Trắc nghiệm Đại số Lớp 10 - Chương 2 - Bài 2: Hàm số bậc nhất (Có đáp án)

 §2: HÀM SỐ BẬC NHẤT 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b (a ¹ 0) .
2. Sự biến thiên 
 · TXĐ: D = ¡ 
 · Hàm số số đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0
Bảng biến thiên
 x - ¥ + ¥ x - ¥ + ¥ 
 y = ax + b + ¥ y = ax + b + ¥ 
 (a > 0 ) (a < 0 )
 - ¥ - ¥ 
3. Đồ thị.
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ¹ 0) là một đường thẳng có hệ số góc bằng a , cắt trục hoành 
 æ b ö
tại Aç- ;0÷ và trục tung tại B (0;b)
 èç a ø÷
Chú ý: 
 · Nếu a = 0 Þ y = b là hàm số hằng, đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục 
hoành.
 · Phương trình x = a cũng là một đường thẳng(nhưng không phải là một hàm số) vuông góc với 
trục tọa độ và cắt tại điểm có hoành độ bằng a. 
 · Cho đường thẳng d có hệ số góc k , d đi qua điểm M (x0;y0 ), khi đó phương trình của 
đường thẳng d là: y - y0 = a(x - x0 ).
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 ➢ DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA 
 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ .
1. Phương pháp giải.
 · Để xác định hàm số bậc nhất ta là như sau
Gọi hàm số cần tìm lày = ax + b,a ¹ 0. Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ 
phương trình với ẩn a,b , từ đó suy ra hàm số cần tìm.
 · Cho hai đường thẳng d1 : y = a1x + b1 và d2 : y = a2x + b2. Khi đó:
 ì
 ï a1 = a2
a) d và d trùng nhau Û íï ;
 1 2 ï b = b
 îï 1 2
 ì
 ï a1 = a2
b) d và d song song nhau Û íï ;
 1 2 ï b ¹ b
 îï 1 2
 ì
 ï y = a1x + b1
c) d và d cắt nhau Û a ¹ a . Và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình íï 
 1 2 1 2 ï y = a x + b
 îï 2 2
d) d1 và d2 vuông góc nhau Û a1.a2 = - 1.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d . Tìm hàm số đó biết: 
a) d đi qua A(1;3), B(2;- 1) 
b) d đi qua C(3;- 2) và song song với D : 3x - 2y + 1 = 0
c) d đi qua M (1;2) và cắt hai tia Ox,Oy tại P,Q sao cho SDOPQ nhỏ nhất.
1 d) d đi qua N (2;- 1)và d ^ d ' với d ' : y = 4x + 3.
Lời giải
Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b,a ¹ 0
a) Vì A Î d và B Î d nên ta có hệ phương trình
ïì 3 = a + b ïì a = - 4
íï Û íï 
ï - 1 = 2a + b ï b = 7
îï îï
Vậy hàm số cần tìm là y = - 4x + 7 
 ïì 3
 ï a =
 3 1 ï
b) Ta có D : y = x + . Vì d / / D nên í 2 (1)
 2 2 ï 1
 ï b ¹
 îï 2
Mặt khác C Î d Þ - 2 = 3a + b (2)
 ïì 3
 ï a =
 ï
Từ (1) và (2) suy ra í 2 
 ï 13
 ï b = -
 îï 2
 3 13
Vậy hàm số cần tìm là y = x - 
 2 2
 æ b ö
c) Đường thẳng d cắt trục Ox tại P ç- ;0÷ và cắt Oy tại Q (0;b) với a 0 
 èç a ø÷
 1 1 b b2
Suy ra S = OP.OQ = . - . b = - (3)
 DOPQ 2 2 a 2a
Ta có M Î d Þ 2 = a + b Þ b = 2 - a thay vào (3) ta được
 2
 (2 - a) 2 a
S = - = - - + 2
 DOPQ 2a a 2
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có
 2 a æ 2ö æ a ö
- - ³ 2 ç- ÷.ç- ÷ = 2 Þ S ³ 4
 a 2 èç a ø÷ èç 2ø÷ DOPQ
 ïì 2 a
 ï - = -
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi í a 2 Û a = - 2 Þ b = 4 
 ï a < 0
 îï
Vậy hàm số cần tìm là y = - 2x + 4.
d) Đường thẳng d đi qua N (2;- 1) nên - 1 = 2a + b (4)
 1 1
Và d ^ d ' Þ 4.a = - 1 Û a = - thay vào (4) ta được b = - .
