Trắc nghiệm Giải tích Lớp 11 - Chương 5 - Bài 1: Định nghĩa đạo hàm (Có đáp án)

 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM.
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 (a; b):
 f (x) f (x0 ) y
 f '(x0 ) lim = lim ( x = x – x0, y = f(x 0 + x) – 
 x x x 0
 0 x x0 x
 f(x0))
 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Đạo hàm bên trái, bên phải
 f (x) f (x0 ) f (x) f (x0 )
f '(x0 ) lim . f '(x0 ) lim .
 x x x x 
 0 x x0 0 x x0
Hệ quả : Hàm f (x) có đạo hàm tại x0  f (x0 ) và f '(x0 ) đồng thời f '(x0 ) f '(x0 ) .
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
 Hàm số f (x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm 
 thuộc (a;b)
 Hàm số f (x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm 
 thuộc (a;b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f '(b ) và đạo hàm phải f '(a ) .
4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
 Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại x0 thì f (x) liên tục tại x0 .
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x0 nhưng hàm 
 đó không có đạo hàm tại x0 .
B – BÀI TẬP
Câu 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y f (x) 
tại x0 1?
 f (x x) f (x ) f (x) f (x )
 A. lim 0 . B. lim 0 .
 x 0 x x 0 x x0
 f (x) f (x ) f (x x) f (x)
 C. lim 0 . D. lim 0 .
 x x0 x x0 x 0 x
Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.
Chọn C. 
Câu 2. Cho hàm số f x liên tục tại x0 . Đạo hàm của f x tại x0 là
 A. f x0 .
 f (x h) f (x )
 B. 0 0 .
 h
 f (x h) f (x )
 C. lim 0 0 (nếu tồn tại giới hạn).
 h 0 h
 f (x h) f (x h)
 D. lim 0 0 (nếu tồn tại giới hạn).
 h 0 h
Hướng dẫn giải:
Chọn C. f (x0 x) f (x0 ) f (x0 h) f (x0 )
Định nghĩa f x0 lim hay f x0 lim (nếu tồn tại 
 x 0 x h 0 h
giới hạn).
Câu 3. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm tại x0 là f '(x0 ) . Khẳng định nào sau đây sai?
 f (x) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
 A. f (x0 ) lim . B. f (x0 ) lim .
 x x x 0
 0 x x0 x
 f (x0 h) f (x0 ) f (x x0 ) f (x0 )
 C. f (x0 ) lim . D. f (x0 ) lim .
 h 0 x x
 h 0 x x0
Hướng dẫn giải:
Chọn D
A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).
B. Đúng vì 
 x x x0 x x x0
 y f x0 x f x0 
 f (x) f (x0 ) f x0 x f x0 f x0 x f x0 
 f (x0 ) lim 
 x x
 0 x x0 x x0 x0 x
C. Đúng vì 
Đặt h x x x0 x h x0 , y f x0 x f x0 
 f (x) f (x0 ) f x0 h f x0 f x0 h f x0 
 f (x0 ) lim 
 x x
 0 x x0 h x0 x0 h
 3
Câu 4. Số gia của hàm số f x x ứng với x0 2 và x 1 bằng bao nhiêu?
 A. 19. B. 7. C. 19 . D. 7.
Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
 3 3 3 3
Ta có y f x0 x f x0 x0 x 2 x0 x 3x0 x x0 x 8 .
Với x0 2 và x 1 thì y 19 .
 y
Câu 5. Tỉ số của hàm số f x 2x x 1 theo x và x là
 x
 A. 4x 2 x 2. B. 4x 2 x 2 2.
 C. 4x 2 x 2. D. 4x x 2 x 2 2 x.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
 y f x f x 2x x 1 2x x 1 
 0 0 0
 x x x0 x x0
 2 x x0 x x0 2 x x0 
 2x 2x0 2 4x 2 x 2
 x x0
 x 2
Câu 6. Số gia của hàm số f x ứng với số gia x của đối số x tại x0 1 là
 2 1 2 1 2 1 2
 A. x x. B. x x . C. x x . D. 
 2 2 2 
1 2
 x x.
