Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Bài 5: Khoảng cách (Phần 1)

 KHOẢNG CÁCH
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.
 M
 H
Cho điểm M và một đường thẳng . Trong mp M , gọi H là hình chiếu vuông góc của 
M trên . Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến .
d M , MH
Nhận xét: OH OM ,M 
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng D và D ' :
- Nếu D và D ' cắt nhau hoặc trùng nhau thì d(D,D ') = 0.
- Nếu D và D ' song song với nhau thì d(D,D ') = d(M ,D ') = d(N,D)
 M K 
 '
 H N
3. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
 M
 H
 d
 
Cho mặt phẳng và một điểm M , gọi H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng . 
Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng .
d M , MH 
4. Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng.
 M 
 H
 Cho đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm 
bất kì trên đến mặt phẳng được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 .
d , d M , , M .
- Nếu D cắt (a) hoặc D nằm trong (a) thì d(D,(a)) = 0.
5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
 M
 H
 
Cho hai mặt phẳng và  song song với nhau, khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt 
phẳng này đến mặt phẳn kia được gọi là khoảng cách giữa hai mặt phẳng và  .
d ,  d M ,  d N, , M , N  .
6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng. 
Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b. Độ dài đoạn vuông góc chung MN của a và b được 
gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b .
 M
 '
 N
B – BÀI TẬP
Câu 1: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?
 A. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên 
 mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
 B. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường vuông góc chung 
 của chúng nằm trong mặt phẳng ( ) chứa đường này và ( ) vuông góc với đường kia.
 C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc 
 ( ) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.
 D. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( ) song song với a là khoảng cách từ 
 một điểm A bất kì thuộc a tới mặt phẳng ( )
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A. 
Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
 A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng 
 chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia
 B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó 
 vuông góc với cả hai đường thẳng đó C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa 
 đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
 D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt 
 cả hai đường thẳng đó.
Hướng dẫn giải:
 Đáp án A: Đúng
 Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau. 
 Đáp án C: Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại.
 Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc.
Chọn đáp án D. 
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
 A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông 
 góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với 
 đường thẳng kia.
 B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ 
 một điểm A bất kỳ thuộc a tới mp(P).
 C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M 
 thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên b.
 D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên 
 mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C. 
DẠNG 1: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Δ .
Phương pháp:
Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định được hình chiếu H của 
điểm M trên đường thẳng Δ , rồi xem MH là đường cao của một tam giác nào đó để tính. 
Điểm H thường được dựng theo hai cách sau:
￿ Trong mp M,Δ vẽ MH  Δ d M,Δ MH
￿ Dựng mặt phẳng α qua M và vuông góc với Δ tại H
 d M,Δ MH .
Hai công thức sau thường được dùng để tính MH
 1 1 1
￿ ΔMAB vuông tại M và có đường cao AH thì .
 MH2 MA2 MB2
 2S
￿ MH là đường cao của ΔMAB thì MH MAB .
 AB
Câu 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với ABC và SA 3a. Diện tích 
tam giác ABC bằng 2a2 , BC a . Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?
 A. 2a. B. 4a. C. 3a. D. 5a. 
Hướng dẫn giải: Kẻ AH vuông góc với BC : 
 1 2.S 4a2
S AH.BC AH ABC 4a 
 ABC 2 BC a
Khoảng cách từ S đến BC chính là SH 
Dựa vào tam giác vuông SAH ta có 
SH SA2 AH 2 (3a)2 (4a)2 5a 
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD trong đó SA, AB, BC đôi một 
vuông góc và SA AB BC 1. Khoảng cách giữa hai điểm 
S và C nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?
 3
 A. 2. B. 3. C. 2. D. .
 2
Hướng dẫn giải:
 SA  AB
Do nên SA  (ABC) SA  AC S
 SA  BC
Như vậy SC SA2 AC 2 SA2 (AB2 BC 2 ) 3 
Chọn đáp án B. 
 A C
 B
Câu 3: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC  BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. 
Biết AC a 2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng
 7 4 6 2
 A. a . B. a . C. a . D. a .
 5 7 11 3
Hướng dẫn giải: A
 a 3
Do ABC đều cạnh a nên đường cao MC 
 2
 AC.MC 66 H
d C, AM CH a
 2 2 11
 AC MC C D
Chọn đáp án C. 
 M
 B
Câu 4: Trong mặt phẳng P cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên tia Ax 
vuông góc với mặt phẳng P lấy điểm S sao cho SA a . Khoảng cách từ A đến SBC 
bằng 
 a 21
 A. a 5. B. 2a. C. . D. a 3.
 7
Hướng dẫn giải:
 Gọi M là trung điểm của BC ; H là hình chiếu vuông góc của A trên SM . 
