Trắc nghiệm Giải tích Lớp 11 - Chương 5 - Bài 4: Vi phân của hàm số (Có đáp án)

 VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
 Tích f '(x0 ). x được gọi là vi phân của hàm số y f (x) tại điểm x0 (ứng với số gia x ) 
được kí hiệu là df (x0 ) f '(x0 ) x .
 Nếu hàm số f có đạo hàm f ' thì tích f '(x) x được gọi là vi phân hàm số y f (x) , kí 
hiệu là: df (x) f '(x) x .
Đặc biệt: dx x ' x x nên ta viết df (x) f '(x)dx .
B – BÀI TẬP
Câu 1. Cho hàm số y f x x 1 2 . Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f x 
?
 A. dy 2 x 1 dx .B. dy x 1 2 dx .
 C. dy 2 x 1 . D. dy 2 x 1 dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có dy f x dx 2 x 1 dx .
Câu 2. Tìm vi phân của các hàm số y x3 2x2 
 A. dy (3x2 4x)dx B. dy (3x2 x)dx
 C. dy (3x2 2x)dx D. dy (3x2 4x)dx
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy (3x2 4x)dx 
Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số y 3x 2 
 3 1
 A. dy dx B. dy dx
 3x 2 2 3x 2
 1 3
 C. dy dx D. dy dx
 3x 2 2 3x 2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
 3
dy dx
 2 3x 2
Câu 4. Cho hàm số y x3 9x2 12x 5 . Vi phân của hàm số là:
 A. dy 3x2 18x 12 dx . B. dy 3x2 18x 12 dx .
 C. dy 3x2 18x 12 dx . D. dy 3x2 18x 12 dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có dy x3 9x2 12x 5 dx 3x2 18x 12 dx .
Câu 5. Tìm vi phân của các hàm số y (3x 1)10
 A. dy 10(3x 1)9 dx B. dy 30(3x 1)10 dx C. dy 9(3x 1)10 dx D. dy 30(3x 1)9 dx
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy 30(3x 1)9 dx .
Câu 6. Tìm vi phân của các hàm số y sin 2x sin3 x
 A. dy cos 2x 3sin2 x cos x dx B. dy 2cos 2x 3sin2 x cos x dx
 C. dy 2cos 2x sin2 x cos x dx D. dy cos 2x sin2 x cos x dx
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
dy 2cos 2x 3sin2 x cos x dx 
Câu 7. Tìm vi phân của các hàm số y tan 2x 
 A. dy (1 tan2 2x)dx B. dy (1 tan2 2x)dx
 C. dy 2(1 tan2 2x)dx D. dy 2(1 tan2 2x)dx
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy 2(1 tan2 2x)dx
Câu 8. Tìm vi phân của các hàm số y 3 x 1 
 1 3
 A. dy dx B. dy dx
 3 (x 1)2 3 (x 1)2
 2 1
 C. dy dx D. dy dx
 3 (x 1)2 33 (x 1)2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
 1
dy dx 
 33 (x 1)2
Câu 9. Xét hàm số y f x 1 cos2 2x . Chọn câu đúng:
 sin 4x sin 4x
 A. df (x) dx .B. df (x) dx .
 2 1 cos2 2x 1 cos2 2x
 cos 2x sin 2x
 C. df (x) dx .D. df (x) dx .
 1 cos2 2x 2 1 cos2 2x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
 2 
 1 cos 2x 4cos 2x.sin 2x sin 4x
Ta có : dy f x dx dx dx dx .
 2 1 cos2 2x 2 1 cos2 2x 1 cos2 2x
Câu 10. Cho hàm số y x3 5x 6 . Vi phân của hàm số là:
 A. dy 3x2 5 dx .B. dy 3x2 5 dx .
 C. dy 3x2 5 dx . D. dy 3x2 5 dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn A. Ta có dy x3 5x 6 dx 3x2 5 dx .
 1
Câu 11. Cho hàm số y . Vi phân của hàm số là:
 3x3
 1 1 1
 A. dy dx .B. dy dx .C. dy dx . D. 
 4 x4 x4
dy x4dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
 1 1 3x2 1
Ta có dy 3 dx . 2 4 dx .
