Trắc nghiệm Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Bài 1: Giới hạn dãy số (Có đáp án)

 GIỚI HẠN DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
 GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC
 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt:
 k 
 1 1 n n k 
 lim 0 ; lim 0 (k ¢ ) lim lim ( ¢ )
 k
 n n n n lim qn (q 1)
 lim qn 0 ( q 1) ; lim C C 2. Định lí:
 n n 
 1
 2. Định lí : a) Nếu lim u thì lim 0
 n u
 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì n
 lim (u + v ) = a + b
 n n un
 b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim = 0
 lim (un – vn) = a – b
 vn
 lim (un.vn) = a.b
 c) Nếu lim u = a 0, lim v = 0 
 u a n n
 lim n (nếu b 0) u neáu a.v 0
 v b thì lim n = n
 n neáu a.v 0
 vn n
 b) Nếu un 0, n và lim un= a
 d) Nếu lim un = + , lim vn = a
 thì a 0 và lim u a
 n neáu a 0
 thì lim(un.vn) = 
 c) Nếu un vn ,n và lim vn = 0 neáu a 0
 thì lim un = 0
 * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô 
 d) Nếu lim un = a thì lim u a
 n 0 
 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn định: , , – , 0. thì phải tìm cách khử 
 0 
 u
 2 1 dạng vô định.
 S = u1 + u1q + u1q +  = q 1 
 1 q
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Phương pháp: 
 Để chứng minh limun 0 ta chứng minh với mọi số a 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một 
số na sao cho un a n na .
 Để chứng minh limun l ta chứng minh lim(un l) 0 .
 Để chứng minh limun ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số 
tự nhiên nM sao cho un M n nM .
 Để chứng minh limun ta chứng minh lim( un ) . 
 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
 A. Nếu lim un , thì limun . B. Nếu lim un , thì limun .
 C. Nếu limun 0 , thì lim un 0 . D. Nếu limun a , thì lim un a .
 1
Câu 2. Giá trị của lim bằng:
 n 1
 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1
Câu 3. Giá trị của lim (k ¥ *) bằng:
 nk
 A. 0 B. 2 C. 4 D. 5
 sin2 n
Câu 4. Giá trị của lim bằng:
 n 2
 A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
Câu 5. Giá trị của lim(2n 1) bằng:
 A. B. C. 0 D. 1 
 1 n2
Câu 6. Giá trị của lim bằng:
 n
 A. B. C. 0 D. 1 
 2
Câu 7. Giá trị của lim bằng:
 n 1
 A. B. C. 0 D. 1 
 cos n sin n
Câu 8. Giá trị của lim bằng:
 n2 1
 A. B. C. 0 D. 1 
 n 1
Câu 9. Giá trị của lim bằng:
 n 2
 A. B. C. 0 D. 1 
 3n3 n
Câu 10. Giá trị của lim bằng:
 n2
 A. B. C. 0 D. 1 
 2 n
Câu 11. Giá trị của lim bằng:
 n 1
 A. B. C. 0 D. 1 
 2n 1
Câu 12. Giá trị của A lim bằng:
 n 2
 A. B. C. 2 D. 1 
 2n 3
Câu 13. Giá trị của B lim bằng:
 n2 1
 A. B. C. 0 D. 1 
 n2 1
Câu 14. Giá trị của C lim bằng:
 n 1
 A. B. C. 0 D. 1 
 n 2 n
Câu 15. Giá trị của A lim bằng:
 2n
 1
 A. B. C. D. 1 
 2
 nsin n 3n2
Câu 16. Giá trị của B lim bằng:
 n2
 A. B. C. 3 D. 1 
 1
Câu 17. Giá trị của C lim bằng:
 n2 2 n 7
 A. B. C. 0 D. 1 
 4n 1
Câu 18. Giá trị của D lim bằng:
 n2 3n 2 A. B. C. 0 D. 4
 an
Câu 19. Giá trị của lim 0 bằng:
 n!
 A. B. C. 0 D. 1 
Câu 20. Giá trị của lim n a với a 0 bằng:
 A. B. C. 0 D. 1 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ 
CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN
 Phương pháp: 
 Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
 f (n)
 Khi tìm lim ta thường chia cả tử và mẫu cho nk , trong đó k là bậc lớn nhất 
 g(n)
 của tử và mẫu.
 k m 
 Khi tìm lim f (n) g(n) trong đó lim f (n) lim g(n) ta thường tách và 
 sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn.
