Ôn tập kiến thức Toán Lớp 8 lên Lớp 9 - Chương trình học kì 1

 ÔN TẬP KIẾN THỨC HỌC KÌ I
PHẦN 1. ĐẠI SỐ
A. LÝ THUYẾT:
 1. Phát biểu qui tắt nhân đơn thức với đa thức; Đa thức với đa thức.
 2
 Áp dụng tính: a/ xy(3x2y - 3yx + y2) b/ (2x + 1)(6x3 - 7x2 - x + 2)
 3
 2. Khi nào đơn thức A chia hết cho đơn thức B ? Đa thức C chia hết cho đa thức D ?
 Áp dụng tính: a/ (25x5 - 5x4 + 10x2) : 5x2 b/(x2 - 2x + 1):(1 -x)
 3. Thế nào là phân thức đại số? Cho ví dụ?
 4. Định nghĩa hai phân thức bằng nhau.
 x 3 x 2 4x 3
 Áp dụng: Hai phân thức sau và có bằng nhau không? 
 x x 2 x
 5. Nêu tính chất cơ bản của phân thức đại số? 
 (x 8)3 (8 x) 2
 Áp dụng: Hai phân thức sau bằng nhau đúng hay sai? =
 2(8 x) 2
 8x 4
 6. Nêu qui tắt rút gọn phân thức đại số. Áp dụng : Rút gọn 
 8x 3 1
 7. Muốn qui đồng mẫu thức các phân thức đại số ta làm thế nào ? 
 3x x 1
 Áp dụng qui đồng : và
 x 3 1 x 2 x 1
B. BÀI TẬP:
I. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC :
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau: 
 3 2 3 2 1 1 
 a) 2xy2 (x3 y 2x2 y2 5xy3) b) 2x x – 3x – x 1 c) 10x y z xy 
 5 3 2 
 4
 d) 3x2 2x3 – x 5 e) 4xy 3y – 5x x2 y f) 3x2 y – 6xy 9x ( xy) 
 3
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:
 a) x3 5x2 – 2x 1 x – 7 b) 2x2 – 3xy y2 x y 
 c) x – 2 x2 – 5x 1 – x x2 11 d) x(1 3x)(4 3x) (x 4)(3x 5)
Bài 3: Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
 a) (3x 7)(2x 3) (3x 5)(2x 11) 
 b) (3x2 2x 1)(x2 2x 3) 4x(x2 1) 3x2 (x2 2) 
Bài 4: Tìm x biết
 a) 4 x 3 3x 2 3 x 1 4x 1 27 b) 5x 12x 7 – 3x 20x – 5 100 
 c) 0,6x x – 0,5 – 0,3x 2x 1,3 0,138 d) x 1 x 2 x 5 – x2 x 8 27 II. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
 a) x2 yz x3 y3z xyz2 b) 4x3 24x2 12xy2
 c) x2 m n 3y2 m n d) 4x2 x y 9y2 y x 
 2 2
 e) x2 a b 2 b a f) 10x2 a 2b x2 2 2b a 
 2 2
 g) 50x2 x y 8y2 y x h) 15am 2b 45amb m ¥ * 
Bài 2.
 3 2 2
a) x 3 x 4 x 2 3 x b) 2a 3b 4a b a2 b2 3b 2a 
c) a8 1 d) (x y)2 4(x y) 12
 g) (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24 h) (x2 6x 5)(x2 10x 21) 15
III. CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC , CHIA HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a) 12x3 y3 z : 15xy3 
b) 12x15 : 3x10 
c) 21a4b2 x3 – 6a2b3 x5 9a3b4 x4 : 3a2b2 x2 
d) 81a4 x4 y3 – 36x5 y4 – 18ax5 y4 – 18ax5 y5 : 9x3 y3 
Bài 2: Thực hiện phép chia:
a) x3 – x2 x 3 : x 1 b) x3 – 6x2 – 9x 14 : x – 7 
a) 4x4 12x2 y2 9y4 : 2x2 3y2 b) 64a2b2 – 49m4n2 : 8ab 7m2n 
Bài 3: Xác định số hữu tỉ sao cho:
a) Đa thức 4x2 – 6x + a chia hết cho đa thức x – 3
b) Đa thức 2x2 + x + a chia hết cho đa thức x + 3
c) Đa thức 3x2 + ax – 4 chia hết cho đa thức x – a
Bài 4. Chứng minh rằng:
 a. a2( a + 1) + 2a( a + 1) chia hết cho 6 với a Z
 b. a(2a –3) – 2a( a + 1) chia hết cho 5 với a Z
 c. x2 + 2x + 2 > 0 với x Z 
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức sau:
 a) A 2x2 6x 9 B 2xy 4y 16x 5x2 y2 14 IV. PHÂN THỨC XÁC ĐỊNH :
 A
 Phân thức xác định khi B 0
 B
Bài 1 : Tìm x để các phân thức sau xác định :
 x 6 5 9x 2 16
 A = B = C = 
 x 2 x2 6x 3x 2 4x
 5x 5
Bài 2: Cho phân thức E 
 2x2 2x
 a/ Tìm điều kiện của x để phân thức được xác định.
