Tự luận Đại số Lớp 10 - Chương 1: Mệnh đề. Tập hợp (Có đáp án)

 CHÖÔNG I : MEÄNH ÑEÀ – TAÄP HÔÏP
 CHUÛ ÑEÀ 01. MEÄNH ÑEÀ VAØ MEÄNH ÑEÀ CHÖÙA BIEÁN
 1. Định nghĩa. Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai.
 Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai.
 2. Mệnh đề phủ định. Cho mệnh đề P . Mệnh đề '' Không phải P '' gọi là mệnh đề phủ định của P . 
 Ký hiệu là P . Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng 
 3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo. Cho hai mệnh đề P và Q . Mệnh đề "nếu P thì Q " gọi là mệnh đề kéo theo. 
 Ký hiệu là P Þ Q . Mệnh đề P Þ Q chỉ sai khi P đúng Q sai 
 Cho mệnh đề P Þ Q . Khi đó mệnh đề Q Þ P gọi là mệnh đề đảo của Q Þ P
 4. Mệnh đề tương đương. Cho hai mệnh đề P và Q . Mệnh đề " P nếu và chỉ nếu Q " gọi là mệnh đề tương đương 
 Ký hiệu là P Û Q .
 Mệnh đề P Û Q đúng khi cả P Þ Q và Q Þ P cùng đúng.
 Chú ý: "Tương đương" còn được gọi bằng các thuật ngữ khác như "điều kiện cần và đủ", "khi và chỉ khi", "nếu và chỉ 
 nếu".
5. Mệnh đề chứa biến. Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với 
 mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.
 Ví dụ: P(n): " n chia hết cho 5 " với n là số tự nhiên.
 P(x; y) :" 2x + y = 5 " Với x, y là số thực.
 6. Các kí hiệu " , $ và mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu " , $ .
 Kí hiệu " : đọc là với mọi, $ : đọc là tồn tại
 Phủ định của mệnh đề '' " x Î X,P(x)'' là mệnh đề ''$x Î X,P(x)'' .
 Phủ định của mệnh đề ''$x Î X,P(x)'' là mệnh đề '' " x Î X,P(x)'' .
 VAÁN ÑEÀ 01 MEÄNH ÑEÀ VAØ TÍNH ÑUÙNG SAI CUÛA MEÄNH ÑEÀ
 Khẳng định đúng là mệnh đề đúng, khẳng định sai là mệnh đề sai.
 Câu không phải là câu khẳng định hoặc câu khẳng định mà không có tính đúng-sai đều không phải là mệnh đề.
 Tính đúng-sai có thể chưa xác định hoặc không biết nhưng chắc chắn hoặc đúng hoặc sai cũng là mệnh đề. 
 Không có mệnh đề vừa đúng vừa sai hoặc không đúng cũng không sai.
 Mệnh đề đúng, mệnh đề sai
 P đúng Û P sai; P sai Û P đúng
 (P Þ Q) chỉ sai khi P đúng và Q sai.
 Đặc biệt: Nếu P sai thì (P Þ Q) luôn đúng dù Q đúng hoặc sai. 
 Nếu Q đúng thì (P Þ Q) luôn đúng dù P đúng hoặc sai.
 (P Û Q) chỉ đúng khi P và Q cùng đúng hoặc cùng sai.
 Mệnh đề chứa dấu " ,$ .
 " x Î X,P(x) đúng Û mọi " x0 Î X,P(x0 ) đúng.
 " x Î X,P(x) sai Û có x0 Î X,P(x0 ) sai.
 $x Î X,P(x)đúng Û có x0 Î X,P(x0 ) đúng.
 $x Î X,P(x)sai Û mọi x0 Î X,P(x0 ) sai.
 5 Bài 1. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề ? Nếu là mệnh đề hay cho biết mệnh đề 
đó đúng hay sai.
 a) Không được đi lối này! b) Bây giờ là mấy giờ ?
 c) 7 không là số nguyên tố. d) 5 là số vô tỉ.
Bài 2. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề ? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề 
đó đúng hay sai.
 a) Số p có lớn hơn 3 hay không ? 
 b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
 c) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
 d) Phương trình x2 + 2015x- 2016 = 0 vô nghiệm.
Bài 3. Cho tam giác ABC . Xét hai mệnh đề P : '' tam giác ABC vuông '' và Q : " AB2 + AC2 = BC2 " . Phát biểu và 
cho biết mệnh đề sau đúng hay sai
 a) P Þ Q . b) Q Þ P .
