Tự luận Đại số Lớp 10 - Chương 2.2: Hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai (Có đáp án)

 CHUÛ ÑEÀ 02. HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT
1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ¹ 0).
 Tập xác định: D = ¡ .
 Sự biến thiên:
 + Khi a > 0 , hàm số đồng biến trên ¡ .
 + Khi a < 0 , hàm số nghịch biến trên ¡ .
 Đồ thị có tính chất:
 + Là đường thẳng có hệ số góc bằng a .
 æ ö
 ç b ÷
 + Cắt Ox tại Aç- ;0÷ và cắt Oy tại B(0;b).
 èç a ø÷
 Chú ý: Cho hai đường thẳng d : y = ax + b và d' : y = a' x + b' .
 ïì a = a'
 + d song song với d' khi và chỉ khi íï .
 îï b ¹ b'
 ïì a = a'
 + d trùng với d' khi và chỉ khi íï .
 îï b = b'
 + d cắt với d' khi và chỉ khi a ¹ a' .
3. Hàm số hằng y = b . Đường thẳng y = b là đường thẳng song song hoặc trùng trục Ox và cắt Oy tại điểm có tọa 
 độ (0;b).
Bài 1. Cho hàm số y = 2x- 1 .
 a) Vẽ đồ thị hàm số.
 1
Bài 2. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số y = 2x và y = - x .
 2
Có nhận xét gì về đồ thị của hai hàm số này ?
Bài 3. Vẽ đồ thị của các hàm số sau
 3x- 2 3- x
 a) y = . b) y = .
 6 2
Bài 6. Với giá trị nào của m thì hàm số 
 a) y = (2m + 3)x- m + 1 đồng biến. b) y = m(x + 2)- x(2m + 1) nghịch biến.
Bài 8. Cho hàm số bậc nhất y = ax + b . Tìm a và b , biết rằng
 a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;- 1) và có hệ số góc bằng - 2 .
 b) Đồ thị hàm số đi qua điểm M(1; 4) và song song với đường thẳng y = 2x + 1 .
 c) Đồ thị hàm số đi qua điểm N(4;- 1) và vuông góc với đường thẳng 4x- y + 1 = 0 .
 Lời giải
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;- 1) nên - 1 = a.2 + b . (1)
 Hơn nữa, đồ thị hàm số có hệ số góc bằng - 2 nên a = - 2 . (2)
 ïì - 1 = a.2 + b ïì a = - 2
 Từ (1) và (2), ta có hệ íï Û íï .
 îï a = - 2 îï b = 3
72 ïì a = - 2
 Vậy íï hay y = - 2x + 3 .
 îï b = 3
b) Đồ thị hàm số đi qua điểm M(1; 4) nên 4 = a.1+ b . (1)
 Hơn nữa, đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x + 1 nên a = 2 . (2)
 ïì 4 = a.1+ b ïì a = 2
 Từ (1) và (2), ta có hệ íï Û íï .
 îï a = 2 îï b = 2
 ïì a = 2
 Vậy íï hay y = 2x + 2 .
 îï b = 2
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm N(4;- 1) nên - 1 = a.4 + b . (1)
 Hơn nữa, đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng 4x- y + 1 = 0 hay y = 4x + 1 nên suy ra 4.a = - 1. (2)
 ì
 ì ï 1
 ï - 1 = a.4 + b ï a = -
 Từ (1) và (2), ta có hệ í Û í 4 .
 îï 4a = - 1 ï
 îï b = 0
 ïì 1
 ï a = - 1
 Vậy í 4 hay y = - x .
 ï 4
 îï b = 0
Bài 9. Cho hàm số bậc nhất y = ax + b . Tìm a và b , biết rằng
 a) Đồ thị hàm số đi qua M(- 1;1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 5.
 2
 b) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = x ; đi qua giao điểm của hai đường thẳng y = 2x + 1 và 
 3
 y = 3x- 2 .
 c) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 2x + 5 tại điểm có hoành độ bằng - 2 và cắt đường thẳng y = –3x + 4 tại 
 điểm có tung độ bằng - 2 .
 d) Đồ thị hàm số đi qua điểm E(2;- 1) và song song với đường thẳng ON với O là gốc tọa độ và N(1; 3).
 Lời giải
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M(- 1;1) nên 1 = a.(- 1)+ b . (1)
 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 5 nên 0 = a.5 + b . (2)
 ì
 ï 1 = a.(- 1)+ b ïì - a + b = 1 1 5
 Từ (1) và (2), ta có hệ í Û íï Û a = - ; b = .
