Trắc nghiệm Đại số Lớp 10 - Chương 4 - Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình 1 ẩn (Có đáp án)

 BÀI 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1 ẨN
I – KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
1. Bất phương trình một ẩn
 Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng 
 f (x)< g(x) ( f (x)£ g(x)) (1)
 trong đó f (x) và g(x) là những biểu thức của x.
 Ta gọi f (x) và g(x) lần lượt là vế trái của bất phương trình (1). Số thực x0 sao cho 
 f (x0 )< g(x0 ) ( f (x0 )£ g(x0 )) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1). 
 Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô 
nghiệm. 
 Chú ý:
 Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g(x)> f (x) (g(x)³ f (x)).
2. Điều kiện của một bất phương trình
 Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f (x) và g(x) có nghĩa là điều 
kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1).
3. Bất phương trình chứa tham số
 Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem 
như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem 
với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các 
nghiệm đó. 
II – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
 Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng.
 Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm 
của hệ bất phương trình đã cho. 
 Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
 Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm. 
III – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất phương trình tương đương
 Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương 
và dùng kí hiệu " Û " để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó. 
 Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu " Û " để chỉ sự tương đương đó.
2. Phép biến đổi tương đương
 Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương 
trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn 
giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi 
tương đương. 
3. Cộng (trừ)
 Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của 
bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
 P (x)< Q(x)Û P (x)+ f (x)< Q(x)+ f (x)
4. Nhân (chia) 
 Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không 
làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai 
vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện 
của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
 P (x) 0, " x
 P (x) Q(x). f (x), f (x)< 0, " x
5. Bình phương
 Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện 
của nó ta được một bất phương trình tương đương.
 P (x)< Q(x)Û P 2 (x)< Q 2 (x), P (x)³ 0, Q(x)³ 0, " x
6. Chú ý
 Trong quá trình biến đổi một bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần chú ý những 
điều sau
 1) Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có 
thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn 
điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới. 
 2) Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P (x)< Q(x) với biểu thức f (x) ta cần lưu ý đến điều 
kiện về dấu của f (x). Nếu f (x) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường 
hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình.
 3) Khi giải bất phương trình P (x)< Q(x) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường 
hợp
 a) P (x), Q(x) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình. 
 b) P (x), Q(x) cùng có giá trị âm ta viết P (x)< Q(x)Û - Q(x)< - P (x)
 rồi bình phương hai vế bất phương trình mới. 
 1. Dạng 1: ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ CẶP BẤT PHƯƠNG 
 TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
a) Phương pháp giải tự luận.
 1
Ví dụ 1. Tập xác định của hàm số y là: 
 2 3x
 2 2 3 3 
 A. . ; B. . C.; . D. . ; ; 
 3 3 2 2 
 Lời giải
Chọn B
 2 3x 0
Hàm số xác định khi 2
 x 
 3
 1
Ví dụ 2. Tập xác định của hàm số y là:
 2 x
 A. . ;2 B. . 2; C. . D. . ;2 2; 
 Lời giải
Chọn A
 2 x 0
Hàm số xác định khi 
 x 2
Ví dụ 3. Bất phương trình nào sau đây không tương đương với bất phương trình x 5 0 ?
 A. x 1 2 x 5 0 . B. x2 x 5 0 .
 C. x 5 x 5 0 . D. x 5 x 5 0 .
 Lời giải
 Chọn D
 x 5 0 x 5 . 
 Tập nghiệm của bất phương trình là T1  5; + . x 5 0 x 5
 x 5 x 5 0 x 5 . 
 x 5 0 x 5
 Tập nghiệm của bất phương trình này là T2 5; + .
 Vì hai bất phương trình này không có cùng tập nghiệm nên chúng không tương đương nhau.
 Ví dụ 4. Khẳng định nào sau đây đúng?
