Một số bài toán tổng hợp khối tròn xoay

 CHUYÊN MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP KHỐI TRÒN XOAY
 ĐỀ 17
 MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ........................................................................................................................................................1
PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO .................................................................................................................................9
 PHẦN A. CÂU HỎI
Câu 1. (THPT BẠCH ĐẰNG QUẢNG NINH NĂM 2018-2019) Cho hình thang ABCD vuông tại A và 
 AD
 B với AB BC a. Quay hình thang và miền trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh 
 2
 BC . Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành.
 4 a3 5 a3 7 a3
 A. V . B. V . C. V a3 . D. V .
 3 3 3
Câu 2. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một hình nón có chiều cao 9 cm 
 nội tiếp trong một hình cầu có bán kính 5 cm . Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích của khối nón và khối 
 V
 cầu. Tính tỉ số 1 .
 V2
 81 81 27 27
 A. . B. . C. . D. .
 125 500 125 500
Câu 3. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Một khối gỗ hình trụ tròn xoay có bán kính 
 đáy bằng 1, chiều cao bằng 2 . Người ta khoét từ hai đầu khối gỗ hai nửa khối cầu mà đường tròn 
 đáy của khối gỗ là đường tròn lớn của mỗi nửa khối cầu. Tỉ số thể tích phần còn lại của khối gỗ và 
 cả khối gỗ ban đầu là
 2 1 1 1
 A. . B. . C. . D. .
 3 4 3 2
Câu 4. (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 2 NĂM 2018-2019) Một khối trụ bán kính đáy làa 3
 , chiều cao là 2a 3 . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối trụ.
 1 a 3
 2a 3
 4 6
 A. 8 6 a3. B. 6 6 a3 . C. 4 3 a3 . D. a3 .
 3
Câu 5. (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Một khối cầu pha lê gồm một hình 
 cầu H1 bán kính R và một hình nón H2 có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là r,l thỏa 
 1 3
 mãn r l và l R xếp chồng lên nhau (hình vẽ). Biết tổng diện tích mặt cầu H và diện tích 
 2 2 1
 2
 toàn phần của hình nón H2 là 91cm . Tính diện tích của mặt cầu H1 
 104 26
 A. cm2 B. 16cm2 C. 64cm2 D. cm2
 5 5
Câu 6. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình thang cân ABCD có 
 đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 3 , cạnh bên BC = DA = 2 . Cho hình thang đó quay quanh 
 AB thì được vật tròn xoay có thể tích bằng
 5 4 7 2
 A. p . B. p . C. p . D. p .
 3 3 3 3
Câu 7. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Một hộp đựng mỹ phẩm được thiết kế (tham khảo 
 hình vẽ) có thân hộp là hình trụ có bán kính hình tròn đáy r 5cm , chiều cao h 6cm và nắp hộp 
 là một nửa hình cầu. Người ta cần sơn mặt ngoài của cái hộp đó (không sơn đáy) thì diện tích S cần 
 sơn là
 A. S 110 cm2 . B. S 130 cm2 . C. S 160 cm2 . D. S 80 cm2 .
 2 Câu 8. (THPT BẠCH ĐẰNG QUẢNG NINH NĂM 2018-2019) Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn 
 O và O chiều cao R 3 và bán kính R . Một hình nón đỉnh O và đáy là hình tròn O; R . 
 Tỉ lệ thể tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng.
 A. 3 B. 2 C. 2 D. 3
Câu 9. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình trụ có bán kính đáy r , gọi O
 và O ' là tâm của hai đường tròn đáy với OO 2r . Một mặt cầu tiếp xúc với hai đáy của hình trụ 
 VC
 tại O và O ' . Gọi VC và VT lần lượt là thể tích của khối cầu và khối trụ. Khi đó bằng
 VT
 3 3 1 2
 A. . B. . C. . D. .
 5 4 2 3
Câu 10. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một đồ vật được thiết kế bởi một nửa 
 khối cầu và một khối nón úp vào nhau sao cho đáy của khối nón và thiết diện của nửa mặt cầu 
 chồng khít lên nhau như hình vẽ bên.
 Biết khối nón có đường cao gấp đôi bán kính đáy, thể tích của toàn bộ khối đồ vật bằng 36pcm3. 
