHÖÔNG TRÌNH
 VAÁN ÑEÀ 01
 ROÀI SUY RA TAÄP NGHIEÄM CUÛA NOÙ
 Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f (x), g(x) cùng được xác định và các 
điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)
104 Bài 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó
 a) 4x + 4x- 3 = 2 3- 4x + 3 . b) - x2 + 6x- 9 + x3 = 27 .
 2
 c) x + x- 2 = - 3- x . d) (x- 3) (5- 3x)+ 2x = 3x- 5 + 4 .
 Lời giải
 ïì 3
 ï x ³
 ïì 4x- 3 ³ 0 ï 3
a) Điều kiện xác định của phương trình làíï Û íï 4 Û x = .
 ï 3- 4x ³ 0 ï 3 4
 îï ï x £
 îï 4
 3
 Thử lại ta thấy x = thỏa mãn phương trình.
 4
 3
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = .
 4
 2
b) Điều kiện xác định của phương trình là - x2 + 6x- 9 ³ 0 Û - (x- 3) ³ 0 Û x = 3 .
 Thử lại ta thấy x = 3 thỏa mãn phương trình.
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3 .
 ïì x ³ 0 ïì x ³ 0
 ï ï
c) Điều kiện xác định của phương trình là íï x- 2 ³ 0 Û íï x ³ 2 : không có giá trị nào của x thỏa mãn.
 ï ï
 îï - 3- x ³ 0 îï x £ - 3
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
 ïì 2
 ï (x- 3) (5- 3x)³ 0
d) Điều kiện xác định của phương trình là íï . (*)
 ï
 îï 3x- 5 ³ 0
 Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (*).
 ïì 5
 ï x £
 ïì 5- 3x ³ 0 ï 5
 Nếu x ¹ 3 thì (*)Û íï Û íï 3 Û x = .
 ï 3x- 5 ³ 0 ï 5 3
 îï ï x ³
 îï 3
 5
 Do đó điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x = .
 3
 5
 Thay x = 3 và x = vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn.
 3
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3 .
Bài 2. Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó
 a) x + x- 1 = 1- x . b) - x2 + x- 1 + x = 1 .
 c) 2x + x- 2 = 2- x + 2 . d) x3 - 4x2 + 5x- 2 + x = 2- x .
 Lời giải
 ïì x- 1³ 0 ïì x ³ 1
a) Điều kiện íï Û íï Û x = 1 .
 îï 1- x ³ 0 îï x £ 1
 Thử lại x = 1 thì phương trình không thỏa mãn phương trình.
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
 105 æ ö2
 2 ç 1÷ 3
b) Điều kiện: - x + x- 1³ 0 Û - çx- ÷ - ³ 0 : vô nghiệm.
 èç 2ø÷ 4
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
 ïì x ³ 0
 ï
c) Điều kiện: íï x- 2 ³ 0 Û x = 2 .
 ï
 îï 2- x ³ 0
 Thử lại phương trình thấy x = 2 thỏa mãn.
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 .
 ì 3 2 ïì 2
 ï x - 4x + 5x- 2 ³ 0 ï (x- 1) (x- 2)³ 0 éx = 1
d) Điều kiện: í Û íï Û ê .
 ï - ³ ï êx = 2
 îï 2 x 0 îï x £ 2 ë
 Thay x = 1 và x = 2 vào phương trình thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn.
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1 .
 GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP
 VAÁN ÑEÀ 02
 BIEÁN ÑOÅI TÖÔNG ÑÖÔNG VAØ HEÄ QUAÛ
 Phương pháp. Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với 
 phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng
 Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta 
 thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.
 Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của 
 phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
 Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
 Bình phương hai vế của phương trình (hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương 
 với phương trình đã cho.
Bài 3. Giải các phương trình sau
 x 2
 a) x + x- 1 = 2 + x- 1 . b) = .
 2 x- 5 x- 5
 Lời giải
a) Điều kiện x ³ 1 thì phương trình tương đương với x = 2 : thỏa mãn.
