Tự luận Đại số Lớp 10 - Chương 2.1: Hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai (Có đáp án)

 CHÖÔNG II : HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT, HAØM SOÁ BAÄC HAI
CHUÛ ÑEÀ 01. HAØM SOÁ
1. Định nghĩa. Cho D Ì ¡ và D ¹ Æ. Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x Î D với một 
 và chỉ một số y Î ¡ .
 x được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị của hàm số f tại x .
 Kí hiệu: y = f (x).
 D được gọi là tập xác định của hàm số.
 T = {y = f (x) x Î D} được gọi là tập giá trị của hàm số.
2. Cách cho hàm số
 Cho bằng bảng.
 Cho bằng biểu đồ.
 Cho bằng công thức y = f (x).
 Tập xác định của hàm số y = f (x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho f (x) có nghĩa.
3. Đồ thị của hàm số
 Đồ thị của hàm số y = f (x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x; f (x)) trên mặt phẳng toạ độ 
 với mọi x Î D .
 Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f (x) là một đường. Khi đó ta nói y = f (x) là phương trình của 
 đường đó.
4. Sư biến thiên của hàm số
 Cho hàm số f xác định trên K .
 Hàm số y = f (x) đồng biến trên K nếu " x1 ,x2 Î K : x1 < x2 Þ f (x1)< f (x2 ).
 Hàm số y = f (x) nghịch biến trên K nếu " x1 ,x2 Î K : x1 f (x2 ).
5. Tính chẵn lẻ của hàm số
 Cho hàm số y = f (x) có tập xác định D .
 Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với " x Î D thì - x Î D và f (- x)= f (x).
 Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với " x Î D thì - x Î D và f (- x)= - f (x) .
 Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
 + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
 VAÁN ÑEÀ 01 TÌM TAÄP XAÙC ÑÒNH CUÛA HAØM SOÁ
 43 ● Phương pháp. Để tìm tập xác định D của hàm số y = f (x) ta tìm điều kiện để f (x) có nghĩa, tức là
 D = {x Î ¡ f (x)Î ¡ } .
 Chú ý. Thông thường y = f (x) cho bởi biểu thức đại số, ta xét một số trường hợp sau
 ì
 u(x) ï u(x), v(x) coù nghóa
 ▪ Hàm số y = f (x)= có nghĩa khi íï .
 ï ¹
 v(x) îï v(x) 0
 ì
 ï u(x) coù nghóa
 ▪ Hàm số y = f (x)= 2k u(x) (k Î ¢) có nghĩa khi íï .
 ï >
 îï u(x) 0
 ì
 u(x) ï u(x), v(x) coù nghóa
 ▪ Hàm số y = f (x)= (k Î ¢) có nghĩa khi íï .
 ï >
 v(x) îï v(x) 0
Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số
 3x- 1 2x- 1
 a) y = . b) y = . 
 - 2x + 2 (2x + 1)(x- 3)
 1 2x + 1
 c) y = . d) y = .
 x2 + 4x + 5 x3 - 3x + 2
 Lời giải
a) Hàm số xác định khi - 2x + 2 ¹ 0 Û x ¹ 1.
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ \{1} .
 ì
 ì ï 1
 ï 2x + 1 ¹ 0 ï x ¹ -
b) Hàm số xác định khi í Û í 2 .
 îï x- 3 ¹ 0 ï
 îï x ¹ 3
 ïì 1 ïü
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ \íï - ; 3ýï .
 îï 2 þï
 2
c) Ta có x2 + 4x + 5 = (x + 2) + 1> 0 với mọi x Î ¡ .
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ .
d) Hàm số xác định khi x3 - 3x + 2 ¹ 0 Û (x- 1)(x2 + x- 2)¹ 0
 ïì x ¹ 1
 ïì x- 1 ¹ 0 ï ïì ¹
 ï ï ì ï x 1
 Û í Û í ï x ¹ 1 Û í .
 ï 2 + - ¹ ï í ï x ¹ - 2
 îï x x 2 0 ï ï îï
 îï îï x ¹ - 2
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ \{- 2;1} .
Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số 
 a) y = 3x- 2 . b) y = x2 + 1 .
 c) y = - 2x + 1 - x- 1 . d) y = x2 - 2x + 1 + x- 3 .
 e) y = x + 3 + 2 x + 2 + 2- x2 + 2 1- x2 . f) y = x + x2 - x + 1 .
 Lời giải
 2
a) Hàm số xác định khi 3x- 2 ³ 0 Û x ³ .
 3
 é2 ÷ö
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ê ;+ ¥ ÷.
 ëê3 ø÷
44 b) Ta có x2 + 1> 0 với mọi x Î ¡ .
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ .
 ì
 ì ï 3
 ï - 2x + 3 ³ 0 ï x £ 3
c) Hàm số xác định khi í Û í 2 Û 1£ x £ .
 îï x- 1³ 0 ï 2
 îï x ³ 1
 é 3ù
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ê1; ú.
 ëê 2ûú
 ì 2 ïì 2
 ï x - 2x + 1³ 0 ï (x- 1) ³ 0 ïì x Î ¡
d) Hàm số xác định khi í Û íï Û íï Û x ³ 3 .
 ï - ³ ï ï x ³ 3
 îï x 3 0 îï x- 3 ³ 0 îï
 é
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ë3;+ ¥ ).
 2 æ ö2
e) Ta có y = x + 3 + 2 x + 2 + 2- x2 + 2 1- x2 = x + 2 + 1 + ç 1- x2 + 1÷
 ( ) èç ø÷
 = x + 2 + 1 + 1- x2 + 1 = x + 2 + 1- x2 + 2 .
 Hàm số xác định khi 
 ïì x ³ - 2 ïì x ³ - 2
 ï ï
 ï éïì - ³ ï éïì £
 ì ì ï êï 1 x 0 ï êï x 1
 ï x + 2 ³ 0 ï x ³ - 2 ï êí ï êí
 í Û í Û í ï 1+ x ³ 0 Û í ï x ³ - 1 Û - 1£ x £ 1 .
 ï 2 ï - + ³ ï êî ï êî
 îï 1- x ³ 0 îï (1 x)(1 x) 0 ï ê ï ê
 ï êïì 1- x £ 0 ï êïì x ³ 1
 ï êíï ï êíï
 ï êï + £ ï êï £ -
 îï ëîï 1 x 0 îï ëîï x 1
 é ù
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ë- 1;1û.
 ïì æ ö2
 ïì 2 ï ç 1÷ 3
 ï x - x + 1³ 0 ï çx- ÷ +
f) Hàm số xác định khi íï Û íï èç 2ø÷ 4 Û x2 - x + 1 ³ - x
 ï 2 ï
 îï x + x - x + 1 ³ 0 ï 2
 îï x - x + 1 ³ - x
 éì
 êï - x < 0
 í é- 
 êï 2 ê x 0 êx 0
 êîï x - x + 1³ 0 éx > 0
 Û ê Û êïì - x ³ 0 Û êïì x £ 0 Û ê Û x Î ¡ .
 êì êï êï ê
 ï - x ³ 0 êí êí ëx £ 0
 êí êï - x + 1³ 0 êï x ³ 1
 êï 2 2 ëî ëî
 ëêîï x - x + 1³ x
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ .
Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số 
 2 x
 a) y = . b) y = - - x .
 (x + 2) x + 1 1- x2
 x- 3 2- x x- 1 + 4- x
 c) y = . d) y = .
 x + 2 (x- 2)(x- 3)
 45 1 2015
 e) y = 1- x + . f) y = .
 x 1+ x 3 x2 - 3x + 2 - 3 x2 - 7
 1
 g) y = x + 8 + 2 x + 7 + . h) y = x2 + 2x + 2 - (x + 1) .
 1- x
 Lời giải
 ïì x + 2 ¹ 0 ïì x ¹ - 2
a) Hàm số xác định khi íï Û íï Û x > - 1.
