Trắc nghiệm Đại số Lớp 10 - Chương 6 - Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung (Có đáp án)

 Bài 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG 
1. Định nghĩa
 Ð Ð
 Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM (còn viết ..)
 y
 B
 M
 K
 a 
 A' A x
 H O
 B'
 Tung độ y OK của điểm M gọi là sin của và kí hiệu là sin .
 sin OK.
 Hoành độ x OH của điểm M gọi là côsin của và kí hiệu là cos .
 cos OH.
 sin 
 Nếu cos 0, tỉ số gọi là tang của và kí hiệu là tan (người ta còn dùng kí hiệu tg )
 cos 
 sin 
 tan . 
 cos 
 cos 
 Nếu sin 0, tỉ số gọi là côtang của và kí hiệu là cot (người ta còn dùng kí hiệu cotg ): 
 sin 
 cos 
cot . 
 sin 
 Các giá trị sin , cos , tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung . 
 Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin
2. Hệ quả
 1) sin và cos xác định với mọi ¡ . Hơn nữa, ta có
 sin k2 sin , k ¢ ;
 cos k2 cos , k ¢ .
 2) Vì 1 OK 1; 1 OH 1nên ta có
 1 sin 1
 1 cos 1.
 3) Với mọi m ¡ mà 1 m 1 đều tồn tại và  sao cho sin m và cos  m. 
 4) tan xác định với mọi k k ¢ . 
 2
 5) cot xác định với mọi k k ¢ .
 Ð
 6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM trên 
đường tròn lượng giác.
 Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
 Góc phần tư
 I II III IV
 Giá trị lượng giác
 cos 
 sin 
 tan cot 
 Mẹo ghi nhớ: “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos”
3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
 2 3 3 
 0 2 
 Góc 6 4 3 2 3 4 2
 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600
 sin 1 2 3 3 2
 0 1 0 –1 0
 2 2 2 2 2
 cos 3 2 1 2
 1 0 .. - –1 0 1
 2 2 2 2
 tan a 3
 0 1 3 || - 3 –1 0 || 0
 3
 cot a 3 3
 || 3 1 0 - –1 || 0 ||
 3 3
II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG
1. Ý nghĩa hình học của tan 
 Từ A vẽ tiếp tuyến t 'At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn 
gốc tại A .
 Gọi T là giao điểm của OM với trục t ' At. 
  
 tan được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ AT trên trục t 'At. Viết: tan AT
 Trục t 'At được gọi là trục tang.
 y t
 M
 a
 A x
 O
 T
 t'
2. Ý nghĩa hình học của cot 
 Từ B vẽ tiếp tuyến s 'Bs với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn 
gốc tại B .
 Gọi S là giao điểm của OM với trục s 'Bs 
  
 cot được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ BS trên trục s 'Bs . Viết: cot BS Trục s 'Bs được gọi là trục côtang.
 y
 s' B S s
 M
 x
 a 
 O
 tan k tan , k ¢ ;
 Nhận xét: 
 cot k cot , k ¢ .
III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
1. Công thức lượng giác cơ bản
 Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau
 sin2 cos2 1 
 sin 
 tan , k , k ¢
 cos 2
 cos 
 cot , k , k ¢
 sin 
 k 
 tan .cot 1, , k ¢ 
 2
 1 
 1 tan2 , k , k ¢ 
 cos2 2
 1
 1 cot2 , k , k ¢ 
 sin2 
2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
 Góc đối nhau ( và ) Góc bù nhau( và ) Góc phụ nhau( và )
 2
 cos( ) cos sin( ) sin sin cos 
 2 
 sin( ) sin cos( ) cos cos sin 
 2 
 tan( ) tan tan( ) tan tan cot 
 2 
 cot( ) cot cot( ) cot cot tan 
 2 
 Góc hơn kém ( và ) Góc hơn kém ( và )
 2 2
 sin( ) sin sin cos 
 2 
 cos( ) cos cos sin 
 2 
 tan( ) tan tan cot 
 2 
 cot( ) cot cot tan 
 2 Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos - đối, sin – bù, phụ - chéo, hơn kém tang 
côtang, hơn kém chéo sin". Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối.
