Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Bài 5: Khoảng cách (Phần 2)

 DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Câu 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D có cạnh đáy bằng a. Gọi M , N , P lần lượt 
là trung điểm của AD , DC , A' D ' . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng MNP và ACC ' .
 a 3 a a
 A. . B. . C. .
 3 4 3
 a 2
 D. .
 4
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
Ta có: MNP // ACA 
 1 a 2
 d MNP ; ACA d P; ACA OD .
 2 4
Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60 , 
đáy ABC là tam giác đều và A cách đều A , B , C . Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng 
trụ.
 a 3 2a
 A. a. B. a 2 . C. . D. .
 2 3
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
Vì VABC đều và AA A B A C A ABC là hình chóp đều.
Gọi A H là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm VABC , 
A AH 60 .
 a 3
A H AH.tan 60 3 a .
 3
Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo 
 o
với mặt đáy góc 60 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A1B1C1 là trung điểm của B1C1. 
Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?
 3 a 2 a
 A. a . B. . C. a . D. .
 2 3 2 2
Hướng dẫn giải:
Ta có: A 'H  ABC A· 'AH 60o. 
 3
d A'B'C ' , ABC A'H A' A.cos60o a . 
 2
Chọn đáp án A. Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt 
phẳng đáy bằng 30 . Hình chiếu H của A trên mặt phẳng A B C thuộc đường thẳng B C . 
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là:
 a a 3 a a 2
 A. . B. . C. . D. .
 3 2 2 2
Hướng dẫn giải:
 A C
 Do hình lăng trụ ABC.A B C có tất cả các cạnh đều 
bằng a suy ra 
 a 3 a B
 AB AC B H HC A H AH . 
 2 2
Chọn đáp án C. 
 A' C'
 H
 B'
Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Khoảng cách giữa AB C và A DC bằng 
:
 a a 3
 A. a 3 . B. a 2 . C. . D. .
 3 3
Hướng dẫn giải:
Ta có 
 B C
d AB C , A DC d B , A DC d D , A DC 
Gọi O là tâm của hình vuông A B C D . Gọi I là hình 
Chiếu của D trên O D , suy ra I là hình chiếu của D 
 A
trên A DC . D
d AB C , A DC d D , A DC 
 B C 
 a 2 I
 .a
 D O .D D a 3
D I 2 .
 2 2 2 3 O 
 D O D D a 2 
 a2
 A D 
 2 
Chọn đáp án D. 
Câu 6: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D có cạnh đáy bằng a. Gọi M , N, P lần lượt 
là trung điểm của AD, DC, A D . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng MNP và ACC . 
 a a 2 a 3 a
 A. . B. . C. . D. .
 3 4 3 4
Hướng dẫn giải:
Nhận xét (ACC )  (ACC A )
Gọi O AC  BD, I MN  BD
Khi đó, OI  AC, OI  AA OI  (ACC A ) 1 a 2 D' C'
Suy ra d (MNP),(ACC ) OI AC 
 4 4 P
Chọn đáp án B. D N C A' B'
 I
 M O D N C
 M
 A B
 A B
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng 
(ACD ) và (BA C ) bằng
 A. khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng A C .
 B. khoảng cách giữa hai điểm B và D .
 C. khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và A C .
 D. khoảng cách giữa trọng tâm của hai tam giác ACD và BA C 
Hướng dẫn giải:
 Ta có (ACD ) / /(BA C ) . A D
 DB  (ACD ) C
 (đã chứng minh trong SGK) B
 DB  (BA C )
 Đáp án D. G
 G'
 A'
 D'
 B'
 C'
Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt 
phẳng (CB D ) và (BDA ) bằng
 a 2 a 3 2a 3 a 6
 A. . B. . C. . D. .
 2 3 3 3
Hướng dẫn giải: A D
Vì A' BD / /(B 'CD ') nên ta có:
d A' BD , B 'CD ' d C; A' BD d A; A' BD .
 B C
Vì AB AD AA' a và A' B A' D BD a 2 nên 
 G
A.A' BD là hình chóp tam giác đều. I
Gọi I là trung điểm A' B, G là trọng tâm tam giác A' BD .
Khi đó ta có: d A; A' BD AG A' D'
 3 a 6
Vì tam giác A' BD đều nên DI a 2. . 
 2 2
 B' C'
 2 a 6
Theo tính chất trọng tâm ta có: DG DI .
 3 3
Trong tam giác vuông AGD có:
 6a2 a 3
 AG AD2 DG2 a2 . Chọn B
 9 3
Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Khoảng cách giữa ACB và DA C bằng
 a 3 a
 A. a 3 . B. a 2 . C. . D. .
 3 3 Hướng dẫn giải:
Vì ACB ' / /(DA'C ') nên ta có:
d ACB ' , DA'C ' d D; ACB ' d B; ACB ' .
Vì BA BB ' BC a và AB ' AC CB ' a 2 nên 
 A D
B.ACB ' là hình chóp tam giác đều. I
Gọi I là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ACB ' .
 C
Khi đó ta có: d B; ACB ' BG B
 3 a 6 G
Vì tam giác ACB ' đều nên B ' I a 2. . 
 2 2 A' D'
 2 a 6
Theo tính chất trọng tâm ta có: B 'G B ' I .
 3 3
 B' C'
Trong tam giác vuông BGB ' có:
 6a2 a 3
 BG BB '2 B 'G2 a2 . Chọn C. 
 9 3
Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' có AB 4, AD 3. Mặt phẳng (ACD ') tạo với 
mặt đáy một góc 60 . Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.
 6 3 12 3 4 3 5 3
 A. . B. . C. . D. .
 5 5 5 3
Hướng dẫn giải:
Gọi O là hình chiếu của D lên AC . A' D'
 ACD'  ABCD AC
Ta có AC DO B' C'
 AC D'O AC  ODD' OD' 
 ·D ' AC , ABCD D· 'OD 600
 A 3
 2 2 AD.DC 12 D
 AC 3 4 5 ; DO 4 60
 AC 5
 O
 12 3
Khoảng cách giữa hai mặt đáy là DD ' DO.tan 600 B C
 5
Chọn đáp án B. DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.
Phương pháp:
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:
￿ Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b . Khi đó
d a,b MN . Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng :
Phương pháp 1
Chọn mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng và song song với ' . Khi đó 
d(D,D ') = d(D ',(a))
 M '
 H
Phương pháp 2
Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng 
đó là khoảng cách cần tìm.
 '
 