Bài 4. Cho tam giác ABC . Lập mênh đề P Þ Q và mệnh đề đảo của nó, rồi xét tính đúng sai của chúng khi
 a) P : '' Góc A bằng 900 '' và Q : '' Cạnh BC lớn nhất '' .
 µ µ
 b) P : '' A = B '' và Q : '' Tam giác ABC cân '' .
Bài 5. Phát biểu mệnh đề P Þ Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó
a) P : "Tứ giác ABCD là hình chữ nhật" và Q : "Tứ giác ABCD có hai đường thẳng AC và BD vuông góc với 
nhau".
 3 3
 b) P : "- 3 > - 2 " và Q : "(- 3) > (- 2) " .
 µ µ µ 2 2 2
 c) P : "Tam giác ABC có A = B+ C " và Q : "Tam giác ABC có BC = AB + AC ".
 d) P : "Tố Hữu là nhà Toán học lớn của Việt Nam" và Q : "Évariste Galois là nhà Thơ lỗi lạc của Thế giới ".
Bài 6. Phát biểu mệnh đề P Þ Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó
 a) P : "Tứ giác ABCD là hình thoi" và Q : "Tứ giác ABCD AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường".
 b) P : "2 > 9" và Q : "4 < 3" .
 µ µ
 c) P : "Tam giác ABC vuông cân tại A " và Q : "Tam giác ABC có A = 2B ". 
Bài 7. Phát biểu mệnh đề P Û Q bằng hai cách và và xét tính đúng sai của nó
a) P : "Tứ giác ABCD là hình thoi" và Q : "Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với 
nhau '' .
 2
b) P : "Bất phương trình x2 - 3x > 1 có nghiệm" và Q : '' (- 1) - 3.(- 1)> 1'' .
Bài 8. Lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương của hai mệnh đề sau đây và cho biết tính đúng, sai của chúng
P : '' Điểm M nằm trên phân giác của góc Oxy '' và Q : '' Điểm M cách đều hai cạnh Ox , Oy'' .
Bài 9. Phát biểu mệnh đề P Û Q bằng hai cách và và xét tính đúng sai của nó 
a) Cho tứ giác ABCD . Xét hai mệnh đề P : '' Tứ giác ABCD là hình vuông" và Q : '' Tứ giác ABCD là hình chữ 
nhật có hai đường chéo bằng vuông góc với nhau '' .
b) P : "Bất phương trình x2 - 3x + 1> 0 có nghiệm" và Q : "Bất phương trình x2 - 3x + 1£ 0 vô nghiệm".
 VAÁN ÑEÀ 02 MEÄNH ÑEÀ CHÖÙA BIEÁN
Bài 10. Cho mệnh đề chứa biến " P(x): x > x3 ", xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
6 æ ö
 ç1÷
 a) P(1). b) Pç ÷.
 èç3ø÷
 c) " x Î ¥ , P(x). d) $x Î ¥ , P(x).
Bài 11.
 a) Với n Î ¥ , cho mệnh đề chứa biến P(n): "n2 + 2 chia hết cho 4'' . Xét tính đúng sai của mệnh đề P(2015).
 1
 b) Xét tính đúng sai của mệnh đề P(n): ''$n Î ¥ * , n(n+ 1) chia hết cho 11'' .
 2
Bài 12. Xét các mệnh đề chứa biến sau. Tìm một giá trị của biến để được mệnh đề đúng; mệnh đề sai
 a) P(x): " x Î ¡ ,x2 - 2x ³ 0" . b) Q(n): ''n chia hết cho 3, với n Î ¥ ".
Bài 13. Dùng các kí hiệu để viết các câu sau
 a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho sáu.
 b) Với mọi số thực bình phương của là một số không âm.
 c) Có một số nguyên mà bình phương của nó bằng chính nó.
 d) Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó.
Bài 14. Xác định tính đúng - sai của các mệnh đề sau
 a) " x Î ¡ ,x > - 2 Þ x2 > 4 . b) " x Î ¡ ,x > 2 Þ x2 > 4 .
 c) " m,n Î ¥ , m và n là các số lẻ Û m2 + n2 là số chẵn. d) " x Î ¡ ,x2 > 4 Þ x > 2 .
Bài 15. Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau
 a) $a Î ¤ , a2 = 2 . b) " n Î ¥ ,n2 + 1 không chia hết cho 3 .
 c) " x Î ¡ ,$y Î ¡ :x > y Û x3 > y3 . d) " x Î ¡ ," y Î ¡ :x + y ³ 2 xy .