 b/ Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng -1.
V. CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC :
Câu 1: Thực hiện các phép tính sau : 
 5xy 4y 3xy 4y x 3 4 x
 a) b) 
 2x2 y3 2x2 y3 x 2 2 x
Câu 2: : Thức hiện các phép tính sau : 
 x 1 2x 3 3 x 6 2x 6 x2 3x
 a) + ; b) c) : 
 2x 6 x 2 3x 2x 6 2x 2 6x 3x2 x 1 3x
VI. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP:
 1 x2 x 2 2x 4
 A 
Bài 1 : Cho : x 2 x2 7x 10 x 5
 a. Rút gọn A.
 b. Tìm x nguyên để A nguyên.
 x 2 6 1 10 x 2 
 x 2 
Bài 2 : Cho M = 3 : 
 x 4x 6 3x x 2 x 2 
 a. Tìm điều kiện xác định của M 
 b. Rút gọn M
 1
 c. Tính giá trị của M khi x = 
 2
 1 y y2 y 1 1
Bài 3: Cho biểu thức N = 3 : 2 .
 y 1 1 y y 1 y 1
 a. Rút gọn N
 1
 b. Tính giá trị của N khi y .
 2
 c. Tìm giá trị của y để N luôn có giá trị dương.
 x 4 x 3 x 1
Bài 4: Cho biểu thức : A .
 x 4 x 3 2x 2 x 1
 a. Rút gọn biểu thức A.
 b. Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x . PHẦN 2: HÌNH HỌC
A. LÍ THUYẾT:
1. Định lí tổng các góc của một tứ giác.
2. Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết của hình thang, hình thang cân, hình bình 
hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
3. Định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác, của hình thang.
4. Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông
5. Diện tích các hình chữ nhật, hình vuông, tam giác.
B. BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F, K, M lần lượt là trung điểm của BD, AC, 
CD, AB.
a) Chứng minh: tứ giác AFKD là hình thang và tứ giác KEMF là hình bình hành.
b) Chứng minh: EF // CD.
c) Đường thẳng qua E vuông góc với AD và đường thẳng qua F vuông góc với BC cắt nhau 
tại H. Chứng minh: tam giác HCD là tam giác cân.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. M là trung điểm AB. Gọi D là 
điểm đối xứng của H qua M. 
a) Chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật. 
b) Trên đoạn HC lấy điểm E sao cho HB = HE. Chứng minh tứ giác AEHD là hình bình hành.
c) Gọi N là điểm đối xứng của A qua H. Chứng minh: Tứ giác AENB là hình thoi.
d) MN cắt BH tại K. Chứng minh: BE = 3BK.
Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B qua C.
 a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.
 b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là 
 hình thoi.
 1
 c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt DE tại K. Chứng minh KI = AE.
 6
Bài 4: Cho ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH (H BC). 
Kẻ HD  AB tại D và HE  AC tại E. 
 a) Chứng minh: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật. 
 b) Gọi F là điểm đối xứng của điểm H qua điểm E. 
