Ôn tập kiến thức Toán Lớp 8 lên Lớp 9 - Chương trình học kì 2

 Câu 60. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km / h . Khi đến B người đó 
 nghỉ 20 phút rồi quay về A với vận tốc trung bình 25km / h . Tính quãng đường AB , biết 
 rằng thời gian cả đi và về là 5 giờ 50 phút.
 Lời giải
 Gọi x km là chiều dài quãng đường AB x 0 .
 x
 Thời gian xe máy đi từ A đến B là: h .
 30
 x
 Thời gian xe máy đi từ B về A là: h .
 25
 1
 Đổi 20 phút h 
 3
 35 
 Do thời gian cả đi lẫn về và nghỉ là 5 giờ 50 phút h nên ta có phương trình:
 6 
 x 1 x 35
 30 3 25 6
 x x 11
 30 25 2
 5x 6x 825
 150 150 150
 5x 6x 825
 11x 825
 x 75 (thỏa mãn điều kiện)
 Vậy quãng đường AB dài 75 km .
Câu 61. Một xe khách khởi hành từ A đến B với vận tốc 50km / h . Sau đó 30 phút, một xe con 
 xuất phát từ B để đi đến A với vận tốc 60km / h . Biết quãng đường AB dài 80km . Hỏi sau 
 bao lâu kể từ khi xe khách khởi hành, hai xe gặp nhau?
 Lời giải
 Đổi: 30 phút 0,5 giờ
 Gọi x (giờ) là thời gian xe khách đi từ A đến khi hai xe gặp nhau x 0 .
 Quãng đường xe khách đi từ A đến khi hai xe gặp nhau là 50x km .
 Thời gian xe con đi từ B đến khi hai xe gặp nhau là x 0,5 (giờ)
 Quãng đường xe con đi từ B đến khi hai xe gặp nhau là 60 x 0,5 km .
 Đến lúc hai xe gặp nhau, tổng quãng đường hai xe đi được đúng bằng quãng đường AB nên 
 ta có phương trình: 60 x 0,5 50x
 60x 30 50x
 60x 50x 30
 10x 30
 x 3 (thỏa mãn điều kiện)
 Vậy sau 3 giờ kể từ khi xe khách khởi hành, hai xe gặp nhau. Câu 62. Một ô tô đi từ Hà Nội đến Đền Hùng với vận tốc trung bình 30 km/h . Trên quãng đường 
 từ Đền Hùng về Hà Nôi, vận tốc ô tô tăng thêm 10 km/h nên thời gian về ngắn hơn thời 
 gian đi là 36 phút. Tính quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng.
 Lời giải
 Gọi chiều dài quãng đường Hà Nội - Đền Hùng là x km, x 0 .
 x
 Thời gian xe ô tô đi từ Hà Nội đến Đền Hùng là: h 
 30
 Vì khi đi từ Đền Hùng về Hà Nội, xe tăng vận tốc nên vận tốc lúc về của ô tô là: 
 30 10 40 km/h
 x
 Thời gian xe ô tô đi từ Đền Hùng về Hà Nội là: h 
 40
 3 x x 3
 Thời gian về ngắn hơn thời gian đi là 36 phút h nên ta có phương trình: 
 5 30 40 5
 x x 3 1 1 3 1 3
 x .x x 72 (thỏa mãn điều kiện)
 30 40 5 30 40 5 120 5
Câu 63. Một công nhân dự kiến làm 60 sản phẩm trong một ngày. Do cải tiến kỹ thuật, anh đã làm 
 được 80 sản phẩm một ngày. Vì vậy, anh đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày và còn làm 
 thêm được 40 sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch.
 Lời giải
 Gọi số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch là x (sản phẩm, x 60; x ¢ ).
 x
 Thời gian anh công nhân dự kiến làm hết số sản phẩm là: (ngày)
 60
 Số sản phẩm anh công nhân đã làm trên thực tế là x 40 (sản phẩm)
 x 40
 Thời gian anh công nhân trên thực tế là: (ngày)
 80
 x x 40
 Vì anh đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày nên ta có phương trình: 2
 60 80
 x x 40 4x 3x 120 480
 2 4x 3x 120 480 x 600 (thỏa mãn điều 
 60 80 240 240
 kiện)
 Vậy số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch là 600 sản phẩm
Câu 64. Một tổ dự định mỗi giờ dệt 28m vải. Nhưng thực tế mỗi giờ, tổ đó đã dệt ít hơn 4m vải. 