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Với số gia x của đối số x tại x0 1 Ta có
 2 2
 1 x 1 1 x 2 x 1 1 2
 y x x
 2 2 2 2 2
 2
Câu 7. Cho hàm số f x x x , đạo hàm của hàm số ứng với số gia x của đối số x tại x0 
là
 2
 A. lim x 2x x x . B. lim x 2x 1 .
 x 0 x 0
 2
 C. lim x 2x 1 . D. lim x 2x x x .
 x 0 x 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có :
 2 2
 y x0 x x0 x x0 x0 
 2 2 2
 x0 2x0 x x x0 x x0 x0
 2
 x 2x0 x x
 2
 y x 2x0 x x
Nên f ' x0 lim lim lim x 2x0 1 
 x 0 x x 0 x x 0
Vậy f ' x lim x 2x 1 
 x 0
 x
 khi x 0
Câu 8. Cho hàm số f (x) x . Xét hai mệnh đề sau:
 0 khi x 0
(I) f 0 1 .
(II) Hàm số không có đạo hàm tại x0 0 .
Mệnh đề nào đúng?
 A. Chỉ (I).B. Chỉ (II).C. Cả hai đều sai. D. Cả hai 
đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi x là số gia của đối số tại 0 sao cho x 0 .
 f x 0 f (0) x 1
Ta có f 0 lim lim lim .
 x 0 x x 0 2 x x 0 x x
Nên hàm số không có đạo hàm tại 0.
 x3 2x2 x 1 1
 khi x 1
Câu 9. f (x) x 1 tại điểm x0 1.
 0 khi x 1 1 1 1 1
 A. B. C. D. 
 3 5 2 4
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
 f (x) f (1) x3 2x2 x 1 1 x 1
lim lim 2 lim 
x 1 x 1 x 1 (x 1) x 1 x3 2x2 x 1 1 2
 1
Vậy f '(1) .
 2
 2x 3 khi x 1
 3 2
Câu 10. f (x) x 2x 7x 4 tại x0 1.
 khi x 1
 x 1
 A. 0 B. 4 C. 5 D. Đáp án 
khác
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có lim f (x) lim 2x 3 5
 x 1 x 1 
 x3 2x2 7x 4
lim f (x) lim lim(x2 3x 4) 0
x 1 x 1 x 1 x 1 
Dẫn tới lim f (x) lim f (x) hàm số không liên tục tại x 1 nên hàm số không có đạo 
 x 1 x 1 
hàm tại x0 1.
 3 4 x
 khi x 0
 4
Câu 11. Cho hàm số f (x) . Khi đó f 0 là kết quả nào sau đây?
 1
 khi x 0
 4
 1 1 1
 A. . B. . C. . D. Không 
 4 16 32
tồn tại.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
 3 4 x 1
 f x f 0 2 4 x
Ta có lim lim 4 4 lim
 x 0 x 0 x 0 x x 0 4x
 2 4 x 2 4 x x 1 1
 lim lim lim .
 x 0 4x 2 4 x x 0 4x 2 4 x x 0 4 2 4 x 16
Câu 12. Cho hàm số f (x) x2 . Khi đó f 0 là kết quả nào sau đây?
 A. Không tồn tại. B. 0 . C. 1. D. 2.
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 2 f x 0 f (0) x
Ta có f (x) x x nên f 0 lim lim .
 x 0 x x 0 x
 x x x
Do lim 1 lim 1 nên lim không tồn tại.
 x 0 x x 0 x x 0 x
 x2 khi x 2
Câu 13. Cho hàm số f (x) x2 . Để hàm số này có đạo hàm tại x 2 
 bx 6 khi x 2
 2
thì giá trị của b là
 A. b 3. B. b 6. C. b 1. D. b 6.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có
 f 2 4
 lim f x lim x2 4
 x 2 x 2 
 x2 
 lim f x lim bx 6 2b 8
 x 2 x 2 2 
f x có đạo hàm tại x 2 khi và chỉ khi f x liên tục tại x 2
 lim f x lim f x f 2 2b 8 4 b 6.