 Diện tích bề mặt của toàn bộ đồ vật đó bằng
 A. p 5 3 cm2 B. 9p 5 2 cm2
 C. 9p 5 3 cm2 D. p 5 2 cm2
Câu 11. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho khối cầu S có bán kính R . Một khối trụ có thể 
 4 3
 tích bằng R3 và nội tiếp khối cầu S . Chiều cao của khối trụ bằng
 9
 3 2 2 3
 A. R . B. R 2 . C. R . D. R
 3 2 3
Câu 12. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF .
 E F
 a
  30
 A B
 a
 a
 D C
 3 10 5 10 
 A. a3. B. a3. C. a3. D. a3.
 7 3 2 9
Câu 13. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho mặt cầu S tâm O , bán kính bằng 2. 
 P là mặt phẳng cách O một khoảng bằng 1 và cắt S theo một đường tròn C . Hình nón N 
 có đáy là C , đỉnh thuộc S , đỉnh cách P một khoảng lớn hơn 2 . Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là 
 V
 thể tích của khối cầu S và khối nón N . Tỉ số 1 là
 V2
 1 2 16 32
 A. . B. . C. . D. .
 3 3 9 9
Câu 14. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho mặt cầu S tâm O, bán kính R 3. Mặt phẳng P cách 
 O một khoảng bằng 1 và cắt S theo giao tuyến là đường tròn C có tâm H . Gọi T là giao 
 điểm của tia HO với S , tính thể tích V của khối nón có đỉnh T và đáy là hình tròn C .
 32 16 
 A. V B. V 16 C. V D. V 32 
 3 3
Câu 15. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Một hình trụ có hai đường tròn đáy nằm 
 trên một mặt cầu bán kính R và có đường cao bằng bán kính mặt cầu. Diện tích toàn phần của hình 
 trụ đó bằng
 3 2 3 R2 3 2 3 R2 3 2 2 R2 3 2 2 R2
 A. . B. . C. . D. .
 3 2 2 3
Câu 16. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho mặt cầu S có bán kính bằng 4 , hình trụ H có 
 chiều cao bằng 4 và hai đường tròn đáy nằm trên S . Gọi V1 là thể tích của khối trụ H và V2 
 V
 là thể tích của khối cầu S . Tính tỉ số 1
 V2
 V 9 V 2 V 1 V 3
 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 
 V2 16 V2 3 V2 3 V2 16
Câu 17. (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tam giác đều ABC
 nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AA , M là trung điểm BC . Khi quay tam, giác ABM với 
 nữa hình tròn đường kính AA xung quanh đường thẳng AM (như hình vẽ minh hoạ), ta được khối 
 V1
 nón và khối cầu có thể tích lần lượt V1,V2 .Tỉ số bằng:
 V2
 9 4 27 9
 A. B. C. D. 
 4 9 32 32
 4 Câu 18. (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một bình đựng nước dạng hình nón (không 
 có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình 
 nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 18 dm3 . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các 
 đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Thể tích V 
 của nước còn lại trong bình bằng
 A. 24 dm3 . B. 6 dm3 . C. 54 dm3 . D. 12 dm3 .
Câu 19. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Người ta thả một viên billiards 
 snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước 
 thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ 
 bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4cm và chiều cao của mực nước ban đầu 
 trong cốc bằng 4,5cm . Bán kính của viên billiards đó bằng?
 A. 4,2cm . B. 3,6cm . C. 2,7cm . D. 2,6cm .
Câu 20. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho tam giác đều ABC có 
 đường tròn nội tiếp O;r , cắt bỏ phần hình tròn và cho hình phẳng thu được quay quanh AO . 
 Tính thể tích khối tròn xoay thu được theo r .