 îï x + 1> 0 îï x > - 1
 Vậy tập xác định của hàm số là D = (- 1;+ ¥ ).
 ì 2
 ï 1- x ¹ 0 ïì x ¹ ± 1
b) Hàm số xác định khi í Û íï Û - 1 ¹ x £ 0 .
 ï ï
 îï - x ³ 0 îï x £ 0
 ù
 Vậy tập xác định của hàm số là D = (- ¥ ;0û\{- 1} .
 ïì 2- x ³ 0 ïì x £ 2
c) Hàm số xác định khi íï Û íï Û - 2 < x £ 2 .
 îï x + 2 > 0 îï x > - 2
 ù
 Vậy tập xác định của hàm số là D = (- 2; 2û.
 ïì - ³ ïì ³
 ï x 1 0 ï x 1 ì
 ï ï ï 1£ x £ 4
 ï 4- x ³ 0 ï x £ 4 ï
d) Hàm số xác định khi íï Û íï Û íï x ¹ 2 .
 ï x- 2 ¹ 0 ï x ¹ 2 ï
 ï ï îï x ¹ 3
 îï x- 3 ¹ 0 îï x ¹ 3
 é ù
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ë1; 4û\{2; 3} .
 ïì 1- x ³ 0 ïì x £ 1
 ï ï ïì - 1< x £ 1
e) Hàm số xác định khi íï x ¹ 0 Û íï x ¹ 0 Û íï .
 ï ï îï x ¹ 0
 îï 1+ x > 0 îï x > - 1
 ù
 Vậy tập xác định của hàm số là D = (- 1;1û\{0} .
f) Hàm số xác định khi 3 x2 - 3x + 2 - 3 x2 - 7 ¹ 0 Û 3 x2 - 3x + 2 ¹ 3 x2 - 7
 Û x2 - 3x + 2 ¹ x2 - 7 Û 9 ¹ 3x Û x ¹ 3 .
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ \{3} .
 1 2 1 1
g) Ta có y = x + 8 + 2 x + 7 + = ( x + 7 + 1) + = x + 7 + 1+ .
 1- x 1- x 1- x
 ïì x + 7 ³ 0 ïì x ³ - 7
 Hàm số xác định khi íï Û íï .
 îï 1- x ¹ 0 îï x ¹ 1
 é é
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ë- 7;+ ¥ )\{1} hoặc D = ë- 7;1)È(1;+ ¥ ).
 2
h) Ta có y = x2 + 2x + 2 - (x + 1) = (x + 1) + 1 - (x + 1)
 2 2
 Hàm số xác định khi (x + 1) + 1 - (x + 1)³ 0 Û (x + 1) + 1 ³ x + 1
 éïì x + 1< 0
 êï
 êí 2
 êï + + ³
 îï (x 1) 1 0 éx + 1< 0
 Û ê Û ê Û x Î ¡ .
 êì ê
 êï x + 1³ 0 ëx + 1³ 0
 êï
 í 2 2
 êï + + ³ +
 ëêîï (x 1) 1 (x 1)
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ .
46 Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số
 2x- 1
 a) y = x2 + x + 4 . b) y = .
 x x- 4
 1 2x + 1
 c) y = + x + 1 x2 - x + 6 . d) y = .
 x2 + 3x + 5 x( x - 1)
 x x - 1 x2 - x
 e) y = . f) y = - .
 x- 2 + x2 + 2x x2 - 1 x2 - 2 x + 1
 Lời giải
 æ ö2
 2 ç 1÷ 15
a) Ta có x + x + 4 = çx + ÷ + > 0 với mọi x Î ¡ .
 èç 2ø÷ 4
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ .
 ì
 ï x > 0 ïì x > 0
b) Hàm số xác định khi x x- 4 > 0 Û í Û íï .
 ï ï
 îï x- 4 ¹ 0 îï x ¹ 4
 Vậy tập xác định của hàm số là D = (0;+ ¥ )\{4} hay D = (0; 4)È(4;+ ¥ ).
 æ ö2
 1 2 1 ç 1÷ 23
c) Ta có y = + x + 1 x - x + 6 = + x + 1 çx- ÷ + .