 Do vậy, tổ đã làm quá thời gian dự định 2 giờ mà còn thiếu 5m vải nữa mới hoàn thành kế 
 hoạch. Tính số vải tổ đó phải dệt theo kế hoạch.
 Lời giải
 Gọi số vải tổ đó phải dệt theo kế hoạch là x m, x 28 .
 Số vải tổ đó dệt được trên thực tế là x 5 m 
 Trên thực tế mỗi giờ tổ dệt được 28 4 24 m 
 x
 Thời gian tổ dệt trên kế hoạch là h 
 28
 x 5
 Thời gian tổ dệt trên thực tế là h 
 24 Vì tổ đã làm quá thời gian dự định 2 giờ mà còn thiếu 5m vải nữa mới hoàn thành kế hoạch 
 x 5 x
 nên ta có phương trình: 2
 24 28
 x 5 x
 2
 24 28
 7 x 5 6x 336
 168 168 168
 7 x 5 6x 336
 7x 35 6x 336
 x 371(thỏa mãn điều kiện)
 Vậy số vải tổ đó phải dệt theo kế hoạch là 371m 
Câu 65. Một công nhân dự kiến làm 33 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Trước khi thực 
 hiện, xí nghiệp giao thêm cho người đó 29 sản phẩm nữa. Do đó mặc dù mỗi giờ người đó 
 đã làm thêm 3 sản phẩm nhưng vẫn hoàn thành chậm hơn dự kiến 1 giờ 30 phút. Tính 
 năng suất dự kiến.
 Lời giải
 Gọi năng suất dự kiến là x (sản phẩm/giờ, x ¥ * ).
 Năng suất thực tế của anh công nhân là x 3 (sản phẩm/giờ)
 33
 Thi gian công nhân làm trên kế hoạch là: h 
 x
 Số sản phẩm anh công nhân được giao trên thực tế là: 33 29 62 (sản phẩm)
 62
 Thời gian công nhân làm trên thực tế là: h 
 x 3
 Mặc dù mỗi giờ người đó đã làm thêm 3 sản phẩm nhưng vẫn hoàn thành chậm hơn dự 
 3 62 33 3
 kiến 1 giờ 30 phút nên ta có phương trình: 
 2 x 3 x 2
 2.62.x 33.2. x 3 3x x 3 
 2x x 3 2x x 3 
 124x 66x 198 3x2 9x
 124x 66x 198 3x2 9x
 3x2 49x 198 0
 x 9 thoûa maõn ñieàu kieän 
 22
 x loaïi 
 3
 Vậy năng suất dự kiến là 9 (sản phẩm/giờ).
Câu 66. Hai công nhân cùng làm một công việc trong 4 ngày thì xong. Biết rằng nếu làm một mình 
 xong công việc thì người thứ nhất làm nhanh hơn người thứ hai 6 ngày. Tính thời gian mỗi 
 người làm một mình xong công việc.
 Lời giải
 Gọi thời gian người một làm một mình xong công việc là x ( x 4; ngày)
 Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x 6 1
 Một ngày người một làm được (công việc)
 x
 1
 Một ngày người thứ hai làm được (công việc)
 x 6
 1
 Một ngày cả 2 người làm được (công việc)
 4
 1 1 1
 Theo bài ra ta có phương trình : 
 x x 6 4
 4(x 6) 4x x(x 6)
 x2 6x 4x 24 4x 0
 x2 2x 24 0
 x2 6x 4x 24 0
 x(x 6) 4(x 6) 0
 (x 4)(x 6) 0
 x 4 0
 x 6 0
 x 4 loaïi 
 .
 x 6 thoûa maõn ñieàu kieän 
 Vậy thời gian người một làm một mình xong công việc là 6 ngày, người thứ hai làm một 
 mình xong công việc là 10 ngày.