 ï ï
 îï 0 = a.5 + b îï 5a + b = 0 6 6
 1 5 1 5
 Vậy a = - ; b = hay y = - x + .
 6 6 6 6
 2 2
b) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = x nên a = . (1)
 3 3
 Giao điểm A của hai đường thẳng y = 2x + 1 và y = 3x- 2 nên tọa độ điểm A là nghiệm của phương trình 
 ïì y = 2x + 1 ïì x = 3
 íï Û íï Þ A(3;7).
 îï y = 3x- 2 îï y = 7
 Đồ thị hàm số đi qua điểm A(3;7) nên 7 = a.3 + b . (2)
 ì ì
 ï 2 ï 2
 ï a = ï a =
 Từ (1) và (2), ta có hệ í 3 Û í 3 .
 ï ï
 îï 7 = a.3 + b îï b = 5
 73 ì
 ï 2
 ï a = 2
 Vậy í 3 hay y = x + 5 .
 ï 3
 îï b = 5
c) Với x = - 2 thay vào y = 2x + 5 , ta được y = 1. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 2x + 5 tại điểm có hoành độ 
 bằng - 2 nên đi qua điểm A(- 2;1). Do đó ta có 1 = a.(- 2)+ b . (1)
 Với y = - 2 thay vào y = –3x + 4 , ta được x = 2 . Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = –3x + 4 tại điểm có tung độ 
 bằng - 2 nên đi qua điểm B(2;- 2). Do đó ta có - 2 = a.2 + b . (2)
 ì
 ï 1 = a.(- 2)+ b ïì - 2a + b = 1 3 1
 Từ (1) và (2), ta có hệ í Û íï Û a = - ; b = - .
 ï ï
 îï - 2 = a.2 + b îï 2a + b = - 2 4 2
 3 1 3 1
 Vậy a = - ; b = - hay y = - x- .
 4 2 4 2
d) Đồ thị hàm số đi qua điểm E(2;- 1) nên - 1 = a.2 + b . (1)
 ïì 0 = a'.0 + b' ïì a' = 3
 Gọi y = a' x + b' là đường thẳng đi qua hai điểm O(0;0) và N(1; 3) nên íï Û íï .
 îï 3 = a'.1+ b' îï b' = 0
 Đồ thị hàm số song song với đường thẳng ON nên a = a' = 3 . (2)
 ïì - 1 = a.2 + b ïì a = 3
 Từ (1) và (2), ta có hệ íï Û íï .
 îï a = 3 îï b = - 7
 ïì a = 3
 Vậy íï hay y = 3x- 7 .
 îï b = - 7
Bài 10. Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trị k để đồ thị của hàm số y = - 2x + k(x + 1)
 a) Đi qua điểm M(- 2; 3).
 b) Song song với đường thẳng y = 2x + 2015 .
 Lời giải
a) Đồ thị hàm số đi qua M(- 2; 3) nên ta có 3 = - 2(- 2)+ k(- 2 + 1)Û k = 1 .
 Vậy k = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Ta có y = - 2x + k(x + 1)= (- 2 + k)x + k .
 Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x + 2015 nên - 2 + k = 2 Û k = 2 + 2 .
 Vậy k = 2 + 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 11. Tìm m để đường thẳng 
 a) y = m2x + 2 cắt đường thẳng y = 4x + 3 .
 b) y = (m2 - 3)x + 2m- 3 song song với đường thẳng y = x + 1.
 Lời giải
a) Để đường thẳng y = m2x + 2 cắt đường thẳng y = 4x + 3 khi 
 m2 ¹ 4 Û m ¹ ± 2 .
 Vậy m ¹ ± 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Để đường thẳng y = (m2 - 3)x + 2m- 3 song song với đường thẳng y = x + 1 khi 
 ì 2
 ï m - 3 = 1 ïì m = ± 2
 í Û íï Û m = - 2 .
 ï ï
 îï 2m- 3 ¹ 1 îï m ¹ 2
74 Vậy m = - 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 12. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
 a) y = 2x- 3 và y = 1- x . b) y = 2(x- 1) và y = 2 .
 Lời giải
a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = 2x- 3 và y = 1- x là nghiệm của hệ phương trình 
 ïì 4
 ï x =
 ïì y = 2x- 3 ï
 íï Û íï 3 .
 ï y = 1- x ï 1
 îï ï y = -
 îï 3
 æ ö
 ç4 1÷
 Vậy hai đường thẳng đã cho giao nhau tại điểm có tọa độ ç ;- ÷.