 5 4
 A. r3. B. r3. C. r3 3. D. r3.
 3 3
Câu 21. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho một cái bình hình trụ có bán 
 kính đáy bằng R và có 4 quả cam hình cầu, trong đó có 3 quả cam có cùng bán kính và một quả 
 cam cùng bán kính với đáy bình. Lần lượt bỏ vào bình 3 quả cam cùng bán kính sao cho chúng đôi 
 một tiếp xúc với nhau, mỗi quả cam đều tiếp xúc với với đáy bình và tiếp xúc với một đường sinh 
 của bình; Bỏ tiếp quả cam thứ tư còn lại vào bình và tiếp xúc với mặt nắp của bình. Chiều cao của 
 bình bằng
 2 2
 A. R 2 3 3 1 . B. R 2 3 3 1 .
 5 2 2
 C. R 2 3 3 1 . D. R 2 3 3 1 .
Câu 22. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho hình cầu tâm O bán kính 
 R 5, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Một hình nón tròn xoay có đáy nằm trên (P) , có chiều cao 
 h 15, có bán kính đáy bằng R . Hình cầu và hình nón nằm về một phía đối với mặt phẳng (P) . 
 Người ta cắt hai hình đó bởi mặt phẳng (Q) song song với (P) và thu được hai thiết diện có tổng 
 diện tích là S . Gọi x là khoảng cách giữa (P) và (Q) , (0 x 5) . Biết rằng S đạt giá trị lớn nhất 
 a a
 khi x (phân số tối giản). Tính giá trị T a b .
 b b
 A. T 17 B. T 19 C. T 18 D. T 23
Câu 23. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Một khối đồ chơi gồm một khối 
 hình trụ (T ) gắn chồng lên một khối hình nón (N) , lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương 
 ứng là r , h , r , h thỏa mãn r 2r , h 2h (hình vẽ). Biết rằng thể tích của khối nón (N) bằng 
 1 1 2 2 2 1 1 2 
 20cm3 . Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng
 A. 140cm3 B. 120cm3 C. 30cm3 D. 50cm3
Câu 24. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Thả một quả cầu đặc có bán kính 3 cm 
 vào một vật hình nón (có đáy nón không kín) (như hình vẽ bên). Cho biết khoảng cách từ tâm quả 
 cầu đến đỉnh nón là 5 cm . Tính thể tích (theo đơn vị cm 3) phần không gian kín giới hạn bởi bề 
 mặt quả cầu và bề mặt trong của vật hình nón.
 6 12 14 16 18 
 A. . B. . C. . D. .
 5 5 5 5
Câu 25. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hình nón có chiều cao 2R và bán kính đáy là R . 
 Xét hình trụ nội tiếp hình nón sao cho thể tích trụ lớn nhất. Khi đó bán kính đáy của trụ là
 2R R 3R R
 A. . B. . C. . D. 
 3 3 4 2
Câu 26. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Một con xoay được thiết kế gồm 
 hai khối trụ (T1) , (T2 ) chồng lên khối nón (N) (Tham khảo mặt cắt ngang qua trục như hình vẽ). 
 Khối trụ (T1) có bán kính đáy r(cm) , chiều cao h1(cm) . Khối trụ (T2 ) có bán kính đáy 2r(cm) , 
 chiều cao h2 2h1(cm) . Khối nón (N) có bán kính đáy r(cm) , chiều cao hn 4h1(cm) . Biết rằng 
 thể tích toàn bộ con xoay bằng 31(cm3 ) . Thể tích khối nón (N) bằng
 A. 5(cm3 ) . B. 3(cm3 ) . C. 4(cm3 ) . D. 6(cm3 ) .
Câu 27. Cho tam giác đều ABC có đỉnh A 5;5 nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AA , M là trung 
 điểm BC . Khi quay tam giác ABM cùng với nửa hình tròn đường kính AA xung quanh đường 
 thẳng AM (như hình vẽ minh họa), ta được khối nón và khối cầu có thể tích lần lượt là V1 và V2 .
 A
 B M C
 A'
 V
 Tỷ số 1 bằng
 V2
 9 9 27 4
 A. . B. . C. . D. .
 32 4 32 9
 7 Câu 28. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho mặt cầu tâm O bán kính R . Xét mặt phẳng P 
 thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn C . Hình nón N có đỉnh S nằm trên mặt 
 cầu, có đáy là đường tròn C và có chiều cao h h R . Tính h để thể tích khối nón được tạo nên 
 bởi N có giá trị lớn nhất.
 4R 3R
 A. h 2R B. h C. h D. h 3R
 3 2
Câu 29. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Một cái thùng đựng đầy 
 nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc 
 với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của 
 3
 thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của thùng nước và đo 
 2
 được thể tích nước tràn ra ngoài là 54 3 (dm3). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của 
 thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong 
 thùng có giá trị nào sau đây?