 1
 A. x2 3x x 3 . B. 0 x 1.
 x
 x 1
 C. 0 x 1 0 . D. x x x x 0 .
 x2
 Lời giải
 ChọnD
 Vì a b a c b c , c ¡ . Trong trường hợp này c x .
 b) Bài tập vận dụng có chia mức độ 
 NHẬN BIẾT
 Câu 1. Tập xác định của hàm số y 3 2x 5 6x là
 5 6 3 2 
 A. . ; B. . C.; . D. . ; ;
 6 5 2 3 
 Câu 2. Tập xác định của hàm số y 4x 3 5x 6 là
 6 6 3 3 6 
 A. . ; B. . C.; . D. . ; ;
 5 5 4 4 5 
 1
 Câu 3. Tập xác định của hàm số y x 1 là
 x 4
 A. . 1; B. . C.1; . \ 4 D. . 1; \ 4 4; 
 Câu 4. Tập xác định của hàm số y 2x 3 4 3x là
 3 4 2 3 4 3 
 A. . ; B. . ; C. . D. . ; 
 2 3 3 4 3 2 
Câu 5. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 2 - x + x < 2 + 1 - 2 x .
 æ 1ù é1 ù
 A. x Î ¡ . B. x Î (- ¥ ;2]. C. x Î ç- ¥ ; ú. D. x Î ê ;2ú.
 èç 2ûú ëê2 ûú
 8
 Câu 6. Cho bất phương trình: 1 1 . Một học sinh giải như sau: 
 3 x
 I 1 1 II x 3 III x 3
 1 . 
 3 x 8 3 x 8 x 5
 Hỏi học sinh này giải sai ở bước nào?
 A. I . B. II . C. III . D. II và III .
 Câu 7. Cặp bất phương trình nào sau đây không tương đương 1 1
 A. x 1 x và 2x 1 x 1 x 2x 1 . B. 2x 1 và 2x 1 0 .
 x 3 x 3
 C. x2 x 2 0và x 2 0 . D. x2 x 2 0 và x 2 0 .
 Câu 8. Cặp bất phương trình nào sau đây không tương đương:
 1 1 1 1
 A. 5x 1 và 5x 1 0 .B. 5x 1 và 5x 1 0 .
 x 2 x 2 x 2 x 2
 C. x2 x 3 0và x 3 0. D. x2 x 5 0 và x 5 0 . 
THÔNG HIỂU
 x - 1
Câu 9. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình x + > 2 - 4 - x .
 x + 5
 A. x Î [- 5;4]. B. x Î (- 5;4]. C. x Î [4;+ ¥ ). D. x Î (- ¥ ;- 5). 
 x + 1
Câu 10. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 2 < x + 1.
 (x - 2)
 A. x Î [- 1;+ ¥ ). B. x Î (- 1;+ ¥ ). C. x Î [- 1;+ ¥ )\{2}. D. x Î (- 1;+ ¥ )\{2}.
 Câu 11. Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình x + 5 > 0?
 A. (x – 1)2 (x + 5) > 0 B. x2 (x +5) > 0
 C. x 5 (x + 5) > 0 D. x 5 (x – 5) > 0
 3 3
 Câu 12. Bất phương trình: 2x + < 3 + tương đương với: 
 2x 4 2x 4
 3 3
 A. 2x < 3 B. x < và x 2 C. x < D. Tất cả đều đúng
 2 2
 Câu 13. Bất phương trình: (x+1) x(x 2) 0 tương đương với bất phương trình:
 A. (x+1) x x 2 0 B. (x 1)2 x(x 2) 0 
 (x 1) x(x 2) (x 1) x(x 2)
 C. 0 D. 0 
 (x 3)2 (x 2)2
 Câu 14. Khẳng định nào sau đây đúng?
 1
 A. x2 3x x 3 B. < 0 x 1
 x
 x 1
 C. 0 x – 1 0 D. x + x x x 0
 x2
 3 3
Câu 15. Bất phương trình 2x + < 5 + tương đương với:
 2x - 4 2x - 4
 5 5
 A. 2 x < 5. B. x < và x ¹ 2 . C. x < . D. Tất cả đều đúng.
 2 2
Câu 16. Bất phương trình 2x - 1 ³ 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây?
 1 1 1 1
 A. 2x - 1+ ³ . B. 2x - 1- ³ - .
 x - 3 x - 3 x + 3 x + 3
 2x - 1 1
 C. (2x - 1) x - 2018 ³ x - 2018. D. ³ .
 x - 2018 x - 2018
Câu 17. Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương?