 2 2 èç 2ø÷ 4
 x + 3x + 5 æ 3ö 11
 çx + ÷ +
 èç 2ø÷ 4
 æ ö2 æ ö2
 ç 3÷ 11 ç 1÷ 23
 Vì çx + ÷ + > 0 với mọi " x Î ¡ và çx- ÷ + ³ 0 với mọi " x Î ¡ .
 èç 2ø÷ 4 èç 2ø÷ 4
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ .
 ì
 ï x ¹ 0 ïì x ¹ 0
d) Hàm số xác định khi x( x - 1)¹ 0 Û í Û íï .
 ï - ¹ ï
 îï x 1 0 îï x ¹ ± 1
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ \{- 1;0;1} .
e) Hàm số xác định khi x- 2 + x2 + 2x ¹ 0 Û x Î ¡ . Thật vậy:
 Nếu x- 2 = 0 Û x = 2 thì x2 + 2x = 8 .
 éx = 0 éx- 2 = 2
 Nếu x2 + 2x = 0 Û ê thì ê .
 ê = - ê
 ëx 2 ëêx- 2 = 4
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ .
 x - 1 x2 - x x - 1 x2 - x
f) Ta có y = - = - .
 2 2 2 2
 x - 1 x - 2 x + 1 x - 1 ( x - 1)
 ì 2
 ï x - 1 ¹ 0 ïì x ¹ ± 1
 Hàm số xác định khi íï Û íï Û x ¹ ± 1.
 ï ï x ¹ ± 1
 îï x - 1 ¹ 0 îï
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ \{- 1;1} .
Bài 5. Tìm m để các hàm số sau đây xác định với mọi x thuộc khoảng (0;+ ¥ ).
 x- m
 a) y = x- m + 2x- m- 1 . b) y = 2x- 3m + 4 + .
 x + m- 1
 Lời giải
 47 ì
 ì ï x ³ m
 ï x- m ³ 0 ï
a) Hàm số xác định khi í Û í m + 1 . (*)
 îï 2x- m- 1³ 0 ï x ³
 îï 2
 m + 1
 ● Nếu m ³ Û m ³ 1 thì (*)Û x ³ m .
 2
 é
 Khi đó tập xác định của hàm số là D = ëm;+ ¥ ).
 é
 Yêu cầu bài toán Û (0;+ ¥ )Ì ëm;+ ¥ )Û m £ 0 : không thỏa mãn m ³ 1 .
 m + 1 m + 1
 ● Nếu m £ Û m £ 1 thì (*)Û x ³ .
 2 2
 ém + 1 ÷ö
 Khi đó tập xác định của hàm số là D = ê ;+ ¥ ÷.
 ëê 2 ø÷
 ém + 1 ÷ö m + 1
 Yêu cầu bài toán Û (0;+ ¥ )Ì ê ;+ ¥ ÷Û £ 0 Û m £ - 1 : thỏa mãn điều kiện m £ 1 .
 ëê 2 ø÷ 2
 Vậy m £ - 1 thỏa yêu cầu bài toán.
 ì
 ì ï 3m- 4
 ï 2x- 3m + 4 ³ 0 ï x ³
b) Hàm số xác định khi í Û í 2 .
 îï x + m- 1 ¹ 0 ï
 îï x ¹ 1- m
 Do đó để hàm số xác định với mọi x thuộc khoảng (0;+ ¥ ), ta phải có 
 ì ì
 ï 3m- 4 ï 4
 ï £ 0 ï m £ 4
 í 2 Û í 3 Û 1£ m £ .
 ï ï 3
 îï 1- m £ 0 îï m ³ 1
 4
 Vậy 1£ m £ thỏa yêu cầu bài toán.
 3
Bài 6. Tìm m để các hàm số
 1
 a) y = + - x + 2m + 6 xác định trên (- 1;0).
 x- m
 2 é ù
 b) y = 1- 2x + mx + m + 15 xác định trên ë1; 3û.
