Trắc nghiệm Hình học Lớp 10 - Chương 1 - Bài 3: Tích một số với một vecto (Có đáp án)

 BÀI 3: TÍCH MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO
1. Định nghĩa
 r r r r r
 Cho số k ¹ 0 và vectơ a ¹ 0. Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là k a, cùng hướng với a 
 r r
nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k . a .
2. Tính chất
 r r
 Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta 
 có
 r r r r
 • k(a + b )= k a + k b ;
 r r r
 • (h + k)a = h a + k a ;
 r r
 • h(k a)= (hk)a ;
 r r r r
 • 1.a = a, (- 1).a = - a. 
3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
 a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có 
 uuur uuur uuur
 MA + MB = 2 MI.
 b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có 
 uuur uuur uuur uuur
 GA + GB + GC = 3 MG.
4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
 r r r r
 Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b (b ¹ 0) cùng phương là có một số k để 
 r r
 a = k b.
 Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để 
 uuur uuur
 AB = k AC.
5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
 r r r
 Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất 
 r r r r r
theo hai vectơ a và b, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho x = h a + k b.
II – DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xác định vectơ ka 
 Phương pháp: Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không 
 cùng phương, ta thường sử dụng:
 – Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
 – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
 – Tính chất của các hình.
    
Ví dụ 1: Cho a AB và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho: OM 3a; ON 4a (Sai hình)
 Hướng dẫn giải: 
 Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O giá của a thì d là giá của a ) a
  
 Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a |, OM và a cùng hướng khi đó N O M
 
OM 3a .
   
 Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| a |, ON và a ngược hướng nên ON 4a 1
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM= AB. Tìm k trong các 
 5
đẳng thức sau:      
 a )AM k AB; b )MA kMB; c )MA k AB
 Hướng dẫn giải:
 A M B
  
   | AM | AM 1   1
a) AM k AB | k |  , vì AM  AB k=
 | AB | AB 5 5
 1
b) k= 
 4
 1
c) k= 
 5
Ví dụ 3: a) Chứng minh:vectơ đối của 5a là 5 a
 b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2a 3b , a 2b
 Hướng dẫn giải:
a) 5a 1 5a 1 .5 a 5 a
b) 2a 3b 1 2a 3b 1 2a 1 3b 2 a 3 b 2a 3b
Dạng 2: Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương
Ví dụ 4: Cho ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh  BC, CA, 
AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt u AE; v AF . Hãy phân tích các vectơ AI ,AG,DE,DC theo 
hai vectơ u,v . A
 Hướng dẫn giải:
  1  1   1 1 
 Ta có AI AD ( AE AF ) u v )
 2 2 2 2
  2  2 2 
 AG AD u v
  3 3 3 
 DE FA AF 0.u ( 1)v
     C
 DC FE AE AF u v
  
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC.  Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM 
theo hai vectơ u AB, v AC .
 Hướng dẫn giải:
     2  
 Ta có AM AB BM AB BC 
    3
 mà BC AC AB
   2   1 2 
 AM AB ( AC AB ) u v
 3 3 3
Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
     
 + A, B, C thẳng hàng AB cùng phương AC  0≠k : AB k AC
   ¡
 + Nếu AB kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD. 
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao
 1
AK AC . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
 3 Hướng dẫn giải:
 Ta có 
     1  
 2BI BA BM BA BC
 2
    
 4BI 2BA BC (1)
Ta lại có
    1  
BK BA AK BA AC
 3
  1   2  1  
 BA ( BC BA ) BA BC
 3 3 3
    
3BK 2BA BC ( 2 )
    4  
 Từ (1)&(2) 3BK 4BI BK BI B, I, K thẳng hàng.
 3
Ví dụ 7: Cho tam giác  ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức: 
BC MA 0 , AB NA 3AC 0 . Chứng minh MN//AC
 Hướng dẫn giải:
     
BC MA AB NA 3AC 0
      
hay AC MN 3AC 0 MN 2AC
    
MN / / AC . Theo giả thiết BC AM
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
 M không thuộc AC MN//AC
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số
Ví dụ 8: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB vàCD . Chứng minh:
    
 2MN AC BD M
Hướng dẫn giải: A B
         
 VP AC BD AM MN NC BM MN ND D
 N
      C
 2MN AM BM ND NC
  
 2MN
     
Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB 2AC AD 3AC .
  Hướng  dẫn giải:
Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có AB AD AC
     
 VT= AC 2AC 3AC VP (đpcm)
Ví dụ 10: Chứng  minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì 
3GG' AA' BB' CC' .
 Hướng dẫn giải:
    
VP AA' BB' CC'
          
 AG GG' G' A' BG GG' G' B' CG GG' G' C'
        
 3GG' AG BG CG G' A' G' B' G' C'
        
 3GG' ( GA GB GC ) G' A' G' B' G' C'
  