 2
B. CÁC DẠNG TOÁN:
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
I. PHƯƠNG PHÁP: Dấu của các giá trị lượng giác của góc phụ thuộc vào vị trí điểm cuối (điểm ngọn) 
 Ð
của cung AM trên đường tròn lượng giác. Vì thế cần xác định vị trí điểm M trên đường tròn lượng 
giác rồi sử dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác.
 Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
 Vị trí điểm M thuộc 
 góc phần tư I II III IV
 Giá trị lượng giác
 cos 
 sin 
 tan 
 cot 
II. VÍ DỤ MINH HỌA:
 Cho . Xác định dấu của các biểu thức sau:
 2
 3 
a) sin b) tan 
 2 2 
 14 
c) cos .tan d) sin .cot 
 2 9
Lời giải
 3 
a) Ta có sin 0
 2 2 2 2 
 3 3 
b) Ta có 0 tan 0
 2 2 2 2 
c) Ta có 0 cos 0
 2 2 2 2 
 Và 0 tan 0
 2
Vậy cos .tan 0.
 2 
 3 14 14 
d) Ta có 2 sin 0
 2 9 9
 3 
 2 suy ra cot 0.
2 2
 14 
Vậy sin .cot 0 .
 9
III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM:
Câu 1. Điểm cuối của thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng
trong các kết quả sau đây.
 A. sin 0. B. cos 0. C. tan 0. D. cot 0.
Câu 2. Điểm cuối của thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là 
sai ?
 A. sin 0. B. cos 0. C. tan 0. D. cot 0. Câu 3. Điểm cuối của thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là 
 đúng ?
 A. sin 0. B. cos 0. C. tan 0. D. cot 0.
 Câu 4. Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu sin , cos cùng dấu? 
 A. Thứ II. B. Thứ IV. C. Thứ II hoặc IV. D. Thứ I hoặc III.
 Câu 5. Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu sin , tan trái dấu? 
 A. Thứ I. B. Thứ II hoặc IV. C. Thứ II hoặc III. D. Thứ I hoặc IV.
 Câu 6. Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu cos 1 sin2 .
 A. Thứ II. B. Thứ I hoặc II. C. Thứ II hoặc III. D. Thứ I hoặc IV.
 Câu 7. Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu sin2 sin .
 A. Thứ III. B. Thứ I hoặc III. C. Thứ I hoặc II. D. Thứ III hoặc IV.
 5 
 Câu 8. Cho 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
 2
 A. tan 0; cot 0. B. tan 0; cot 0.
 C. tan 0; cot 0. D. tan  cot 0.
 Câu 9. Cho 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
 2
 A. sin 0. B. sin 0. C. sin 0. D. sin 0.
Câu 10. Cho 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
 2
 A. cot 0. B. cot 0. C. tan 0. D. tan 0.
 2 2 
Câu 11. Cho . Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương ?
 2
 A. sin . B. cot . C. cos . D. tan .
 2 
 3 
Câu 12. Cho . Khẳng định nào sau đây đúng?
 2
 3 3 
 A. tan 0. B. tan 0.
 2 2 
 3 3 
 C. tan 0. D. tan 0.
 2 2 
Câu 13. Cho . Xác định dấu của biểu thức M cos .tan .
 2 2 
 A. M 0. B. M 0. C. M 0. D. M 0.
 3 
Câu 14. Cho . Xác định dấu của biểu thức M sin .cot .