 Lời giải
 ïì x- m > 0 ïì x > m
a) Hàm số xác định khi íï Û íï Û m < x £ 2m + 6 .
 îï - x + 2m + 6 ³ 0 îï x £ 2m + 6
 ïì m £ - 1 ïì m £ - 1
 Do đó để hàm số xác định trên (- 1;0), ta phải có íï Û íï Û - 3 < m £ - 1 .
 îï 2m + 6 > 0 îï m > - 3
 Vậy - 3 < m £ - 1 thỏa yêu cầu bài toán.
b) Hàm số xác định khi 1- 2x2 + mx + m + 15 ³ 0 Û 2x2 + mx + m + 15 £ 1 . (*)
 é ù
 Bài toán được chuyển về việc tìm m để (*) nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn ë1; 3û
 é ù
 Điều kiện cần: Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn ë1; 3û nên nghiệm đúng với x = 1 , x = 2 , tức 
 ì
 ïì ì ï - 9 £ m £ - 8
 ï 2m + 17 £ 1 ï - 1£ 2m + 17 £ 1 ï
 là ta có í Û í Û í 22 Û m = - 8 .
 ï 3m + 23 £ 1 îï - 1£ 3m + 23 £ 1 ï - 8 £ m £ -
 îï îï 3
 Điều kiện đủ: Với m = - 8 , ta có (*)Û 2x2 - 8x + 7 £ 1 Û - 1£ 2x2 - 8x + 7 £ 1
48 ì 2 ïì 2
 ï 2x - 8x + 8 ³ 0 ï (x- 2) ³ 0
 Û íï Û íï Û x2 - 4x + 3 £ 0
 ï 2 - + £ ï 2
 îï 2x 8x 6 0 îï x - 4x + 3 £ 0
 éïì x- 1£ 0
 êíï
 êï ì ì
 êîï x- 3 ³ 0 ï x- 1³ 0 ï x ³ 1
 Û (x- 1)(x- 3)£ 0 Û ê Û í Û í Û 1£ x £ 3 : thỏa mãn.
 êïì x- 1³ 0 îï x- 3 £ 0 îï x £ 3
 êíï
 ï
 ëêîï x- 3 £ 0
 Vậy m = - 8 thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 7. Tìm m để các hàm số
 2x + 1 m + 1
 a) y = xác định trên ¡ . b) y = xác định trên toàn trục số.
 2
 x2 - 6x + m- 2 3x - 2x + m
 Lời giải
 2
a) Hàm số xác định khi x2 - 6x + m- 2 > 0 Û (x- 3) + m- 11> 0 .
 2
 Để hàm số xác định với mọi x Î ¡ Û (x- 3) + m- 11> 0 đúng với mọi x Î ¡
 Û m- 11> 0 Û m > 11.
 Vậy m > 11 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 ïì m ³ - 1
 ïì m + 1³ 0 ï
 ï ï 2
b) Hàm số xác định khi í Û í æ 1ö 1 .
 ï 3x2 - 2x + m ¹ 0 ï 3çx- ÷ + m- ¹ 0
 îï ï ç ÷
 îï è 3ø 3
 ïì m ³ - 1
 ï
 ï 2
 Để hàm số xác định với mọi x Î ¡ Û í æ 1ö 1 đúng với mọi x Î ¡
 ï 3çx- ÷ + m- ¹ 0
 ï ç ÷
 îï è 3ø 3
 ì
 ï m ³ - 1
 ï 1
 Û í 1 Û m > .
 ï m- > 0 3
 îï 3
 1
 Vậy m > thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 3
 ïì
 ï x2 - 4 khi x > 3
Bài 8. Cho hàm số y = f (x)= íï .
 ï 3
 îï x + 8 khi 0 £ x £ 3
 a) Tìm tập xác đinh của hàm số.
 b) Tính các giá trị f (0), f ( 2), f (- 1), f ( 5), f (5) .
 Lời giải
a) Khi x > 3 thì hàm số f (x)= x2 - 4 xác định (vì x2 > 9 ).
