Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 - Chương 3

 QUAN HỆ VUÔNG GÓC
A – LÝ THUYẾT CHUNG
I - VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
 1. Định nghĩa và các phép toán:
 ✓ Định nghĩa, tính chất và các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn 
 tương tự như trong mặt phẳng.
 ✓ Phép cộng, trừ vectơ:
    
 • Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kì, ta có: AB BC AC .
    
 • Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC .
     
 • Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' , ta có: AB AD AA' AC '.
 ✓ Lưu ý:
 • Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
 Hai vectơ a và b (b 0 ) !k ¡ : a k.b .
 • Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( k 1), điểm O tùy ý. 
   
    OA kOB
 Ta có: MA k.MB OM 
 1 k
 • Trung điểm của đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, điểm O tùy ý.
      
 Ta có: IA IB 0 OA OB 2OI
 • Trọng tâm của tam giác: Cho G là trọng tâm ABC, điểm O tùy ý. 
        
 Ta có: GA GB GC 0 OA OB OC 3OG
 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ:
 ✓ Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt 
 phẳng.
 ✓ Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b, c , trong đó a và b không cùng 
 phương.
 Khi đó: a, b, c đồng phẳng !m, n ¡ : c m.a n.b
 ✓ Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng, x tùy ý.
 Khi đó: !m, n, p ¡ : x m.a n.b p.c
 3. Tích vô hướng của hai vectơ:
   
 ✓ Góc giữa hai vectơ trong không gian: Ta có: AB u, AC v . 
 0 0
 Khi đó: u, v B· AC (0 B· AC 180 )
 ✓ Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
 Cho u, v 0 . Khi đó: u.v u . v .cos u,v 
 • Với u 0 hoặc v 0 , quy ước: u.v 0
 • Với u, v 0 , ta có: u  v u.v 0
II - GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: 
 Vectơ a 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của a song song hoặc trùng 
 với đường thẳng d.
 2. Góc giữa hai đường thẳng:
 ✓ Cho a//a ' , b//b' và a ' , b' cùng đi qua một điểm. Khi đó: a¶,b a· ',b' 
 ✓ Giả sử u, v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và u,v . 
 0 0
 0 90 
 Khi đó: a¶,b 
 0 0 0
 180 90 180 
 ✓ Nếu a//b hoặc a  b thì a¶,b 00 .
 3. Hai đường thẳng vuông góc: 
 ✓ a  b a¶,b 900 .
 ✓ Giả sử u, v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b. Khi đó: a  b u.v 0
 ✓ Cho a//b . Nếu a  c thì b  c .
 Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
III - ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
 1. Định nghĩa: d  ( ) d  a, a  ( )
 d  a
 d  b
 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: d  ( )
 a,b  ( )
 a b I
 3. Tính chất:
 ✓ Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung 
 điểm của đoạn thẳng đó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách 
 đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
 a b
 ✓  b
  a
 a b
 ✓ a  a//b
 b  
 //  
 ✓ a   
 a  
  
 ✓  a //  
   a
 a// 
 ✓ b  a
 b  a  
 ✓ a  b a// 
  b
 4. Định lý ba đường vuông góc: 
 Cho a  và b  , b' là hình chiếu của b lên . Khi đó: a  b a  b'
 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
 ✓ Nếu d vuông góc với thì góc giữa d và là 900 .
 ✓ Nếu d không vuông góc với thì góc giữa d và là thì góc giữa d và d ' với d ' là 
 hình chiếu của d trên .
 ✓ Chú ý: góc giữa d và là thì 00 900 .
IV - GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
 1. Góc giữa hai mặt phẳng: 
 a  
 ✓ Nếu thì góc giữa hai mặt phẳng và  là góc giữa hai đường thẳng a và b.
 b   
 a  d,a  ( )
 ✓ Giả sử ( )  ( ) d . Từ điểm I d , dựng thì góc giữa hai mặt phẳng 
 b  d,b  ( )
 và  là góc giữa hai đường thẳng a và b .
 0 0
 ✓ Chú ý: Gọi góc giữa hai mặt phẳng và  là thì 0 ;90 .
 2. Diện tích hình chiếu của một đa giác:
 Gọi S là diện tích của đa giác ℋ nằm trong và S’ là diện tích của đa giác ℋ’ là hình chiếu 
 vuông góc của đa giác ℋ lên  . Khi đó S ' S.cos với là góc giữa hai mặt phẳng và 
  .
 3. Hai mặt phẳng vuông góc:
 Nếu hai mặt phẳng vuông góc mặt phẳng  thì góc giữa hai mặt phẳng và  bằng 
 0
 90 .
 a  ( )
 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: ( )  ( )
 a  ( )
 4. Tính chất:
   