 èç3 3ø÷
b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = 2(x- 1) và y = 2 là nghiệm của hệ phương trình 
 ì
 ï y = 2(x- 1) ïì x = 2
 í Û íï .
 ï ï
 îï y = 2 îï y = 2
 Vậy hai đường thẳng đã cho giao nhau tại điểm có tọa độ (2; 2).
Bài 13. Cho hàm số y = 2x + m + 1 .
 a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
 b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 2 .
 Lời giải
a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 , suy ra điểm A(3;0) thuộc đồ thị.
 Thay tọa độ điểm A vào hàm số ta được 0 = 2.3 + m + 1 Û m = - 7 .
 Vậy m = - 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 2 , suy ra điểm B(0;- 2) thuộc đồ thị.
 Thay tọa độ điểm B vào hàm số ta được - 2 = 2.0 + m + 1 Û m = - 3 .
 Vậy m = - 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 14. Tìm m để hai đường thẳng y = mx- 3 và y + x = m .
 a) Cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung.
 b) Cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.
 Lời giải
a) Gọi A(0; a) là giao điểm hai đường thẳng nằm trên trục tung. Ta có
 ïì A Î y = mx- 3 ïì a = 0.m- 3 ïì a = - 3
 íï suy ra íï Û íï .
 îï A Î y + x = m îï a + 0 = m îï m = - 3
 Vậy m = - 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Gọi B(b;0) là giao điểm hai đường thẳng nằm trên trục hoành. Ta có
 75 ì ì ì 2 é
 ï B Î y = mx- 3 ï 0 = m.b- 3 ï b = 3 êb = m = 3
 í suy ra í Û í Û ê .
 ï B Î y + x = m ï 0 + b = m ï
 îï îï îï b = m ëêb = m = - 3
 Vậy m = ± 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 15. Cho hai điểm A và B có hoành độ lần lượt là - 1 và 3 và cùng nằm trên đồ thị hàm số y = (m- 1)x + 2 .
 a) Xác định tọa độ hai điểm A và B .
 b) Với những giá trị nào của m thì điểm A nằm phía trên trục hoành.
 c) Với những giá trị nào của m thì điểm B trên trục hoành.
 d) Với những giá trị nào của m thì điểm A nằm phía trên trục hoành và nằm dưới đường thẳng y = 3 .
 Lời giải
a) Thế x = - 1 vào hàm số ta được y = - m + 3 , suy ra A(- 1;- m + 3) .
 Thế x = 3 vào hàm số ta được y = 3m- 1, suy ra B(3; 3m- 1).
 Vậy A(- 1;- m + 3) và B(3; 3m- 1).
b) Để A nằm phía trên trục hoành thì tung độ của A phải dương, tức là - m + 3 > 0 Û m < 3 .
 Vậy m > 3 thỏa yêu cầu bài toán.
 1
c) Để B nằm trên trục hoành thì tung độ của B bằng 0 , tức là 3m- 1 = 0 Û m = .
 3
 1
 Vậy m = thỏa yêu cầu bài toán.
 3
d) Để A nằm phía trên trục hoành và nằm dưới đường thẳng y = 3 khi
 0 < - m + 3 < 3 Û 0 < m < 3 .
 Vậy 0 < m < 3 thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 16. Tìm các giá trị của m sao cho ba đường thẳng sau phân biệt và đồng qui.
 a) y = 2x ; y = - x- 3 và y = mx + 5 .
 b) y = - 5(x + 1) ; y = mx + 3 và y = 3x + m .
 Lời giải
Để ba đường thẳng đồng quy ta tìm giao điểm của hai đường thẳng rồi cho đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.
a) Giao điểm A của hai đường thẳng y = 2x và y = - x- 3 là nghiệm của hệ sau 
 ïì y = 2x ïì x = - 1
 íï Û íï Þ A(- 1;- 2).
 îï y = - x- 3 îï y = - 2
 Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng y = mx + 5 đi qua A , tức là - 2 = - 1.m + 5 Û m = 7 .
 Thử lại, với m = 7 thì ba đường thẳng y = 2x ; y = - x- 3 ; y = 7x + 5 phân biệt và đồng quy.
b) Để ba đường thẳng phân biệt khi m ¹ 3 . 
 Giao điểm B của hai đường thẳng y = mx + 3 và y = 3x + m là nghiệm của hệ sau
 ïì y = mx + 3 ïì x = 1
 íï Û íï Þ B(1; 3 + m).