Câu 67. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 48 m Nếu tăng chiều rộng lên 4 lần và chiều dài 
 lên 3 lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162 m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu.
 Lời giải
 Nửa chu vi của hình chữ nhật là 48: 2 24(m)
 Gọi chiều rộng của khu vườn là x(0 x 12,m)
 Chiều dài của khu vườn là 24 x (m)
 Chiều rộng khi tăng 4 lần là : 4x (m)
 Chiều dài khi tăng 3 lần là: 3(24 x) (m)
 Theo bài ra ta có phương trình:
 [4x 3(24 x)].2 162
 (x 72).2 162
 x 72 81
 x 9 ( thỏa mãn điều kiện của ẩn)
 Vậy diện tích của hình chữ nhật là x(24 x) 9.15 135 ( m2 )
Câu 68. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ 
 thuật mới nên tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21% . Vì vậy 
 trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được 
 giao của mỗi tổ là bao nhiêu?
 Lời giải
 Gọi số sản phẩm tổ I được giao theo kế hoạch là x (sản phẩm) ( x ¥ ;0 x 600 )
 Số sản phẩm tổ II được giao theo kế hoạch là 600 x (sản phẩm)
 118
 Số sản phẩm tổ I được giao theo thực tế là x (sản phẩm)
 100 121
 Số sản phẩm tổ II được giao theo thực tế là (600 x) (sản phẩm)
 100
 Số sản phẩm cả 2 tổ làm trong thực tế là 600 120 720 (sản phẩm)
 Theo bài ra ta có phương trình:
 118 121
 x (600 x) 720
 100 100
 118x 72600 121x 72000
 3x 600 x 200 (thỏa mãn điều kiện)
 Vậy số sản phẩm tổ I được giao theo kế hoạch là 200 sản phẩm
 Số sản phẩm tổ II được giao theo kế hoạch là 400 sản phẩm
Câu 69. Một đội xe tải vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm quy định. Vì trong đội có 2 xe bị 
 điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải chở thêm 0,7 tấn hàng nữa. Tính số xe của đội lúc 
 đầu.
 Lời giải
 Gọi số xe của đội lúc đầu là x ( xe; x ¥ ; x 2)
 Số xe thực tế là x 2 (xe)
 28
 Lúc đầu mỗi xe cần chở số tấn hàng là (tấn)
 x
 28
 Lúc sau mỗi xe cần chở số tấn hàng là (tấn)
 x 2
 Theo bài ra ta có phương trình:
 28 28
 0,7
 x 2 x
 4 4 1
 x 2 x 10
 40x 40(x 2) x(x 2)
 x2 2x 80 0
 x2 10x 8x 80 0
 x(x 10) 8(x 10) 0
 (x 10)(x 8) 0
 x 10 0
 x 8 0
 x 10 (thoûa maõn ñieàu kieän)
 .
 x 8 (loaïi)
 Vậy số xe của đội lúc đầu là 10 xe.
Câu 70. Một hình chữ nhật có chu vi là 78 cm. Nếu giảm chiều dài đi 3 cm và tăng chiều rộng thêm 
 4 cm thì hình chữ nhật trở thành hình vuông. Tính diện tích của hình chữ nhật ban đầu.
 Lời giải
 Hình chữ nhật có chu vi là 78 cm nên nửa chu vi là 39 cm.
 Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (cm). Đều kiện: 3 x 39.
 Chiều rộng của hình chữ nhật là 39 x (cm).
 Nếu giảm chiều dài đi 3 cm ta được chiều dài mới là x 3 (cm).
 Tăng chiều rộng thêm 4 cm ta được chiều rộng mới là 39 x 4 (cm).
 Sau khi giảm chiều dài và tăng chiều rộng ta được hình vuông nên ta có phương trình:
 x 3 39 x 4 2x 46
 x 23 (thỏa mãn).
 Chiều rộng của hình chữ nhật là: 39 23 16 (cm).
 Vậy diện tích của hình chữ nhật ban đầu là: 23.16 368 ( cm2 ).
Câu 71. Hai giá sách có 140 quyển sách, nếu chuyển 10 quyển từ giá sách thứ nhất sang giá sách 
 2
 thứ hai thì số sách ở giá thứ nhất bằng số sách ở giá thứ hai. Tìm số sách ở mỗi giá.
