Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Bài 1: Véctơ trong không gian

 VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Định nghĩa và các phép toán 
 Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự 
 như trong mặt phẳng.
 Lưu ý:    
 + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC  
 + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC
     
 + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A B C D , ta có: AB AD AA' AC '
 + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. 
      
 Ta có: IA IB 0 ; OA OB 2OI
 + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:
        
 GA GB GC 0; OA OB OC 3OG
 + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:
          
 GA GB GC GD 0; OA OB OC OD 4OG
 + Điều kiện hai vectơ cùng phương: a vaø b cuøng phöông (a 0) !k R :b ka
 + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1), O tuỳ ý. Ta có:
   
    OA kOB
 MA kMB; OM 
 1 k
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
 Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a,b,c , trong đó a vaø b không cùng phương. 
 Khi đó: a,b,c đồng phẳng ! m, n R: c ma nb
 Cho ba vectơ a,b,c không đồng phẳng, x tuỳ ý. 
 Khi đó: ! m, n, p R: x ma nb pc
3. Tích vô hướng của hai vectơ
 Góc giữa hai vectơ trong không gian: 
   
 AB u, AC v (u,v) B· AC (00 B· AC 1800 )
 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: 
 + Cho u,v 0 . Khi đó: u.v u . v .cos(u,v)
 + Với u 0 hoaëc v 0 . Qui ước: u.v 0
 + u  v u.v 0
4. Các dạng toán thường gặp:
a) Chứng minh đẳng thức vec tơ.
b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ 
không đồng phẳng.
+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách: 
 - Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
 - Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n R: c ma nb thì a,b,c đồng phẳng
+ Để phân tích một vectơ x theo ba vectơ a,b,c không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: 
x ma nb pc
c) Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian 
d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ.
 2 2 2
+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở a a a a . Vì 
vậy để tính độ dài của đoạn ta thực hiện theo các bước sau:
 MN 
 - Chọn ba vec tơ không đồng phẳng a,b,c so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa 
 chúng có thể tính được.  
 - Phân tích MN ma nb pc
   2 2
 - Khi đó MN MN MN ma nb pc 
 2 2 2 
 m2 a n2 b p2 c 2mncos a,b 2npcos b,c 2mpcos c,a 
e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.
 Sử dụng các kết quả    
 A,B,C,D là bốn điểm đồng phẳng DA mDB nDC
 A,B,C,D là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì ta có 
     
 OD xOA yOB zOC trong đó x y z 1.
B – BÀI TẬP
    
Câu 1: Cho hình lăng trụ ABC.A B C , M là trung điểm của BB . Đặt CA a , CB b , AA c . 
Khẳng định nào sau đây đúng?
  1  1  1  1 
 A. AM b c a . B. AM a c b . C. AM a c b . D. AM b a c .
 2 2 2 2
Hướng dẫn giải: A'
 C'
Chọn D. B'
Ta phân tích như sau:
     1  
AM AB BM CB CA BB 
 2 M
 1  1 A C
 b a AA b a c .
 2 2 B
Câu 2: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và 
đủ để A , B , C , D tạo thành hình bình hành là
     
 A. OA OB OC OD 0 . B. OA OC OB OD .
 1 1 1 1
 C. OA OB OC OD . D. OA OC OB OD .
 2 2 2 2
Hướng dẫn giải: O
Chọn B. 
Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:
   A
BD BA BC . D
Với mọi điểm O bất kì khác A , B , C , D , ta có:
         
BD BA BC OD OB OA OB OC OB B
     C
 OA OC OB OD .
    
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA a ; SB b ; SC c ; 
 
SD d . Khẳng định nào sau đây đúng?
 A. a c d b . B. a b c d . C. a d b c . D. a b c d 0 .
Hướng dẫn giải: S
Chọn A. 
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . Ta phân tích như sau: 
    d
 SA SC 2SO a c
    (do tính chất của đường trung tuyến) b
 A
 SB SD 2SO D
     
 SA SC SB SD a c d b . O
 B C 
Câu 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB b, AC c
  
, AD d . Khẳng định nào sau đây đúng?
  1  1 
 A. MP c d b . B. MP d b c .
 2 2  1  1 
 C. MP c b d . D. MP c d b .
 2 2 
Hướng dẫn giải:
Chọn A. A
Ta phân tích: b 
 1   M d
MP MC MD (tính chất đường trung tuyến)
 2 
 c
 1     1  
 AC AM AD AM c d 2AM B D
 2 2 
 1  1 P
 c d AB c d b .
 2 2 C
  