 îï y = 3x + m îï y = 3 + m
 Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng y = - 5(x + 1) đi qua B(1; 3 + m), tức là
 3 + m = - 5(1+ 1) Û m = - 13 .
 Vậy m = - 13 (thỏa mãn m ¹ 3 ) là giá trị cần tìm.
76 Bài 17. Tìm điểm cố định của các đường thẳng sau đây
 a) y = mx- 3- x . b) y = (2m + 5)x + m + 3 .
 Lời giải
a) Gọi A(x0 ; y0 ) là điểm cố định của đồ thị hàm số Û y0 = mx0 - 3- x0 , với mọi m Î ¡
 Û mx0 - (x0 + y0 + 3)= 0 , với mọi m Î ¡
 ïì x = 0 ïì x = 0
 Û íï 0 Û íï 0 .
 ï ï
 îï x0 + y0 + 3 = 0 îï y0 = - 3
 Vậy điểm cố định của đồ thị hàm số là A(0;- 3).
b) Gọi B(x0 ; y0 ) là điểm cố định của đồ thị hàm số Û y0 = (2m + 5)x0 + m + 3 , với mọi m Î ¡
 Û m(2x0 + 1)+ (5x0 - y0 + 3)= 0 , với mọi m Î ¡
 ïì 2x + 1 = 0 1 1
 Û íï 0 Û x = - ; y = .
 ï 0 0
 îï 5x0 - y0 + 3 = 0 2 2
 æ ö
 ç 1 1÷
 Vậy điểm cố định của đồ thị hàm số là Bç- ; ÷.
 èç 2 2ø÷
Bài 18. Cho hai đường thẳng y = 2x + m- 1 và y = 3x- m- 1 . Gọi A là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng, chứng 
minh khi m thay đổi thì giao điểm A chạy trên một đường thẳng cố định.
 Lời giải
 Giao điểm A của hai đường thẳng là nghiệm hệ phương trình
 ïì y = 2x + m- 1 ïì x = 2m
 íï Û íï Þ A(2m; 5m- 1).
 îï y = 3x- m- 1 îï y = 5m- 1
 ïì x = 2m ïì 5x = 10m 5
 Ta có íï A Û íï A . Suy ra 2y = 5x - 2 hay y = x - 1 .
 ï ï A A A A
 îï yA = 5m- 1 îï 2yA = 10m- 2 2
 5
 Vậy giao điểm A(2m; 5m- 1) luôn chạy trên một đường thẳng cố định có phương trình y = x- 1 .
 2
Bài 19. Tìm m để ba điểm sau thẳng hàng.
 a) A(2; 5), B(3;7) và C(2m + 1; m). b) A(2m;- 5), B(0; m) và C(2; 3).
 Lời giải
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta đi tìm đường thẳng đi qua hai điểm trong ba điểm và chứng minh điểm thứ ba 
thuộc đường thẳng đó.
 ïì 5 = a.2 + b ïì a = 2
a) Gọi y = ax + b là đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 5), B(3;7) nên íï Û íï .
 îï 7 = a.3 + b îï b = 1
 Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm A và B là d : y = 2x + 1 .
 Để ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi điểm C thuộc d , tức là 
 m = 2(2m + 1)+ 1 Û m = - 1.
 Vậy với m = - 1 thì ba điểm A(2; 5), B(3;7) và C(2m + 1; m) thẳng hàng.
 77 ì
 ì ï 3- m
 ï m = a.0 + b ï a =
b) Gọi y = ax + b là đường thẳng đi qua hai điểm B(0; m), C(2; 3) nên í Û í 2 .
 îï 3 = a.2 + b ï
 îï b = m
 3- m
 Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm B và C là d : y = x + m .
 2
 Để ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi điểm A thuộc d , tức là 
 é = -
 3- m 2 êm 1
 - 5 = .2m + m Û m - 4m- 5 = 0 Û ê .
 2 ëm = 5
 Vậy với m = - 1 hoặc m = 5 thì ba điểm A(2m;- 5), B(0; m) và C(2; 3) thẳng hàng.
Bài 20. Tìm phương trình đường thẳng d : y = ax + b . Biết đường thẳng d 
 a) Đi qua điểm I(2; 3) và tạo với hai tia Ox , Oy một tam giác vuông cân.
 b) Đi qua điểm I(1; 2) và tạo với hai tia Ox , Oy một tam giác có diện tích bằng 4 .
 c) Đi qua điểm I(1; 3), cắt hai tia Ox , Oy và cách gốc tọa độ một khoảng bằng 5 .