 4 2
 1 1
Vậy hàm số cần tìm là y = - x - .
 4 2
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d : y = x + 2m, d ' : y = 3x + 2(m là tham số)
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d, d ' cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng
b) Tìm m để ba đường thẳng d,d ' và d " : y = - mx + 2 phân biệt đồng quy.
Lời giải
a) Ta có ad = 1 ¹ ad ' = 3 suy ra hai đường thẳng d, d ' cắt nhau.
2 Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d, d ' là nghiệm của hệ phương trình 
ïì y = x + 2m ïì x = m - 1
íï Û íï suy ra d, d ' cắt nhau tạiM (m - 1;3m - 1)
ï y = 3x + 2 ï y = 3m - 1
îï îï
b) Vì ba đường thẳng d, d ', d " đồng quy nên M Î d " ta có 
 ém = 1
 3m - 1 = - m (m - 1) + 2 Û m2 + 2m - 3 = 0 Û ê 
 êm = - 3
 ëê
 · Với m = 1 ta có ba đường thẳng là d : y = x + 2, d ' : y = 3x + 2, d " : y = - x + 2, phân 
biệt và đồng quy tại M (0;2).
 · Với m = - 3 ta có d ' º d " suy ra m = - 3 không thỏa mãn
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d : y = (m - 1)x + m và d ' : y = (m2 - 1)x + 6 
a) Tìm m để hai đường thẳng d, d ' song song với nhau
b) Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung tại A , d ' cắt trục hoành tại B sao cho tam giác 
OAB cân tại O 
Lời giải
a) Với m = 1 ta có d : y = 1, d ' : y = 6 do đó hai đường thẳng này song song với nhau
Với m = - 1 ta có d : y = - 2x - 1, d ' : y = 6 suy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại 
 æ 7 ö
 M ç- ;6÷ 
 èç 2 ø÷
Với m ¹ ± 1 khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc nhất nên song song với nhau 
 ïì ém = 1
 ïì m - 1 = m2 - 1 ï ê ém = 1
khi và chỉ khi íï Û íï êm = 0 Û ê 
 ï m ¹ 6 ï ëê êm = 0
 îï ï m ¹ 6 ëê
 îï
Đối chiếu với điều kiện m ¹ ± 1 suy ra m = 0.
Vậy m = 0 và m = 1 là giá trị cần tìm.
 ïì y = (m - 1)x + m ïì x = 0
b) Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ íï Û íï Þ A(0;m ) 
 ï x = 0 ï y = m
 îï îï
 ïì y = (m2 - 1)x + 6 ïì (m2 - 1)x + 6 = 0
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ íï Û íï (*)
 ï y = 0 ï y = 0
 îï îï
Rõ ràng m = ± 1 hệ phương trình (*) vô nghiệm
 ïì 6
 ï x = æ 6 ö
Với m ¹ ± 1 ta có (*) Û í 2 Þ B ç ;0÷ 
 1- m ç 2 ÷
 ï y = 0 è1- m ø
 îï
 6
Do đó tam giác OAB cân tại O Û m = 
 1- m2
 ém - m3 = 6
 Û m - m3 = 6 Û ê 
 êm - m3 = - 6
 ëê
 ém3 - m + 6 = 0 ém = - 2
 Û ê Û ê (thỏa mãn)
 êm3 - m - 6 = 0 êm = 2
 ëê ëê
Vậy m = ± 2 là giá trị cần tìm.
3 3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.16: Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d . Tìm hàm số đó biết: 
a) d đi qua A(1;1), B(3;- 2) 
b) d đi qua C(2;- 2) và song song với D : x - y + 1 = 0
c) d đi qua M (1;2) và cắt hai tia Ox,Oy tại P,Q sao cho DOPQ cân tại O.
d) d đi qua N (1;- 1)và d ^ d ' với d ' : y = - x + 3.
Bài 2.17: Tìm m để ba đường thẳng d : y = 2x, d ' : y = - x + 6, d '' : y = m2x + 5m + 3 
phân biệt đồng quy.