 3x 3 x3 x
 x 2
Câu 12. Cho hàm số y . Vi phân của hàm số là:
 x 1
 dx 3dx
 A. dy .B. dy .
 x 1 2 x 1 2
 3dx dx
 C. dy . D. dy .
 x 1 2 x 1 2
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
 x 2 3
Ta có dy dx 2 dx .
 x 1 x 1 
 x2 x 1
Câu 13. Cho hàm số y . Vi phân của hàm số là:
 x 1
 x2 2x 2 2x 1
 A. dy dx .B. dy dx .
 (x 1)2 (x 1)2
 2x 1 x2 2x 2
 C. dy dx . D. dy dx .
 (x 1)2 (x 1)2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
 2
 x2 x 1 2x 1 x 1 x x 1 x2 2x 2
Ta có dy dx 2 dx 2 dx .
 x 1 x 1 x 1 
Câu 14. Cho hàm số y sin x 3cos x . Vi phân của hàm số là:
 A. dy cos x 3sin x dx . B. dy cos x 3sin x dx .
 C. dy cos x 3sin x dx . D. dy cos x 3sin x dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có dy sin x 3cos x dx cos x 3sin x dx .
Câu 15. Cho hàm số y sin2 x . Vi phân của hàm số là: A. dy – sin 2x dx . B. dy sin 2x dx . C. dy sin x dx . D. 
 dy 2cosx dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có dy d sin2 x sin2 x dx cos x.2sin xdx sin 2xdx .
 tan x
Câu 16. Vi phân của hàm số y là:
 x
 2 x sin(2 x)
 A. dy dx .B. dy dx .
 4x x cos2 x 4x x cos2 x
 2 x sin(2 x) 2 x sin(2 x)
 C. dy dx .D. dy dx .
 4x x cos2 x 4x x cos2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
 1 1 1
 . . x tan x.
 tan x 2 x cos2 x 2 x
Ta có dy dx = dx 
 x x
 1 1 sin x 1 1 x sin x cos x
= . . dx = .dx
 2 2
 2 cos x cos x 2 x x 2x x.cos x
 2 x sin 2 x
= .dx
 4x x.cos2 x
Câu 17. Hàm số y xsin x cos x có vi phân là:
 A. dy x cos x – sin x dx .B. dy x cos x dx .
 C. dy cos x – sin x dx ..D. dy xsin x dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có dy xsin x cos x dx sin x x cos x sin x dx x cos x dx .
 x
Câu 18. Hàm số y . Có vi phân là:
 x2 1
 1 x2 2x
 A. dy dx B. dy dx
 (x2 1)2 (x2 1)
 1 x2 1
 C. dy dx D. dy dx
 (x2 1) (x2 1)2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
 x x2 1 2x2 1 x2
Ta có dy 2 dx 2 2 2 2 dx .
 x 1 (x 1) (x 1)
 2
Câu 19. Cho hàm số y f x x 1 . Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?
 A. .d y 2 x 1 dx B. . dy 2 x 1 
 2
 C. .d y x 1 dx D. . dy x 1 dx Hướng dẫn giải:
Chọn A
y f x x 1 2 y 2 x 1 dy 2 x 1 dx
Câu 20. Vi phân của hàm số f x 3x2 x tại điểm x 2 , ứng với x 0,1 là:
 A. . 0,07 B. . 10 C. . 1,1 D. . 0,4
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có: f x 6x 1 f 2 11
df 2 f 2 x 11.0,1 1,1 
Câu 21. Vi phân của y cot 2017x là:
 2017
 A. dy 2017sin 2017x dx. B. dy dx.
 sin2 2017x 
 2017 2017
 C. dy dx. D. dy dx.
 cos2 2017x sin2 2017x 
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
 2017 2017
y cot 2017x y dy dx
 sin2 2017x sin2 2017x 
 x2 x 1
Câu 22. Cho hàm số y = . Vi phân của hàm số là:
 x 1
 x2 2x 2 2x 1
 A. dy dx B. dy dx
 (x 1)2 (x 1)2
 2x 1 x2 2x 2
 C. dy dx D. dy dx
 (x 1)2 (x 1)2
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
 x2 x 1 x2 2x 2
dy dx 2 dx
 x 1 (x 1)
 x 3
Câu 23. Cho hàm số y . Vi phân của hàm số tại x 3 là:
 1 2x
 1 1
 A. dy dx. B. dy 7dx. C. dy dx. D. 
 7 7
dy 7dx. 