Câu 5: Cho hình hộp ABCD.A B C D có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt AC u ,
   
CA' v , BD x , DB y . Khẳng định nào sau đây đúng?
  1  1 
 A. 2OI u v x y . B. 2OI u v x y .
 2 2
  1  1 
 C. 2OI u v x y . D. 2OI u v x y .
 4 4
Hướng dẫn giải:
 A' D'
Chọn D. v x
Ta phân tích:
        B' C'
u v AC CA AC CC CA AA 2AA . y I u
         
 A
x y BD DB BD DD DB BB 2BB 2AA . D
    
 u v x y 4AA 4A A 4.2OI . O
 B
  1 C
 2OI u v x y .
 4
Câu 6: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB A và 
BCC B . Khẳng định nào sau đây sai? A' D'
  1  1  
 A. IK AC A C .
 2 2 B' C'
 B. Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng.
    I
 C. BD 2IK 2BC . K
    A
 D. Ba vectơ BD ; IK ; B C không đồng phẳng. D
Hướng dẫn giải:
Chọn D. B C
A đúng do tính chất đường trung bình trong B AC và tính 
chất của hình bình hành ACC A .
B đúng do IK // AC nên bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng.
C đúng  do việc ta phân tích:     
BD 2IK BC CD AC BC CD AD DC
    
 BC BC 2BC .
    
D sai do giá của ba vectơ BD ; IK ; B C đều song song hoặc trùng với mặt phẳng ABCD . Do đó, theo 
định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.
Câu 7: Cho tứ diện ABCD . Người ta định nghĩa “G là trọng tâm tứ diện ABCD khi 
    
GA GB GC GD 0 ”. Khẳng định nào sau đây sai?
 A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I , J lần lượt là trung điểm AB và CD ).
 B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD .
 C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC .
 D. Chưa thể xác định được.
Hướng dẫn giải: Chọn D. A
Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD .
Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:
        
GA GB GC GD 0 2GI 2GJ 0 GI GJ 0 I
 G là trung điểm đoạn IJ . G
Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được 
phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương B D
án D sai. J
 C
    
Câu 8: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Đặt x AB ; y AC ; z AD . Khẳng 
định nào sau đây đúng?
  1  1 
 A. AG x y z . B. AG x y z .
 3 3
  2  2 
 C. AG x y z . D. AG x y z .
 3 3
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
Gọi M là trung điểm CD .
Ta phân tích: A
    2   2   
AG AB BG AB BM AB AM AB 
 3 3 x z
  2 1    1    1 y
 AB AC AD AB AB AC AD x y z .
 3 2 3 3 B D
 G M
 C
   
Câu 9: Cho hình hộp ABCD.A B C D có tâm O . Đặt AB a ; BC b . M là điểm xác định bởi 
 1 
OM a b . Khẳng định nào sau đây đúng?
 2 
 A. M là tâm hình bình hành ABB A . B. M là tâm hình bình hành BCC B .
 C. M là trung điểm BB . D. M là trung điểm CC .
Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
 A'
Ta phân tích: D'
 1 1   1   1  
OM a b AB BC AB AD DB . B' C'
 2 2 2 2
 O
 M là trung điểm của BB . A
 a D
 B 
 b C
  
Câu 10: Cho ba vectơ a,b,c không đồng phẳng. Xét các vectơ x 2a b; y 4a 2b; z 3b 2c . 
Chọn khẳng định đúng?  
 A. Hai vectơ y; z cùng phương. B. Hai vectơ x; y cùng phương.
  
 C. Hai vectơ x; z cùng phương. D. Ba vectơ x; y; z đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.   
+ Nhận thấy: y 2x nên hai vectơ x; y cùng phương.
Câu 11: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O . Trong các khẳng định 
sau, khẳng định nào sai?     
 A. Nếu ABCD là hình bình hành thì OA OB OC OD 0 .     
 B. Nếu ABCD là hình thang thì OA OB 2OC 2OD 0
     