 Lời giải
a) Đường thẳng d : y = ax + b đi qua điểm I(2; 3) nên 3 = 2a + b . (*)
 æ ö
 ç b ÷
 Ta có d ÇOx = Aç- ;0÷; d ÇOy = B(0;b).
 èç a ø÷
 b b
 Suy ra OA = - = - và OB = b = b (do A, B thuộc hai tia Ox , Oy ).
 a a
 Nhận xét. Tam giác OAB vuông tại O . Do đó yêu cầu bài toán tương đương
 é =
 b êb 0
 OA = OB Û - = b Û ê .
 a ëa = - 1
 Với b = 0 , suy ra A º B º O(0;0): không thỏa mãn.
 ïì 3 = 2a + b ïì a = - 1
 Với a = - 1 , kết hợp với (*) ta được hệ phương trình íï Û íï .
 îï a = - 1 îï b = 5
 Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : y = - x + 5 .
b) Đường thẳng d : y = ax + b đi qua điểm I(1; 2) nên 2 = a + b . (1)
 æ ö
 ç b ÷
 Ta có d ÇOx = Aç- ;0÷; d ÇOy = B(0;b).
 èç a ø÷
 b b
 Suy ra OA = - = - và OB = b = b (do A, B thuộc hai tia Ox , Oy ).
 a a
 Nhận xét. Tam giác OAB vuông tại O . Do đó yêu cầu bài toán tương đương
 æ ö
 1 1 ç b÷ 2
 OA.OB = 4 Û .ç- ÷.b = 4 Û b = - 8a . (2)
 2 2 èç aø÷
 Từ (1) suy ra b = 2- a . Thay vào (2), ta được
 2
 (2- a) = - 8a Û a2 - 4a + 4 = - 8a Û a2 + 4a + 4 = 0 Û a = - 2 .
 Với a = - 2 , suy ra b = 4 . Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : y = - 2x + 4 .
c) Đường thẳng d : y = ax + b đi qua điểm I(1; 3) nên 3 = a + b . (1)
 æ ö
 ç b ÷
 Ta có d ÇOx = Aç- ;0÷; d ÇOy = B(0;b).
 èç a ø÷
78 b b
 Suy ra OA = - = - và OB = b = b (do A, B thuộc hai tia Ox , Oy ).
 a a
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng d .
 Xét tam giác AOB vuông tại O , có đường cao OH nên ta có
 1 1 1 1 a2 1
 = + Û = + Û b2 = 5a2 + 5 . (2)
 OH2 OA2 OB2 5 b2 b2
 Từ (1) suy ra b = 3- a . Thay vào (2), ta được
 éa = - 2
 2 2 2 ê
 (3- a) = 5a + 5 Û 4a + 6a- 4 = 0 Û ê 1 .
 êa =
 ëê 2
 1 5 b b
 Với a = , suy ra b = . Suy ra OA = - = - = - 5 < 0 : vô lý.
 2 2 a a
 Với a = - 2 , suy ra b = 5 . Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : y = - 2x + 5 . 
CHUÛ ÑEÀ 03. HAØM SOÁ BAÄC HAI
1. Định nghĩa. Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức y = ax2 + bx + c . Trong đó a, b, c Î ¡ và a ¹ 0 .
 Tập xác định D = ¡ .
 æ ö
 ç b D ÷ 2
 Đỉnh Iç- ;- ÷ với D = b - 4ac .
 èç 2a 4aø÷
 b
 Trục đối xứng là đường x = - .
 2a
2. Sự biến thiên
 a > 0 a < 0
 æ ö æ ö
 ç b ÷ ç b ÷
 Hàm số nghịch biến trên khoảng ç- ¥ ;- ÷ Hàm số đồng biến trên khoảng ç- ¥ ;- ÷ và 
 èç 2aø÷ èç 2aø÷
 æ ö æ ö
 ç b ÷ ç b ÷
 và đồng biến trên khoảng ç- ;+ ¥ ÷. nghịch biến trên khoảng ç- ;+ ¥ ÷.
 èç 2a ø÷ èç 2a ø÷
 Bảng biến thiên Bảng biến thiên 
 b b
 x - ¥ - + ¥ x - ¥ - + ¥
 2a 2a
 + ¥ + ¥ D
 - 
 y y 4a
 D
 - 
 4a - ¥ - ¥
3. Cách vẽ đồ thị. Để vẽ đường parabol y = ax2 + bx + c (a ¹ 0), ta thực hiện các bước
 æ ö
 ç b D ÷
 a) Xác định tọa độ đỉnh Iç- ;- ÷.