Hướng dẫn giải:
Chọn A
 7 1
Ta có y y 3 
 1 2x 2 7
 1
Do đó dy dx
 7
Câu 24. Vi phân của y tan 5x là : 5x 5
 A. dy dx. B. dy dx.
 cos2 5x sin2 5x
 5 5
 C. dy dx. D. dy dx.
 cos2 5x cos2 5x
Hướng dẫn giải:
Chọn C
 5
y tan 5x y 
 cos2 5x
 5
Do đó dy dx
 cos2 5x
 ( x 1)2
Câu 25. Hàm số y f (x) . Biểu thức 0,01. f '(0,01) là số nào?
 x
 A. 9. B. -9. C. 90. D. -90.
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
 ( x 1)2 1 1
y f (x) y y 0,01 9000
 x x x x2
Do đó 0,01. f '(0,01) 90
Câu 26. Cho hàm số y sin(sin x) .Vi phân của hàm số là:
 A. .d y cos(sin x).sin xdx B. . dy sin(cos x)dx
 C. .d y cos(sin x).cos xdx D. . dy cos(sin x)dx
Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
Ta có: y ' (sin x)'.cos(sin x) cos x.cos(sin x) nên dy cos x.cos(sin x)dx 
 x2 x khi x 0
Câu 27. Cho hàm số f (x) . Kết quả nào dưới đây đúng?
 2x khi x 0
 A. .d f (0) dx B. 
 x2 x
 f 0 lim lim(x 1) 1.
 x 0 x x 0 
 C. . f 0 lim x2 x 0D. . f 0 lim 2x 0
 x 0 x 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn B. 
 x2 x
Ta có: f 0 lim lim(x 1) 1 ; 
 x 0 x x 0 
 2x
f 0 lim 2 và hàm số không có vi phân tại x 0 
 x 0 x
Câu 28. Cho hàm số y cos2 2x . Vi phân của hàm số là:
 A. .d y 4cos 2xsin 2xdx B. . dy 2cos 2xsin 2xdx
 C. .d y 2cos 2xsin 2xdx D. . dy 2sin 4xdx
Hướng dẫn giải:
Chọn D. Ta có : dy d cos2 2x 2cos 2x.(cos 2x)'dx 4cos 2x.sin 2xdx 2sin 4xdx
 x2 x khi x 0
Câu 29. Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào dưới đây là sai?
 x khi x 0
 A. . f 0 1 B. . f 0 1
 C. .d f (0) dx D. Hàm số không có vi phân tại 
x 0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
 x2 x x
Ta có: f 0 lim lim(x 1) 1 và f 0 lim 1 và df (0) dx
 x 0 x x 0 x 0 x
Câu 30. Cho hàm số y f (x) 1 cos2 2x . Chọn kết quả đúng:
 sin 4x sin 4x
 A. .d f (x) dxB. . df (x) dx
 2 1 cos2 2x 1 cos2 2x
 cos 2x sin 2x
 C. .d f (x) dx D. . df (x) dx
 1 cos2 2x 1 cos2 2x
Hướng dẫn giải:
Chọn B. 
Ta có : 
 (1 cos2 2x)' 2.2cos 2x.sin 2x sin 4x
dy df (x) d 1 cos2 2x dx dx dx
 2 2 2
 2 1 cos 2x 2 1 cos 2x 1 cos 2x
Câu 31. Cho hàm số y tan x . Vi phân của hàm số là:
 1 1
 A. .d y dx B. . dy dx
 2 x cos2 x x cos2 x
 1 1
 C. .d y dx D. . dy dx
 2 x cos x 2 x cos2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
 1 1
 dy d tan x .( x)'dx dx
Ta có : 2 2
 cos x 2 x.cos x
 2x 3
Câu 32. Vi phân của hàm số y là :
 2x 1
 8 4
 A. .d y dx B. . dy dx
 2x 1 2 2x 1 2
 4 7
 C. .d y dx D. . dy dx
 2x 1 2 2x 1 2
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
 2x 3 8
Ta có : dy d 2 dx 
 2x 1 (2x 1) 1 x2
Câu 33. Cho hàm số y . Vi phân của hàm số là:
 1 x2
 4x 4 4
 A. .d y B. . 2 dC.x . dD.y 2 dx dy 2 dx
 1 x2 1 x2 1 x
 dx
dy 2 .