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 .
 x
b) Điều kiện x > 5 thì phương trình tương đương = 2 Û x = 4 : không thỏa mãn.
 2
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 4. Giải các phương trình sau
 1 2x- 1 1 2x- 3
 a) x + = . b) x + = .
 x- 1 x- 1 x- 2 x- 2
 c) (x2 - 3x + 2) x- 3 = 0 . d) (x2 - x- 2) x + 1 = 0 .
 Lời giải
a) Điều kiện: x ¹ 1 .
106 Với điều kiện trên phương trình tương đương x2 - x + 1 = 2x- 1 Û x = 1 hoặc x = 2 .
 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = 2 .
b) Điều kiện: x ¹ 2 .
 Với điều kiện trên phương trình tương đương x2 - 2x + 1 = 2x- 3 Û x = 2 : không thỏa mãn.
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Điều kiện: x ³ 3 .
 Ta có x = 3 là một nghiệm.
 Nếu x > 3 thì x- 3 > 0 . Do đó phương trình tuong đương
 (x2 - 3x + 2) x- 3 = 0 Û x2 - 3x + 2 = 0 Û x = 1 hoặc x = 2 .
 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = 3 .
d) Điều kiện: x ³ - 1.
 Ta có x = - 1 là một nghiệm.
 Nếu x > - 1 thì x + 1 > 0 . Do đó phương trình tương đương
 x2 - x- 2 = 0 Û x = - 1 hoặc x = 2 .
 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = - 1 , x = 2 .
Bài 5. Giải các phương trình sau
 3x2 - x- 2 4 x2 + 3
 a) = 3x- 2 . b) 2x + 3 + = .
 3x- 2 x- 1 x- 1
 Lời giải
 2
a) Điều kiện: x > .
 3
 éx = 0
 2 2 ê
 Với điều kiện trên phương trình tuong đương Û 3x - x- 2 = 3x- 2 Û 3x - 4x = 0 Û ê 4 .
 êx =
 ëê 3
 4
 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = .
 3
b) Điều kiện: x ¹ 1 .
 é =
 2 2 êx 1
 Với điều kiện trên phương trình tương đương Û (2x + 3)(x- 1)+ 4 = x + 3 Û x + x- 2 = 0 Û ê .
 ëx = - 2
 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = - 2 .
Bài 6. Giải các phương trình sau
 a) x- 3 = 9- 2x . b) x- 1 = x- 3 .
 c) 2 x- 1 = x + 2 . d) x- 2 = 2x- 1.
 Lời giải
a) Ta có x- 3 = 9- 2x Þ x- 3 = 9- 2x Û x = 4 .
 Thử lại thấy x = 4 nghiệm đúng. Vậy phương trình có nghiệm x = 4 .
 2
b) Ta có x- 1 = x- 3 Þ x- 1 = (x- 3) Û x2 - 7x + 10 = 0 Û x = 2 hoặc x = 5 .
 Thử lại, x = 2 không thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm x = 5 .
 2 2
c) Ta có 2 x- 1 = x + 2 Þ 4(x- 1) = (x + 2) Û 3x2 - 12x = 0 Û x = 0 hoặc x = 4 .
 Thử lại, cả hai đều nghiệm đúng. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 4 .
 107 2 2
d) Ta có x- 2 = 2x- 1 Þ (x- 2) = (2x- 1) Û 3x2 = 3 Û x = ± 1 .
 Thử lại chỉ có x = 1 nghiệm đúng. Vậy phương trình có nghiệm x = 1 .
Bài 7. Giải các phương trình sau
 1 5 x2 1
 a) 1+ = . b) = - x- 2 .
 x- 3 x2 - x- 6 x- 2 x- 2
 c) x + 3(x4 - 3x2 + 2)= 0 . d) x - 1(x2 - x- 2)= 0 .
 Lời giải
 ì
 ï x ¹ 3 ïì x ¹ 3
a) Điều kiện: í Û íï .