 3GG'
Dạng 5: Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ
  
 + AB 0 A  B
  
 + Cho điểm A và a . Có duy nhất M sao cho : AM a     
 + AB AC B  C; AD BD A  B
   
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG 2GD .
 Hướng dẫn giải:
  A
AG 2GD A,G, D thẳng hàng. 
AG=2GD và G nằm giữa A và D. 
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC. G
   B I C
Ví dụ 12: Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: IA 2IB 0 .
 Hướng dẫn giải:
      
IA 2IB 0 IA 2IB IA 2IB A I B
   1
hay IA=2IB, IA IB . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB= AB
 3     
Ví dụ 13: Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: GA GB GC GD 0
    Hướng dẫn giải:
Ta có GA GB 2GI , trong đó I là trung điểm AB
    B
Tương tự GC GD 2GK , K là trung điểm CD
      C
GA GB GC GD 2GI 2GK I
   K
hay GI GK 0
 A
 D
 G là trung điểm IK
 BÀI 3: TÍCH MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ.
II - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. Dạng 1: Đẳng thức véctơ không dùng tính chất trung điểm, trọng tâm
Nhận biết
Câu 1. Chọn phát biểu sai?   
 A. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB k BC , k 0 .
   
 B. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AC k BC , k 0 .
   
 C. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB k AC , k 0 .
   
 D. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB = k AC .
 Hướng dẫn giải
 Chọn D.   
 Ta có ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi  k ¡ ,k 0 sao cho AB = k AC .
Câu 2. Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
 1 1 
 A. 3a b và a 6b . B. a b và 2a b .
 2 2
 1 1 1 
 C. a b và a b . D. a b và a 2b .
 2 2 2
 Hướng dẫn giải
 Chọn C. 
 1 1 
 Ta có a b a b nênchọn Đáp ánC. 
 2 2 
  
Câu 3. Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương? 1 3 3 
 A. u 2a 3b và v a 3b . B. u a 3b và v 2a b .
 2 5 5
 2 3 1 1 
 C. u a 3b và v 2a 9b .D. u 2a b và v a b .
 3 2 3 4
 Hướng dẫn giải
 Chọn D. 
 1 1 1 3 1 
 Ta có v a b 2a b u .
 3 4 6 2 6
 Hai vectơ u và v là cùng phương.
     
Câu 4. Cho a, b không cùng phương, x 2 a b . Vectơ cùng hướng với x là:
    1      
 A. 2 a b .B. a b . C. 4 a 2 b . D. a b .
 2
 Hướng dẫn giải
 Chọn B. 
  1  1   1  
 Ta có a b 2 a b x . Chọn B. 
 2 2 2
Câu 5. Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
 1 1 1 
 A. a b và a 2b . B. a b và a b .
 2 2 2
 1 1 1 
 D. a 2b và a b .
 2 2 2
 1 
 D. 3a b và a 100b .
 2
 Hướng dẫn giải
 Chọn A. 
 1 1 
 Ta có a b a 2b nên chọn. A. 
 2 2 
Thông hiểu
Câu 6. Cho vectơ b 0, a 2b , c a b . Khẳng định nào sau đây sai?
 A. Hai vectơ b và c bằng nhau. B. Hai vectơ b và c ngược hướng.
 C. Hai vectơ b và c cùng phương. D. Hai vectơ b và c đối nhau.
 Hướng dẫn giải
 Chọn A. 
 Ta có a 2b c a b 2b b b .
 Vậy hai vectơ b và c đối nhau.
Câu 7. Biết rằng hai vectơ a và b không cùng phương nhưng hai vectơ 2a 3b và a x 1 b cùng 
 phương. Khi đó giá trị của x là:
 1 3 1 3
 A. . B. .C. . D. .
 2 2 2 2
 Hướng dẫn giải
 Chọn C. 
 1 x 1 1
 Ta có 2a 3b và a x 1 b cùng phương nên có tỉ lệ: x .
 2 3 2
2. Dạng 2: Dùng tính chất trung điểm, trọng tâm – ba điểm thẳng hàng
Nhận biết
  
Câu 8. Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G . Khi đó GA  2  2  1  
 A. 2GM . B. GM .C. AM . D. AM .
 3 3 2
 Hướng dẫn giải
 Chọn C. 
 A
 G
 B C 2    2  
 M Ta có GA AM Mặt khác GA và AM ngược hướng GA AM
 3 3
 .
Câu 9. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và trung tuyến AM . Khẳng định nào sau đây là sai:
       
 A. GA 2GM 0 . B. MA MB MC 3MG,M
      
 C. GA GB GC 0 .D. AM 2MG .
 Hướng dẫn giải
 Chọn D. 
 A
 G
 B C   
 M Ta có AM 3MG . Mặt khác AM và MG ngược hướng 
   
 AM 3MG .
Câu 10. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
       
 A. M : MA MB MC 0 . B. M : MA MC MB .
      
 C. AC AB BC .D. k R : AB k AC .
 Hướng dẫn giải
 Chọn D. 
 Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng là 
   
 k R : AB k AC .
Câu 11. Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn AB .
       