 Khi 0 £ x £ 3 thì hàm số f (x)= 3 x + 8 xác định.
 é
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ë0;+ ¥ ).
 é ù 3
b) Ta có 0 Î ë0; 3û nên f (0)= 0 + 8 = 2 ;
 é ù 3
 2 Î ë0; 3û nên f ( 2)= 2 + 8 ;
 - 1Ï D nên f (- 1) không xác định;
 49 é ù 3
 5 Î ë0; 3û nên f ( 5)= 5 + 8 = 2 ;
 5 Î (3;+ ¥ ) nên f (5)= 52 - 4 = 21 .
 ïì 2x + 1
 ï khi x ³ 0
 ï x + 2
Bài 9. Cho hàm số y = f (x)= íï .
 ï 3 2x + 1
 ï khi x < 0
 îï x- 1
 a) Tìm tập xác đinh của hàm số.
 b) Tính các giá trị f (0), f (2), f (- 1), f (- 3).
 Lời giải
 2x + 1
a) Khi x ³ 0 thì hàm số f (x)= xác định (vì x + 2 ³ 2 > 0 ).
 x + 2
 3 2x + 1
 Khi x < 0 thì hàm số f (x)= xác định (vì x- 1 ¹ 0 ).
 x- 1
 Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ .
 2.0 + 1 1
b) Ta có 0 Î é0;+ ¥ ) nên f (0)= = ;
 ë 0 + 2 2
 2.2 + 1 5
 2 Î é0;+ ¥ ) nên f (2)= = ;
 ë 2 + 2 4
 3 2.(- 1)+ 1 1
 - 1Î (- ¥ ;0) nên f (- 1)= = ;
 - 1- 1 2
 3 2.(- 3)+ 1 3 5
 - 3 Î (- ¥ ;0) nên f (- 3)= = .
 - 3- 1 4
 VAÁN ÑEÀ 02 XEÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN CUÛA HAØM SOÁ
 ● Phương pháp. Để xét sự biến thiên của hàm số y = f (x) trên từng khoảng xác định K = (a;b) như sau:
 ▪ Giả sử " x1 ,x2 Î K : x1 < x2 .
 ▪ Tính f (x1)- f (x2 ).
 f (x )- f (x )
 ▪ Lập tỉ số T = 2 1 .
 x2 - x1
 Nếu T > 0 thì hàm số y = f (x) đồng biến trên (a;b) .
 Nếu T < 0 thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên (a;b) .
Bài 10. Khảo sát sự biến thiên và lập bảng biến thiên của các hàm số sau
 a) y = - 2x + 3 trên ¡ .
 b) y = x2 - 4x + 5 trên khoảng (- ¥ ; 2) và trên khoảng (2;+ ¥ ).
 c) y = - 2x2 + 4x + 1 trên khoảng (3;+ ¥ ).
50 x- 3
 d) y = trên khoảng (- ¥ ;- 5) và trên khoảng (- 5;+ ¥ ).
 x + 5
 Lời giải
a) Với mọi x1 ,x2 Î ¡ và x1 < x2 .
 Ta có f (x1)- f (x2 )= (- 2x1 + 3)- (- 2x2 + 3)= - 2(x1 - x2 ).
 f (x )- f (x ) - 2(x - x )
 Suy ra 1 2 = 1 2 = - 2 < 0 .
 x1 - x2 x1 - x2
 Vậy hàm số nghịch biến trên ¡ .
 Bảng biến thiên x - ¥ + ¥
 + ¥
 y
 - ¥
 2 2
b) Ta có f (x1)- f (x2 )= (x1 - 4x1 + 5)- (x2 - 4x2 + 5)
 2 2
 = (x1 - x2 )- 4(x1 - x2 )= (x1 - x2 )(x1 + x2 - 4).
 ïì x < 2
 ● Với mọi x ,x Î (- ¥ ; 2) và x < x . Ta có íï 1 Þ x + x < 4 .