 ➢ DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC 
 NHẤT.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
 1 3
a) y = 3x + 6 y = - x + 
 2 2 y
Lời giải
a) TXĐ: D = ¡ , a = 3 > 0 suy ra hàm số đồng biến trên ¡ 
Bảng biến thiên
 x - ¥ + ¥ 
 + ¥ 3
 y = 3x + 6
 - ¥ 
Đồ thị hàm số y = 3x + 6 đi qua A(- 2;0), B (- 1;3) -2 -1O 1 x
 1
b) TXĐ: D = ¡ , a = - < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên 
 2 y
 ¡ 
Bảng biến thiên
 x - ¥ + ¥ 3/2
 1 3 + ¥ 
 y = - x + 
 2 2 O 1 3 x
 - ¥ 
 1 3 æ 3ö
Đồ thị hàm số y = - x + đi qua A(3;0), B ç0; ÷ 
 2 2 èç 2ø÷
4 Ví dụ 2. Cho các hàm số : y = 2x - 3, y = - x - 3, y = - 2 . 
a) Vẽ đồ thị các hàm số trên
b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị y
hàm số đó
Lời giải
a) Đường thẳng y = 2x - 3 đi qua các điểm 3
 2
 æ3 ö
 A(0;- 3),B ç ;0÷ 1 x
 èç2 ø÷ -3 -1 O
Đường thẳng y = - x - 3 đi qua các điểm -2
 A(0;- 3),C (- 3;0) 
Đường thẳng y = - 2 song song với trục hoành và cắt -3
trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 
b) Đường thẳng y = 2x - 3, y = - x - 3 cắt nhau tại 
 A(0;- 3), Đường thẳng y = - x - 3, y = - 2 cắt nhau 
 æ1 ö
tại A '(- 1;- 2), Đường thẳng y = 2x - 3, y = - 2 cắt nhau tại A "ç ;- 2÷.
 èç2 ø÷
 Ví dụ 3: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C ) (hình vẽ)
 é ù
a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên ë- 3;3û 
 y
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên 
 é ù
 ë- 4;2û 3
Lời giải
 é ù 2
a) Bảng biến thiên của hàm số trên ë- 3;3û
 1
 x - 3 - 2 1 3 
 2 2 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x
 y -1
 -2
 1 
 - 2 -3
b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có
 max = 3 khi và chỉ khix = - 4 
 é ù
 ë- 4;2û
 min = 0 khi và chỉ khi x = 2 
 é ù
 ë- 4;2û
5 2. Bài tập luyện tập.
 3 y
Bài 2.18: Cho các hàm số : y = - 2x + 3, y = x + 2, y = . 
 2 3
a) Vẽ đồ thị các hàm số trên 2
b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số 
đó
Bài 2.19: Cho đồ thị hàm số có đồ thị C (hình vẽ)
 ( ) -3 -2 -1 O 1 2 3 x
 é ù
a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên ë- 3;3û 
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên é- 2;2ù 
 ë û -3
 ➢ DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI 
 y = ax + b .
1. Phương pháp giải.
 Vẽ đồ thị (C ) của hàm số y = ax + b ta làm như sau
Cách 1: Vẽ (C1 ) là đường thẳng y = ax + b với phần đồ thị sao cho hoành độx thỏa mãn 
 b b
 x ³ - , Vẽ (C ) là đường thẳng y = - ax - b lấy phần đồ thị sao cho x < - . Khi đó 
 a 2 a
(C ) là hợp của hai đồ thị (C1 ) và (C2 ).
Cách 2: Vẽ đường thẳng y = ax + b và y = - ax - b rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới 
trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là (C ).
Chú ý: 
 · Biết trước đồ thị (C ) : y = f (x ) khi đó đồ thị (C1 ) : y = f ( x ) là gồm phần :
 - Giữ nguyên đồ thị (C ) ở bên phải trục tung;
 - Lấy đối xứng đồ thị (C ) ở bên phải trục tung qua trục tung.
 · Biết trước đồ thị (C ) : y = f (x ) khi đó đồ thị (C2 ) : y = f (x ) là gồm phần:
 - Giữ nguyên đồ thị (C ) ở phía trên trục hoành
 - Lấy đối xứng đồ thị (C ) ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau
 ïì 2x khi x ³ 0
a) y = íï . b)y = - 3x + 3 .
 ï - x khi x < 0
 îï
6 Lời giải
 y
a) Với x ³ 0 đồ thị hàm số y = 2x là phần y
đường thẳng đi qua hai điểm 
O (0;0), A(1;2) nằm bên phải của đường 
 2
thẳng x = 0 . 