 2 2 
 A. M 0. B. M 0. C. M 0. D. M 0.
Câu 15. Cho tam giác ABC có góc A tù. Cho các biểu thức sau:
 (1) M sin A sin B sin C (2) N cos A.cos B.cosC
 A B C
 (3) P cos .sin .cot (4) Q cot Atan B cot C
 2 2 2
 Số các biểu thức mang giá trị dương là:
 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
 IV. HƯỚNG DẪN GIẢI : sin 0
 cos 0
 Câu 1. Điểm cuối của thuộc góc phần tư thứ nhất  Chọn A.
 tan 0
 cot 0
 sin 0
 cos 0
 Câu 2. Điểm cuối của thuộc góc phần tư thứ hai  Chọn A.
 tan 0
 cot 0
 sin 0
 cos 0
 Câu 3. Điểm cuối của thuộc góc phần tư thứ hai  Chọn B.
 tan 0
 cot 0
 Câu 4. Chọn D.
 Câu 5. Chọn C.
 Câu 6. Ta có cos 1 sin2 cos cos2 cos cos cos .
 Đẳng thức cos cos  cos 0  điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ I 
 hoặc IV. Chọn D.
 Câu 7. Ta có sin2 sin sin sin .
 Đẳng thức sin sin  sin 0  điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ I 
 hoặc II. Chọn C.
 5 
 Câu 8. Ta có 2  điểm cuối cung thuộc góc phần tư thứ I
 2
 tan 0
  . Chọn A.
 cot 0
 Câu 9.Ta có 0  điểm cuối cung thuộc góc phần tư thứ III  
 2 2
 sin 0.Chọn D.
Câu 10. Ta có :
 0  cot 0
 2 2 2 2 
 .
 3 
 0  tan 0
 2 2 
 Chọn D.
Câu 11. Ta có 
 sin sin ; cot sin ; cos cos ; tan tan .
 2 
 sin 0
 Do cos 0  Chọn B.
 2 
 tan 0
 3 
 sin 0
 3 3  2  3 
Câu 12. Ta có 0 tan 0.
 2 2 2 3 2 
 cos 0
 2 Chọn B.
Câu 13. Ta có :
 0  cos 0
 2 2 2 2 
 0  tan 0
 2 2
  M 0. Chọn B.
Câu 14. Ta có :
 3 3 
  sin 0
 2 2 2 2 2 
 3 5 
 2  cot 0
 2 2
  M 0 . Chọn D.
Câu 15. Ta có: A tù nên cos A 0;sin A 0;t anA 0;cot A 0
 Do đó: M 0; N 0; P 0; Q 0 . Chọn B. DẠNG 2: 
 TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
I. PHƯƠNG PHÁP : 
 Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác 
 Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt 
 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản 
II. VÍ DỤ MINH HỌA :
 1 3 
Ví dụ 1 : Cho cos . Khi đó sin bằng
 3 2 
 2 1 1 2
 A. . B. . C. . D. .
 3 3 3 3
 Lời giải
 Chọn C
 3 1
 Ta có sin sin 2 sin cos .
 2 2 2 3
 2 3
Ví dụ 2: Cho cos150 . Giá trị của tan15 bằng :
 2
 2 3 2 3
 A. 3 2 B. C. 2 3 D. 
 2 4
 Lời giải
 Chọn C
 1 4 2
 tan2 150 1 1 2 3 0
 2 0 tan15 2 3 . 
 cos 15 2 3
 4 3 
Ví dụ 3 : Cho tan với 2 . Khi đó :
 5 2
 4 5 4 5
 A. sin , cos .B. sin , cos .
 41 41 41 41
 4 5 4 5
 C. sin cos .D. sin , cos .
 41 41 41 41
 Lời giải
 Chọn C
 2 1 16 1 1 41 2 25 5
 1 tan 2 1 2 2 cos cos 
 cos 25 cos cos 25 41 41 
 3 5
 2 cos 0 cos 
 2 41 .
 4
 sin 
 41
III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
 1
Câu 1. Cho biết tan . Tính cot 
 2
 1 1
 A. cot 2 . B. cot . C. cot . D. cot 2 .
 4 2
Câu 2. Tính giá trị của cos 2k 1 .
 4 
 3 2
 A. cos 2k 1 . B. cos 2k 1 .
 4 2 4 2 1 3
 C. cos 2k 1 . D. cos 2k 1 .
 4 2 4 2
 12 
 Câu 3. Cho góc thỏa mãn sin và . Tính cos .
