Kế hoạch dạy thêm môn Toán Lớp 9 - Chương trình cả năm

 Ngày dạy: ..
 CĂN BẬC HAI. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2 A
A./ Kiến thức cơ bản:
1. Căn bậc hai
- Định nghĩa: Căn bậc hai của số thực a là số x sao cho x2 = a
- Chú ý:
+ Mỗi số thực a > 0, có đúng 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau: số dương: a , số âm: a
+ Số 0 có căn bậc hai là chính nó: 0 0
+ Số thực a < 0 không có căn bậc hai (tức a không có nghĩa khi a < 0)
2. Căn bậc hai số học
- Định nghĩa: Với a 0 thì số x a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc 
hai số học của 0
- Chú ý: Việc tìm căn bậc hai số học của 1 số không âm được gọi là phép khai phương
- Định lý: Với a, b > 0, ta có:
+ Nếu a < b a b
+ Nếu a b a < b
3. Căn thức bậc hai
- Cho A là 1 biểu thức thì biểu thức A được gọi là căn thức bậc hai của A ; A được gọi là biểu thức lấy 
căn hay biểu thức dưới dấu căn
- A có nghĩa (hay xác định hay tồn tại) A 0
4. Hằng đẳng thức A2 A
- Định lý : Với mọi số thực a, ta có : a2 a
 2 A nêu A 0
- Tổng quát : Với A là biểu thức, ta có : A A 
 -A nêu A<0
B./ Bài tập áp dụng
 Dạng 1 : Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học
* Phương pháp :
 - Viết số đã cho dưới dạng bình phương của một số
 - Tìm căn bậc hai số học của số đã cho
 - Xác định căn bậc hai của số đã cho
 1
Bài 1 : Tìm căn bậc hai của các số sau : 121 ; 144 ; 324 ; ; 3 2 2
 64
 LG
+ Ta có CBHSH của 121 là : 121 112 11 nên CBH của 121 là 11 và -11 
+ CBHSH của 144 là : 144 122 12 nên CBH của 121 là 12 và -12
+ CBHSH của 324 là : 324 182 18 nên CBH của 324 là 18 và -18
 2
 1 1 1 1 1 1 1
+ CBHSH của là : nên CBH của là và 
 64 64 8 8 64 8 8
 2
+ Ta có : 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1(vi 2 1 0) nên CBH của 3 2 2 là 2 1 và 
 2 1
 Dạng 2 : So sánh các căn bậc hai số học
* Phương pháp :
 - Xác định bình phương của hai số
 - So sánh các bình phương của hai số
 - So sánh giá trị các CBHSH của các bình phương của hai số
Bài 2 : So sánh a) 2 và 3 b) 7 và 47 c) 2 33 và 10
d) 1 và 3 1 e) 3 và 5- 8 g) 2 11 và 3 5
 LG
a) Vì 4 > 3 nên 4 3 2 3
b) Vì 49 > 47 nên 49 47 7 47
c) Vì 33 > 25 nên 33 25 33 5 2 33 10
d) Vì 4 > 3 nên 4 3 2 3 2 1 3 1 1 3 1
 3 2 
e) * Cách 1: Ta có:  3 8 5 3 5 8
 8 3 
 * Cách 2: giả sử 
 2
 3 5 8 3 8 5 3 8 52 3 2 24 8 25
 2 24 14 24 7 24 49
Bất đẳng thức cuối cùng đúng do đó bất đẳng thức đầu tiên đúng
 2 3 
g) Ta có:  2 11 3 5
 11 5  
 Dạng 3: Tìm điều kiện để căn thức xác định: A xác định A 0
Bài 3: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định
 2 1 1 x 2
a) x b) x2 2 c) d) 3x 5 
 3 5 2x 3 x 4
 LG
Để các căn thức trên có nghĩa thì
 2 1 2 1 3
a) x 0 x x 
 3 5 3 5 10
b) Ta có: x2 2 0,x x2 2 xác định với mọi x
 1 x 1 x 0 1 x 0
c) 0 hoặc 
 2x 3 2x 3 0 2x 3 0
 x 1
 1 x 0 3
+ Với 3 x 
 2x 3 0 x 2
 2
 x 1
 1 x 0 
+ Với 3 x 1
 2x 3 0 x 
 2
 3
Vậy căn thức xác định nếu x hoặc x 1
 2
 3x 5 0 5
 3x 5 0 x 
d) 2 3 x 4
 0 x 4 0
 x 4 x 4
 Dạng 4 : Rút gọn biểu thức
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A 4 2 3 4 2 3 c) C 9x2 2x (x 0)
b) B 6 2 5 6 2 5 d) D x 4 16 8x x2 (x 4)
 LG
 2 2
a) Cách 1 : A 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 A2 4 2 3 4 2 3 2 (4 2 3).(4 2 3) 8 2 16 12 8 2.2 12
 Cách 2 : 
 A 2 3
 2 2
b) B 5 1 5 1 5 1 5 1 2 5
c) C 3x 2 2x 3x 2x 3x 2x 5x (vi x 0)
d) D x 4 16 8x x2 x 4 (4 x)2 x 4 4 x x 4 x 4 2(x 4)(vi x 4)
 Dạng 5 : Tìm Min, Max
Bài 5 : Tìm Min
 x2 x
a) y x2 2x 5 b) y 1
 4 6
 LG
a) Ta có : x2 2x 5 (x 1)2 4 4 x2 2x 5 4 2
vậy Miny = 2. dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 => x = 1
 2
 x2 x x 1 35 35 x2 x 35 35
b) Ta có : 1 y 1 
 4 6 2 6 36 36 4 6 36 6
 35 x 1 x 1 1
vậy Miny = . Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi 0 x 
 6 2 6 2 6 3
 **************************************************
Ngày dạy: ..