 + Dùng các hằng đẳng thức:
 a b a b a b; 3 a 3 b 3 a2 3 ab 3 b2 a b
 Dùng định lí kẹp: Nếu un vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0
 Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
 Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của 
 luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao 
 nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
 n un 1 1
Câu 1. Cho dãy số un với un n và . Chọn giá trị đúng của limun trong các số 
 4 un 2
sau:
 1 1
 A. . B. . C. 0 . D. 1.
 4 2
 ncos 2n 
Câu 2. Kết quả đúng của lim 5 2 là:
 n 1 
 1
 A. 4. B. 5. C. –4. D. .
 4
 2n 1
Câu 3. Giá trị của. A lim bằng:
 1 3n
 2
 A. B. C. D. 1 
 3
 4n2 3n 1
Câu 4. Giá trị của. B lim bằng:
 (3n 1)2
 4
 A. B. C. D. 1 
 9
 n2 2n 1
Câu 5. Kết quả đúng của lim là
 3n4 2
 3 2 1 1
 A. . B. . C. . D. .
 3 3 2 2
 3n n4
Câu 6. Giới hạn dãy số u với u là:
 n n 4n 5
 3
 A. . B. . C. . D. 0 .
 4 n3 2n 5
Câu 7. Chọn kết quả đúng của lim :
 3 5n
 2
 A. 5 . B. . C. . D. .
 5
 2n2 3n 1
Câu 8. Giá trị của A lim bằng:
 3n2 n 2
 2
 A. B. C. D. 1 
 3
 n2 2n
Câu 9. Giá trị của B lim bằng:
 n 3n2 1
 1
 A. B. C. 0 D. 
 1 3
 4
 2n2 1 n 2 9
Câu 10. Giá trị của C lim bằng:
 n17 1
 A. B. C. 16 D. 1 
 n2 1 3 3n3 2
Câu 11. Giá trị của D lim bằng:
 4 2n4 n 2 n
 1 3 3
 A. B. C. D. 1 
 4 2 1
 4 3n3 1 n
Câu 12. Giá trị của C lim bằng:
 2n4 3n 1 n
 A. B. C. 0 D. 1 
 (n 2)7 (2n 1)3
Câu 13. Giá trị của. F lim bằng:
 (n2 2)5
 A. B. C. 8 D. 1 
 n3 1
Câu 14. Giá trị của. C lim bằng:
 n(2n 1)2
 1
 A. B. C. D. 1 
 4
 n3 3n2 2
Câu 15. Giá trị của. D lim bằng:
 n4 4n3 1
 A. B. C. 0 D. 1 
 n3 2n 1
Câu 16. Giá trị của. E lim bằng:
 n 2
 A. B. C. 0 D. 1 
 4 n4 2n 1 2n
Câu 17. Giá trị của. F lim bằng:
 3 3n3 n n
 3
 A. B. C. D. 1 
 3 3 1
 2n 2
Câu 18. Cho dãy sốu với u n 1 . Chọn kết quả đúng của limu là:
 n n n4 n2 1 n
 A. .B. 0 .C. 1 .D. . 10
Câu 19. lim bằng :
 n4 n2 1
 A. .B. 10. C. 0 .D. .
 n 1 4
Câu 20. Tính giới hạn: lim
 n 1 n
 1
 A.1.B. 0 .C. 1 D. .
 2
 1 3 5 .... 2n 1 
Câu 21. Tính giới hạn: lim
 3n2 4
 1 2
 A. 0 .B. .C. .D. 1.
 3 3
 n2 1 1
Câu 22. Chọn kết quả đúng của lim 3 .
 3 n2 2n
 1
 A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. .