 Chứng minh: Tứ giác ADEF là hình bình hành. 
 d) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: AM  AF. Bài 5 . Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối 
 của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
 a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
 b) Gọi E là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh tứ giác ADBE là hình bình hành.
 c) EM cắt AB tại K và cắt CD tại I. Vẽ IH  AB (H AB). Chứng minh IKB cân.
Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi G, H và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và BC.
a) Chứng minh tứ giác BCHG là hình thang.
b) Gọi O là điểm đối xứng với E qua H. Chứng minh tứ giác EAOC là hình bình hành.
c) Chứng minh AE, GH, OB đồng quy.
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, đường trung tuyến AM. 
Vẽ HD  AB, HE  AC (D AB, E AC).
 a) Chứng minh: tứ giác ADHE là hình chữ nhật và AB . AC = AH . BC.
 b) Gọi P là điểm đối xứng của A qua E. Tứ giác DHPE là hình gì? Vì sao?
 c) Gọi V là giao điểm của DE và AH. Qua A kẻ đường thẳng xy vuông góc với đường 
 thẳng MV. Chứng minh ba đường thẳng xy, BC, DE đồng quy.
Bài 8. Cho ABC cân tại A. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.
 a/ Cho BC = 10 cm. Tính độ dài DE.
 b/ Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.
 c/ Gọi K là trung điểm BC, F là trung điểm BK, H là giao điểm của AK và DE. Chứng 
 minh tứ giác DHKF là hình chữ nhật. 
 d/ Chứng minh 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy.
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB.
a/ Chứng minh: MD  AB.
b/ Gọi E là điểm đối xứng với M qua D. Chứng minh tứ giác EACM là hình bình hành.
c/ Chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi.
d/ Cho BC = 6cm, tính chu vi tứ giác AEBM.
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M, N, K thứ tự là trung điểm của AB, 
AC và BC.
 1
a) Chứng minh KN = AB và ABKN là hình thang vuông.
 2
b) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN và cắt tia KN tại Q.Chứng minh AKCQ là hình 
thoi.
c) MN cắt BQ tại O và AK cắt BN tại I. Biết BC = 24cm, tính độ dài OI. Bài 11. Cho ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, 
N là trung điểm của cạnh AC.
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
b) Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh tứ giác BMND là hình bình hành.
c) Chứng minh tứ giác AMDN là hình chữ nhật.
Gọi E là điểm đối xứng của D qua M. Chứng minh tứ giác BDAE là hình thoi.
Bài 12: Cho ∆ABC vuông tại A có AB < AC. Gọi M là trung điểm BC. Từ M kẻ MN vuông 
góc với AC tại N, kẻ ME vuông góc với AB tại E.
 a) Chứng minh tứ giác ANME là hình chữ nhật và tứ giác NMBE là hình bình hành.
 b) Vẽ D đối xứng M qua E. Chứng minh tứ giác ADBM là hình thoi. 
 c) Vẽ đường cao AH của ∆ABC. Chứng minh tứ giác MNEH là hình thang cân.
Bài 13: Cho hình thang ABCD có độ dài đáy lớn AB bằng 2 lần đáy nhỏ CD. Gọi I là 
trung điểm AB. Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại E.
 a) Chứng minh AICD và BCDI là các hình bình hành.
 b) Chứng minh AD = DE.
 c) Giả sử A = D = 900 và AD = CD. Chứng minh BC AC.
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC và M,N,P lần lượt là trung điểm 
của AB, AC,BC .
 a) Chứng minh: Tứ giác BMNP là hình bình hành.
 b) Vẽ Q đối xứng với P qua N . Chứng minh: Tứ giác APCQ là hình thoi.
 c) Vẽ R đối xứng với P qua M . Chứng minh: R, A,Q thẳng hàng.
Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của 
AB, BC và AC.
 a) Chứng minh tứ giác AMNK là hình bình hành. 
 b) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC. Tứ giác MKNH là hình gì? Vì sao? 
 c) Gọi I là điểm đối xứng của H qua M . AH và IC lần lượt cắt MK tại E và F . Chứng 
 minh HC – HB = 2EF ĐÁP ÁN BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KÌ I
I NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC :
Bài 1
 a) 2xy2 (x3 y 2x2 y2 5xy3 ) b) 2x4 3x3 2x2 – 2x 
 2xy2.x3 y 2xy2.2x2 y2 2xy2.5xy3
 2x4 y3 4x3 y4 10x2 y5
 5 3 2
 4 2 1 6x – 3x 15x
 c) 5x y – 2xy xyz d) 
 5
 e) 4x3 y2 3x2 y2 – 5x3 y f) 4x3 y2 8x2 y2 – 12x2 y 
Bài 2: 
 a) x4 – 2x3 – 37x2 15x – 7 b) 2x3 – x2 y – 2xy2 y3 
 c) x3 – 5x2 x – 2x2 10x – 2 – x3 –11x d) x 1 3x 4 3x x 4 3x 5 
 2
 7x – 2 x 3x2 4 3x x 4 3x 5 
 4x 3x2 12x2 9x3 3x2 5x 12x 20 
 9x3 15x2 4x 3x2 7x 20 
 3 2 2
 9x 15x 4x 3x 7x 20 
 3 2
 9x 18x 11x 20 
Bài 3: 
a) (3x 7)(2x 3) (3x 5)(2x 11)
 3x(2x 3) 7(2x 3) 3x(2x 11) 5(2x 11)
 2 2
 6x 9x 14x 21 6x 33x 10x 55 
 76 
 Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào biến x 
b) (3x2 2x 1)(x2 2x 3) 4x(x2 1) 3x2 (x2 2)
 3x2 (x2 2x 3) 2x(x2 2x 3) (x2 2x 3) 4x.x2 4x 3x2.x2 3x2.2
 4 3 2 3 2 2 3 4 2
 3x 6x 9x 2x 4x 6x x 2x 3 4x 4x 3x 6x 
 0 
Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào biến
Bài 4.
 a) 4 x 3 3x 2 3 x 1 4x 1 27 b) 5x 12x 7 – 3x 20x – 5 100
 (4x 12)(3x 2) (3x 3)(4x 1) 27 2 2
 60x 35x – 60x 15x 100 
 2 2
 12x 8x 36x 24 12x 3x 12x 3 27 50x 100 43x 27 27 x 2 
 43x 27 27 
 43x 0 
 x 0 
 c) 0,6x x – 0,5 – 0,3x 2x 1,3 0,138 d) x2 3x 2 x 5 – x3 – 8x2 27 
 2 2
 0,6x – 0,3x – 0,6x – 0,39x 0,138 x3 5x2 3x2 15x 2x 10 – x3 – 8x2 27 
 0,69x 0,138 17x 10 27 
 x 0,2 17x 17
 x 1 
II. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
Bài 1: 
 2 3 3 2
 a) x yz x y z xyz b) 4x3 24x2 12xy2
 2 2
 xyz x x y z 4x x2 6x 3y2 
 c) x2 m n 3y2 m n d) 4x2 x y 9y2 y x 
 m n x2 3y2 4x2 x y 9y2 x y 
 2 2
 m n x 3y x 3y x y 4x 9y 
 x y 2x 3y 2x 3y 
 2 2 2
 e) x a b 2 b a f) 10x2 a 2b x2 2 2b a 
 2
 x a b 2 a b 10x2 a 2b 2 x2 2 a 2b 2
 2
 a b x 2 a 2b 2 10x2 x2 2 
 a b x 2 x 2 a 2b 2 9x2 2 
 a 2b 2 3x 2 3x 2 
 2 2 m 2 m *
 g) 50x2 x y 8y2 y x h) 15a b 45a b m ¥ 
 m 2 m *
 50x2 x y 2 8y2 x y 2 15a .a b 45a b m ¥ 
 m 2 *
 x y 2 50x2 8y2 15a b a 3 m ¥ 
 m *
 2 2 2 m 
 2 x y 25x 4y 15a b a 3 a 3 ¥ .