 VẬN DỤNG CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO 
 TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A./ Kiến thức cơ bản
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH sao cho ta có :
AH h, BC a, AB c, AC b, BH c' ,CH b' khi đó :
 2 ' 2 '
1)b a.b ; c a.c A
2) h2 b'.c' 3)b.c a.h
 b
 1 1 1 c
4) h
 h2 b2 c2
 2 2 2 c' b'
5) a b c (Pitago) B
 H C
 a
B./ Bài tập áp dụng
Bài 1 : Tìm x, y trong các hình vẽ sau
a) + ta có :
 A BC AB2 AC 2 (Pitago)
 BC 42 62 52 7,21
 6
 4 + Áp dụng định lý 1 :
 AB2 BC.BH 42 52.x x 2,22
 x y AC 2 BC.CH 62 52.y y 4,99
 B
 H C Hay y = BC – x = 7,21 – 2,22 = 4,99
b) - Xét tam giác ABC vuông tại A. áp dụng định lý 1 
 ta có :
 AC 2 BC.CH 122 18.y y 8
 x BC y 18 8 10 A
 12
 x y
 B
 H C
 18
c) * Cách 1 : 
 2
 A AH = BH.CH = 4.9 = 36 => AH = 6
 Theo Pitago cho các tam giác vuông AHB; AHC ta 
 có:
 y
 x x BH 2 AH 2 42 62 52
 y CH 2 AH 2 62 92 117
 4 9
 B
 H C * Cách 2: Áp dụng định lý 1 ta có:
 AB2 BC.BH (BH CH ).BH (4 9).4 52
 AB 52 x 52
 AC 2 BC.CH (BH CH ).CH (4 9).9 117
 AC 117 y 117
d) Áp dụng định lý 2, ta có:
 2 2
 A AH BH.CH x 3.7 21 x 21
 Áp dụng định lý 1. ta có :
 2
 y AC BC.CH (BH CH ).CH
 x
 y2 (3 7).7 70 y 70
 2 2
 3 7 (y x CH 21 49 70)
 B
 H C
e) Theo Pitago, ta có : 
 A BC AB2 AC 2 y 132 172 458
 Áp dụng định lý 3, ta có :
 17 AB.AC BC.AH
 13 x 221
 13.17 458.x x 10,33
 458
 B
 H C
 y
g) Áp dụng định lý 2, ta có :
 2
 A 5
 AH 2 BH.CH 52 4.x x 6,25
 4
 y Theo Pitago cho tam giác AHC vuông tại H, ta có : 
 5 y AH 2 CH 2 52 6,252 8
 (DL1: y2 BC.x (4 6,25).6,25 y 8)
 4 x
 B
 H C
Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có các cạnh góc vuông AB = 15cm, AC = 20cm. Từ C kẻ đường 
vuông góc với cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D. Tính AD và CD
 LG D BCD,Cµ 900 ,CA  BD . Theo định lý 3, ta có : 
 80
 CA2 AB.AD 202 15.AD AD 
 3
 x Theo Pitago trong tgiác ACD vuông tại A, ta có : 
 2
 y 2 2 80 2 100
 A CD AD CA 20 
 3 3
 20
 15
 B C
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với đường 
chéo AC, đường thẳng này cắt AC tại E và AB tại F. Tính độ dài EA, EC, ED, FB, FD
 LG
Xét tam giác ADC vuông tại D, ta có: AC AD2 CD2 322 602 68
 AD2 322 256
Theo định lý 1: AD2 AC.AE AE 
 AC 68 17
 Theo định lý 1, ta có:
 A F 60 B
 2 2
 2 CD 60 900
 E CD AC.CE CE 
 AC 68 17
 32 Theo định lý 2, ta có:
 480
 DE AE.EC ... 
 D C 17
 AD2 544
Xét tam giác DAF, theo định lý 1: AD2 DF.DE DF ... 