Bài 16. Cho số tự nhiên n . Xét hai mệnh đề chứa biến
A(n): ''n là số chẵn '' và B(n): ''n2 là số chẵn '' .
 a) Hãy phát biểu mệnh đề A(n)Þ B(n) . Cho biết mệnh đề này đúng hay sai ?
 b) Hãy phát biểu mệnh đề '' " n Î ¥ , B(n)Þ A(n)'' .
 c) Hãy phát biểu mệnh đề '' " n Î ¥ , A(n)Û B(n)'' .
Bài 17. Cho mệnh đề P : '' Với mọi số thực x , nếu x là số hữu tỉ thì 2x là số hữu tỉ".
 a) Dùng kí hiệu viết P và xác định tính đúng - sai của nó.
b) Phát biểu mệnh đề đảo của P và chứng tỏ mệnh đề đó là đúng. Phát biểu mệnh đề dưới dạng mệnh đề tương 
đương
Bài 18. Cho các mệnh đề sau
A : ''6 là số nguyên tố '' ; B : "7 ³ 5" .
Phát biểu các mệnh đề A Þ B, B Þ A, A Û B .
Bài 19. Tìm tất cả các cặp số (x; y) sao cho cả ba mệnh đề P, Q, R sau đây đều đúng
P(x; y): "2x2 - xy + 9 = 0", Q(x; y): "2x2 + y2 £ 81", R(x): " x Î ¢ ".
Lời giải
 ïì x ¹ 0 2
 ï æ 9ö
 ï 2 + ç + ÷ £
 Giả sử P(x; y) đúng, suy ra í 9 . Thay vào Q(x; y), ta được 2x ç2x ÷ 81. 
 ï y = 2x + èç xø
 îï x
 (1)
 æ ö2 æ ö2 æ ö
 2 ç 9÷ 2 ç 9÷ ç 9÷ 2
 Lại có 2x + ç2x + ÷ ³ 2 2x ç2x + ÷ = 2 2 xç2x + ÷= 2 2 (2x + 9). 
 èç xø÷ èç xø÷ èç xø÷
 (2)
 æ ö
 2 1 ç 81 ÷ 2 2 2
 Từ (1) và (2), suy ra x £ ç - 9÷. Mà R đúng nên x = 1 hoặc x = 4 hoặc x = 9 .
 2 èç2 2 ø÷
 Thử trực tiếp ta thấy chỉ x2 = 4 thỏa mãn.
 7 æ ö æ ö
 ç 17÷ ç 17÷
 Vậy ta tìm được hai cặp số thỏa mãn là ç2; ÷, ç- 2;- ÷.
 èç 2 ø÷ èç 2 ø÷
 VAÁN ÑEÀ 03 PHUÛ ÑÒNH CUÛA MEÄNH ÑEÀ
 Phủ định của mệnh đề P là mệnh đề "không phải P ".
 Tính chất X thành tính chất không X , và ngược lại.
 Quan hệ = thành quan hệ ¹ , và ngược lại.
 Quan hệ > thành quan hệ £ , và ngược lại.
 Quan hệ ³ thành quan hệ < , và ngược lại.
 Liên kết "và" thành liên kết "hoặc", và ngược lại.
 Phủ định của mệnh đề có dấu " ,$ : đối nhau hai loại dấu " ,$ và phủ định thêm tính chất P(x)
 " x Î X,P(x) thành $x Î X,P(x).
 $x Î X,P(x)thành " x Î X,P(x) .
 Mở rộng
 " x Î X," y Î Y, P(x, y)thành $x Î X,$y Î Y, P(x, y).
 " x Î X,$y Î Y, P(x, y)thành $x Î X," y Î Y, P(x, y).
Chú ý: Đôi khi xét tính đúng, sai của mệnh đề P phức tạp thì ta chuyển qua xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định
Bài 20. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó
 A : "Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau";
 B : "Tổng hai cạnh của một tam giác nhỏ hơn cạnh còn lại";
 C : "Trong tam giác tổng ba góc không bằng 1800";
 D : "Tồn tại hình thang là hình vuông ".
Bài 21. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó
 A : "6 là số nguyên tố";
 2
 B : "( 3 - 27) là số nguyên ";
 C : ''$n Î ¥ ,n(n+ 1) là một số chính phương '' ;
 D : '' " n Î ¥ , n4 - n2 + 1 là hợp số ".
Bài 22. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó
 A : ''$x Î ¥ , n2 + 3 chia hết cho 4'' ;
 B : ''$x Î ¥ , x chia hết cho x + 1'' .