 ï 2 ï
 îï x - x- 6 ¹ 0 îï x ¹ - 2
 Với điều kiện trên phương trình tương đương 
 1 5
 1+ = Û (x- 3)(x + 2)+ x + 2 = 5 Û x2 = 9 Û x = ± 3 .
 x- 3 (x- 3)(x + 2)
 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = - 3 .
b) Điều kiện: x > 2 .
 - 1± 13
 Với điều kiện trên phương trình tương đương x2 = 1- (x- 2)Û x2 + x- 3 = 0 Û x = .
 2
 Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Điều kiện: x ³ - 3 .
 Với điều kiện trên phương trình tương đương 
 é = - é
 é ê x 3 x = - 3
 é x + 3 = 0 x = - 3 ê
 ê ê ê 2 ê = ±
 ê Û ê 2 2 Û êx - 1 = 0 Û êx 1 .
 êx4 - 3x2 + 2 = 0 ê(x - 1)(x - 2)= 0 ê ê
 ë ë ê 2 = ±
 ëx - 2 = 0 ëêx 2
 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = - 3, x = ± 1, x = ± 2 .
 ì
 ï x ³ 0 ïì x ³ 0
d) Điều kiện: í Û íï Û x ³ 1 .
 ï ï
 îï x - 1³ 0 îï x ³ 1
 é =
 é êx 1
 ê x - 1 = 0 ê
 Với điều kiện trên phương trình tương đương với ê Û êx = - 1.
 êx2 - x- 2 = 0 ê
 ë ëêx = 2
 Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm của phương trình là x = 1 , x = 2 .
Bài 8. Giải các phương trình sau
 a) 2x- 3 = 4x2 - 15 . b) x2 - 3x + 4 = 8- 3x .
 c) 2x + 1 = x- 2 . d) 2x + 1 = x- 1 .
 Lời giải
 ì
 ï 2x- 3 ³ 0
a) Điều kiện: í .
 ï 2
 îï 4x - 15 ³ 0
 Với điều kiện trên phương trình tương đương 
108 2 2
 æ 2 ö 2 2 3
 ( 2x- 3) = ç 4x - 15÷ Û 2x- 3 = 4x - 15 Û 4x - 2x- 12 = 0 Û x = - hoặc x = 2 .
 èç ø÷ 2
 Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm của phương trình là x = 2 .
 æ ö2
 2 ç 3÷ 7
b) Điều kiện: x - 3x + 4 ³ 0 Û çx- ÷ + ³ 0 : luôn đúng với mọi x .
 èç 2ø÷ 4
 Bình phương hai vế của phương trình ta được
 2 45 ± 105
 x2 - 3x + 4 = (8- 3x) Û x2 - 3x + 4 = 9x2 - 48x + 64 Û 8x2 - 45x + 60 = 0 Û x = .
 16
 45- 105
 Thay vào phương trình ta thấy chỉ có x = và đó là nghiệm duy nhất của phương trình.
 16
 2 2
c) Phương trình tương đương với (2x + 1) = ( x- 2 )
 1
 Û 4x2 + 4x + 1 = x2 - 4x + 4 Û 3x2 + 8x- 3 = 0 Û x = - 3 hoặc x = .
 3
 1
 Vậy phương trình có hai nghiệm là x = - 3 , x = .
 3
 2 2
d) Ta có 2x + 1 = x- 1 Þ (2x + 1) = (x- 1)
 Û 4x2 + 4x + 1 = x2 - 2x + 1 Û 3x2 + 6x = 0 Û x = - 2 hoặc x = 0 .
 Thử vào phương trình ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.
 Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 9. Tìm m để các cặp phương trình sau tương đương
 a) mx2 - 2(m- 1)x + m- 2 = 0 (1) và (m- 2)x2 - 3x + m2 - 15 = 0 . (2)
 b) 2x2 + mx- 2 = 0 (3) và 2x3 + (m + 4)x2 + 2(m- 1)x- 4 = 0 . (4)
 Lời giải
a) Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương.
 é x = 1
 Û - - + = Û ê
 Ta có (1) (x 1)(mx m 2) 0 ê .