 2 x y 2 5x 2y 5x 2y 
Câu 2 : a) x 3 3 x 4 x 2 3 x 2 b) 2a 3b 4a b a2 b2 3b 2a 2
 3 2
 x 3 x 4 x 2 x 3 2a 3b 4a b a2 b2 2a 3b 2
 2
 x 3 x 3 1 x 4 x 2 2a 3b 4a b 2a 3b a b a b 
 x 3 2 x 4 x 4 x 2 2a 3b 2a 2b a b a b 
 x 4 x2 6x 9 x 2 a b 4a 6b a b 
 x 4 x2 5x 7 a b 3a 5b 
 c) a8 -1 d) (x y)2 4(x y) 12
 2 2
 a4 1 (x y) 4(x y) 4 16
 (x y 2)2 16
 a4 1 a4 1 
 (x y 2 4)(x y 2 4)
 2 2 4
 a 1 a 1 a 1 (x y 6)(x y 2)
 a 1 a 1 a2 1 a4 1 
 g) A (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24 h) B (x2 6x 5)(x2 10x 21) 15
 = [(x 2)(x 5)].[(x 3)(x 4)] 24 (x 5)(x 1)(x 3)(x 7) 15
 2 2
 (x 7x 10)(x 7x 12) 24 (x2 8x 15)(x2 8x 7) 15
 2
 Đặt x 7x 10 t Đặt x2 8x 7 t
 2
 A t (t 2) 24 t 4t 6t 24 B (t 8)t 15 t 2 8t 15
 t (t 4) 6(t 4) (t 4)(t 6) t 2 3t 5t 15
 2 2
 A (x 7x 10 4)(x 7x 10 6) t (t 3) 5(t 3) (t 3)(t 5)
 Vậy (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24 B (x2 8x 7 3)(x2 8x 7 5)
 (x2 7x 6)(x2 7x 16) (x2 8x 10)(x2 8x 12)
 Vậy (x2 6x 5)(x2 10x 21) 15
 (x2 8x 10)(x2 8x 12)
III. CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC , CHIA HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN
Bài 1: 
 12x3 y3 z 4 15
 3 3 3 2 15 10 12x 5
 a) 12x y z : 15xy = 3 = x z b) 12x : 3x = 10 = - 4x
 15xy 5 2x
 c) d) 
 21a4b2 x3 – 6a2b3 x5 9a3b4 x4 : 3a2b2 x2 81a4 x4 y3 – 36x5 y4 – 18ax5 y4 – 18ax5 y5 : 9x3 y3 
 21a4b2 x3 6a2b3 x5 9a3b4 x4 81a4 x4 y3 36x5 y4 18ax5 y4 18ax5 y5
 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 
 3a b x 3a b x 3a b x 9x3 y3 9x3 y3 9x3 y3 9x3 y3
 2 3 2 2
 7a x – 2bx 3ab x 9a4 x 4x2 y 2ax2 y 2ax2 y2 
 Bài 2: 
 x3 x2 x 3 (x3 x2 ) (2x2 2x) (3x 3)
a) 
 x 1 x 1
 x2 (x 1) 2x(x 1) 3(x 1)
 x 1
 x2 2x 3
 x3 6x2 9x 14 x3 7x2 x2 7x 2x 14
b) 
 x 7 x 7
 x2 (x 7) x(x 7) 2(x 7)
 x 7
 x2 x 2
 4 2 2 4 2 2 2
 4x 12x y 9y (2x 3y ) 2 2
a) 2x 3y
 2x2 3y2 2x2 3y2
 64a2b2 49m4n2 (8ab 7m2n)(8ab 7m2n)
 8ab 7m2n
b) 8ab 7m2n 8ab 7m2n
Bài 3:
 4x2 6x a 4x2 12x 6x 18 a 18 4x(x 3) 6(x 3) a 18
a) 
 x 3 x 3 x 3
 a 18
= 4x 6 
 x 3
 a 18
Để đa thức 4x2 – 6x + a chia hết cho đa thức x – 3 thì = 0 
 x 3
 a + 18 = 0 a = - 18
 2x2 x a 2x2 6x 5x 15 a 15 2x(x 3) 5(x 3) a 15
b) 
 x 3 x 3 x 3
 a 15
 2x 5 
 x 3
 a 15
Đa thức 2x2 + x + a chia hết cho đa thức x + 3 = 0 
 x 3
 a + 15 = 0 a = - 15
 3x2 ax 4 3x2 3ax 4ax 4a2 4a2 4 3x(x a) 4a(x a) 4a2 4
c) 
 x a x a x a
 4a2 4
 3x 4a 
 x a