Bài 23. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó
 A : "Phương trình x4 - 2x2 + 2 = 0 có nghiệm";
 B : "Bất phương trình x2013 > 2030 vô nghiệm";
 C : '' " x Î ¡ , x4 - x2 + 1 = (x2 + 3x + 1)(x2 - 3x + 1)'' ;
 D : ''$q Î ¤ , 2q2 - 1 = 0'' .
Bài 24. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó
 A : '' " x Î ¡ , x3 - x2 + 1> 0'' ;
 1
 B : '' Tồn tại số thực a sao cho a + 1+ £ 2'' .
 a + 1
Bài 25. Xét tính đúng sai của mệnh đề sau và nêu mệnh đề phủ định của nó
 a) P(x): ''$x Î ¢ , x2 = 3'' . b) P(n): '' " n Î ¥ * : 2n + 3 là một số nguyên tố '' .
 c) P(x): '' " x Î ¡ , x2 + 4x + 5 > 0'' . d) P(x): '' " x Î ¡ ,x4 - x2 + 2x + 2 ³ 0'' .
8 Bài 26. Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo P Þ Q , Q Þ P và xét tính đúng sai của mệnh đề này
 a) Cho tứ giác ABCD và hai mệnh đề P : "Tổng hai góc đối của tứ giác lồi bằng 1800" và Q : "Tứ giác nội tiếp được 
 đường tròn ".
 2 2
 b) P : " 2 - 3 > - 1" và Q : "( 2 - 3) > (- 1) ".
 CHUÛ ÑEÀ 02. AÙP DUÏNG MEÄNH ÑEÀ VAØO SUY LUAÄN TOAÙN HOÏC
 1. Định lí và chứng minh định lí
 Trong toán học định lý là một mệnh đề đúng. Nhiều định lý được phát biểu dưới dạng 
 '' " x Î X, P(x)Þ Q(x)''
 P(x), Q(x) là các mệnh đề chứa biến.
 Cách 1: Chứng minh trực tiếp gồm các bước sau:
 Lấy x Î X bất kỳ mà P(x) đúng.
 Chứng minh Q(x) đúng (bằng suy luận và kiến thức toán học đã biết).
 Cách 2: Chứng minh bằng phản định lí gồm các bước sau:
 Giả sử tồn tại x0 Î X sao cho P(x0 ) đúng và Q(x0 ) sai.
 Dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi đến mâu thuẫn.
 2. Định lí đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ
 Cho định lí dưới dạng " " x Î X, P(x)Þ Q(x)" (1). Khi đó 
 P(x) là điều kiện đủ để có Q(x). 
 Q(x) là điều kiện cần để có P(x).
 · Mệnh đề " x Î X, Q(x)Þ P(x) đúng thì được gọi định lí đảo của định lí dạng (1). Lúc đó (1) được gọi là định lý 
 thuận và khi đó có thể gộp lại thành một định lí '' " x Î X, Q(x)Û P(x)'' .
 ta gọi là " P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x)". Ngoài ra còn nói " P(x) nếu và chỉ nếu Q(x)", "
 P(x) khi và chỉ khi Q(x)".
 VAÁN ÑEÀ 01 ÑIEÀU KIEÄN CAÀN – ÑIEÀU KIEÄN ÑUÛ
 Bài 1. Sử dụng thuật ngữ '' điều kiện cần '' để phát biểu các định lí sau
 a) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5.
 b) Nếu a = b thì a2 = b2 . c) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân 
 biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau.
 Bài 2. Dùng thuật ngữ '' điều kiện cần '' để phát biểu các định lí sau
 a) Nếu MA ^ MB thì M thuộc đường tròn đường kính AB .
 b) a ¹ 0 hoặc b ¹ 0 là điều kiện đủ để a2 + b2 > 0 .
 Bài 3. Sử dụng thuật ngữ '' điều kiện đủ '' để phát biểu các định lí sau
 a) Nếu a và b là hai số hữu tỉ thì tổng a + b là số hữu tỉ.
 b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.
 c) Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5.
Bài 4. Cho định lí "Cho số tự nhiên n , nếu n5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5". Định lí này được viết dưới dạng 
 P Þ Q .
 a) Hãy xác định các mệnh đề P và Q .
 b) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần”.
 c) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ”.
 9 d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) của định lí trên rồi dùng các thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” phát biểu gộp 
cả hai định lí thuận và đảo.