 2
 k
 ak n ... a1n a0
Câu 23. Giá trị của D lim p (Trong đó k, p là các số nguyên dương; 
 bpn ... b1n b0
akbp 0 ).
 bằng:
 A. B. C. Đáp án khác D. 1 
 2 5n 2
Câu 24. Kết quả đúng của lim là:
 3n 2.5n
 5 1 5 25
 A. . B. . C. . D. .
 2 50 2 2
 3n 4.2n 1 3
Câu 25. lim bằng:
 3.2n 4n
 A. . B. . C. 0 . D. 1.
 3.2n 3n
Câu 26. Giá trị của C lim bằng:
 2n 1 3n 1
 1
 A. B. C. D. 1 
 3
Câu 27. Giá trị đúng của lim 3n 5n là:
 A. . B. . C. 2 . D. 2 .
 3.2n 3n
Câu 28. Giá trị của. K lim bằng:
 2n 1 3n 1
 1
 A. B. C. 2 D. 1 
 3
 5n 1
Câu 29. lim bằng :
 3n 1
 A. .B. 1 . C. 0 D. .
 4n 2n 1
Câu 30. lim 4 bằng :
 3n 4n 2
 1 1
 A. 0 .B. .C. .D. .
 2 4 3.3n 4n
Câu 31. Giá trị của. C lim bằng:
 3n 1 4n 1
 1
 A. B. C. 0 D. 1 
 2
 1 a a2 ... an
Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa a 1; b 1. Tìm giới hạn I lim .
 1 b b2 ... bn
 1 b
 A. B. C. D. 1 
 1 a
 k k 1
 ak .n ak 1n ... a1n a0
Câu 33. Tính giới hạn của dãy số A lim p p 1 với akbp 0 . :
 bp .n bp 1n ... b1n b0
 A. B. C. Đáp án khác D. 1 
 2 n 3 
Câu 34. lim n sin 2n bằng:
 5 
 A. . B. 0 . C. 2 . D. .
Câu 35. Giá trị của. M lim n2 6n n bằng:
 A. B. C. 3 D. 1 
Câu 36. Giá trị của. H lim n2 n 1 n bằng:
 1
 A. B. C. D. 1 
 2
Câu 37. Giá trị của B lim 2n2 1 n bằng:
 A. B. C. 0 D. 1 
Bài 40. Giá trị của K lim n n2 1 n bằng:
 1
 A. B. C. D. 1 
 2
Câu 38. Giá trị đúng của lim n2 1 3n2 2 là:
 A. . B. . C. 0 . D. 1.
Câu 39. Giá trị của A lim n2 6n n bằng:
 A. B. C. 3 D. 1 
Câu 40. Giá trị của B lim 3 n3 9n2 n bằng:
 A. B. C. 0 D. 3
Câu 41. Giá trị của D lim n2 2n 3 n3 2n2 bằng:
 1
 A. B. C. D. 1 
 3
Câu 42. Giá trị của. M lim 3 1 n2 8n3 2n bằng:
 1
 A. B. C. 0 D. 1 
 12
Câu 43. Giá trị của. N lim 4n2 1 3 8n3 n bằng:
 A. B. C. 0 D. 1 Câu 44. Giá trị của. K lim 3 n3 n2 1 3 4n2 n 1 5n bằng:
 5
 A. B. C. D. 1 
 12
Câu 45. Giá trị của. N lim 3 n3 3n2 1 n bằng:
 A. B. C. 0 D. 1 
Câu 46. Giá trị đúng của lim n n 1 n 1 là:
 A. 1. B. 0 . C. 1. D. .
Câu 47. Giá trị của. H lim n 3 8n3 n 4n2 3 bằng:
 2
 A. B. C. D. 1 
 3
Câu 48. Giá trị của A lim n2 2n 2 n bằng:
 A. B. C. 2 D. 1 
Câu 49. lim 5 200 3n5 2n2 bằng :
 A. 0 .B. 1. C. .D. .
 2n3 sin 2n 1
Câu 50. Giá trị của. A lim bằng:
 n3 1
 A. B. C. 2 D. 1 
 n n!