   d
 ✓ a   
 a  
 a  d   
 A 
 ✓ a  
 A a
 a   
   
 ✓    d   
   d
V - KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
 a) Cho điểm O và đường thẳng . Hạ OH  (H ) . Khi đó 
 khoảng cách từ O tới bằng độ dài đoạn OH . Kí hiệu là 
 d O, .
 b) d O, OA ,với A là điểm bất kì thuộc .
 c) Cho hai đường thẳng a và cắt nhau tại M . Trên a lấy hai 
 d A, MA
 điểm A, B . Khi đó: 
 d B, MB
 d) Cho ABC vuông tại A . Dựng đường cao AH , khi đó ta có: 
 AH d A, BC và AH được tính theo công thức: 
 1 1 1 AB.AC
 hoặc AH .
 AH 2 AB2 AC 2 BC
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
 a) Định nghĩa
 Cho điểm O và mặt phẳng . Dựng OH  , H . 
 Khi đó khoảng cách từ O tới bằng độ dài đoạn OH và 
 được kí hiệu là d O, . b) Giả sử đường thẳng cắt tại M . Trên lấy hai điểm 
 d A, AM
 A, B . Khi đó: .
 d B, BM
 c) (Tính chất tứ diện vuông)
 Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc. Gọi H 
 là hình chiếu của O trên ABC .
 1 1 1 1
 Khi đó OH d O, ABC và .
 OH 2 OA2 OB2 OC 2
 d) Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Khi đó 
 khoảng cách giữa và được định nghĩa bằng khoảng cách 
 từ một điểm bất kì thuộc tới .
 e) Cho hai mặt phẳng và  song song.
 Khi đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng và  là khoảng 
 cách từ một điểm bất kì thuộc tới  .
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
+ Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng vuông góc với 
cả hai đường thẳng a và b và cắt cả hai đường thẳng 
a và b. được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Đoạn 
thẳng AB được gọi
là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.Khi 
đó khoảng 
cách giữa hai đường thẳng a và b bằng độ dài đoạn vuông góc chung 
AB 
+ Nếu gọi (P);(Q) là hai mặt phẳng song song với nhau và lần lượt 
chứa hai 
thẳng a và b chéo nhau thì AB=d(A;(Q))=d(b;(P))=d(( P);(Q) Nhận xét:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách 
hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường 
thẳng còn 
còn lại.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách 
giữa hai 
mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. B - BÀI TẬP
 VÉC TƠ - TÍNH VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1. Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M , N, P,Q lần lượt thuộc AB, BC,CD, DA sao cho 
 1   2   1    
AM AB, BN BC, AQ AD, DP k DC .
 3 3 2
 Hãy xác định k để M , N, P,Q đồng phẳng.
 1 1 1 1
 A. k B. k C. k D. k 
 2 3 4 5
  1  
Câu 2. Cho hình hộp ABCD.A B C D . M là điểm trên cạnh AD sao cho AM AD. N là điểm trên 
 1 1 1 1 2
 P
đường thẳng BD1 . là điểm trên đường thẳng CC1 sao cho M , N, P thẳng hàng.
  