 èç 2a 4aø÷
 79 b
 b) Vẽ trục đối xứng x = - .
 2a
 c) Xác định tọa độ giao điểm của parabol với trục tung và trục hoành (nếu có).
 d) Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để nối các điểm đó lại.
 VAÁN ÑEÀ 01 KHAÛO SAÙT VAØ VEÕ PARABOL
VẤN ĐỀ 01. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ
Bài 1. Cho hàm số y = x2 - 4x + 3 , có đồ thị là (P).
 a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P).
 b) Nhận xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng (0; 3).
 c) Tìm tập hợp giá trị x sao cho y £ 0 .
 d) Tìm các khoảng của tập xác định để đồ thị (P) nằm hoàn toàn phía trên đường thẳng y = 8 .
 é ù
 e) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn ë- 2;1û.
 Lời giải
a) Tọa độ đỉnh I(2;- 1).
 Trục đối xứng x = 2 .
 Hệ số a = 1> 0 : bề lõm quay lên trên.
 Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ¥ ; 2) và đồng biến trên khoảng (2;+ ¥ ).
 Bảng biến thiên 
 x - ¥ 2 + ¥
 + ¥ + ¥
 y 
 - 1 
 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A(0; 3) , cắt trục hoành tại hai điểm B(1;0) và C(3;0).
b) Ta có (0; 3)= (0; 2)È{2} È(2; 3).
80 Trên khoảng (0; 2) hàm số nghịch biến, tại x = 2 thì hàm số đạt giá trị bằng - 1 , trên khoảng (2; 3) hàm số đồng 
 biến.
c) Dựa vào đồ thị, ta thấy tập hợp các giá trị của x để y £ 0 (đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành) là 1£ x £ 3 .
d) Ta thấy đồ thị (P) cắt đường thẳng y = 8 tại hai điểm có hoành độ lần lượt là - 1 và 5 .
 Do đó để đồ thị (P) nằm hoàn toàn phía trên đường thẳng y = 8 khi x Î (- ¥ ;- 1) hoặc x Î (5;+ ¥ ).
 é ù
e) Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ¥ ; 2) nên nghịch biến trên đoạn ë- 2;1û. Do đó
 é- ù = - = - =
 Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn ë 2;1û đạt tại x 2 , khi đó ymax y( 2) 15 .
 é- ù = = =
 Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn ë 2;1û đạt tại x 1 , khi đó ymin y(1) 0 .
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất (nếu có) của các hàm số sau
 a) y = 7x2 - 3x + 10 . b) y = - 2x2 - x + 1.
 Lời giải
a) Hàm số y = 7x2 - 3x + 10 có a = 7 > 0 nên y đạt giá trị bé nhất tại đỉnh.
 D 271
 Suy ra y = - = và không tồn tại giá trị lớn nhất.
 min 4a 8
b) Hàm số y = - 2x2 - x + 1 có a = - 2 < 0 nên y đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.
 D 9
 Suy ra y = - = và không tồn tại giá trị nhỏ nhất.
 m ax 4a 8
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất (nếu có) của các hàm số sau
 a) y = x2 - 3x với 0 £ x £ 2 . b) y = - x2 - 4x + 3 với 0 £ x £ 4 .
 Lời giải
a) Hàm số y = x2 - 3x có a = 1> 0 nên bề lõm hướng lên.
 b 3
 Hoành độ đỉnh x = - = Î é0; 2ù.
 I 2a 2 ë û
 æ ö
 ç3÷ 9
 Vậy min y = f ç ÷= - ; max y = max{ f (0), f (2)} = max{0,- 2} = 0 .
 èç2ø÷ 4
b) Hàm số y = - x2 - 4x + 3 có a = - 1< 0 nên bề lõm hướng xuống
 b
 Hoành độ đỉnh x = - = - 2 Ï é0; 4ù.
 I 2a ë û
 Ta có f (4)= - 29 ; f (0)= 3 .
 Vậy min y = f (4)= - 29 ; max y = f (0)= 3 .
Bài 4. Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x)= 4x2 - 4ax + (a2 - 2a + 2) trên đoạn 
 é ù
 ë0; 2û là bằng 3 .
 Lời giải
 Parabol có hệ số theo x2 là 4 > 0 nên bề lõm hướng lên.
 a
 Hoành độ đỉnh x = .
 I 2
 81