Bài 5. Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ"
a) Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song 
song với nhau.
 b) Nếu số nguyên dương có chữ tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5.
 c) Nếu tứ giác là hình thoi thì hai đường chéo vuông góc với nhau.
 d) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau.
 e) Nếu số nguyên dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4 và 6.
Bài 6. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí sau
 a) Nếu một tứ giác là hình vuông thì nó có bốn cạnh bằng nhau.
 Có định lí đảo của định lí trên không , vì sao ?
 b) Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc.
 Có định lí đảo của định lí trên không , vì sao ?
Bài 7. Phát biểu các mệnh đề sau với thuật ngữ "điều kiện cần", "điều kiện đủ"
 a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.
 b) Nếu số nguyên dương chia hết cho 6 thì chia hết cho 3.
 c) Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân.
 d) Nếu tam giác ABC vuông tại A và AH là đường cao thì AB2 = BC.BH .
Bài 8. Sử dụng thuật ngữ '' điều kiện cần và đủ '' để phát biểu các định lí sau
 a) Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện của nó bằng 1800 .
 b) x ³ y nếu và chỉ nếu 3 x ³ 3 y . 
 c) Tam giác cân khi và chỉ khi có trung tuyến bằng nhau.
Bài 9. Dùng thuật ngữ '' điều kiện cần và đủ '' để phát biểu định lí sau
 a) Một tam giác là tam giác cân nếu và chỉ nếu nó có hai góc bằng nhau.
 b) Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
 uuuur uuur
 c) Tứ giác MNPQ là hình bình hành khi và chỉ khi MN = QP .
Bài 10. Dùng thuật ngữ '' điều kiện cần và đủ '' để phát biểu định lí sau
 a) Tam giác ABC vuông khi và chỉ khi AB2 + AC2 = BC2 .
 b) Tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. 
 c) Tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau.
 d) Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi nó có chữ số tận cùng là số chẵn.
 VAÁN ÑEÀ 02 PHÖÔNG PHAÙP CHÖÙNG MINH MEÄNH ÑEÀ
 Phương Pháp. Chứng minh trực tiếp hoặc dung phản chứng.
Bài 11. Chứng minh với mọi số tự nhiên n , ta có
 a) Nếu n lẻ thì n3 lẻ.
 b) Nếu n chia hết cho 3 thì n(n+ 1) chia hết cho 6.
Bài 12. Chứng minh rằng
 a) Mọi số chính phương có dạng 4k hoặc 4k + 1 .
 b) Mọi nguyên tố khác 2 đều là số lẻ.
Lời giải
 2 2
a) Xét số chính phương (2m) và (2m + 1) .
 2 2
 Ta có (2m) = 4m2 = 4k và (2m + 1) = 4m2 + 4m + 1 = k(m2 + m)+ 1 = 4k + 1.
b) Gọi p là số nguyên tố nên p > 1 , chỉ chia hết cho 1 và chính p vì p ¹ 2 nên p không chia hết cho 2. Do đó p lẻ.
10 Bài 13. Chứng minh với mọi x, y , ta có
 a) x2 - xy + y2 + 1> 0 . b) 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ³ 4xy .
Lời giải
 æ ö2
 2 2 ç 1 ÷ 3 2
a) Ta có x - xy + y + 1> 0 Û çx- y÷ + y + 1> 0 : đúng.
 èç 2 ø÷ 4
 2 2
b) Ta có 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ³ 4xy Û (x2 - 4xy + 4y2 )+ 3(x2 + 2x + 1)³ 0 Û (x- 2y) + 3(x + 1) ³ 0 : đúng.
Bài 14. Chứng minh rằng 
 a) Nếu a > 2 thì a3 - 4a2 + 5a- 2 > 0 .
 aA + bB a + b A + B
 b) Nếu a ³ b, A ³ B thì ³ . .
 2 2 2
Lời giải
a) Ta có a3 - 4a2 + 5a- 2 > 0 Û (a- 1)(a2 - 3a + 2)> 0
 2
 Û (a- 1)(a- 1)(a + 2)> 0 Û (a- 2)(a- 1) > 0 : đúng vì a > 2 .
 aA + bB a + b A + B
b) Ta có ³ . Û 2(aA + bB)³ (a + b)(A + B)
 2 2 2
 Û 2(aA + bB)³ aA + aB+ bA + bB Û aA + bB- aB- bA ³ 0
 Û (a- b)(A- B)³ 0 : đúng vì a ³ b, A ³ B .
Bài 15. Chứng minh rằng
 a) Nếu a + b > 0 thì có ít nhất một số a hoặc b dương.
 b) Nếu a và b là hai số dương thì a + b ³ 2 ab .