 ëmx- m + 2 = 0
 Do hai phương trình tương đương nên x = 1 cũng là nghiệm của phương trình (2). Thay x = 1 vào (2), ta được 
 (m- 2)- 3 + m2 - 15 = 0 Û m2 + m- 20 = 0 Û m = - 5 hoặc m = 4 .
 7
 Với m = - 5 . Phương trình (1) trở thành - 5x2 + 12x- 7 = 0 Û x = hoặc x = 1 .
 5
 10
 Phương trình (2) trở thành - 7x2 - 3x + 10 = 0 Û x = - hoặc x = 1 .
 7
 Suy ra hai phương trình không tương đương
 1
 Với m = 4 . Phương trình (1) trở thành 4x2 - 6x + 2 = 0 Û x = hoặc x = 1 .
 2
 1
 Phương trình (2) trở thành 2x2 - 3x + 1 = 0 Û x = hoặc x = 1 .
 2
 Suy ra hai phương trình tương đương.
 Vậy m = 4 thì hai phương trình tương đương.
b) Giả sử hai phương trình (3) và (4) tương đương.
 109 éx = - 2
 Û + 2 + - = Û ê
 Ta có (4) (x 2)(2x mx 2) 0 ê 2 .
 ëê2x + mx- 2 = 0
 Do hai phương trình tương đương nên x = - 2 cũng là nghiệm của phương trình (3). Thay x = - 2 vào (3), ta được
 2
 2(- 2) + m(- 2)- 2 = 0 Û m = 3 .
 1
 Với m = 3 . Phương trình (3) trở thành 2x2 + 3x- 2 = 0 Û x = - 2 hoặc x =
 2
 2 1
 Phương trình (4) trở thành 2x3 + 7x2 + 4x- 4 = 0 Û (x + 2) (2x + 1)= 0 Û x = - 2 hoặc x = .
 2
 Suy ra hai phương trình tương đương.
 Vậy m = 3 thì hai phương trình tương đương.
CHUÛ ÑEÀ 02. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT
1. Định nghĩa. Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 với a, b là số thực và a ¹ 0 . 
2. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 (1).
 Nếu a = 0 : Phương trình (1) trở thành 0x + b = 0 . 
 Với b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ .
 Với b ¹ 0 phương trình vô nghiệm.
 b b
 Nếu a ¹ 0 : Phương trình (1)Û x = - . Do đó phương trình (1)có nghiệm duy nhất x = - . 
 a a
 é a ¹ 0 ïì a = 0
 + = Û ê Û ï Û ¹
 Lưu ý: Phương trình ax b 0 có nghiệm ê ; vô nghiệm í ; ó nghiệm duy nhất a 0 .
 ëa = b = 0 îï b ¹ 0
Bài 1. Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số.
 2
 a) m(mx- 1)= 9x + 3 . b) (m + 1) x = (3m + 7)x + 2 + m .
 Lời giải
a) Phương trình tương đương với (m2 - 9)x = m + 3 .
 Nếu m2 - 9 = 0 Û m = ± 3 :
 Khi m = 3 thì phương trình trở thành 0x = 6 : vô nghiệm.
 Khi m = - 3 thì phương trình trở thành 0x = 0 : phương trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ . 
 m + 3 1
 Nếu m2 - 9 ¹ 0 Û m ¹ ± 3 thì phương trình tương đương với x = = .
 m2 - 9 m- 3
 Kết luận: m = 3 : Phương trình vô nghiệm.
 m = - 3 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ . 
 1
 m ¹ ± 3 : Phương trình có nghiệm x = .
 m- 3
b) Phương trình tương đương với é(m + 1)2 - 3m- 7ùx = 2 + m Û m2 - m- 6 x = 2 + m .
 ëê ûú ( )
 Nếu m2 - m- 6 = 0 Û m = - 2 hoặc m = 3 :
 Khi m = 3 thì phương trình trở thành 0x = 5 : vô nghiệm.
 Khi m = - 2 thì phương trình trở thành 0x = 0 : phương trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ .
110 ïì m ¹ 3 1
 Nếu m2 - m- 6 ¹ 0 Û íï thì phương trình tương đương với x = .
 îï m ¹ - 2 m- 3
 Kết luận: m = 3 : Phương trình vô nghiệm
 m = - 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ 
 1
 m ¹ 3 và m ¹ - 2 : Phương trình có nghiệm x = .
 m- 3
Bài 2. Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số
 a) (2m- 4)x + 2- m = 0 . b) (m + 1)x = (3m2 - 1)x + m- 1 .
 Lời giải
a) Phương trình tương đương với (2m- 4)x = m- 2 .
 Nếu 2m- 4 = 0 Û m = 2 thì phương trình trở thành 0x = 0 : phương trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ .
 Nếu 2m- 4 ¹ 0 Û m ¹ 2 thì phương trình tương đương với x = - 1 .
 Kết luận: m = 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ .
 m ¹ 2 : Phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1 .
b) Phương trình tương đương với (3m2 - m- 2)x = 1- m .
 2
 Nếu 3m2 - m- 2 = 0 Û m = 1 hoặc m = - :
 3
 Khi m = 1 thì phương trình trở thành 0x = 0 : phương trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ .
 2 5
 Khi m = - thì phương trình trở thành 0x = : vô nghiệm.
 3 3
 ì
 ï m ¹ 1
 2 ï 1- m - 1
 Nếu 3m - m- 2 ¹ 0 Û í 2 thì phương trình tương đương x = = .
 ï m ¹ - 3m2 - m- 2 3m + 2
 îï 3
 2
 Kết luận: m = - : Phương trình vô nghiệm.
 3
 m = 1 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ . 
 2 - 1
 m = - và m = 1 : Phương trình có nghiệm x = .
 3 3m + 2
Bài 3. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
 a) (m2 - m)x = 2x + m2 - 1. b) m(4mx- 3m + 2)= x(m + 1). 
 Lời giải
a) Phương trình tương đương (m2 - m)x = 2x + m2 - 1 Û (m2 - m- 2)x = m2 - 1.
 ïì m ¹ - 1
 Để phương trình có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0 hay m2 - m- 2 ¹ 0 Û íï .
 îï m ¹ 2
 Vậy với m ¹ - 1 và m ¹ 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Phương trình m(4mx- 3m + 2)= x(m + 1) Û (4m2 - m- 1)x = 3m2 - 2m .
 1± 17
 Để phương trình có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0 hay 4m2 - m- 1 ¹ 0 Û m ¹ .
 8
 1± 17
 Vậy với m ¹ thì phương trình có nghiệm duy nhất.
 8
 111 Bài 4. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm
 a) (m2 - m)x = 2x + m2 - 1. b) m2 (x- m)= x- 3m + 2 .
 Lời giải
a) Phương trình tương đương (m2 - m)x = 2x + m2 - 1 Û (m2 - m- 2)x = m2 - 1.
 ì 2
 ïì a = 0 ï m - m- 2 = 0
 Để phương trình vô nghiệm Û íï hay íï Û m = 2 .
 ï b ¹ 0 ï 2
 îï îï m - 1 ¹ 0
 Vậy với m = 2 thì phương trình vô nghiệm.
b) Phương trình tương đương Û (m2 - 1)x = m3 - 3m + 2 .
 ì 2
 ïì a = 0 ï m - 1 = 0
 Để phương trình vô nghiệm Û íï hay íï Û m = - 1 . 
 ï b ¹ 0 ï 3
 îï îï m - 3m + 2 ¹ 0
 Vậy với m = - 1 thì phương trình vô nghiệm.
Bài 5. Tìm m để đồ thị hai hàm số sau không cắt nhau 
 y = (m + 1)x2 + 3m2x + m và y = (m + 1)x2 + 12x + 2 .
 Lời giải
 Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình 
 (m + 1)x2 + 3m2x + m = (m + 1)x2 + 12x + 2 vô nghiệm
 Û 3(m2 - 4)x = 2- m vô nghiệm 
 ì 2
 ï m - 4 = 0 ïì m = ± 2
 Û í Û íï Û m = - 2 . 