 A. OA OB . B. OA OB . C. AO BO .D. OA OB 0 .
 Hướng dẫn giải
 Chọn D.  
 Điểm O là trung điểm của đoạn AB khi và chỉ khi OA OB; OA và ngược hướng.
   
 Vậy OA OB 0 .
Câu 12. Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC .Khẳng định nào sau đây đúng
         
 A. BI IC B. 3BI 2IC C. BI 2IC D. 2BI IC
 Hướng dẫn giải 
 Chọn A vì I là trung điểm của BC nên BI CI và BI 
    
 cùng hướng với IC do đó hai vectơ BI , IC bằng nhau hay 
   
 BI IC .
Câu 13. Cho điểm O là trung điểm của đoạn AB. Khẳng định nào 
 sau đây là đúng?
     
 A. O A BO. B. O A O B.
     
 C. AO BO. D. A B 2O A.
 Hướng dẫn giải
 Chọn A. Câu 14. Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên:     
 A. 2AI 3AB 0. B. 3BI 2BA 0 . C. 2IA 3IB 0 .D. 2BI 3BA 0 .
 I A
 B
 Hướng dẫn giải
 Chọn D. 
 2    2  
 Ta có BA BI; BI và BA ngược hướng nên BA BI
 3 3
  2    
 BA BI 2BI 3BA 0
 3  
 Vậy 2BI 3BA 0 .
Câu 15. Phát biểu nào là sai?
       
 A. Nếu AB AC thì AB AC .B. AB CD thì A, B,C, D thẳng hàng.
       
 C. Nếu 3AB 7AC 0 thì A, B,C thẳng hàng. D. AB CD DC BA .
 Hướng dẫn giải
 Chọn B. 
   AB / /CD
 AB CD thì . Nên Đáp án B SAI.
 AB  CD
Câu 16. Cho tam giác ABC , có trọng tâm G . Gọi A1, B1,C1 lần lượt là trung điểm của BC,CA, AB . 
 Chọn khẳng định sai?
       
 A. GA GB GC 0 . B. AG BG CG 0 .
  1  1  1   
 C. AA1 BB1 CC1 0 .D. GC 2GC1 .
 A
 C1 B1
 G
 B C
 A1
 Hướng dẫn giải
 Chọn D.    
 Ta cóGC 2GC1 nên GC 2GC1 sai.
 Chọn D. 
Câu 17. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì đẳng thức nào sau đây đúng?
     
  3(AB AC)  AB AC
 A. AG .B. AG .
 2 3
     
  2(AB AC)  AB AC
 C. AG . D. AG .
 3 2
 Hướng dẫn giải
 Chọn B. 
 Gọi M là trung điểm BC .
   
  2  2 1    AB AC
 Ta có AG AM . AB AC AG .
 3 3 2 3
Câu 18. Xét các phát biểu sau:   
 (1) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là BA 2AC
   
 (2) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là CB CA
   
 (3) Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của đoạn PQ là PQ 2PM
 Trong các câu trên, thì:
 A. Câu (1) và câu (3) là đúng. B. Câu (1) là sai.
 C. Chỉ có câu (3) sai. D. Không có câu nào sai.
 Hướng dẫn giải
 Chọn A. 
 Ta có   
 (1) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là BA 2AC
   
 (3) Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của đoạn PQ là PQ 2PM
   
 Phát biểu sai: (2) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là CB CA
 Do đó câu (1) và câu (3) là đúng.
Thông hiểu
Câu 19. Gọi CM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm củaCM . Đẳng thức nào sau 
 đây đúng?      
 A. DA DB 2DC 0 . B. DA DC 2DB 0 .
       
 C. DA DB 2CD 0 . D. DC DB 2DA 0 .
 Hướng dẫn giải
 A
 M
 D
 B C
 Chọn A. 
 Ta có
        
 DA DB 2DC 2DM 2DC 2 DM DC 2.0 0 .
    