Câu 51. Giá trị của. B lim bằng:
 n3 2n
 A. B. C. 0 D. 1 
 n 1
Câu 52. Giá trị của. D lim bằng:
 n2 ( 3n2 2 3n2 1)
 2
 A. B. C. D. 1 
 3
Câu 53. Giá trị của. E lim( n2 n 1 2n) bằng:
 A. B. C. 0 D. 1 
Câu 54. Giá trị của. F lim n 1 n bằng:
 A. B. C. 0 D. 1 
Câu 55. Giá trị của. H lim( k n2 1 p n2 1) bằng:
 A. B. C. Đáp án khác D. 1 
 1 1 1
Câu 56. Tính giới hạn của dãy số u ... :
 n 2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1
 A. B. C. 0 D. 1 
 (n 1) 13 23 ... n3
Câu 57. Tính giới hạn của dãy số u :
 n 3n3 n 2
 1
 A. B. C. D. 1 
 9
 1 1 1 n(n 1)
Câu 58. Tính giới hạn của dãy số un (1 )(1 )...(1 ) trong đó Tn . :
 T1 T2 Tn 2
 1
 A. B. C. D. 1 
 3 23 1 33 1 n3 1
Câu 59. Tính giới hạn của dãy số u . .... . :
 n 23 1 33 1 n3 1
 2
 A. B. C. D. 1 
 3
 n 2k 1
Câu 60. Tính giới hạn của dãy số u . :
 n  k
 k 1 2
 A. B. C. 3 D. 1 
 2 n
Câu 61. Tính giới hạn của dãy số un q 2q ... nq với q 1 . :
 q
 A. B. C. D. 
 1 q 2
 q
 1 q 2
 n n
Câu 62. Tính giới hạn của dãy số u . :
 n  2
 k 1 n k
 A. B. C. 3 D. 1 
 3 n6 n 1 4 n4 2n 1
Câu 63. Tính giới hạn của dãy số B lim . :
 (2n 3)2
 3
 A. B. C. 3 D. 
 4
Câu 64. Tính giới hạn của dãy số C lim 4n2 n 1 2n . :
 1
 A. B. C. 3 D. 
 4
Câu 65. Tính giới hạn của dãy số D lim n2 n 1 2 3 n3 n2 1 n . :
 1
 A. B. C. D. 1 
 6
 1
Câu 66. Cho dãy số (x ) xác định bởi x , x x2 x ,n 1
 n 1 2 n 1 n n
 1 1 1
Đặt Sn  . Tính lim Sn .
 x1 1 x2 1 xn 1
 A. B. C. 2 D. 1 
 1 2 k
Câu 67. Cho dãy (x ) được xác định như sau: x ... 
 k k 2! 3! (k 1)!
 n n n n
Tìm limun với un x1 x2 ... x2011 .
 1
 A. B. C. 1 D. 
 2012!
 1
1 
 2012!
 u 2011
 0 3
 un
Câu 68. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: 1 . Tìm lim .
 u u 
 n 1 n 2 n
 un
 A. B. C. 3 D. 1 
 x 1 1
Câu 69. Cho dãy x 0 xác định như sau: f (x) . Tìm 0; .
 x A. B. C. 2010 D. 1 
 n. 1 3 5 ... (2n 1)
Câu 70. Tìm limu biết u 
 n n 2n2 1
 1
 A. B. C. D. 1 
 2
 3 x 2 2x 1
 khi x 1
Câu 71. Tìm limun biết f (x) x 1
 3m 2 khi x 1
 3 6
 A. B. C. 2 D. 
 2
 x 1 1
 khi x 0
Câu 72. Tìm limun biết f (x) x
 2
 2x 3m 1 khi x 0
 A. B. C. 2 D. 1
 2x 4 3 khi x 2
Câu 73. Tìm limun biết f (x) x 1 trong đó x 1.
 khi x 2
 x2 2mx 3m 2
 1
 A. B. C. D. 1
 3
 n 1
Câu 74. Tìm limu biết u 
 n n  2
 k 1 n k
 A. B. C. 3 D. 1
Câu 75. Tìm limu biết u 2 2... 2
 n n 
 n dau can
 A. B. C. 2 D. 1
Câu 76. Gọi g(x) 0, x 2 là dãy số xác định bởi . Tìm 
lim f (x) lim 2x 4 3 3.
x 2 x 2 
 4
 A. B. C. D. 1
 3
 2 2
 2 1 1 2 1 2 2
Câu 77. Cho dãy số A x1 x1x2 x1x2 x2 x1 x2 3 0 được xác định như 
 2 4 2
sau x1 x2 .
 3
Đặt x . Tìm x3 2x 3 3 2x 4 0 .
 2
 1
 A. B. C. D. 1
 2
 å
Câu 78. Cho a,b ¥ ,(a,b) 1;n ab 1,ab 2,.... Kí hiệu rn là số cặp số 
 r 1
(u,v) ¥ å ¥ å sao cho n au bv . Tìm lim n .
 n n ab
 1
 A. B. C. D. ab 1 
 ab