Với x < 0 đồ thị hàm số y = - x là phần 
đường thẳng đi qua hai điểm 
 B (- 1;1), C (- 2;2) nằm bên trái của đường -2 O 1 x O 1 x
thẳng x = 0 . 
b) Vẽ hai đường thẳng y = - 3x + 3 và y = 3x - 3 và lấy phần đường thẳng nằm trên trục 
hoành
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y = x - 2 b) y = x - 2 y
Lời giải
 ïì x - 2 khi x ³ 0
a) Cách 1: Ta có y = íï 
 ï - x - 2 khi x < 0
 îï
Vẽ đường thẳng y = x - 2 đi qua hai điểm 
 A (0;- 2), B (2;0) và lấy phần đường thẳng bên phải 
của trục tung
Vẽ đường thẳng y = - x - 2 đi qua hai điểm -2 O 1 2 x
 A(0;- 2), C (- 2;0) và lấy phần đường thẳng bên trái 
của trục tung. -2
Cách 2: Đường thẳng d : y = x - 2 đi qua 
 A (0;- 2), B (2;0).
 y
Khi đó đồ thị của hàm số y = x - 2 là phần đường 
thẳng d nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng 
của nó qua trục tung
b) Đồ thị y = x - 2 là gồm phần:
 2
- Giữ nguyên đồ thị hàm số y = x - 2 ở phía trên trục 
hoành
- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = x - 2 ở phía -2 O 1 2 x
dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.
Ví dụ 3: Cho đồ thị (C) : y = 3 x - 2 - 2x - 6
 a) Vẽ (C)
 é ù
 b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên với x Î ë- 3;4û
Lời giải
7 ïì x khi x ³ 3 y
 ï
a) Ta có y = íï 5x - 12 khi 2 < x < 3 
 ï
 ï - x khi x £ 2
 îï
 3
Vẽ đường thẳng y = x đi qua hai điểm O (0;0), A(1;1) và 
 2
lấy phần đường thẳng bên phải của đường thẳng x = 3 
Vẽ đường thẳng y = 5x - 12 đi qua hai điểm 1
 B (3;3), C (2;- 2) và lấy phần đường thẳng nằm giữa của 
 -3 -2 -1 O 1 2 3 x
hai đường thẳng x = 2, x = 3. -1
Vẽ đường thẳng y = - x đi qua hai điểm -2
O (0;0), D (- 1;- 1) và lấy phần đường thẳng bên trái của -3
đường thẳng x = 2 
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có
 max y = 4 khi và chỉ khi x = 4 
 é ù
 ë- 3;4û
 miny = - 2 khi và chỉ khi x = 2 
 é ù
 ë- 3;4û
Ví dụ 4: Lập bảng biến thiên của các hàm số sau
a) y = x 2 + x 2 - 2x + 1. b) y = x 2 + 4x + 4 - x + 1 .
 é ù
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên ë- 2;2û 
Lời giải
 ïì 2x - 1 khi x ³ 1
 ï
a) Ta có y = x + x - 1 = íï 1 khi 0 < x < 1
 ï
 ï 1- 2x khi x £ 0
 îï
Bảng biến thiên
 x - ¥ 0 1 + ¥ 
 + ¥ + ¥ 
 y
 1 1 
Ta có y (- 2) = 5, y (2) = 3 
Dựa vào bảng biến thiên ta có
 max y = 5 khi và chỉ khi x = - 2 
 é ù
 ë- 2;2û
 miny = 1 khi và chỉ khi x Î é0;1ù 
 é ù ë û
 ë- 2;2û
 ïì 1 khi x ³ - 1
 ï
b) Ta có y = x + 2 - x + 1 = íï 2x + 3 khi - 2 < x < - 1
 ï
 ï - 1 khi x £ - 2
 îï
Bảng biến thiên
 x - ¥ - 2 - 1 
 + ¥ 
 1 1 
 y
8 - 1 - 1 
Ta có y (- 2) = - 1, y (2) = 1 
Dựa vào bảng biến thiên ta có
 max y = 1 khi và chỉ khi x £ - 2 
 é ù
 ë- 2;2û
 miny = 1 khi và chỉ khi x ³ - 1 
 é ù
 ë- 2;2û
3. Bài tập luyện tập
Bài 2.20: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x - 3. Từ đó suy ra đồ thị của:
(C1 ) : y = 2 x - 3, (C2 ) : y = 2x - 3 , (C 3 ) : y = 2 x - 3 
Bài 2.21: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
y = x 2 - 4x + 4 - 3 x 2 - 2x + 1
 é ù
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên ë0;2û.
 x 2 + 4x + 4
Bài 2.22: a) Lập bảng biến thiên của hàm số y = - x - 2
 x + 2
b) Biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số trên với đường thẳng y = m theo m.
 ➢ DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG 
 MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT.
