Trắc nghiệm Hình học Lớp 10 - Chương 2 - Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác (Có đáp án)

 Bài 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Định lí côsin
 Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c .
 A
 Ta có 
 b
 a2 = b2 + c 2 - 2bc.cos A; c
 b2 = c 2 + a2 - 2ca.cos B;
 2 2 2
 c = a + b - 2ab.cosC. B a C
 Hệ quả
 b2 + c 2 - a2 c 2 + a2 - b2 a2 + b2 - c 2
 cos A = ; cos B = ; cosC = .
 2bc 2ca 2ab
2. Định lí sin
 A
 Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b , AB = c và R 
là bán kính đường tròn ngoại tiếp. c b
 Ta có I
 B a C
 a b c
 = = = 2R
 sin A sin B sinC
3. Độ dài đường trung tuyến
 Cho tam giác ABC có ma , mb , mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C . 
 Ta có
 A
 2 2 2
 2 b + c a
 ma = - ;
 2 4 ma b
 c
 a2 + c 2 b2
 m2 = - ;
 b 2 4
 mb mc 
 a2 + b2 c 2 a
 m2 = - . B C
 c 2 4
4. Công thức tính diện tích tam giác
 Cho tam giác ABC có
 ● ha , hb , hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB ;
 ● R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;
 1 ● r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;
 a + b + c
 ● p = là nửa chu vi tam giác;
 2
 ● S là diện tích tam giác. 
 Khi đó ta có:
 1 1 1
 S = ah = bh = ch
 2 a 2 b 2 c
 1 1 1
 = bc sin A = ca sin B = ab sinC
 2 2 2
 abc
 =
 4R
 = pr
 = p(p - a)(p - b)(p - c).
 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
 Vấn đề 1. GIẢI TAM GIÁC
Câu 1. Tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = 8 . Số đo góc Aµ bằng:
 A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 90°.
Câu 2. Tam giác ABC có AB = 2, AC = 1 và Aµ= 60° . Tính độ dài cạnh BC .
 A. BC = 1. B. BC = 2. C. BC = 2. D. BC = 3.
Câu 3. Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3 , cạnh 
 AB = 9 và A·CB = 60° . Tính độ dài cạnh cạnh BC .
 3+ 3 33
 A. BC = 3+ 3 6. B. BC = 3 6 - 3. C. BC = 3 7. D. BC = .
 2
Câu 4. Tam giác ABC có AB = 2, AC = 3 và Cµ= 45° . Tính độ dài cạnh BC .
 6 + 2 6 - 2
 A. BC = 5. B. BC = . C. BC = . D. BC = 6.
 2 2
Câu 5. Tam giác ABC có Bµ= 60°, Cµ= 45° và AB = 5 . Tính độ dài cạnh AC .
 2 5 6
 A. AC = . B. AC = 5 3. C. AC = 5 2. D. AC = 10.
 2
Câu 6. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1 cm và có B·AD = 60° . Tính độ dài cạnh 
 AC .
 A. AC = 3. B. AC = 2. C. AC = 2 3. D. AC = 2.
Câu 7. Tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, AC = 2 7 . Điểm M thuộc đoạn BC sao 
 cho MC = 2MB . Tính độ dài cạnh AM .
 A. AM = 4 2. B. AM = 3. C. AM = 2 3. D. AM = 3 2.
 6 - 2
Câu 8. Tam giác ABC có AB = , BC = 3, CA = 2 . Gọi D là chân đường 
 2
 phân giác trong góc Aµ. Khi đó góc A·DB bằng bao nhiêu độ?
 A. 45°. B. 60°. C. 75°. D. 90°.
Câu 9. Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH = 32 cm . Hai cạnh AB và AC 
 tỉ lệ với 3 và 4 . Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao nhiêu?
 A. 38 cm. B. 40 cm. C. 42 cm. D. 45 cm.
Câu 10. Tam giác MPQ vuông tại P . Trên cạnh MQ lấy hai điểm E, F sao cho 
 các góc M· PE, E·PF, F·PQ bằng nhau. Đặt MP = q, PQ = m, PE = x, PF = y . Trong 
 các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?