 ï ï
 îï 2- m ¹ 0 îï m ¹ 2
 Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.
Bài 6. Giải và biện luận phương trình sau với a, b là tham số
 a) a2 (x- a)= b2 (x- b). b) b(ax- b + 2)= 2(ax + 1).
 Lời giải
a) Phương trình tương đương a2 (x- a)= b2 (x- b)Û (a2 - b2 )x = a3 - b3 .
 Nếu a2 - b2 = 0 Û a = ± b : 
 Khi a = b thì phương trình trở thành 0x = 0 : phương trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ . 
 Khi a = - b và b ¹ 0 thì phương trình trở thành 0x = - 2b3 : vô nghiệm.
 (Trường hợp a = - b, b = 0 suy ra a = b = 0 thì rơi vào trường hợp a = b )
 a3 - b3 a2 + ab + b2
 Nếu a2 - b2 ¹ 0 Û a ¹ ± b thì phương trình tương đương với x = = . 
 a2 - b2 a + b
 Kết luận: a = b : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ 
 a = - b và b ¹ 0 : Phương trình vô nghiệm.
 a2 + ab + b2
 a ¹ ± b : Phương trình có nghiệm là x = .
 a + b
b) Phương trình tương đương b(ax- b + 2)= 2(ax + 1)Û a(b- 2)x = b2 - 2b + 2 .
112 éa = 0
 - = Û ê
 Nếu a(b 2) 0 ê : 
 ëb = 2
 Khi a = 0 thì phương trình trở thành 0x = b2 - 2b + 2 : vô nghiệm.
 2
 (do b2 - 2b + 2 = (b- 1) + 1 ¹ 0 )
 Khi b = 2 thì phương trình trở thành 0x = 2 : vô nghiệm.
 ïì a ¹ 0 b2 - 2b + 2
 Nếu a(b- 2)¹ 0 Û íï thì phương trình tương đương với x = .
 îï b ¹ 2 a(b- 2)
 Kết luận: a = 0 hoặc b = 2 : Phương trình vô nghiệm.
 b2 - 2b + 2
 a ¹ 0 và b ¹ 2 : Phương trình có nghiệm là x = .
 a(b- 2)
Bài 7. Giải và biện luận các phương trình sau
 2
 2 2 +
 x + a- b x + b- a b - a ax- 1 2 a(x 1)
 a) - = . b) + = .
 a b ab x- 1 x + 1 x2 - 1
 Lời giải
 ïì a ¹ 0
a) Điều kiện: íï .
 îï b ¹ 0
 Với điều kiện trên phương trình tương đương b(x + a- b)- a(x + b- a)= b2 - a2
 Û bx + ab- b2 - ax- ab + a2 = b2 - a2 Û (b- a)x = 2(b- a)(b + a).
 Nếu b – a = 0 Û b = a thì phương trình trở thành 0x = 0 : phương trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ .
 Nếu b- a ¹ 0 Û b ¹ a thì phương trình tương đương với x = 2(b + a).
 Kết luận: a = b : Phương trình có vô số nghiệm.
 a ¹ b : Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
b) Điều kiện: x ¹ ± 1 .
 Với điều kiện trên phương trình tương đương (ax- 1)(x + 1)+ 2(x- 1)= a(x2 + 1)
 Û ax2 + ax- x- 1+ 2x- 2 = ax2 + a Û (a + 1)x = a + 3 .
 Nếu a + 1 = 0 Û a = - 1 thì phương trình trở thành 0x = 2 : vô nghiệm.
 a + 3
 Nếu a + 1 ¹ 0 Û a ¹ - 1 thì phương trình tương đương với x = .
 a + 1
 a + 3
 Kết luận: a ¹ - 1 và a ¹ - 2 : Phương trình có nghiệm duy nhất x = .
 a + 1
 a = - 1 hoặc a = - 2 : Phương trình vô nghiệm.
 113