 x 2 x 2 
Câu 14. Số gia của hàm số f x x2 4x 1 ứng với x và x là
 A. x x 2x 4 . B. 2x x. C. x. 2x 4 x . D. 
2x 4 x.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có
 y f x x f x 
 x x 2 4 x x 1 x2 4x 1 
 x2 2 x.x x2 4 x 4x 1 x2 4x 1 x2 2 x.x 4 x
 x x 2x 4 
Câu 15. Xét ba mệnh đề sau:
 (1) Nếu hàm số f x có đạo hàm tại điểm x x0 thì f x liên tục tại điểm đó.
 (2) Nếu hàm số f x liên tục tại điểm x x0 thì f x có đạo hàm tại điểm đó.
 (3) Nếu f x gián đoạn tại x x0 thì chắc chắn f x không có đạo hàm tại điểm đó.
 Trong ba câu trên:
 A. Có hai câu đúng và một câu sai. B. Có một câu đúng và hai câu sai.
 C. Cả ba đều đúng. D. Cả ba đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
(1) Nếu hàm số f x có đạo hàm tại điểm x x0 thì f x liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.
(2) Nếu hàm số f x liên tục tại điểm x x0 thì f x có đạo hàm tại điểm đó.
Phản ví dụ Lấy hàm f x x ta có D ¡ nên hàm số f x liên tục trên ¡ .
 f x f 0 x 0 x 0
 lim lim lim 1
 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
Nhưng ta có 
 f x f 0 x 0 x 0
 lim lim lim 1
 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
Nên hàm số không có đạo hàm tại x 0 .
Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.
(3) Nếu f x gián đoạn tại x x0 thì chắc chắn f x không có đạo hàm tại điểm đó.
Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có f x không liên tục tại x x0 thì f x có đạo hàm tại điểm đó.
Vậy (3) là mệnh đề đúng.
Câu 16. Xét hai câu sau: 
 x
(1) Hàm số y liên tục tại x 0
 x 1
 x
(2) Hàm số y có đạo hàm tại x 0
 x 1
Trong hai câu trên:
 A. Chỉ có (2) đúng. B. Chỉ có (1) đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai 
đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
 x
 lim 0 x x
Ta có : x 0 x 1 lim f 0 . Vậy hàm số y liên tục tại x 0
 x 0 x 1 x 1
 f 0 0
 x
 f x f 0 0 x
Ta có : x 1 (với x 0)
 x 0 x x x 1 
 f x f 0 x 1
 lim lim lim 1
 x 0 x 0 x 0 x x 1 x 0 x 1
Do đó : 
 f x f 0 x 1
 lim lim lim 1
 x 0 x 0 x 0 x x 1 x 0 x 1
 f x f 0 
Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của khi x 0.
 x 0
 x
Vậy hàm số y không có đạo hàm tại x 0
 x 1
Câu 17. Cho hàm số f x x2 x . Xét hai câu sau:
(1). Hàm số trên có đạo hàm tại nguyenthuongnd86 @ gmail.com .
(2). Hàm số trên liên tục tại x 0 .
Trong hai câu trên:
 A. Chỉ có (1) đúng. B. Chỉ có (2) đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai 
đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn B. Ta có 
+) lim f x lim x2 x 0 .
 x 0 x 0 
+) lim f x lim x2 x 0 .
 x 0 x 0 
+) f 0 0.
 lim f x lim f x f 0 . Vậy hàm số liên tục tại x 0 . 
 x 0 x 0 
Mặt khác:
 f x f 0 x2 x
+) f 0 lim lim lim x 1 1.
 x 0 x 0 x 0 x x 0 
 f x f 0 x2 x
+) f 0 lim lim lim x 1 1. 
 x 0 x 0 x 0 x x 0 
 f 0 f 0 . Vậy hàm số không có đạo hàm tại x 0 .