 46 46
 A. 3 (dm3). B. 18 3 (dm3). C. 3 (dm3). D. 18 (dm3).
 5 3
Câu 30. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất 
 nội tiếp trong hình cầu có bán kính R là
 4R 3 R 3 2R 3
 A. . B. R 3 . C. . D. .
 3 3 3
Câu 31. Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy) đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối 
 cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là1 8 dm3
 .Biết khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa khối cầu chìm trong 
 nước. Tính thể tích nước còn lại trong bình.
 A. 27 dm3 . B. 6 dm3 . C. 9 dm3 . D. 24 dm3 .
Câu 32. (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh 
 là . Một khối cầu S nội tiếp trong khối nối nón. Gọi S là khối cầu tiếp xúc với tất cả các 
 3 1 2
 đường sinh của nón và với S1 ; S3 là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối nón và 
 với S2 ; ; Sn là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với Sn 1 . Gọi V1, V2 ,
 ,Vn 1,Vn lần lượt là thể tích của khối cầu S1, S2 , S3,...,Sn và V là thể tích của khối nón. Tính giá trị 
 V V ... V
 của biểu thức T lim 1 2 n
 n V
 8 3 6 7 1
 A. T . B. T . C. T . D. T .
 5 13 9 2
 PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO
 Câu 1. 
 Thể tích của khối trụ sinh bởi hình chữ nhật ABID khi quay cạnh BI là:
 2 3
 V1 .AB .AD 2 a .
 Thể tích của khối nón sinh bởi tam giác CID khi quay cạnh CI là:
 1 a3
 V .ID2.CI .
 2 3 3
 5 a3
 Vậy V V V .
 1 2 3
 Câu 2. 
Gọi hình cầu có tâm O bán kính R.
Gọi hình nón có đỉnh S, tâm đáy là H, bán kính đáy r HA. 
Vì hình nón nội tiếp hình cầu nên đỉnh S thuộc hình cầu, chiều cao SH của hình nón đi qua tâm O của hình 
 cầu, đồng thời cắt hình cầu tại điểm S '.
Theo đề chiều cao hình nón SH 9 , bán kính hình cầu OS 5 OH 4 , từ đó ta có 
 HA OA2 OH 2 52 42 3 .
 1 1 1
Thể tích khối nón V h r 2 SH. .HA2 .9 32 27 .
 1 3 3 3
 4 4 500 
Thể tích khối cầu V R3 53 .
 2 3 3 3
 V 27 81
Tỉ số 1 .
 500 
 V2 500
 3
Câu 3. Theo bài toán ta có hình vẽ
 9 2
 1
 Thể tích của khối trụ là V .12.2 2 .
 Vì đường tròn đáy của khối trụ là đường tròn lớn của mỗi nửa khối cầu nên bán kính của mỗi nửa 
 khối cầu là R 1.
 1 4 .13 4 
 Thể tích của hai nửa khối cầu bị khoét đi là V 2  .
 1 2 3 3
 4 2 
 Thể tích của phần còn lại của khối gỗ là V V V 2 .
 2 1 3 3
 2 
 V 1
 Vậy tỉ số thể tích cần tìm là 2 3 .
 V 2 3
 a 3
 O' B
 I 2a 3
 O A
 Câu 4. 
 Xét hình hình chữ nhật OABO' như hình vẽ, với O, O' lần lượt là tâm hai đáy của khối trụ. Gọi I 
 là trung điểm đoạn thẳng OO' . Khi đó IA là bán kính khối cầu ngoại tiếp khối trụ.
 Ta có: IA2 OA2 OI 2 3a2 3a2 6a2 IA 6a .
 4 3
 Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối trụ là: V 6a 8 6 a3
 3 
 1 1 3 3
Câu 5. r l . R R . Diện tích mặt cầu S 4 R2
 2 2 2 4 1
 3 3 9 27 R2
 Diện tích toàn phần của hình nón S rl r2 . R. R . R2 
 2 4 2 16 16
 27 R2 91 R2
 Theo giả thiết: 4 R2 91 91 R2 16
 16 16
 2 2
 Vậy S1 4 R 64cm
Câu 6. Chọn C
 10