 A. ME = EF = FQ. B. ME 2 = q 2 + x 2 - xq.
 C. MF 2 = q 2 + y2 - yq. D. MQ 2 = q 2 + m2 - 2qm.
Câu 11. Cho góc x·Oy = 30° . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và 
 Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:
 3
 A. . B. 3. C. 2 2. D. 2.
 2
Câu 12. Cho góc x·Oy = 30° . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và 
 Oy sao cho AB = 1. Khi OB có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn OA bằng:
 3
 A. . B. 3. C. 2 2. D. 2.
 2
Câu 13. Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau 
 3 bởi đẳng thức b(b2 - a2 )= c (a2 - c 2 ). Khi đó góc B·AC bằng bao nhiêu độ?
 A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 90°.
Câu 14. Tam giác ABC vuông tại A , có AB = c, AC = b . Gọi l a là độ dài đoạn phân 
 ·
 giác trong góc BAC . Tính l a theo b và c .
 2bc 2(b + c) 2bc 2 (b + c)
 A. l = . B. l = . C. l = . D. l = .
 a b + c a bc a b + c a bc
Câu 15. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A , đi thẳng theo hai hướng 
 tạo với nhau góc 600 . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với 
 tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? 
 Kết quả gần nhất với số nào sau đây?
 A. 61 hải lí. 
 B. 36 hải lí. 
 C. 21 hải lí. 
 D. 18 hải lí.
Câu 16. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao 
 giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có 
 thể nhìn thấy điểm C . Ta đo được khoảng cách AB = 40m , C·AB = 450 và C·BA = 700 . 
 Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng 
cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây?
 A. 53 m . 
 B. 30 m . 
 C. 41,5 m . 
 D. 41 m .
 4 Câu 17. Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). 
 Biết AH = 4m, HB = 20m, B·AC = 450 . 
 Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?
 A. 17,5m . 
 B. 17m . 
 C. 16,5m . 
 D. 16m .
Câu 18. Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai 
 điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B và C thẳng hàng. Ta đo được 
 AB = 24 m , C·AD = 630 , C·BD = 480 . 
 Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào sau đây?
 A. 18m . 
 B. 18,5m . 
 C. 60m . 
 D. 60,5m .
Câu 19. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5 m . Từ vị trí quan sát A cao 
 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 
 500 và 400 so với phương nằm ngang. 
 Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?
 A. 12m . 
 B. 19m . 
 C. 24m . 
 D. 29m .
Câu 20. Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt kế 
 giác thẳng đứng cách chân tháp một khoảng CD = 60m , giả sử chiều cao của giác 
 A
 5
 B 60° O
 1m
 D 60m C kế là OC = 1m . 
 Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo 
 thanh ta nhình thấy đỉnh A của tháp. Đọc trên 
 giác kế số đo của góc A·OB = 600 . Chiều cao 
 của ngọn tháp gần với giá trị nào sau đây:
 A. 40m . 
 B. 114m . 
 C. 105m . 
 D. 110m .
Câu 21. Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn 
 núi. Biết rằng độ cao AB = 70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang 
 góc 300 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15030' . 
 Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất 
 với giá trị nào sau đây?
 A. 135m . B. 234m . 
 C. 165m . D. 195m .
 Vấn đề 2. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
Câu 22. Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm và BC = 10cm . Độ dài đường trung 
 tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác bằng:
 A. 4cm . B. 3cm . C. 7cm . D. 5cm .
Câu 23. Tam giác ABC vuông tại A và có AB = AC = a . Tính độ dài đường trung 
 tuyến BM của tam giác đã cho.
 a 5
 A. BM = 1,5a. B. BM = a 2. C. BM = a 3. D. BM = .
 2
Câu 24. Tam giác ABC có AB = 9 cm, AC = 12 cm và BC = 15 cm. Tính độ dài 
 đường trung tuyến AM của tam giác đã cho.