Lời giải
a) Giả sử cả a và b đều không dương suy ra a £ 0 và b £ 0 nên a + b £ 0 : trái với giả thiết.
 Vậy nếu a + b > 0 thì có ít nhất một số a hoặc b dương.
 2
b) Với a , b dương. Giả sử a + b < 2 ab suy ra a + b- 2 ab = ( a - b) < 0 : vô lí.
 Vậy nếu a , b là hai số dương thì a + b ³ 2 ab .
Bài 16. Cho số tự nhiên n . Chứng minh rằng
 a) Nếu n2 chẵn thì n chẵn.
 b) Nếu n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5.
Lời giải
 2
a) Với số tự nhiên n . Giả sử n lẻ nên n = 2k + 1, k Î ¢ suy ra n2 = (2k + 1) = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2)+ 1 .
 Do đó n2 lẻ: trái giả thiết.
 Vậy nếu n2 chẵn thì n chẵn.
b) Giả sử n2 chia hết cho 5 và n không chia hết cho 5.
 Nếu n = 5k ± 1, k Î ¥ thì n2 = 25k2 ± 10k + 1 = 5(5k2 ± 2k)+ 1 không chia hết cho 5 (mâu thuẩn).
Nếu n = 5k ± 2, k Î ¥ thì n2 = 25k2 ± 20k + 4 = 5(5k2 ± 4k)+ 4 không chia hết cho 5 (mâu thuẫn).
Vậy nếu n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5.
Bài 17. Chứng minh rằng
 a) Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b phải nhỏ hơn 1.
 b) Cho n là số tự nhiên, nếu 5n+ 4 lẻ thì n lẻ.
Lời giải
 11 a) Giả sử a ³ 1 và b ³ 1 , suy ra a + b ³ 2 , mâu thuẫn với giả thiết.
 Vậy nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b phải nhỏ hơn 1.
b) Giả sử n là số tự nhiên chẵn, n = 2k(k Î N). Khi đó 5n+ 4 = 10k + 4 = 2(5k + 2) là một số chẵn (mâu thuẫn).
 Vậy nếu 5n+ 4 lẻ thì n lẻ.
Bài 18. Chứng minh rằng
 a) Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn 600 .
 b) Nếu x ¹ - 1 và y ¹ - 1 thì x + y + xy ¹ - 1 .
Lời giải
a) Không mất tính tổng quát, có thể giả sử A ³ B ³ C .
 Vì tam giác ABC không phải là tam giác đều, ta còn có A > C .
 Giả sử C ³ 600 thì A + B+ C ³ 1800 : vô lí.
 Vậy C < 600 .
 é + = é = -
 êx 1 0 êx 1
b) Giả sử x + y + xy = - 1 . Suy ra x + y + xy + 1 = 0 Û (x + 1)(y + 1)= 0 Û ê Û ê : mâu thuẩn.
 ëy + 1 = 0 ëy = - 1
 Vậy nếu x ¹ - 1 và y ¹ - 1 thì x + y + xy ¹ - 1 .
Bài 19. Chứng minh rằng 2 là số vô tỉ.
Lời giải
 Dễ dàng chứng minh được nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.
 m
 Giả sử 2 là số hữu tỉ, tức là 2 = , trong đó m,n Î ¥ * và (m, n)= 1.
 n
 m
 Từ 2 = suy ra m2 = 2n2 hay m2 là số chẵn nên m là số chẵn. Do đó m = 2k , k Î ¥ * .
 n
 Từ m2 = 2n2 hay 4k2 = 2n2 suy ra n2 = 2k2 hay n2 là số chẵn nên n là số chẵn.
 Từ đó ta có m chẵn và n chẵn. Điều này mâu thuẫn với (m,n)= 1 .
 Vậy 2 là số vô tỉ.
Bài 20. Bằng phương pháp phản chứng, hãy chứng minh rằng '' Nếu hai số nguyên dương có tổng bình phương 
chia hết cho 3 thì cả hai số đó phải chia hết cho 3'' .
Lời giải
Giả sử trong hai số nguyên dương a và b có ít nhất một số không chia hết cho 3 , chẳng hạn a không chia hết cho 3 
. Thế thì a có dạng a = 3k + 1 hoặc a = 3k + 2 . Lúc đó a2 = 3m + 1, nên nếu b chia hết cho 3 hoặc b không chia hết 
cho 3 thì a2 + b2 cũng có dạng 3n+ 1 hoặc 3n+ 2 , tức là a2 + b2 không chia hết cho 3. Điều này trái với giả thiết. 