Phương pháp 3 Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.
Trường hợp 1: và ' vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ) chứa ' và vuông góc với tại I .
Bước 2: Trong mặt phẳng ( ) kẻ IJ  '.
Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và d( , ') IJ .
 '
 I
 J
Trường hợp 2: và ' chéo nhau mà không vuông góc với nhau
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ) chứa ' và song song với .
Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của D xuống ( ) bằng cách lấy điểm M dựng đoạn 
MN  , lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với .
Bước 3: Gọi H d  ', dựng HK PMN
Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và d( , ') HK MN . K M 
 d
 H N
 '
Hoặc
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )  tại I .
Bước 2: Tìm hình chiếu d của ' xuống mặt phẳng ( ) .
Bước 3: Trong mặt phẳng ( ) , dựng IJ  d , từ J dựng đường thẳng song song với cắt ' tại 
H , từ H dựng HM PIJ .
Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và d( , ') HM IJ .
 '
 M H
 d
 I
 J
￿ Sử dụng phương pháp vec tơ
   
 AM xAB
   
 CN yCD
a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi   
 MN.AB 0
   
 MN.CD 0
   
 OH  u1
     
b) Nếu trong có hai vec tơ không cùng phương u1,u2 thì OH d O, OH  u2 
 H 
   
 OH.u1 0
   
 OH.u2 0 .
 H 
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy 
 ABCD . Gọi K, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD. Chọn khẳng định 
đúng trong các khẳng định sau? A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK. B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là 
 CD. 
 C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH. D. Các khẳng định trên đều sai.
Hướng dẫn giải:
Nếu AK  AC, do AK  AB AK  (ABC) S
 AK  SA (vì SA  (ABC) SA  SD SAD có 2 góc vuông (vô K
lý). H
Theo tính chất của hình vuông CD  AC .
Nếu AC  OH, do AC  BD AC  (SBD) AC  SO SOA có 2 A D
góc vuông (vô lý)
 O
Như vậy AC  AK, AC  CD, AC  OH B C
Chọn đáp án D. 
Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD . 
 a 3 a 2 a 2 a 3
 A. B. . C. . D. .
 2 3 2 3
Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . 
 a 3
Khi đó NA NB nên tam giác ANB cân, suy ra 
 2
NM  AB . Chứng minh tương tự ta có NM  DC , nên 
d AB;CD MN .
Ta có: SABN p p AB p BN p AN (p là nửa chu vi).
 a a 3 a a 3 a a 2a
 . . . .
 2 2 2 2 4
 1 1 2a
Mặt khác: S AB.MN a.MN MN .
 ABN 2 2 2
 3a2 a2 a 2
Cách khác. Tính MN AN 2 AM 2 .
 4 4 2
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AC a 5 và 
BC a 2 . Tính khoảng cách giữa SD và BC . 
 3a 2a a 3
 A. .B. . C. . D. a 3 .
 4 3 2
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
Ta có: BC // SAD 
 d BC;SD d BC; SAD d B; SAD .
 AB  AD
Mà AB  SAD d B; SAD AB .
 AB  SA
Ta có: AB AC 2 BC 2 5a2 2a2 3a .
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB ' và AC
bằng:
 a a a 2 a 3
 A. . B. . C. . D. .
 2 3 2 3 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