 1 2 1 2 ï 1 2
 îï x2 < 2
 f (x1)- f (x2 ) (x1 - x2 )(x1 + x2 - 4)
 Do đó = = x1 + x2 - 4 < 0 .
 x1 - x2 x1 - x2
 Vậy hàm số nghịch biến trên (- ¥ ; 2).
 ïì x > 2
 ● Với mọi x ,x Î (2;+ ¥ ) và x 4 .
 1 2 1 2 ï 1 2
 îï x2 > 2
 f (x1)- f (x2 ) (x1 - x2 )(x1 + x2 - 4)
 Do đó = = x1 + x2 - 4 > 0 .
 x1 - x2 x1 - x2
 Vậy hàm số đồng biến trên (2;+ ¥ ).
 Bảng biến thiên
 x - ¥ 2 + ¥
 + ¥ + ¥
 y
 1
 2 2
c) Ta có f (x1)- f (x2 )= (- 2x1 + 4x1 + 1)- (- 2x2 + 4x2 + 1)
 2 2
 = - 2(x1 - x2 )+ 4(x1 - x2 )= - 2(x1 - x2 )(x1 + x2 - 2).
 ïì x > 3
 Với mọi x ,x Î (3;+ ¥ ) và x 6 .
 1 2 1 2 ï 1 2
 îï x2 > 3
 f (x1)- f (x2 ) - 2(x1 - x2 )(x1 + x2 - 2)
 Do đó = = - 2(x1 + x2 - 2)< 0 .
 x1 - x2 x1 - x2
 Vậy hàm số nghịch biến trên (3;+ ¥ ).
 Bảng biến thiên
 x - ¥ 1 3 + ¥
 3 51
 y
 - ¥
 - ¥ æ ö æ ö
 çx - 3÷ çx - 3÷
d) Ta có f (x )- f (x )= ç 1 ÷- ç 2 ÷
 1 2 ç ÷ ç ÷
 èx1 + 5ø èx2 + 5ø
 (x1 - 3)(x2 + 5)- (x2 - 3)(x1 + 5) 8(x1 - x2 )
 = = .
 (x1 + 5)(x2 + 5) (x1 + 5)(x2 + 5)
 ïì x < - 5 ïì x + 5 < 0
 ● Với mọi x ,x Î (- ¥ ;- 5) và x < x . Ta có íï 1 Û íï 1 .
 1 2 1 2 ï ï
 îï x2 < - 5 îï x2 + 5 < 0
 f (x )- f (x ) 8
 Do đó 1 2 = > 0 .
 -
 x1 x2 (x1 + 5)(x2 + 5)
 Vậy hàm số đồng biến trên (- ¥ ;- 5).
 ïì x > - 5 ïì x + 5 > 0
 ● Với mọi x ,x Î (- 5;+ ¥ ) và x < x . Ta có íï 1 Û íï 1 .
 1 2 1 2 ï ï
 îï x2 > - 5 îï x2 + 5 > 0
 f (x )- f (x ) 8
 Do đó 1 2 = > 0 .
 -
 x1 x2 (x1 + 5)(x2 + 5)
 Vậy hàm số đồng biến trên (- 5;+ ¥ ).
 Bảng biến thiên
 x - ¥ - 5 + ¥
 + ¥ 1
 y
 1 - ¥
Bài 11. Khảo sát sự biến thiên của hàm số
 æ ö
 ç7 ÷ 2
 a) y = 2x- 7 trên khoảng ç ;+ ¥ ÷. b) y = x + 2 .
 èç2 ø÷
 1
 c) y = x- 3x + 5 trên khoảng (5;+ ¥ ). d) y = .
 x- 1
 Lời giải
 æ ö
 ç7 ÷
a) Với mọi x1 ,x2 Î ç ;+ ¥ ÷ và x1 < x2 . Ta có
 èç2 ø÷
 2(x1 - x2 )
 f (x1)- f (x2 )= 2x1 - 7 - 2x2 - 7 = .
 2x1 - 7 + 2x2 - 7
 f (x )- f (x ) 2
 Suy ra 1 2 = > 0 .
 x - x
 1 2 2x1 - 7 + 2x2 - 7
52