 Vậy nếu a2 + b2 chia hết cho 3 thì cả a và b đều a2 + b2 chia hết cho 3.
CHUÛ ÑEÀ 03. TAÄP HÔÏP VAØ CAÙC PHEÙP TOAÙN TREÂN TAÄP HÔÏP
1. Tập hợp
 Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.
 Cách xác định tập hợp:
 + Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc {...} .
 + Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp.
 Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu Æ.
2. Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau
 Tập con: A Ì B Û " x Î A Þ x Î B .
 Các tính chất:
 + A Ì A, " A .
 + ÆÌ A, " A .
 + A Ì B, , và B Ì C suy ra A Ì C .
12 Tập bằng nhau A = B Û A Ì B và B Ì A Û " x Î A Û x Î B .
3. Một số tập con của tập hợp số thực
 Khoảng (a;b)= {x Î ¡ a a} .
 é ù
 Đoạn ëa;bû= {x Î ¡ a £ x £ b} . Khoảng (- ¥ ;b)= {x Î ¡ x < b} .
 é é
 Nửa khoảng ëa;b)= {x Î ¡ a £ x < b} . Nửa khoảng ëa;+ ¥ )= {x Î ¡ x ³ a} .
 ù ù
 Nửa khoảng (a;bû= {x Î ¡ a < x £ b} . Nửa khoảng (- ¥ ;bû= {x Î ¡ x £ b} .
4. Các phép toán tập hợp
 Giao của hai tập hợp: A ÇB Û {x|x Î A và x Î B}
 Hợp của hai tập hợp: A È B Û {x|x Î A hoặc x Î B}
 Hiệu của hai tập hợp: A\B Û {x|x Î A và x Ï B}
 Phần bù: Cho B Ì A thì CAB = A\B .
 VAÁN ÑEÀ 01 XAÙC ÑÒNH TAÄP HÔÏP
 Được mô tả theo 2 cách:
 Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp.
 Nêu tính chất đặc trưng.
Bài 1. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử
 a) A = {x Î ¡ (2x- x2 )(2x2 - 3x- 2)= 0} . b) B = {x Î ¢ 2x3 - 3x2 - 5x = 0} .
 c) C = {x Î ¢ 2x2 - 75x- 77 = 0} .
Bài 2. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử
 a) A = {n Î ¥ * 3 < n2 < 30} . b) B = {n Î ¢ x < 3} .
 c) C = {x x = 3k với k Î ¢ và - 4 < x < 12} .
Bài 3. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử
 a) Tập hợp các số chính phương. b) Tập hợp các ước chung của 36 và 120.
 c) Tập hợp các bội chung của 8 và 15.
Bài 4. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng
 a) A = {2; 3; 5;7} . b) B = {- 3;- 2;- 1;0;1; 2; 3} .
 c) C = {- 5;0; 5;10} . d) D = {1; 2; 3; 4;6;9;12;18; 36} .
HD a) A = {x Î ¡ x nguyên tố và x < 10} .b) B = {x Î ¢ x £ 3} .
c) C = {x Î ¢ xM5,- 5 £ x £ 10} .d) D = {n Î ¥ x là ước của 36} 
Bài 5. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng
 ïì 2 3 4 5 6 ïü
 a) A = íï ; ; ; ; ýï . b) B = {0; 3;8;15; 24; 35} .
 îï 3 8 15 24 35þï
 c) C = {- 4;1;6;11;16} . d) D = {1;- 2;7} .
 ïì n ïü
HD a) A = íï n Î ¥ ,2 £ n £ 6ýï .b) B = {n2 - 1 n Î ¥ ,1£ n £ 6} .
 îï n2 - 1 þï
c) C = {5n- 4 n Î ¥ ,0 £ n £ 4} .d) D = {x Î ¡ (x- 1)(x + 2)(x- 7)= 0} .
Bài 7. Viết mỗi tập hợp sau đây theo cách nêu tính chất đặc trưng
 a) Tập hợp các điểm M trên mặt phẳng (P), thuộc đường tròn tâm O và đường kính 2R .
 b) Tập hợp các điểm M trên mặt phẳng (P), thuộc hình tròn tâm O .
Bài 8. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào rỗng ?
 a) A = {x Î ¡ x2 - x + 1 = 0} . b) B = {x Î ¤ x2 - 4x + 2= 0} .
 13 c) C = {x Î ¢ 6x2 - 7x + 1= 0} . d) D = {x Î ¢ x < 1} .