 5
 Lời giải
 Gọi số sách ở giá sách thứ nhất là x (quyển). Đều kiện: 10 x 140 .
 Số sách ở giá sách thứ hai là 140 x (quyển).
 Nếu chuyển 10 quyển từ giá sách thứ nhất sang giá sách thứ hai thì số sách ở giá sách thứ 
 nhất là x 10 (quyển)
 Số sách ở giá sách thứ hai khi đó là 140 x 10(quyển).
 2
 Sau khi chuyển, số sách ở giá thứ nhất bằng số sách ở giá thứ hai nên ta có phương 
 5
 trình:
 2
 x 10 150 x 
 5
 5x 50 300 2x
 x 50 (thỏa mãn).
 Vậy số sách ở giá sách thứ nhất là 50 (quyển)
 Số sách ở giá sách thứ hai là 140 50 90 (quyển).
Câu 72. Tìm số có hai chữ số, biết tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14. Nếu đổi 
 chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số mới nhỏ hơn số đã cho 36.
 Lời giải
 Tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14 nên chữ số hàng chục phải lớn hơn 
 4.
 (Vì nếu nhỏ hơn hoặc bằng 4 thì chữ số hàng đơn vị sẽ lớn hơn hoặc bằng 10).
 Gọi chữ số hàng chục là a . Đều kiện: a ¥ ;4 a 9.
 Chữ số hàng đơn vị là 14 a .
 Số ban đầu có dạng: a 14 a 10a 14 a 
 Đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được số 14 a a 10. 14 a a 
 Vì số mới nhỏ hơn số đã cho 36 đơn vị nên ta có phương trình:
 10a 14 a 10 14 a a 36
 18a 162
 a 9 (thỏa mãn).
 Chữ số hàng đơn vị là 14 9 5 .
 Vậy số cần tìm là 95.
 DẠNG 3: GIẢI BÀI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Câu 73. Giải các phương trình sau: 
 1) 2x 1 5 2) 2x 1 x 5
 3) 3x 1 x 2 4) 3 2x x 2
 5) 2x 1 5 x 6) 3x x 2 7) 2 3x 2x 1 8) 2x 1 4x2 1 0
 2x 5 4 3x 1 x 1 x 7x 3
9) 1 2 10) 2
 x 3 x 2x 3 1 x x 3 x 3 9 x
 96 2x 1 3x 1 2x x 4
11) 5 12) 1 
 x2 16 x 4 x 4 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1
 x 2 1 2 x x 2x 4
13) 2 14) 2
 x 2 x x 2x 2x 6 2x 2 x 2x 3
 2x 19 17 3
15) 2 2 
 5x 5 x 1 1 x
 Lời giải
1) 2x 1 5
Suy ra: 2x 1 5
Với 2x 1 5 x 3
Với 2x 1 5 x 2
Vậy tập nghiệm phương trình S 2;3
2) 2x 1 x 5
Trường hợp 1: 2x 1 x 5 x 6
 4
Trường hợp 2: 2x 1 x 5 x 
 3
 4 
Vậy tập nghiệm phương trình S ;6
 3 
3) 3x 1 x 2
Nếu x 2 0 x 2
Phương trình 3x 1 x 2 
 3
Với 3x 1 x 2 x (không thoả mãn)
 2
 1
Với 3x 1 2 x x (không thoả mãn)
 4
Vậy phương trình vô nghiệm.
4) 3 2x x 2
Nếu x 2 0 x 2
 1
 3 2x x 2 x (TM)
Phương trình 3
 3 2x x 2 
 x 5 (TM)
 1 
Vậy tập nghiệm phương trình S ;5
 3 
5) 2x 1 5 x
Nếu 5 x 0 x 5 2x 1 5 x x 2 (TM)
 Phương trình 
 2x 1 x 5 x 4 (TM)
 Vậy tập nghiệm phương trình S 4;2
 6) 3x x 2
 Nếu x 2 0 x 2
 1
 3x x 2 
 x 
 Phương trình 2 (loại)
 3x 2 x 
 x 1 
 Vậy 2 3x 2x 1 phương trình vô nghiệm.