 6 15 13
 A. AM = cm.B. AM = 10 cm. C. AM = 9 cm.D. AM = cm.
 2 2
 15
Câu 25. Tam giác ABC cân tại C , có AB = 9cm và AC = cm . Gọi D là điểm đối 
 2
 xứng của B qua C . Tính độ dài cạnh AD.
 A. AD = 6 cm.B. AD = 9 cm.C. AD = 12 cm.D. AD = 12 2 cm.
Câu 26. Tam giác ABC có AB = 3, BC = 8 . Gọi M là trung điểm của BC . Biết 
 5 13
 cos A·MB = và AM > 3 . Tính độ dài cạnh AC .
 26
 A. AC = 13 . B. AC = 7 . C. AC = 13 .D. AC = 7 .
Câu 27*. Tam giác ABC có trọng tâm G . Hai trung tuyến BM = 6 , CN = 9 và 
 B·GC = 1200 . Tính độ dài cạnh AB .
 A. AB = 11 .B. AB = 13 .C. AB = 2 11 .D. AB = 2 13 .
Câu 28**. Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến lần lượt là 9; 12; 15 . Diện tích 
 của tam giác ABC bằng:
 A. 24 . B. 24 2 . C. 72 . D. 72 2 .
Câu 29*. Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Nếu giữa a, b, c có liên hệ 
 b2 + c 2 = 2a2 thì độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác tính 
 theo a bằng:
 a 3 a 3
 A. . B. . C. 2a 3 . D. 3a 3 . 
 2 3
Câu 30*. Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n . Trong 
 các biểu thức sau, biểu thức nào đúng:
 A. m2 + n2 = 3(a2 + b2 ). B. m2 + n2 = 2(a2 + b2 ).
 C. 2(m2 + n2 )= a2 + b2 . D. 3(m2 + n2 )= a2 + b2 .
Câu 31**. Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau 
 bởi đẳng thức a2 + b2 = 5c 2 . Góc giữa hai trung tuyến AM và BN là góc nào?
 A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 900 . 
Câu 32**. Tam giác ABC có ba đường trung tuyến ma , mb , mc thỏa mãn 
 2 2 2
 5ma = mb + mc . Khi đó tam giác này là tam giác gì?
 7 A. Tam giác cân. B. Tam giác đều. 
 C. Tam giác vuông. D. Tam giác vuông cân.
Câu 33**. Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Gọi ma , mb , mc là độ dài ba 
 đường trung tuyến, G trọng tâm. Xét các khẳng định sau:
 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2
 (I). ma + mb + mc = (a + b + c ). (II). GA + GB + GC = (a + b + c ).
 4 3
 Trong các khẳng định đã cho có
 A. (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai cùng sai. D. Cả hai cùng đúng.
 Vấn đề 3. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP
Câu 34. Tam giác ABC có BC = 10 và Aµ= 30O . Tính bán kính R của đường tròn 
 ngoại tiếp tam giác ABC .
 10
 A. R = 5 .B. R = 10 . C. R = .D. R = 10 3 .
 3
Câu 35. Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6 và Aµ= 60° . Tính bán kính R của đường 
 tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
 A. R = 3 .B. R = 3 3 .C. R = 3 .D. R = 6 .
Câu 36. Tam giác ABC có BC = 21cm, CA = 17cm, AB = 10cm . Tính bán kính R của 
 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
 85 7 85 7
 A. R = cm .B. R = cm .C. R = cm .D. R = cm .
 2 4 8 2
Câu 37. Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R . Khi đó bán 
 kính R bằng:
 a 3 a 2 a 3 a 3
 A. R = .B. R = . C. R = . D. R = .
 2 3 3 4
 12 AB 3
Câu 38. Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = cm và = . Tính 
 5 AC 4
 bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
 A. R = 2,5cm .B. R = 1,5cm .C. R = 2cm . D. R = 3,5cm .
Câu 39. Cho tam giác ABC có AB = 3 3, BC = 6 3 và CA = 9 . Gọi D là trung điểm 
 8 BC . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
 9 9
 A. R = .B. R = 3 .C. R = 3 3 .D. R = .
 6 2
Câu 40**. Tam giác nhọn ABC có AC = b, BC = a , BB ' là đường cao kẻ từ B và 
 C·BB ' = a . Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC được tính theo 
 a, b và a là:
 a2 + b2 - 2ab cosa a2 + b2 + 2ab cosa
 A. R = .B. R = .
 2 sin a 2 sin a
 a2 + b2 + 2ab cosa a2 + b2 - 2ab cosa
 C. R = .D. R = .
 2 cosa 2 cosa
 Vấn đề 4. DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Câu 41. Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, B·AC = 60° . Tính diện tích tam giác ABC
 .
 9 3 9
 A. S = 9 3 .B. S = .C. S = 9 .D. S = .
 DABC DABC 2 DABC DABC 2
Câu 42. Tam giác ABC có AC = 4, B·AC = 30°, A·CB = 75° . Tính diện tích tam giác 
 ABC .
 A. SDABC = 8 .B. SDABC = 4 3 . C. SDABC = 4 .D. SDABC = 8 3 .
Câu 43. Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 . Diện tích của tam giác ABC bằng:
 A. SDABC = 16 .B. SDABC = 48 .C. SDABC = 24 .D. SDABC = 84 .
 ·
Câu 44. Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, BAC = 60° . Tính độ dài đường cao ha 
 của tam giác.
 3
 A. h = 3 3 .B. h = 3 .C. h = 3 .D. h = .
 a a a a 2
Câu 45. Tam giác ABC có AC = 4, A·CB = 60° . Tính độ dài đường cao h uất phát 
 từ đỉnh A của tam giác.
 A. h = 2 3 . B. h = 4 3 .C. h = 2 . D. h = 4 .
Câu 46. Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 . Gọi B ' là hình chiếu vuông góc 
 của B trên cạnh AC . Tính BB ' .
 9 84 168 84
 A. BB ' = 8 . B. BB ' = . C. BB ' = .D. BB ' = .
 5 17 17
Câu 47. Tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 18 cm và có diện tích bằng 64 cm2 . Giá 
 trị sin A ằng:
 3 3 4 8
 A. sin A = .B. sin A = . C. sin A = .D. sin A = .
 2 8 5 9
Câu 48. Hình bình hành ABCD có AB = a, BC = a 2 và B·AD = 450 . Khi đó hình 
 bình hành có diện tích bằng:
 A. 2a2 .B. a2 2 . C. a2 .D. a2 3 .
Câu 49*. Tam giác ABC vuông tại A có AB = AC = 30 cm. Hai đường trung tuyến 
 BF và CE cắt nhau tại G . Diện tích tam giác GFC bằng:
 A. 50 cm2 .B. 50 2 cm2 .C. 75 cm2 .D. 15 105 cm2 .
Câu 50*. Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 4 cm có diện tích bằng:
 A. 13 cm2 B. 13 2 cm2 C. 12 3 cm2 D. 15 cm2 .
Câu 51*. Tam giác ABC có BC = 2 3, AC = 2AB và độ dài đường cao AH = 2 . 
 Tính độ dài cạnh AB .
 2 3
 A. AB = 2 . B. AB = . 
 3
 2 21 2 3
 C. AB = 2 hoặc AB = . D. AB = 2 hoặc AB = .
 3 3
Câu 52*. Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích S . Nếu tăng 
 cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của 
 góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:
 A. 2S . B. 3S . C. 4S . D. 6S .
Câu 53*. Tam giác ABC có BC = a và CA = b . Tam giác ABC có diện tích lớn nhất 
 khi góc C bằng:
 A. 600 .B. 900 . C. 1500 .D. 1200 .
Câu 54*. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM , CN vuông góc với nhau 
 và có BC = 3 , góc B·AC = 300 . Tính diện tích tam giác ABC .
 10