 13 2
 1 5 5 1
 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos .
 13 13 13 13
 5 3 
 Câu 4. Cho góc thỏa mãn cos và . Tính tan .
 3 2
 3 2 4 2
 A. tan . B. tan . C. tan . D. tan . 
 5 5 5 5
 4 2017 2019 
 Câu 5. Cho góc thỏa mãn tan và . Tính sin .
 3 2 2
 3 3 4 4
 A. sin . B. sin . C. sin . D. sin .
 5 5 5 5
 12 
 Câu 6. Cho góc thỏa mãn cos và . Tính tan .
 13 2
 12 5 5 12
 A. tan . B. tan . C. tan . D. tan . 
 5 12 12 5
 4 
 Câu 7. Cho cos với 0 . Tính sin . 
 5 2
 1 1 3 3
 A. sin . B. sin . C. sin . D. sin .
 5 5 5 5
 Câu 8. Cho góc thỏa mãn tan 2 và 180o 270o. Tính P cos sin .
 3 5 3 5 5 1
 A. P . B. P 1 5. C. P . D. P .
 5 2 2
 3
 Câu 9. Cho góc thỏa sin và 90O 180O. Khẳng định nào sau đây đúng?
 5
 4 4 5 4
 A. cot . B. cos . C. tan . D. cos .
 5 5 4 5
 3
Câu 10. Cho góc thỏa cot và 0O 90O. Khẳng định nào sau đây đúng?
 4
 4 4 4 4
 A. cos . B. cos . C.sin . D. sin .
 5 5 5 5
 1 7 
Câu 11. Cho góc thỏa mãn sin và . Tính P tan .
 3 2 2 
 2 2
 A. P 2 2. B. P 2 2. C. P . D. P . 
 4 4
Câu 12. Cho góc thỏa mãn 3cos 2sin 2 và sin 0 . Tính sin .
 5 7 9 12
 A. sin . B. sin . C. sin . D. sin .
 13 13 13 13
Câu 13. Cho cot 3 2 với . Khi đó giá trị tan cot bằng :
 2 2 2
 A. 2 19 .B. 2 19 .C. 19 .D. 19 .
 IV. HƯỚNG DẪN GIẢI: 1 1
 Câu 1. Ta có : tan .cot 1 cot 2 . Chọn A. 
 tan 1
 2
 5 5 
 Câu 2. Ta có cos 2k 1 cos 2k cos
 4 4 4
 2
 cos cos . Chọn B.
 4 4 2
 5
 cos 1 sin2 
 13 5
 Câu 3. Ta có  cos . Chọn D.
 13
 2
 2
 sin 1 cos2 
 3 2 sin 2
 Câu 4. Ta có  sin  tan .
 3 3 cos 5
 2
 Chọn B.
 2
 2 1 4 1
 1 tan 1 
 2 2
 cos 3 cos 
 Câu 5. Ta có  
 2017 2019 3 
 504.2 504.2 
 2 2 2 2
 3 sin 4 sin 4
  cos . Mà tan   sin . Chọn D.
 3
 5 cos 3 5
 5
 5
 sin 1 cos2 
 13 5 sin 5
 Câu 6. Ta có  sin  tan .
 13 cos 12
 .
 2
 Chọn C.
 2
 2 2 4 9 3
 Câu 7. Ta có: sin 1 cos 1 sin .
 5 25 5
 3
 Do 0 nên sin 0 . Suy ra, sin 
 2 5
 2 1 1 1
 cos 2 cos 1
 Câu 8. Ta có 1 tan 5 5  cos 
 o o 5
 180 270
 2 3 3 5
  sin tan .cos . Do đó, sin cos . Chọn A.
 5 5 5
 4
 cos 1 sin2 4
 Câu 9. Ta có 5  cos . Chọn D. 
 5
 90 180
 2
 1 2 3 25
 2 1 cot 1 4
Câu 10. Ta có sin 4 16  sin . Chọn C.
 5
 0 90