 x2 x khi x 1
Câu 18. Tìm a,b để hàm số f (x) có đạo hàm tại x 1.
 ax b khi x 1
 a 23 a 3 a 33
 A. B. C. D. 
 b 1 b 11 b 31
 a 3
 b 1
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có: lim f (x) lim(x2 x) 2; lim f (x) lim (ax b) a b
 x 1 x 1 x 1 x 1 
Hàm có đạo hàm tại x 1 thì hàm liên tục tại x 1 a b 2 (1)
 f (x) f (1) x2 x 2
lim lim lim(x 2) 3
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 
 f (x) f (1) ax b 2 ax a
lim lim lim a (Dob 2 a)
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 a 3
Hàm có đạo hàm tại x 1 .
 b 1
 x2
 khi x 1
Câu 19. Cho hàm số f (x) 2 . Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm số 
 ax b khi x 1
có đạo hàm tại x 1?
 1 1 1 1 1
 A. a 1;b . B. a ;b . C. a ;b . D. 
 2 2 2 2 2
 1
a 1;b .
 2
Hướng dẫn giải:
Chọn A
 1
Hàm số liên tục tại x 1 nên Ta có a b 
 2
 f x f 1 
Hàm số có đạo hàm tại x 1 nên giới hạn 2 bên của bằng nhau và Ta có
 x 1 f x f 1 ax b a.1 b a x 1 
lim lim lim lim a a
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 
 x2 1
 f x f 1 x 1 x 1 x 1 
lim lim 2 2 lim lim 1
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2
 1
Vậy a 1;b 
 2
 1
 x2 sin khi x 0
Câu20 . f (x) x tại x 0 .
 0 khi x 0 
 1 2
 A. 0 B. C. D. 7 
 2 3
Hướng dẫn giải:
Chọn A
 f (x) f (0) 1
Ta có: lim lim xsin 0
 x 0 x x 0 x
Vậy f '(0) 0 .
 sin2 x
 khi x 0
Câu 21. f (x) x tại x0 0
 2
 x x khi x 0 
 A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
Hướng dẫn giải:
Chọn A
 sin2 x sin x 
Ta có lim f (x) lim lim .sin x 0
 x 0 x 0 x x 0 x 
lim f (x) lim x x2 0 nên hàm số liên tục tại x 0
x 0 x 0 
 f (x) f (0) sin 2 x
lim lim 2 1 và 
x 0 x x 0 x
 f (x) f (0) x x2
lim lim 1
x 0 x x 0 x
Vậy f '(0) 1.
 x2 x 1
Câu 22. f (x) tại x 1.
 x 0
 A. 2 B. 0 C. 3 D. đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có hàm số liên tục tại x0 1 và 
f (x) f ( 1) x2 x x 1
 x 1 x(x 1)
 f (x) f ( 1) x2 2x 1
Nên lim lim 0
 x 1 x 1 x 1 x(x 1) f (x) f ( 1) x2 1
lim lim 2
x 1 x 1 x 1 x(x 1)
 f (x) f ( 1) f (x) f ( 1)
Do đó lim lim
 x 1 x 1 x 1 x 1
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 1.
Nhận xét: Hàm số y f (x) có đạo hàm tại x x0 thì phải liên tục tại điểm đó.
 x2 1 khi x 0
Câu 23. Tìm a,b để hàm số f (x) có đạo hàm trên ¡ . 
 2
 2x ax b khi x 0
 A. a 10,b 11 B. a 0,b 1 C. a 0,b 1 D. 
a 20,b 1
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta thấy với x 0 thì f (x) luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên ¡ khi và chỉ khi 
hàm có đạo hàm tại x 0 .
Ta có: lim f (x) 1; lim f (x) b f (x) liên tục tại x 0 b 1.
 x 0 x 0 
 f (x) f (0) f (x) f (0)
 Khi đó: f '(0 ) lim 0; f '(0 ) lim a
 x 0 x x 0 x
 f '(0 ) f '(0 ) a 0 .
Vậy a 0,b 1 là những giá trị cần tìm.