 C. Nếu OA OB OC OD 0 thì ABCD là hình bình hành.
     
 D. Nếu OA OB 2OC 2OD 0 thì ABCD là hình thang.
Hướng dẫn giải:
Chọn B. 
Câu 12: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Chọn khẳng định đúng?
    1 1 1 1    
 A. BD, BD , BC đồng phẳng. B. CD , AD, A B đồng phẳng.
   1  1  1  1 1
 C. CD1, AD, A1C đồng phẳng. D. AB, AD,C1 A đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn C. D C
 M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của AB, AA1, DD1,CD .
 Ta có CD / /(MNPQ); AD / / MNPQ ; AC / /(MNPQ) A B
   1 1
 CD1 , AD, A1C đồng phẳng. 
 D1 C
 1
 A B1
 1  
Câu 13: Cho ba vectơ a,b,c không đồng phẳng. Xét các vectơ x 2a b; y a b c; z 3b 2c . 
Chọn khẳng định đúng? 
 A. Ba vectơ x; y; z đồng phẳng. B. Hai vectơ x;a cùng phương.
  
 C. Hai vectơ x;b cùng phương. D. Ba vectơ x; y; z đôi một cùng phương.
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
  1  
Ta có: y x z nên ba vectơ x; y; z đồng phẳng.
 2 
Câu 14: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: 
    1 1 1 1
AB B1C1 DD1 k AC1
 A. k 4 . B. k 1. C. k 0 . D. k 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B. D C
        
+ Ta có: AB B1C1 DD1 AB BC CC1 AC1 . Nên 
k 1. A B
 D1 C1
 A1 B1  
Câu 15: Cho hình hộp ABCD.A B C D có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt AC u ,
    
CA v , BD x , DB y . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
  1   1  
 A. 2OI (u v x y) . B. 2OI (u v x y) .
 4 2
  1   1  
 C. 2OI (u v x y) . D. 2OI (u v x y) .
 2 4
Hướng dẫn giải:
 K
Chọn A. D C
+ Gọi J, K lần lượt là trung điểm của AB,CD .
+Ta có: J
 A B
 O
 D’ C
 ’
 A B’
    1     1  ’
2OI OJ OK OA OB OC OD (u v x y)
 2 4
      
Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 . Đặt AA1 a, AB b, AC c, BC d, trong các đẳng 
thức sau, đẳng thức nào đúng?   
 A. a b c d 0 . B. a b c d . C. b c d 0 . D. a b c .
Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
 A C
     
+ Dễ thấy: AB BC CA 0 b d c 0 .
 B
 A1 C1
 B1
Câu 17: Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành
BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
       
 A. BD, AK,GF đồng phẳng. B. BD, IK,GF đồng phẳng.       
 C. BD, EK,GF đồng phẳng. D. BD, IK,GC đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B. 
 D C
 IK //(ABCD)
    
+ GF //(ABCD) IK,GF, BD đồng phẳng.
 BD  (ABCD) A B
+ Các bộ véctơ ở câu A,C, D không thể có giá cùng song 
song với một mặt phẳng. K
 I
 H G
 E F
Câu 18: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
 A. Nếu giá của ba vectơ a,b,c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.
 B. Nếu trong ba vectơ a,b,c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.
 C. Nếu giá của ba vectơ a,b,c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
 D. Nếu trong ba vectơ a,b,c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
+ Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng.
Câu 19: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
    1 1 1 1    
 A. AC AC 2AC . B. AC CA 2C C 0.
  1 1   1  1  1
 C. AC1 A1C AA1 . D. CA1 AC CC1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
 D C
+ Gọi O là tâm của hình hộp ABCD.A1B1C1D1 .
+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.
 A B
 O
 D1 C
 1
 A B1
 1
Câu 20: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề  sau đây:   
 A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB BC CD DA O
   .
 B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB CD
    .  
 C. Cho hình chóp S.ABCD . Nếu có SB SD SA SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
    
 D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB AC AD .
Hướng dẫn giải: Chọn C. 
 B
 A
           
SB SD SA SC SA AB SA AD SA SA AC.
    
 AB AD AC. ABCD là hình bình hành
 D C
   
Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Ta có AB.EG bằng?
 a2 2
 A. a2 2 . B. a2 . C. a2 3 . D. .
 2
Hướng dẫn giải:
 A B
Chọn B. 
         