1. Phương pháp giải.
 Cho hàm số f x = ax + b và đoạn éa;b ùÌ ¡ . Khi đó, đồ thị của 
 ( ) ë û y
hàm số y = f(x) trên [a;b] là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất:
  max f(x) = max{f( ); f(},
 é ù f()
 ëa,b û
  min f(x) = min{f( ); f(},
 é ù
 ëa,b û
  max f (x) = max f (a) ; f (b) .
 é ù { }
 ëa,b û f( )
 Áp dụng các tính chất đơn giản này cho chúng ta 
cách giải nhiều bài toán một cách thú vị, ngắn gọn, hiệu quả. O  x
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho hàm số f (x ) = 2x - m . Tìm m để giá trị lớn nhất của 
 é ù
 f (x ) trên ë1;2û đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Dựa vào các nhận xét trên ta thấy max f (x) chỉ có thể đạt được tại x = 1 hoặc x = 2 . 
 [1;2]
Như vậy nếu đặt M = max f (x) thì M ³ f (1) = 2 - m và M ³ f (2) = 4 - m . 
 [1;2]
Ta có
 f (1) + f (2) 2 - m + 4 - m (2 - m) + (m - 4)
 M ³ = ³ = 1.
 2 2 2
 ïì 2 - m = 4 - m
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi íï Û m = 3. 
 ï (2 - m)(m - 4) ³ 0
 îï
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được chỉ khi m = 3.
9 Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2x - x 2 - 3m + 4 . Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là nhỏ 
nhất.
Lời giải
 2
Gọi A = max y . Ta đặt t = 2x - x 2 Þ t = 1- (x - 1) do đó 0 £ t £ 1
 é ù
Khi đó hàm số được viết lại là y = t - 3m + 4 với t Î ë0;1û suy ra
 - 3m + 4 + 5 - 3m
 A = max t - 3m + 4 = max { - 3m + 4 , 5 - 3m + } ³ 
 [0,1] 2
Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có
 - 3m + 4 + 5 - 3m = 3m - 4 + 5 - 3m ³ 1
 1 3
Do đó A ³ . Đẳng thức xảy ra m = . 
 2 2
 3
Vậy giá trị cần tìm là m = .
 2
 é ù
Ví dụ 3: Cho a,b,c thuộc ë0;2û. Chứng minh rằng: 2(a + b + c)- (ab + bc + ca) £ 4
Lời giải
Viết bất đẳng thức lại thành (2 - b - c)a + 2(b + c)- bc - 4 £ 0
 é ù
Xét hàm số bậc nhất f (a) = (2 - b - c)a + 2(b + c)- bc - 4 với ẩn a Î ë0;2û
Ta có: f (0) = 2(b + c)- bc - 4 = - (2 - b)(2 - c) £ 0
 f (2) = (2 - b - c)2 + 2(b + c)- bc - 4 = - bc £ 0
Suy ra f (a) £ max { f (0); f (2)} £ 0 đpcm.
Ví dụ 4: Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x + y + z = 3. 
Chứng minh rằng x 2 + y2 + z2 + xyz ³ 4.
Lời giải 
Bất đẳng thức t\ưng đương với (y + z)2 - 2yz + x 2 + xyz ³ 4
 Û (3 - x)2 + x 2 + yz(x - 2)- 4 ³ 0 Û yz(x - 2) + 2x 2 - 6x + 5 ³ 0
 2
 æy + z ö (3 - x)2 é (3 - x)2 ù
 ç ÷ ê ú
Đặt t = yz , do yz ³ 0 và yz ≤ ç ÷ = nên t Î 0; . 
 èç 2 ø÷ 4 ëê 4 ûú
khi đó VT(2) là hàm số bậc nhất của biến t , f (t) = (x - 2)t + 2x 2 - 6x + 5 .
 æ 2 ö
 ç(3 - x ) ÷
Để chứng minh bất đẳng thức (2) ta sẽ chứng minh f (0) ³ 0 và f ç ÷³ 0 .
 ç ÷
 èç 4 ø÷
 2
 æ 3ö 1
Thật vậy, ta có f (0) = 2x 2 - 6x + 5 = 2çx - ÷ + ³ 0 và 
 èç 2ø÷ 5
 æ 2 ö
 ç(3 - x ) ÷ 1 2
 f ç ÷= (x - 1) (x + 2) ³ 0 nên bất đẳng thức được chứng minh.
 ç ÷
 èç 4 ø÷ 4
Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = 1.
3. Bài tập luyện tập.
 ïì x, y, z ³ 0 7
Bài 2.23: Cho íï . Chứng minh 0 £ xy + yz + zx - 2xyz £ .
 ï x + y + z = 1
 îï 27
10