 Ta có BC  AM và BC  SA nên BC  SAM BC  AH. S
Mà AH  SM , do đó AH  SBC .
Vậy AH d A, SBC . a H
 a 3 AS.AM a 21 a
 AM ; AH . A C
 2 AS 2 AM 2 7
 a
Chọn đáp án C. M
 B
Câu 5: Cho tứ diện SABC trong đó SA , SB , SC vuông góc với nhau từng đôi một và
SA 3a , SB a , SC 2a . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:
 3a 2 7a 5 8a 3 5a 6
 A. . B. . C. . D. .
 2 5 3 6
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B. 
 B
+ Dựng AH  BC d A, BC AH .
 H
 AS  SBC  BC AS  BC a
+ , AH cắt AS cùng 
 AH  BC
nằm trong SAH . ?
 BC  SAH  SH BC  SH . S 2a
Xét trong SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có: 3a C
 1 1 1 1 1 5 4a2
 SH 2 
SH 2 SB2 SC 2 a2 4a2 4a2 5
 2a 5 A
 SH .
 5
+ Ta dễ chứng minh được AS  SBC  SH AS  SH ASH vuông tại S .
Áp dụng hệ thức lượng trong ASH vuông tại S ta có:
 4a2 49a2 7a 5
AH 2 SA2 SH 2 9a2 AH .
 5 5 5
Câu 6: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC  BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . 
Biết AC a 2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM 
bằng
 2 6 7 4
 A. a . B. a . C. a . D. a .
 3 11 5 7
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B. 
Dựng CH  AM d C, AM CH .
Vì BCD là tam giác đều cạnh a và M là trung điểm của BD nên dễ tính được 
 a 3
CM .
 2
Xét ACM vuông tại C có CH là đường cao, ta có: 1 1 1 1 1 11 6a2 A
 CH 2 
CH 2 CA2 CM 2 2a2 3a2 6a2 11
 4
 6
 CH a . a 2
 11
 ? H
 a
 a C
 D
 M a
 B
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết 
AD 2a, SA a. Khoảng cách từ A đến SCD bằng:
 3a 3a 2 2a 2a 3
 A. . B. . C. . D. .
 7 2 5 3
Hướng dẫn giải:
SA  ABCD nên SA  CD; AD  CD . S
Suy ra SAD  CD Trong SAD kẻ AH vuông góc SD tại 
 H
H . Khi đó AH  SCD 
 SA.AD a.2a 2a 5
d A, SCD AH ..
 SA2 AD2 a2 (2a)2 5
 A D
Chọn đáp án C. 
Câu 8: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên 
bằng 2a. Khoảng cách từ S đến ABC bằng : B C
 A. 2a. B. a 3. C. a. D. a 5. 
Hướng dẫn giải:
Gọi O là chân đường cao của hình chóp. S
 2 2 3
Ta có AO AH .3a. a 3
 3 3 2
d O,(ABC) SO SA2 AO2 a
Chọn đáp án C. A C
 O
 H
 B
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc 
với mặt phẳng đáy, SA a . Gọi M là trung điểm của CD . Khoảng cách từ M đến SAB 
nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
 a 2
 A. . B. 2a. C. a 2. D. a. 
 2
Hướng dẫn giải:
 Khoảng cách từ M đến SAB : d M , SAB d D, SAB a. Chọn đáp án D. 
 S
 a
 a
 D
 a A
 M
 B C
Câu 10: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC  BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . 
Biết AC a 2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng:
 3a 2 2a 3 4a 5 a 11
 A. . B. . C. . D. .
 2 3 3 2
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
 AC  BD
Ta có: BD  AM (Định lý 3 đường vuông 
 CM  BD
góc) d A; BD AM .
 a 3
CM (vì tam giác BCD đều). 
 2
 3a2 a 11
Ta có: AM AC 2 MC 2 2a2 .
 4 2
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và 
Bˆ 60. Biết SA 2a . Tính khoảng cách từ A đến SC .
 3a 2 4a 3 2a 5 5a 6
 A. . B. . C. . D. .
 2 3 5 2
Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
Kẻ AH  SC , khi đó d A;SC AH . 
ABCD là hình thoi cạnh bằng a và Bˆ 60 VABC đều nên 
AC a .
Trong tam giác vuông SAC ta có:
 1 1 1
AH 2 SA2 AC 2
 SA.AC 2a.a 2 5a
 AH .
 SA2 AC 2 4a2 a2 5
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , SA 2a , ABCD là hình vuông cạnh 
bằng a . Gọi O là tâm của ABCD , tính khoảng cách từ O đến SC .
 a 3 a 3 a 2 a 2
 A. . B. . C. . D. .
 3 4 3 4
Hướng dẫn giải: Chọn A. 