AB.EG AB. EF EH AB.EF AB.EH D C
  2       
 AB AB.AD (EH AD) a2 (Vì AB  AD )
 F
 E
 H G
Câu 22: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B,C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ 
để A, B,C, D tạo thành hình bình hành là:
  1   1   1   1  
 A. OA OB OC OD . B. OA OC OB OD .
  2  2  2  2 
 C. OA OC OB OD . D. OA OB OC OD 0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C. B
           A
OA OC OB OD OA OA AC OA AB OA BC 
    
 AC AB BC
 D C
Câu 23: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và 
BCC B . Khẳng định nào sau đây sai ?
  1  1  
 A. Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng B. IK AC A C 
 2 2
       
 C. Ba vectơ BD; IK; B C không đồng phẳng. D. BD 2IK 2BC
Hướng dẫn giải:
Chọn C.   
A. Đúng vì IK, AC cùng thuộc B AC 
    1 1 1 1  1  
B. Đúng vì IK IB B ' K a b a c b c AC A C .
 2 2 2 2 2
    1 1 1 
C. Sai vì IK IB B ' K a b a c b c .
   2 2 2
 BD 2IK b c b c 2c 2B C ba véctơ đồng phẳng.
     
D. Đúng vì theo câu C BD 2IK b c b c 2c 2B C 2BC.
Câu 24: Cho tứ diện ABCD . Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M , N sao cho AM 3MD , 
BN 3NC . Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AD và BC . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào 
sai?       
 A. Các vectơ BD, AC, MN đồng phẳng. B. Các vectơ MN, DC, PQ đồng phẳng.
       
 C. Các vectơ AB, DC, PQ đồng phẳng. D. Các vectơ AB, DC, MN đồng phẳng.
Chọn A. 
 A
         
 MN MA AC CN MN MA AC CN
A. Sai vì         P
 MN MD DB BN 3MN 3MD 3DB 3BN
 M
    1     
 4MN AC 3BD BC BD, AC, MN không đồng phẳng.
 2 B D
B. Đúng vì 
     
 MN MP PQ QN     1   Q
     2MN PQ DC MN PQ DC N
 2 
 MN MD DC CN C
    
 MN, DC, PQ : đồng phẳng.
   1   
C. Đúng. Bằng cách biểu diễn PQ tương tự như trên ta có PQ AB DC .
 2 
  1  1  
D. Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta có MN AB DC . 
 4 4
Câu 25: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
       a2
 A. AD CB BC DA 0 B. AB.BC . 
     2   
 C. AC.AD AC.CD. D. AB  CD hay AB.CD 0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC, BCD,CDA, ABD là các tam giác đều.
         
A. Đúng vì AD CB BC DA DA AD BC CB 0 .
     a2
B. Đúng vì AB.BC BA.BC a.a.cos600 . A
 2
C. Sai vì 
  a2     a2
AC.AD a.a.cos600 ; AC.CD CA.CD a.a.cos600 . 
   2  2
D. Đúng vì AB  CD AB.CD 0. 
 B C
 D
    
Câu 26: Cho tứ diện ABCD . Đặt AB a, AC b, AD c, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Trong 
các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
   1 
 A. AG a b c . B. AG a b c .
 3 
  1  1 
 C. AG a b c . D. AG a b c .
 2 4 Hướng dẫn giải:
Chọn B. A
Gọi M là trung điểm BC . 
   2  2 1   
AG AB BG a BM a . BC BD 
 3 3 2 
 1     1 1 
 a AC AB AD AB a 2a b c a b c . B D
 3 3 3 
 G
 M
 C
Câu 27: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . Gọi M là trung điểm AD . Chọn đẳng thức đúng.
        1  
 A. B M B B B A B C . B. C M C C C D C B .
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
   1  1      
 C. C M C C C D C B . D. BB B A B C 2B D .
 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
Hướng dẫn giải:
Chọn B. 
     1    1   
A. Sai vì B M B B BM BB BA BD BB B A B D
 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 
  1      1  
 BB B A B A B C BB B A B C . 
 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
B. Đúng vì 
    1    1   A B
C M C C CM C C CA CD C C C A C D
 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 
 M
  1      1  
 C C C B C D C D C C C D C B . 
 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 D C
C. Sai. theo câu B suy ra    
D. Đúng vì BB1 B1 A1 B1C1 BA1 BC BD1 . 
 A1 B1
 D1
 C1
     
Câu 28: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA GB GC GD 0 (G là trọng tâm của tứ diện). 
Gọi G là giao điểm của GA và mp (BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
 O        
 A. GA 2G0G . B. GA 4G0G . C. GA 3G0G . D. GA 2G0G .
Hướng dẫn giải: