Trắc nghiệm Hình học Lớp 10 - Chương 2 - Bài 2: Tích vô hướng của hai vecto (Có đáp án)

 Bài 2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO
1. Định nghĩa
 r r r r r
 Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, 
 r r
kí hiệu là a.b, được xác định bởi công thức sau:
 r r r r r r
 a.b = a . b cos(a,b)
 r r r r r
 Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta quy ước a.b = 0. 
 Chú ý
 r r r r r r r
 · Với a và b khác vectơ 0 ta có a.b = 0 Û a ^ b. 
 r r r r uur
 · Khi a = b tích vô hướng a.a được kí hiệu là a 2 và số này được gọi là bình 
 r
phương vô hướng của vectơ a. 
 Ta có:
 r 2 r r r 2
 a = a . a .cos 00 = a
2. Các tính chất của tích vô hướng
 Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:
 r r r
 Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k ta có:
 r r r r
 · a.b = b.a (tính chất giao hoán);
 r r r r r r r
 · a(b + c)= a.b + a.c (tính chất phân phối);
 r r r r r r
 · (ka).b = k(a.b)= a.(kb);
 r 2 r 2 r
 · a ³ 0, a = 0 Û a = 0. 
 Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:
 1 r r 2 r 2 r r r 2
 · (a + b) = a + 2a.b + b ; 
 r r 2 r 2 r r r 2
 · (a - b) = a - 2a.b + b ;
 r r r r r 2 r 2
 · (a + b)(a - b)= a - b . 
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
 r r r ur
 Trên mặt phẳng tọa độ (O;i; j), cho hai vectơ a = (a1 ;a2 ), b = (b1 ;b2 ). Khi đó tích 
 r r
vô hướng a.b là:
 r r
 a.b = a1b1 + a2b2.
 r r r
 Nhận xét. Hai vectơ a = (a1;a2 ), b = (b1;b2 ) đều khác vectơ 0 vuông góc với nhau 
khi và chỉ khi 
 a1b1 + a2b2 = 0.
4. Ứng dụng
 a) Độ dài của vectơ
 r
 Độ dài của vectơ a = (a1 ;a2 ) được tính theo công thức: 
 r
 2 2
 a = a1 + a2 .
 b) Góc giữa hai vectơ
 r r
 Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a = (a1 ;a2 ) và b = (b1 ;b2 ) 
 r
đều khác 0 thì ta có 
 r r
 r r a.b a b + a b
 cos a;b = r r = 1 1 2 2 .
 ( ) 2 2 2 2
 a . b a1 + a2 . b1 + b2
 c) Khoảng cách giữa hai điểm
 Khoảng cách giữa hai điểm A(x A ; yA ) và B(xB ; yB ) được tính theo công thức:
 2 2
 AB = (xB - x A ) + (yB - yA ) .
 2 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
 Dạng 1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
 r r r
Câu 1. Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Mệnh đề nào sau 
 đây đúng?
 r r r r r r r r r r r r
 A. a.b = a . b . B. a.b = 0 . C. a.b = - 1. D. a.b = - a . b .
 r r r r r
Câu 2. Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc a giữa hai vectơ a và b khi 
 r r r r
 a.b = - a . b .
 A. a = 1800. B. a = 00. C. a = 900. D. a = 450. 
 r r r r r r
Câu 3. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = 3, b = 2 và a.b = - 3. Xác định góc a 
 r r
 giữa hai vectơ a và b.
 A. a = 300. B. a = 450. C. a = 600. D. a = 1200. 
 r r r r r 2 r r
Câu 4. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = b = 1 và hai vectơ u = a - 3b và 
 5
 r r r r r
 v = a + b vuông góc với nhau. Xác định góc a giữa hai vectơ a và b.
 A. a = 900. B. a = 1800. C. a = 600. D. a = 450. 
 r r
Câu 5. Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai?
 r r 1 ær r 2 r 2 r 2 ö r r 1 ær 2 r 2 r r 2 ö
 A. a.b = ça + b - a - b ÷. B. a.b = ça + b - a - b ÷. 
 2 èç ø÷ 2 èç ø÷
 r r 1 ær r 2 r r 2 ö r r 1 ær r 2 r r 2 ö
 C. a.b = ça + b - a - b ÷. D. a.b = ça + b - a - b ÷.
 2 èç ø÷ 4 èç ø÷
 uuur uuur
Câu 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB.AC.
 uuur uuur uuur uuur a2 3 uuur uuur a2 uuur uuur a2
 A. AB.AC = 2a2 . B. AB.AC = - . C. AB.AC = - . D. AB.AC = . 
 2 2 2
 uuur uuur
Câu 7. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB.BC.
 3 uuur uuur uuur uuur a2 3 uuur uuur a2 uuur uuur a2
 A. AB.BC = a2 . B. AB.BC = . C. AB.BC = - . D. AB.BC = . 
 2 2 2
Câu 8. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Mệnh đề nào sau 
 đây là sai?
 uuur uuur 1 uuur uur 1 uuur uuur a2 uuur uuur 1
 A. AB.AC = a2 . B. AC.CB = - a2 . C. GA.GB = . D. AB.AG = a2 .
 2 2 6 2
Câu 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH . Mệnh đề nào sau 
 đây là sai?
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur a2 uuur uur a2
 A. AH.BC = 0. B. AB,HA = 1500. C. AB.AC = . D. AC.CB = .
 ( ) 2 2
 uuur uuur
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB = AC = a. Tính AB.BC.
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur a2 2 uuur uuur a2 2
 A. AB.BC = - a2 . B. AB.BC = a2 . C. AB.BC = - . D. AB.BC = .
 2 2
 uuur uuur
Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c, AC = b. Tính BA.BC.
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 A. BA.BC = b2 . B. BA.BC = c 2 . C. BA.BC = b2 + c 2 . D. BA.BC = b2 - c 2 . 
 uur uur
Câu 12. Cho tam giác ABC có AB = 2 cm, BC = 3 cm, CA = 5 cm. Tính CA.CB.
 uur uur uur uur uur uur uur uur
 A. CA.CB = 13. B. CA.CB = 15. C. CA.CB = 17. D. CA.CB = 19.
 uuur uuur uuur
Câu 13. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Tính P = (AB + AC ).BC.
 c 2 + b2 c 2 + b2 + a2 c 2 + b2 - a2
 A. P = b2 - c 2 . B. P = . C. P = . D. P = .
 2 3 2
Câu 14. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm cạnh BC. 
 uuuur uuur
 Tính AM.BC.
 uuuur uuur b2 - c 2 uuuur uuur c 2 + b2
 A. AM.BC = . B. AM.BC = .
 2 2
 uuuur uuur c 2 + b2 + a2 uuuur uuur c 2 + b2 - a2
 C. AM.BC = . D. AM.BC = .
 3 2
Câu 15. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô 
 uur uur uuur
 hướng (OA + OB).AB = 0 là
 A. tam giác OAB đều. B. tam giác OAB cân tại O.
 4 C. tam giác OAB vuông tại O. D. tam giác OAB vuông cân tại O.
Câu 16. Cho M , N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào 
 sai?
 uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur
 A. MN (NP + PQ)= MN.NP + MN.PQ . B. MP.MN = - MN.MP .
 uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur
 C. MN.PQ = PQ.MN . D. (MN - PQ)(MN + PQ)= MN 2 - PQ 2 .
 uuur uuur
Câu 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB.AC.
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 1
 A. AB.AC = a2 . B. AB.AC = a2 2. C. AB.AC = a2 . D. AB.AC = a2 .
 2 2
 uuur uuur uur
Câu 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính P = AC.(CD + CA).
 A. P = - 1. B. P = 3a2 . C. P = - 3a2 . D. P = 2a2 .
 uuur uuur uuur uuur uuur
Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P = (AB + AC ).(BC + BD + BA).
 A. P = 2 2a. B. P = 2a2 . C. P = a2 . D. P = - 2a2 .
Câu 20. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. 
 uuur uuur
 Tính AE.AB.
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 A. AE.AB = 2a2 . B. AE.AB = 3a2 . C. AE.AB = 5a2 . D. AE.AB = 5a2 .
Câu 21. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC 
 AC uuur uuuur
 sao cho AM = . Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tính MB.MN.
 4
 uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur
 A. MB.MN = - 4. B. MB.MN = 0. C. MB.MN = 4. D. MB.MN = 16.
 uuur uuur
Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5. Tích AB.BD.
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 A. AB.BD = 62. B. AB.BD = 64. C. AB.BD = - 62. D. AB.BD = - 64.
 uuur uuur
Câu 23. Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính AB.AC.
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 A. AB.AC = 24. B. AB.AC = 26. C. AB.AC = 28. D. AB.AC = 32.
Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm, AD = 12 cm , góc A·BC nhọn và 
 uuur uuur
 diện tích bằng 54 cm2 . Tính cos(AB,BC ).
 5 uuur uuur 2 7 uuur uuur 2 7
 A. cos AB,BC = . B. cos AB,BC = - .
 ( ) 16 ( ) 16
 uuur uuur 5 7 uuur uuur 5 7
 C. cos AB,BC = . D. cos AB,BC = - .
 ( ) 16 ( ) 16
Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = a 2 . Gọi K là trung điểm 
 uuur uuur
 của cạnh AD. Tính BK.AC.
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 A. BK.AC = 0. B. BK.AC = - a2 2. C. BK.AC = a2 2. D. BK.AC = 2a2 .
 Dạng 2. QUỸ TÍCH
 uuur uuur uuur
Câu 26. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA(MB + MC )= 0 là:
 A. một điểm. B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn.
 uuur uuur uuur uuur
Câu 27. Tìm tập các hợp điểm M thỏa mãn MB(MA + MB + MC )= 0 với A, B, C 
 là ba đỉnh của tam giác.
 A. một điểm. B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn.
 uuur uuur
Câu 28. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA.BC = 0 là:
 A. một điểm. B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn.
Câu 29*. Cho hai điểm A, B cố định có khoảng cách bằng a . Tập hợp các điểm 
 uuur uuur
 N thỏa mãn AN.AB = 2a2 là:
 A. một điểm. B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn.
Câu 30*. Cho hai điểm A, B cố định và AB = 8. Tập hợp các điểm M thỏa mãn 
 uuur uuur
 MA.MB = - 16 là: 
 A. một điểm. B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn.
 Dạng 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ
 Cho tam giác ABC với ba đỉnh có tọa độ xác định A(x A ; yA ), B(xB ; yB ), C (xC ; yC ) thì
 6 æx + x y + y ö
 Trung điểm I của đoạn AB ¾ ¾® I ç A B ; A B ÷.
 èç 2 2 ø÷
 æx + x + x y + y + y ö
 Trọng tâm G ¾ ¾® Gç A B C ; A B C ÷.
 èç 3 3 ø÷
 uuur uuur
 ì
 ï HA.BC = 0
 Trực tâm H ¾ ¾® íï uuur uur .
 ï
 îï HB.CA = 0
 ïì AE 2 = BE 2
 ¾ ¾® = = Û ï
 Tâm đường tròn ngoại tiếp E EA EB EC í 2 2 .
 îï AE = CE
 uuur uuur
 ì
 ï AK.BC = 0
 Chân đường cao K hạ từ đỉnh A ¾ ¾® íï uuur uuur .
 ï
 îï BK = kBC
 uuur AB uuur
 Chân đường phân giác trong góc A là điểm D ¾ ¾® DB = - .DC.
 AC
 Chu vi: P = AB + BC + CA . 
 1 1
 Diện tích: S = AB.AC.sin A = AB.AC. 1- cos2 A . 
 2 2
 uuur uuur
 Góc A : cos A = cos(AB, AC ). 
 uuur uuur
 ïì AB.AC = 0
 Tam giác ABC vuông cân tại A ¾ ¾® íï .
 ï
 îï AB = AC
Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3;- 1), B(2;10), C (- 4;2). Tính 
 uuur uuur
 tích vô hướng AB.AC.
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 A. AB.AC = 40. B. AB.AC = - 40. C. AB.AC = 26. D. AB.AC = - 26.
Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3;- 1) và B(2;10). Tính tích 
 uuur uur
 vô hướng AO.OB.
 uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur
 A. AO.OB = - 4. B. AO.OB = 0. C. AO.OB = 4. D. AO.OB = 16.
 r r r r r r
Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = 4i + 6 j và b = 3i - 7 j. Tính 
 r r
 tích vô hướng a.b.
 r r r r r r r r
 A. a.b = - 30. B. a.b = 3. C. a.b = 30. D. a.b = 43.
 7 r r
Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 3;2) và b = (- 1;- 7). Tìm 
 r r r r r
 tọa độ vectơ c biết c.a = 9 và c.b = - 20.
 r r r r
 A. c = (- 1;- 3). B. c = (- 1;3). C. c = (1;- 3). D. c = (1;3).
 r r r
Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = (1;2), b = (4;3) và c = (2;3).
 r r r
 Tính P = a.(b + c).
 A. P = 0. B. P = 18. C. P = 20. D. P = 28.
 r r
Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 1;1) và b = (2;0). Tính 
 r r
 cosin của góc giữa hai vectơ a và b.
 r r 1 r r 2
 A. cos(a,b)= . B. cos(a,b)= - .
 2 2
 r r 1 r r 1
 C. cos(a,b)= - . D. cos(a,b)= .
 2 2 2
 r r
Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 2;- 1) và b = (4;- 3). Tính 
 r r
 cosin của góc giữa hai vectơ a và b.
 r r 5 r r 2 5
 A. cos a,b = - . B. cos a,b = .
 ( ) 5 ( ) 5
 r r 3 r r 1
 C. cos a,b = . D. cos a,b = .
 ( ) 2 ( ) 2
 r r
Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (4;3) và b = (1;7). Tính góc 
 r r
 a giữa hai vectơ a và b.
 A. a = 90O. B. a = 60O. C. a = 45O. D. a = 30O.
 ur ur
Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ x = (1;2) và y = (- 3;- 1). Tính 
 ur ur
 góc a giữa hai vectơ x và y.
 A. a = 45O. B. a = 60O. C. a = 90O. D. a = 135O.
 r r
Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (2;5) và b = (3;- 7). Tính 
 r r
 góc a giữa hai vectơ a và b.
 A. a = 30O. B. a = 45O. C. a = 60O. D. a = 135O.
 8 r
Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a = (9;3). Vectơ nào sau đây không 
 r
 vuông góc với vectơ a ?
 ur ur ur uur
 A. v1 = (1;- 3). B. v2 = (2;- 6). C. v3 = (1;3). D. v4 = (- 1;3).
Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;2), B(- 1;1) và C (5;- 1). Tính 
 uuur uuur
 cosin của góc giữa hai vectơ AB và AC.
 uuur uuur 1 uuur uuur 3
 A. cos AB, AC = - . B. cos AB, AC = .
 ( ) 2 ( ) 2
 uuur uuur 2 uuur uuur 5
 C. cos AB, AC = - . D. cos AB, AC = - .
 ( ) 5 ( ) 5
Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(6;0), B(3;1) và 
 C (- 1;- 1). Tính số đo góc B của tam giác đã cho.
 A. 15O. B. 60O. C. 120O. D. 135O.
Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(- 8;0), B(0;4), C (2;0) và 
 D(- 3;- 5). Khẳng định nào sau đây là đúng?
 A. Hai góc B·AD và B·CD phụ nhau.B. Góc B·CD là góc nhọn.
 uuur uuur uur uuur
 C. cos(AB, AD)= cos(CB,CD). D. Hai góc B·AD và B·CD bù nhau.
 r 1 r r r r r
Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i - 5 j và v = ki - 4 j. Tìm 
 2
 r r
 k để vectơ u vuông góc với v.
 A. k = 20. B. k = - 20. C. k = - 40. D. k = 40. 
 r 1 r r r r r
Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i - 5 j và v = ki - 4 j. Tìm 
 2
 r r
 k để vectơ u và vectơ v có độ dài bằng nhau.
 37 37 37 5
 A. k = . B. k = . C. k = ± . D. k = . 
 4 2 2 8
 r r
Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = (- 2;3), b = (4;1) và 
 r r r r r r
 c = ka + mb với k, m Î ¡ . Biết rằng vectơ c vuông góc với vectơ (a + b). Khẳng 
 định nào sau đây đúng? 
 9 A. 2k = 2m. B. 3k = 2m. C. 2k + 3m = 0. D. 3k + 2m = 0. 
 r r
Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 2;3) và b = (4;1). Tìm 
 ur r ur r ur
 vectơ d biết a.d = 4 và b.d = - 2 .
 ur æ5 6ö ur æ 5 6ö ur æ5 6ö ur æ 5 6ö
 A. d = ç ; ÷. B. d = ç- ; ÷. C. d = ç ;- ÷. D. d = ç- ;- ÷. 
 èç7 7ø÷ èç 7 7ø÷ èç7 7ø÷ èç 7 7ø÷
 r r r r r
Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ u = (4;1), v = (1;4) và a = u + m.v 
 r
 với m Î ¡ . Tìm m để a vuông góc với trục hoành.
 A. m = 4. B. m = - 4. C. m = - 2. D. m = 2. 
 r r
Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = (4;1) và v = (1;4). Tìm m 
 r r r r r r
 để vectơ a = m.u + v tạo với vectơ b = i + j một góc 450.
 1 1 1
 A. m = 4. B. m = - . C. m = - . D. m = . 
 2 4 2
 Dạng 4. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI
Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách giữa hai điểm M (1;- 2) và 
 N (- 3;4).
 A. MN = 4. B. MN = 6. C. MN = 3 6. D. MN = 2 13.
Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;4), B(3;2), C (5;4). 
 Tính chu vi P của tam giác đã cho.
 A. P = 4 + 2 2. B. P = 4 + 4 2. C. P = 8 + 8 2. D. P = 2 + 2 2. 
 r r r 3 r 4 r r
Câu 53. Trong hệ tọa độ (O;i ; j ), cho vectơ a = - i - j . Độ dài của vectơ a bằng
 5 5
 1 6 7
 A. . B. 1. C. . D. . 
 5 5 5
 r r
Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = (3;4) và v = (- 8;6). Khẳng 
 định nào sau đây đúng?
 r r r r
 A. u = v . B. u và v cùng phương.
 r r r r
 C. u vuông góc với v . D. u = - v.
 10