 MN
 Tính  .
 NP
 1 2 1 3
 A. . B. . C. . D. .
 3 3 2 4
Câu 3. Giả sử M , N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC . Gọi I là 
giao điểm của ba mặt phẳng BCM , CAN , ABP và J là giao điểm của ba mặt phẳng 
 ANP , BPM , CMN .
 Ta được S, I, J thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng?
 MS NS PS 1 JS MS NS PS 1 JS
 A. B. 
 MA NB PC 2 JI MA NB PC 4 JI
 MS NS PS 1 JS MS NS PS JS
 C. D. 1 
 MA NB PC 3 JI MA NB PC JI
Câu 4. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là 
   
trọng tâm tam giác BCD, là góc giữa 2 vectơ MG và NP . Khi đó cos có giá trị là:
 2 2 2 1
 A. B. C. D. 
 2 3 6 2
Câu 5. Cho tứ diện ABCD có DA DB DC và B· DA 600 , ·ADC 900 , B· DC 1200 . Trong các mặt 
của tứ diện đó:
 A. Tam giác ABD có diện tích lớn nhất. B. Tam giác BCD có diện tích lớn nhất.
 C. Tam giác ACD có diện tích lớn nhất. D. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Câu 6. Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D . Hình chiếu vuông góc của A lên ABC trùng với trực tâm 
H của tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây không đúng?
 A. AA B B  BB C C . B. AA H  A B C .
 C. BB C C là hình chữ nhật. D. BB C C  AA H .
Câu 7. Cho tứ diện OABC cóOA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O 
trên mặt phẳng ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 1 1 1 1 1 1
 A. . B. . 
 OH 2 AB2 AC2 BC2 OA2 AB2 AC2 BC2
 1 1 1 1 1 1 1 1
 C. . D. . 
 OA2 OB2 OC2 BC2 OH 2 OA2 OB2 OC2
Câu 8. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với 
AB BC a , AD 2a . Cạnh SA 2a và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi M là trung 
điểm của cạnh AB và là mặt phẳng qua M vuông góc với AB . Diện tích thiết diện của mặt phẳng 
 với hình chóp S.ABCD là
 3a2 a2
 A. S a2 . B. S . C. , S . D. S 2a2 .
 2 2
 3
Câu 9. Cho tứ diện SABC có hai mặt ABC và SBC là hai tam giác đều cạnh a, SA a . M là 
 2
điểm trên AB sao cho AM b 0 b a . P là mặt phẳng qua M và vuông góc với BC. Thiết diện 
của P và tứ diện SABC có diện tích bằng?
 2 2 2 2
 3 3 a b 3 a b 3 3 a b 3 3 a b 
 A. . . B. . . C. . D. .
 4 a 4 a 16 a 8 a 
Câu 10. Cho lăng trụ đứng OAB.O ' A' B ' có các đáy là các tam giác vuông cânOA OB a, AA' a 2
. Gọi M , P lần lượt là trung điểm các cạnhOA, AA' . Tính diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ bởi 
 B 'MP ?
 a2 15 5a2 15 5a2 15 a2 15
 A. B. C. D. 
 12 2 12 2 6 2 6 2
Câu 11. Cho tứ diện ABCD có AB  CD , AB CD 6 ; M là điểm thuộc cạnh BC sao cho 
MC xBC 0 x 1 . Mặt phẳng P song song với AB và CD lần lượt cắt BC , AC , AD , BD tại 
M , N , P , Q . Diện tích lớn nhất của tứ giác MNPQ là:
 A. 9 . B. 6. C. 10. D. 12.
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có SA a, SB b, SC c . Một mặt phẳng luôn đi qua trọng tâm 
của tam giác ABC , cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A', B ',C '. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 1 1 1
 .
SA'2 SB '2 SC '2
 3 2 2 9
 A. B. C. D. 
 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2
Câu 13. Cho tứ diện ABCD có BC DA a,CA DB b, AB DC c
 Gọi S là diện tích toàn phần ( tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của 
 1 1 1
 .
 a2b2 b2c2 c2a2
 9 3 2 2
 A. B. C. D. 
 S 2 S S 2 S Câu 14. Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đôi một vuông góc. Gọi , , lần lượt là góc giữa các 
đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng ABC .
 Tìm Giá trị nhỏ nhất của M 2 cot2 2 cot2  2 cot2  .
 A. 64 B. 8 C. 1 D. 64 2
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a, SA a 3 và 
SA  ABC . Gọi M là điểm trên cạnh AB và AM x 0 x a , mặt phẳng đi qua M và 
vuông góc với AB
 Giả sử thiết diện của hình chóp S.ABC với là tứ giác MNPQ .
 a) Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì
 A. Hình chữ nhật B. hình vuông C. hình thang D. hình bình hành
Câu 16. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , đường cao SO 2a . Gọi M là điểm 
thuộc đường cao AA' của tam giác ABC . Xét mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AA' . Đặt 
AM x . Giả sử tồn tại thiết diện của hình chóp khi cắt bởi .
 Giả sử tính được diện tích thiết diện theo a và x . Xác định vị trí của M để diện tích thiết diện 
 lớn nhất.
 a 3 3a 3 3a 3a 3
 A. x B. x C. x D. x 
 8 2 8 8
Câu 17. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc.M là một điểm bất kì thuộc 
miền trong tam giác ABC .
 MA2 MB2 MC 2
 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của T .
 OA2 OB2 OC 2
 A. minT 3 B. minT 2 C. minT 4 D. minT 6
Câu 18. Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh bên bằng 200m , 
góc ·ASB 15 bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS . Trong đó 
điểm L cố định và LS 40m . Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí?
 S
 L
 K
 J
 I
 H
 G
 F
 E
 B C
 A
 D A. 40 67 40 mét. B. 20 111 40 mét. C. 40 31 40 mét. D. 40 111 40 mét.
Câu 19. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Gọi là góc giữa đường thẳng AG và mặt phẳng 
 EBCH . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
 2
 A. 30 . B. 45. C. tan 2 . D. tan .
 3
Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính côsin của góc giữa mặt bên và 
mặt đáy.
 1 1 1 1
 A. . B. . C. . D. .
 3 2 2 3
Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABC không vuông gọi H, K lần 
lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác SBC . Tính số đó góc tạo bởi HK và mặt phẳng SBC 
.
 A. 45. B. 65 . C. 90 . D. 120.
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường 
cao AH vuông góc với mp ABCD . Gọi a là góc giữa BD và mp SAD . Chọn khẳng định đúng 
trong các khẳng định sau:
 3 3
 A. cos a . B. sin a . C. a 60 . D. a 30.
 2 2 2 2
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ABCD và SA a 6 . 
Gọi là góc giữa SC và SAB ,  là góc giữa AC và SBC . Giá trị tan sin  bằng?
 1 7 1 19 7 21 1 20
 A. . B. . C. . D. .
 7 7 7 7
Câu 24. Cho hình chóp đều S.ABCD , đáy có cạnh bằng a và có tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung 
điểm của SA , BC . Biết góc giữa MN và ABCD bằng 60 . Tính góc giữa MN và SAO .
 1 1 3 1
 A. arcsin . B. arcsin . C. arcsin . D. arcsin .
 2 5 5 2 5 4 5
Câu 25. Cho hình chóp đều S.ABCD . Thiết diện qua đỉnh A và vuông góc với cạnh bên SC có diện 
tích thiết diện đó bằng nửa diện tích đáy. Gọi là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính .
 1 33 1 33
 A. arcsin . B. arcsin .
 4 8
 1 33 2 33
 C. arcsin . D. arcsin .
 8 8
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính 
AB 2a , SA vuông góc với ABCD và SA a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD .
 10 5 10 10
 A. arccos . B. arccos . C. arccos . D. arccos .
 5 5 10 3