 1 x2 
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
 1 x2 4x
Ta có : dy d 2 2 2 dx
 1 x (1 x )
Câu 34. Cho hàm số f (x) cos 2x . Khi đó
 sin 2x sin 2x
 A. .d f x dx B. . d f x dx
 2 cos 2x cos 2x
 sin 2x sin 2x
 C. .d f x dx D. . d f x dx
 2 cos 2x cos 2x
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
 (cos 2x)' sin 2x
Ta có : df (x) d cos 2x dx dx 
 2 cos 2x cos 2x ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
 Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f '. Nếu f ' cũng có đạo hàm thì đạo hàm 
của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f '' , tức là: f '' ( f ')' .
 Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n 1 (với n ¥ ,n 2 ) là f (n 1) . Nếu 
f (n 1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí 
hiệu là f (n) , tức là: 
 f (n) ( f (n 1) )'.
Để tính đạo hàm cấp n:
 Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.
 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.
B – BÀI TẬP
 x
Câu 1. Hàm số y có đạo hàm cấp hai là:
 x 2
 1 4
 A. y 0 .B. y .C. y .D. 
 x 2 2 x 2 2
 4
 y .
 x 2 3
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
 x 2 2 2 x 2 4
Ta có y ; y 2. 
 2 2 4 3
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 
 3
Câu 2. Hàm số y x2 1 có đạo hàm cấp ba là:
 A. y 12 x2 1 .B. y 24 x2 1 .
 C. y 24 5x2 3 .D. y –12 x2 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có y x6 3x4 3x2 1 ; y 6x5 12x3 6x 
y 30x4 36x2 6 ; y 120x3 72x 24 5x2 3 .
Câu 3. Hàm số y 2x 5 có đạo hàm cấp hai bằng:
 1 1
 A. y .B. y .
 (2x 5) 2x 5 2x 5
 1 1
 C. y .D. y .
 (2x 5) 2x 5 2x 5
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
 2 1
Ta có y 2x 5 
 2 2x 5 2x 5 2
 2x 5 1
y 2 2x 5 . 
 2x 5 2x 5 2x 5 2x 5
 x2 x 1
Câu 4. Hàm số y có đạo hàm cấp 5 bằng:
 x 1
 120 120
 A. y(5) .B. y(5) .
 (x 1)6 (x 1)6
 1 1
 C. y(5) .D. y(5) .
 (x 1)6 (x 1)6
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
 1 1
Ta có y x y 1 .
 x 1 x 1 2
 2 6 24 120
 y y 3 y 4 y(5) .
 x 1 3 x 1 4 x 1 5 (x 1)6
 x2 x 1
Câu 5. Hàm số y có đạo hàm cấp 5 bằng :
 x 1
 120 120
 A. y 5 . B. y 5 .
 x 1 6 x 1 5
 1 1
 C. y 5 . D. y 5 .
 x 1 5 x 1 5
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
 x2 x 1 1
Ta có: y x .
 x 1 x 1
 1 2 6 24 120
 y 1 ; y ; y ; y 4 ; y 5 .
 x 1 2 x 1 3 x 1 4 x 1 5 x 1 6
Câu 6. Hàm số y x x2 1 có đạo hàm cấp 2 bằng :
 2x3 3x 2x2 1
 A. y . B. y .
 1 x2 1 x2 1 x2
 2x3 3x 2x2 1
 C. y . D. y .
 1 x2 1 x2 1 x2
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
 x 2x2 1
Ta có: y x2 1 x ; 
 x2 1 x2 1
 x
 4x x2 1 2x2 1 
 2 2x3 3x
 x 1
y 2 
 x 1 1 x2 1 x2