 2 2
 A. x - 2 £ 0 và x (x - 2)£ 0. B. x - 2 0. 
 2 2
 C. x - 2 < 0 và x (x - 2)< 0. D. x - 2 ³ 0 và x (x - 2)³ 0. 
Câu 18. Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình x + 5 > 0 ? 2
 A. (x – 1) (x + 5)> 0. B. x 2 (x + 5)> 0.
 C. x + 5(x + 5)> 0. D. x + 5(x - 5)> 0.
Câu 19. Bất phương trình (x + 1) x £ 0 tương đương với
 2 2 2
 A. x (x + 1) £ 0. B. (x + 1) x < 0. C. (x + 1) x £ 0. D. (x + 1) x < 0.
Câu 20. Bất phương trình x - 1 ³ x tương đương với
 A. (1- 2x) x - 1 ³ x (1- 2x). B. (2x + 1) x - 1 ³ x (2x + 1).
 C. (1- x 2 ) x - 1 ³ x (1- x 2 ). D. x x - 1 £ x 2 .
VẬN DỤNG
Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x - m - 6- 2x có tập xác định là một 
 đoạn trên trục số.
 1
 A. m = 3. B. m 3. D. m < .
 3
Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m - 2x - x + 1 có tập xác định là một 
 đoạn trên trục số.
 1
 A. m 2. C. m > - . D. m > - 2.
 2
Câu 23. Với giá trị nào của a thì hai bất phương trình (a + 1)x - a + 2 > 0 và (a –1)x - a + 3 > 0 tương đương:
 A. a = 1. B. a = 5. C. a = - 1. D. a=2. 
Câu 24. Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình (m + 2)x £ m + 1 và 3m(x - 1)£ - x - 1 tương đương:
 A. m = - 3. B. m = - 2. C. m = - 1. D. m = 3. 
Câu 25. Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình (m + 3)x ³ 3m - 6 và (2m - 1)x £ m + 2 tương đương:
 A. m = 1. B. m = 0. C. m = 4. D. m = 0 hoặc m = 4.
 Bảng đáp án
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 B B B D D B D B B C
 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
 C D C D D B A C C B
 21 22 23 24 25
 B D B D B
 2. Dạng 2: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
 a) Phương pháp giải tự luận.
 x 1
 Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình: 5x 4 2x 7 là: 
 5
 A. S  . B. S ¡ . C. S ; 1 . D. S 1; .
 Lời giải
 Chọn C.
 *Giải theo tự luận: x 1
 Ta có: 5x 4 2x 7 14x 14 x 1 .
 5
 Vậy Tập nghiệm của bất phương trình là: S ; 1 .
 *Giải theo pp trắc nghiệm:
 Thay x 2 , thỏa mãn Loại A, D.
 Thay x 0 , không thỏa mãn Loại B. Vậy chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: 2x 1 x là S a;b . Tính P a.b ?
 1 1 1
 A. P . B. P . C. P 1 . D. P .
 2 6 3
 Lời giải
 Chọn D.
 *Giải theo tự luận: 2x 1 x (1)
 1 1
 TH1: x , bất phương trình (1) trở thành: 1 2x x x . 
 2 3
 1 1
 Kết hợp với điều kiện, ta có: x .
 3 2
 1
 TH1: x , bất phương trình (1) trở thành: 2x 1 x x 1 . 
 2
 1
 Kết hợp với điều kiện, ta có: x 1.
 2
 1 1
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S ;1 . Và P .
 3 3
 x 1
Ví dụ 3: Cho bất phương trình: 1 . Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
 x 2
 A. 1 . B. 1 . C. 3 . D. 0 .
 Lời giải
 Chọn A.
 *Giải theo tự luận: ĐK: x 2 
 TH1: x 2 , luôn không đúng.
 1
 TH2: 2 x 1 , bất phương trình trở thành: 1 x x 2 x .
 2 1
 Kết hợp với điều kiện,ta có: 2 x .
 2
 TH3: x 1 , bất phương trình trở thành: x 1 x 2 , vô lí. 
 1 
 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S 2; .
 2 
 Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là 1 .
 *Giải theo trắc nghiệm: 
 Thay x 1 ; x 1 ; x 3 ; x 0 vào bất phương trình, ta thấy x 1là nghiệm của bất 
 phương trình, còn các giá trị khác thì không. Vậy chọn x 1.
 b) Bài tập vận dụng có chia mức độ 
 NHẬN BIẾT. 