Câu 20. Cho ABC . Tìm điểm Mthỏa M A M B 2M C 0
 A. Mlà trung điểm cạnh IC, với Ilà trung điểm của cạnh AB
 B. Mtrùng với đỉnh C của ABC
 C. Mlà trọng tâm của tam giác ABC .
 D. Mlà đỉnh của hình bình hành MCAB
 Hướng dẫn giải
 Chọn A. 
 Gọi Ilà trung  điểm của cạnh ABTa có: 
 M A M B 2M C 0 2M I 2M C 0 A
     
 2 MI MC 0 MI MC 0
 Vậy Mlà trung điểm cạnh IC I
 Phân tích phương án nhiễu: M
 Phương án B: Sai do dùng tính chất Mlà trọng tâm của 
 tam giác ABC B C
    
 MA MB 2MC 0
      
 MA MB MC MC 0 MC 0 M  C
 Phương án C: Sai do HS dùng không hiểu đúng tính chất Mlà trọng tâm của tam giác ABC
    
 M A M B 2M C 0 Mlà trọng tâm của tam giác ABC Phương  án D: Sai do HS dùng sai tính chất trung điểm   
 M A M B 2M C 0 2 AB 2M C 0 AB M C 0 M C BA
 Nên Mlà đỉnh của hình bình hành MCAB
    
Câu 21. Cho tam giác ABC, D là trung điểm cạnh AC. Gọi I là điểm thỏa mãn: IA 2IB 3IC 0 . Câu 
 nào sau đây đúng?
 A. I là trực tâm BCD B. I là trọng tâm ABC
 C. I là trọng tâm CDB D. Cả A, B, C đều sai
 Hướng dẫn giải
 Chọn C. 
     
Câu 22. Cho hình bình hành ABCD, điểm M thỏa 4AM AB AC AD . Khi đó điểm M là:
 A. trung điểm AC B. điểm C C. trung điểm AB D. trung điểm AD
 Hướng dẫn giải
 Chọn A. 
Câu 23. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G’. Đẳng thức nào sau đây là 
 đúng?
         
 A. 3GG ' A' A B ' B C 'C B. 3GG ' AB ' BC ' CA'
         
 C. 3GG ' AC ' BA' CB ' D. 3GG ' AA' BB ' CC '
 Hướng dẫn giải
 Chọn D. 
  
Câu 24. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm BC. Phân tích vectơ AG theo hai 
 vectơ là hai cạnh của tam giác. Khẳng định nào sau đây đúng?
  2  2   1  1  
 A. AG AB AC . B. AG AB AC .
 3 2 3 2
  2  1   2  1  
 C. AG AC BC .D. AG AB BC .
 3 3 3 3
 Hướng dẫn giải
 Chọn D. 
  2  2   2  2  
 AG AM AB AC AB AC Sai qui tắc hình bình hành.
 3 3 3 2
Câu 25. Cho hai tam giác ABC và A B C lần lượt có trọng tâm là G và G . Đẳng thức nào sau đây là 
 sai?         
 A. 3GG ' AA' BB ' CC ' . B. 3GG ' AB ' BC ' CA' .
         
 C. 3GG ' AC ' BA' CB ' .D. 3GG ' A' A B ' B C 'C .
 Hướng dẫn giải
 Chọn D. 
 Do và lần lượt là trọng tâm của tam giác và nên
  G  G     ABC A B C
 AG BG CG 0 và A'G ' B 'G ' C 'G ' 0
           
 A. AA' BB ' CC ' AG BG CG GA GB GC 0 3GG ' .
           
 B. AB ' BC ' CA' AG BG CG GA GB GC 0 3GG ' .
           
 C. AC ' BA' CB ' AG BG CG GA GB GC 0 3GG ' .
           
 D. A' A B ' B C 'C A'G ' B 'G ' C 'G ' G ' A G ' B G 'C 0 3G 'G (SAI).
    
Câu 26. Cho hình bình hành ABCD , điểm M thoả mãn: MA MC AB . Khi đó M là trung điểm của:
 A. AB . B. BC .C. AD . D. CD .
 Hướng dẫn giải
 Chọn C. A D
 I
 B C
     
 Ta có MA MC 2MI AB .
 Vậy M là trung điểm của AD .
Câu 27. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD . Mệnh đề nào sau 
 đây đúng ?       
 A. AC BD BC AD 4MN . B. 4MN BC AD .
         
 C. 4MN AC BD . D. MN AC BD BC AD .
 D
 A
 N
 M
 B C
 Hướng dẫn giải
 Chọn A.   
 Do M là trung điểm các cạnh AB nên MB MA 0
    
 Do N lần lượt là trung điểm các cạnh DC nên 2MN MC MD
 Ta có
              
 2MN MC MD MB BC MA AD AD BC MA MB AD BC .
           
 Mặt khác AC BD AC BC CD BC AC CD BC AD
      
 Do đó AC BD BC AD 4MN .
Câu 28. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC của tứ giác ABCD . Đẳng thức nào sau đây 
 sai?            
 A. AC DB 2MN .B. AC BD 2MN . C. AB DC 2MN . D. MB MC 2MN .
 Hướng dẫn giải
 Chọn B. 
 B
 A
 N
 M
 D C
   
 Do M là trung điểm các cạnh AD nên MD MA 0
    
 Do N lần lượt là trung điểm các cạnh BC nên 2MN MC MB . Nên D đúng.
 Ta có