Kẻ OH  SC , khi đó d O;SC OH . Ta có: VSAC : VOCH (g-g) 
 OH OC OC
nên OH .SA .
 SA SC SC
 1 a 2
Mà: OC AC , SC SA2 AC 2 a 6 .
 2 2
 OC a a 3
Vậy OH .SA .
 SC 3 3
Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt 
đáy bằng . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng
 a 2
 A. a 2 cot . B. a 2 tan . C. cos . D. 
 2
a 2
 sin .
 2
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
SO  ABCD , O là tâm của hình vuông ABCD . 
Kẻ OH  SD , khi đó d O;SD OH , S· DO .
 a 2
Ta có: OH ODsin sin .
 2
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA , AB , BC vuông 
góc với nhau từng đôi một. Biết SA 3a , AB a 3 , BC a 6 . Khoảng cách từ B đến 
SC bằng
 A. a 2 . B. 2a . C. 2a 3 . D. a 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B. 
Vì SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một nên CB  SB .
Kẻ BH  SC , khi đó d B;SC BH .
Ta có: SB SA2 AB2 9a2 3a2 2 3a .
Trong tam giác vuông SBC ta có:
 1 1 1 SB.BC
 2 2 2 BH 2a .
BH SB BC SB2 BC 2
Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt 
đáy bằng . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng:
 a 2 a 2
 A. cosα B. a 2 tan C. sinα D. a 2 cotα
 2 2
Hướng dẫn giải:
 a 2
 AC a 2 OC 
 2
 Khoảng cách cần tìm là đoạn OH . a 2
OH OC sin sin . S
 2
Chọn đáp án C. H
 D α
 C
 a
 O
 A B
Câu 16: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AC vuông góc với mặt phẳng (BCD) và BCD là 
tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC a 2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ điểm 
C đến đường thẳng AM bằng
 2 6 7 4
 A. a . B. a . C. a . D. a .
 3 11 5 7
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B. 
Nối CM . Kẻ CH  AM A
Suy ra d(C; AM ) CH 
Xét ACM có 
 1 1 1 1 1 11
CH 2 AC 2 CM 2 2 2 6a2
 a 2 a 3 a 2
 2 H
 6
 CH a
 11 C B
 6
Vậy d(C; AM ) CH a . M
 11 D
Câu 17: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AC vuông góc với mặt 
phẳng (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC a 2 và M là trung điểm của 
BD. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD bằng
 3a 2 2a 3 4a 5 a 11
 A. . B. . C. . D. .
 2 3 3 2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D. 
 a 11
Ta có d(A; BD) AC  BCD AC  BD
 2
Lại có với M là trung điểm BD mà BCD đều nên 
CM  BD
 AC  BD
Từ đó ta có AM  BD
 CM  BD
Suy ra d(A;BD) AM 
Xét tam giác vuông ACM , ta có
 2
 2
 2 2 a 3 a 11
AM AC CM a 2 
 2 2 a 11
Vậy d(A; BD) .
 2
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết 
SA 3a, AB a 3, BC a 6. Khoảng cách từ B đến SC bằng
 A. a 2 . B. 2a . C. 2a 3 . D. a 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B. 
Ta có 
 SA  AB
 SB  BC 
 AB  BC
Suy ra SBC vuông tại B 
Kẻ BH  SC . Ta có d(B;SC) BH
Lại có
 1 1 1 1 1 1
BH 2 SB2 BC 2 SA2 AB2 BC 2 4a2
 d(B;SC) BH 2a .
Câu 19: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của 
hình lập phương đó đến đường thẳng CD bằng
 a 6 a 3
 A. a 2 . B. . C. . D. a 3 .
 2 2
Hướng dẫn giải:
 Gọi M là trung điểm của CD . Do ABCD.A B C D là B C
 hình lập phương nên tam giác ACD ' là tam giác đều cạnh 
 D
 a 2 . A
 a 6 M
 AM  CD d A,CD AM B'
 2 C'
 Đáp án: B. A'
 D'
Câu 20: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của 
hình lập phương đó đến đường thẳng DB bằng
 a 6 a 3 a 6
A. a 2 . B. . C. . D. .
 2 2 3
Hướng dẫn giải:
 Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống DB . B C
 Dễ thấy AD  ABB' A ADB'vuông đỉnh A . 
 A D
 1 1 1 a 6
 AD a; AB a 2 AH 
 AH 2 AD2 AB'2 3
 Đáp án D. 
 B' H
 C'
 A'
 D'