 1 a 2
Ta có: d BB ; AC d BB ; ACC ' A DB .
 2 2
Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 1 (đvdt). 
Khoảng cách giữa AA' và BD ' bằng:
 3 2 2 2 3 5
 A. . B. . C. . D. .
 3 2 5 7
Hướng dẫn giải:
Chọn B. 
 1 2
Ta có: d AA ; BD d BB ; DBB D AC .
 2 2
Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD bằng
 a 2 a 3 a a
 A. . B. . C. . D. .
 2 2 2 3
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . 
 a 3
Khi đó NA NB nên tam giác ANB cân, suy ra NM  AB . 
 2
Chứng minh tương tự ta có NM  DC , nên d AB;CD MN .
Ta có: SABN p p AB p BN p AN (p là nửa chu vi).
 a a 3 a a 3 a a 2a
 . . . .
 2 2 2 2 4
 1 1 2a
Mặt khác: S AB.MN a.MN MN .
 ABN 2 2 2
Câu 7: Cho khối lập phương ABCD.A'B'C 'D '. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo 
nhau AD và A'C ' là : 
 A. AA'. B. BB'. C. DA'. D. DD '. Hướng dẫn giải:
 AA'  A' B 'C ' D ' 
 AA'  A'C '
 A'C '  A' B 'C ' D ' 
 AA'  ABCD 
 AA'  AD
 AD  (ABCD
Chọn đáp án A. 
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt 
phẳng đáy, SA a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá 
trị sau?
 A. a. B. a 2. C. a 3. D. 2a. 
Hướng dẫn giải:
Ta có: d CD, SB d CD, SAB AD a. 
Chọn phương án A. 
Câu 9: Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một 
vuông góc với nhau, OA OB OC a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC 
bằng bao nhiêu?
 a a 3 a
 A. a B. C. D. 
 5 2 2
Hướng dẫn giải:
Gọi J là trung điểmOB . Kẻ OH vuông góc AJ tại H .
Tam giác AOJ vuông tạiO , có OH là đường cao
 A
 a
 a.
 OA.OJ a
OH 2 
 2 2 2 5
 OA OJ 2 a 
 a 
 2 
Ta có: OC//IJ nên OC// AIJ H
Do đó: O C
 a 5
d AI,OC d OC, AIJ d O, AIJ OH . J I
 5
Chọn đáp án B. B
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại 
A và B, AB BC a, AD 2a, SA vuông góc với mặt đáy và SA a. Tính khoảng cách giữa SB 
và CD.
 a 2 a a 3 a 2
 A. . B. . C. . D. .
 4 2 3 2
Hướng dẫ giải: Gọi H là trung điểm AD ta có: 
d(CD;SB) d(D;(SBH)) d(A;(SBH)) 
Mà 
 1 1 1 1 3 a 3
 d(CD;SB) 
d2 (A;(SBH)) AS2 AB2 AH2 a 2 3
Chọn đáp án C 
Câu 11: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau 
và AD a. Tính khoảng cách giữa AD và SB.
 a 21 a 21 a 15 a 15
 A. . B. . C. . D. .
 3 7 5 3
Hướng dẫn giải:
Gọi E,F lần lượt là trung điểm AD,BC . Ta có: 
AD,BC  (SFE) , suy ra SF là hình chiếu của SB lên 
mặt phẳng (SEF)
Nên 
 3
 a a
 SE.FE 21
d(AD;SB) d(E;SF) 2 a 
 2 2 3 7
 SE FE a 2 a 2
 4
Chọn đáp án B 
Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AA1 2a, AD 4a . Gọi M là trung điểm AD. 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B1 và C1M bằng bao nhiêu?
 A. 3a. B. 2a 2. C. a 2. D. 2a.
 B C
Hướng dẫn giải:
Ta có A B //C D suy ra M
 1 1 1 1 A
 D
d A1B1,C1M d A1B1, C1D1M d A1, C1D1M 
 B1
Vì AA1 2a, AD 4a và M là trung điểm AD nên A1M  D1M , suy C1
ra A1M  C1D1M 
 A1 D1
 d A1, C1D1M A1M 2a 2 .
Chọn đáp án B. 
Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
AD và A B bằng bao nhiêu ?