 7) 
 1
 Nếu 2x 1 0 x 
 2
 2 3x 2x 1
 Phương trình 2 3x 2x 1 
 2 3x 2x 1
 1
 Với 2 3x 2x 1 x (TM)
 5
 1 
 Với 2 3x 2x 1 x 3 (TM) S ;3
 5 
 1 
 Vậy phương trình có nghiệm S ;3
 5 
 8) 2x 1 4x2 1 0 (1) 
 Cách 1:
 Lập bảng xét dấu:
 1 1
 x 
 2 2
 2x - 1
 1 2x || 1 2x 0 2x 1
 2
 4x - 1 4x2 - 1 0 1- 4x2 0 4x2 - 1
2x 1 4x 2 1 2 2 2
 4x 2x 4x 2x 2 0 4x + 2x- 2 
 1 1
 Nếu x pt (1) 4x2 2x 0 x 0 (loại) hoặc x (loại)
 2 2
 1 1
 Nếu x pt (1) 4x2 2x 2 0 2x2 x 1 0 x 1 2x 1 0
 2 2
 1
 x 1 (loại) hoặc x (loại)
 2
 1
 Nếu x pt (1) 4x2 2x 2 0 2x2 x 1 0 x 1 2x 1 0 x 1 
 2
 1
 (loại) hoặc x (thoả mãn)
 2 1
Vậy nghiệm phương trình x 
 2
Cách 2: 2x 1 4x2 1 0 (1) 
Có 2x 1 0 ; 4x2 1 0
 1
 x 
 2x 1 0 2 1
Nên phương trình (1) xảy ra khi x 
 4x2 1 0 1 2
 x 
 2
 1
Vậy nghiệm phương trình x .
 2
 2x 5 4 3x 1
9) 1 ( ĐK : x 1; 3)
 x 3 x2 2x 3 1 x
 2x 5 4 3x 1
 1 
 x 3 x 3 x 1 x 1
 2x 5 x 1 x 3 x 1 4 3x 1 x 3 
 2x2 3x 5 x2 2x 3 4 3x2 8x 3
 5x 8 8x 1
 3x 9
 x 3(ktm) .
Vậy, phương trình vô nghiệm.
 x 1 x 7x 3
 10) ( ĐK : x 3; 3 )
 x 3 x 3 9 x2
 x 1 x 7x 3
 x 3 x 3 9 x2
 x 1 x 3 x x 3 7x 3 0
 x2 4x 3 x2 3x 7x 3 0
 0 0
Vậy, phương trình có vô số nghiệm với mọi x 3; 3 .
 96 2x 1 3x 1
11)5 (ĐK: x 4; 4 )
 x2 16 x 4 x 4
 5 x2 16 96 2x 1 x 4 3x 1 x 4 
 5x2 80 96 2x2 9x 4 3x2 11x 4
 2x 16
 x 8(tmdk)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 8
 2x x 4 1
12) 1 ( ĐK : x )
 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2
 2x 2x 1 x 2x 1 4x2 1 4
 4x2 2x 2x2 x 4x2 3 0 2x2 x 3 0
 2x 3 x 1 0
 x 1(tmdk)
 3
 x (tmdk)
 2
 3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1; 
 2 
 x 2 1 2
13) ( ĐK: x 0;2 )
 x 2 x x2 2x
 x 2 1 2
 x 2 x x x 2 
 x x 2 x 2 2
 x2 2x x 2 2 0
 x2 x 0
 x x 1 0
 x 0(ktm)
 x 1(tm)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0
 x x 2x 4
14) ( ĐK: x 1;3)
 2x 6 2x 2 x2 2x 3
 x x 2x 4
 2(x 3) 2(x 1) x 3 x 1 
 x x 1 x x 3 4x 8
 2x2 2x 4x 8 0
 2x2 6x 8 0
 x2 3x 4 0
 x 1 x 4 0
 x 1(ktm)
 x 4(tm)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 4
 2x 19 17 3
15) ( ĐK: x 1)
 5x2 5 x2 1 1 x
 2x 19 17 3
 5 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 2x 19 17.5 3 x 1 
 2x 66 3x 3 0
 5x 63 0