Bài 9. Viết lại các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử
 a) A = {x Î ¥ x £ 4 Çx là bội của 3} . b) B = {x Î ¢ (x2 - 2x)(2x2 - 3x- 5)= 0} .
 ïì æ 1öé ù ïü
 c) C = ï x Î ¤ çx- ÷ x2 - 1+ 3 x + 3 = 0ï . d) D = x Î ¡ x- 1 x- 3 2x- 3 = 0 .
 í ç ÷ê ( ) ú ý { ( )( ) }
 îï è 2øë û þï
Bài 10.
 a) Cho A là tập hợp các số chẵn có hai chữ số. Hỏi A có bao nhiêu phần tử ?
 b) Cho B là tập hợp các số lẻ có 3 chữ số. Hỏi B có bao nhiêu phần tử ?
 c) Cho C là tập hợp các số nguyên dương bé hơn 500 và là bội của 3 . Hỏi C có bao nhiêu phần tử ?
Bài 11. Cho hai tập A , B khác Æ; A È B có 6 phần tử; số phần tử của A ÇB bằng nửa số phần tử của B . Hỏi A , 
B có thể có bao nhiêu phần tử?
 VAÁN ÑEÀ 02 CAÙC PHEÙP TOAÙN TREÂN TAÄP HÔÏP
Bài 12. Cho hai tập hợp A = {0;1; 2; 3; 4} và B = {2; 3; 4; 5;6} .
 a) Tìm các tập A\B, B\A, A È B, A ÇB . b) Tìm các tập (A\B)È(B\A), (A\B)Ç(B\A).
Bài 13. Cho A là tập hợp các học sinh lớp 10 đang học ở trường em, B là tập hợp học sinh đang học tiếng Anh ở 
trường em. Hãy diễn đạt bằng lời các tập
 a) A ÇB . b) A\B .
 c) A È B . d) B\A .
Bài 14. Cho hai tập hợp A và B dưới đây. Viết tập A ÇB, A È B bằng hai cách
 a) A = {x x là ước nguyên dương của 12} và B = {x x là ước nguyên dương của 18} .
 b) A = {x x là bội nguyên dương của 6} và B = {x x là bội nguyên dương của 15} .
Bài 15. Cho các tập hợp A = {1; 2; 3; 4} , B = {2; 4;6;8} , C = {3; 4; 5;6} . Tìm A È B , A ÈC , BÈC , A ÇB , A ÇC , 
BÇC , (A È B)ÇC , A È(BÇC).
Bài 16. Cho tập hợp A các ước số tự nhiên của 18 và tập hợp B các ước số tự nhiên của 30. Xác định A, B , A È B , 
A ÇB , A\B , B\A .
Bài 17. Cho A = {x Î ¥ x £ 5} , B = {x Î ¥ x = 3k - 1,k Î ¥ ,k £ 3} . Xác định tập A, B, A ÇB, A È B, A\B, B\A /
Bài 18. Cho A là tập các số tự nhiên chẵn không lớn hơn 10, B = {n Î ¥ n £ 6} và C = {n Î ¥ 4 £ n £ 10} . Tìm
 a) A Ç(BÈC). b) (A\B)È(A\C)È(B\C). 
Bài 19. Cho tập hợp E = {1; 2; 3; 4; 5;6;7;8;9} và các tập hợp con A = {1; 2; 3; 4} , B = {2; 4;6;8} . Xác định CE A , CEB , 
CE (A È B), CE A ÇCEB .
Bài 20. Cho các tập hợp sau
A = {x Î ¢ - 1£ x < 6} , B = {x Î ¤ (1- 3x)(x4 - 3x2 + 2)= 0} , C = {0;1; 2; 3; 4; 5;6} .
 a) Viết các tập hợp A, B dưới dạng liệt kê các phần tử.
 b) Tìm A ÇB, A È B, A\B, CBÈA A ÇB .
 c) Chứng minh rằng A Ç(BÈC) = A.
Bài 21. Cho các tập hợp A = {x Î ¡ (x2 + 7x + 6)(x2 - 4)= 0} , B = {x Î ¥ 2x £ 8} và C = {2x + 1 x Î ¢ và 
- 2 £ x £ 4} .
 a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới dạng liệt kê các phần tử.
 b) Tìm A È B , A ÇB , B\C , CAÈB (B\C).
 c) Tìm (A ÈC)\B .
Bài 22. Xác định hai tập A , B biết rằng
A\B = {1; 5;7;8} , B\A = {2;10} , A ÇB = {3;6;9} .
14