Câu 1: Hãy chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:
 A. x 1 x 1 . B. x 1 1 x 1 .
 C. x 1 x 1 . D. x 1 x 1 .
Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình x 3x 2 2 3x 2 là:
 A. S 2; . B. S  2; . C. S 2; . D. S ; 2 .
 2
Câu 3: Nghiệm của bất phương trình 5x 1 x 3 là:
 5
 20 23 5 20
 A. x . B. x . C. x . D. x .
 23 20 2 23
Câu 4: x 2 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây:
 A. x 2 . B. 2 x 2x 1 .
 x 1 2x 2
 C. 1 . D. x 1 x x 1 x 2 .
 5 3
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình x x 6 5 2x 10 x x 8 là:
 A. ;5 . B. 5; . C.  . D. ¡ .
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình 5 x 1 x 7 x x2 2x là:
 5 
 A. ; . B. 2,6; . C.  . D. ¡ .
 2 
 THÔNG HIỂU.
Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình 5x 3 1 là: 3 3 
 A. ; . B. ¡ . C.  . D. ; .
 5 5 
Câu 8: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào có tập nghiệm là ¡ ?
 9 
 A. 9x 4 5 x 4 . B. 2x 4 7x 3x x 6 .
 5 
 5x 2x x
 C. x 3 . D. 5x 6 3x .
 6 13 6
 2x x x
Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình 6 8 chứa tập nào dưới đây?
 3 5 3
 3 3 
 A. ; . B. 1;3 . C. 20;30 . D. ; .
 5 5 
Câu 10: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào vô nghiệm?
 8 
 A. 8x 3 5 x 3 . B. 2x 3 7 7x 5x 5 .
 5 
 5x x x
 C. x 3 . D. 5x 6 3x .
 6 3 6
 2
Câu 11: Tập nghiệm của bất phương trình 1 là:
 1 x
 A. ; 1 . B. ; 1  1; . C. 1; . D. 1;1 .
 2 x
Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình 0 là:
 x 3 2
 A. ;2 . B. 2; . C. 2; \ 3 . D. 2;3 .
 2x 1
Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình 2 là:
 x 1
 3 3 3 
 A. 1; . B. ;  3; . C. ;1 . D. ; \ 1 .
 4 4 4 
 x 2 x
Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình 2 là:
 x
 A. 0;1 . B. ; 2 1; . C. ;0 1; . D. 0;1 .
 VẬN DỤNG.
 x 4 2 4x
Câu 15: Cho bất phương trình: . Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình 
 x2 9 x 3 3x x2
 là: A. 2 . B. 1 . C. 2 . D. 1 .
 2x
Câu 16: Các nghiệm tự nhiên nhỏ hơn 4 của bất phương trình 23 2x 16 là:
 5
 A. 4; 3; 2; 1;0;1;2;3 . B. 0;1;2;3 .
 C. 2;3 . D. 0;1;2 .
 1 2x
Câu 17: Số nghiệm tự nhiên nhỏ hơn 6 của bất phương trình 5x 12 là:
 3 3
 A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
 x 4 2 4x
Câu 18: Cho bất phương trình: . Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình 
 x2 9 x 3 3x x2
 là:
 A. 2 . B. 1 . C. 2 . D. 1 .
Câu 19:Tập nghiệm của bất phương trình: 3x 5 x 1 11 x x 1 là S a;b . Tính 
 P 2a b ?
 A. 2 . B. 5 . C. 2 . D. 1 .
 2 8
Câu 20: Cho bất phương trình: . Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là:
 x 13 9
 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
 22 55 
Câu 21: Cho bất phương trình: x x 0 . Số các nghiệm nguyên không âm của bất 
 7 4 
 phương trình là:
 A. 13 . B. 14 . C. 15 . D. 16 .
 7
Câu 22: Cho bất phương trình: x 5x 23 . Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
 6
 A. 6 . B. 7 . C. 6 . D. 7 .
Câu 23: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình x 3 1 x 0 là:
 A. 2 . B. 3 . C. 2 . D. 5 .
Câu 24: Tập nghiệm của bất phương trình 2x 8 2 x 0 có dạng a;b . Hiệu b a bằng:
 A. 2 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
 2x 3
Câu 25: Cho bất phương trình: 1 6x 4 . Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
 5
 A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 2 .
 Bảng đáp án
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10