 DE 15
 256 256 644
Theo Pitago: AF DF 2 AD2 .... FB AB AF 60 
 15 15 15
Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa A, B. Tia DE và tia CB cắt nhau ở F. Kẻ 
đường thẳng qua D vuông góc với DE, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại G. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DEG cân
 1 1
b) Tổng không đổi khi E chuyển động trên AB
 DE 2 DF 2
 LG
 F ¶ ¶ ¶
 a) Ta có: D1 D3 (cùng phụ với D2 )
 xét ADE và CDG ta có :
 A E B AD DC(gt) 
 D1 D3 cmt  ADE CDG g.c.g 
 0 
 A C 90 
 DE DG DEG cân tại D
 1 1 1
 2 b) vì DE = DG 2 2
 D C DE DG
 3 1 1 1 1
 ta có : 
 DE 2 DF 2 DG2 DF 2
 xét tam giác DGF vuông tại D, ta có :
 1 1 1
 G (định lý 4)
 CD2 DG2 DF 2
 1
 Vì không đổi khi E chuyển động trên AB, suy ra 
 CD2
 1 1 1 1
 tổng không đổi khi E thay 
 DE 2 DF 2 DG2 DF 2 đổi trên AB
 *******************************************************
Ngày day: ..
 CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN BẬC HAI
A./ Kiến thức cơ bản :
1. khai phương một tích. Nhân các căn bậc hai
a) Định lý : a;b 0,ta có: a.b= a. b
b) Quy tắc khai phương một tích : Muốn khai phương một tích các số không âm, ta có thể khai phương 
từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau ( a;b 0,ta có: a.b= a. b )
c) Quy tắc nhân các căn bậc hai : Muốn nhân các CBH của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới 
dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó ( a;b 0: a. b= a.b )
d) Chú ý : 
 2
- Với A > 0 ta có : A A2 A
- Nếu A, B là các biểu thức : A; B 0ta có: A.B A. B
- Mở rộng : A.B.C A. B. C (A, B,C 0)
2. Khai phương một thương. Chia các căn bậc hai
 a a
a) Định lý : a 0,b 0 ta có: = .
 b b
 a
b) Quy tắc khai phương một thương : Muốn khai phương một thương , trong đó số a không âm và số b 
 b
dương, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai (
 a a
a 0,b 0 ta có: = .)
 b b
c) Quy tắc chia hai CBH : Muốn chia CBH của số a không âm cho số b dương, ta có thể chia số a cho số b 
 a a
rồi khai phương kết quả đó ( a 0,b 0 : = )
 b b
 A A
d) Chú ý : Nếu A, B là biểu thức : A 0, B 0 : =
 B B
B./ Bài tập áp dụng :
 Dạng 1 : Tính
Bài 1 : Thực hiện phép tính
 2 2 2
 24 1 49 81 1 7 9 1 7 9 1 63
a) 1 .5 .0,01 . . . . . . 
 25 16 25 16 100 5 4 10 5 4 10 200
b) 2,25.1,46 2,25.0,02 2,25(1,46 0,02) 2,25.1,44 (1,5.1,2)2 1,5.1,2 1,8
 25 169 (5.13)2 5.13 13
c) 2,5.16,9 . 
 10 10 102 10 2
d) 117,52 26,52 1440 (117,5 26,5).(117,5 26,5) 1440 144.91 144.10
 144(91 10) 144.81 (12.9)2 108
 Dạng 2 : Rút gọn các biểu thức
Bài 2 : Tính giá trị các biểu thức
 1 9 64 4 441
a) A 0,1 0,9 6,4 0,4 44,1 
 10 10 10 10 10
 1 3 8 2 2 35 35 10 7 10
 10 10 10 10 10 10 10 2 6 14 2 3 7 2 3 7 2
b) B 
 2 3 28 2 3 2 7 2( 3 7) 2
 3 5 3 5 3 5 4 3 3 5 4 3 
c) C 
 4 3 4 3 4 3 4 3 
 12 3 3 4 5 15 12 3 3 4 5 15 24 2 15
 16 3 13
Bài 3 : Rút gọn các biểu thức 
a) 9 x 5 2 x 5 3 x 5 3 x 5 
b) x2. x 2 2 x 0 x . x 2 x 2 x x x 2 
 108x3 108x3
c) x 0 9x2 3 x 3x
 12x 12x
 13x4 y6 13x4 y6 1 1 1 1
d) x 0; y 0 6 6 2 
 208x6 y6 208x y 16x 4 x 4x 4x
 Dạng 3 : Chứng minh
Bài 4 : Chứng minh các biểu thức sau
a) 6 35. 6 35 1
VT (6 35).(6 35) 36 35 1 VP
b) 9 17 . 9 17 8
VT (9 17).(9 17) 81 17 64 8 VP
 2
c) 2 1 9 8
VT 2 2 2 1 3 2 2 
  VT VP
 2
VP 3 2 .2 3 2 2  
 2
d) 4 3 49 48
VT 4 2 12 3 7 2 22.3 7 4 3 
  VT VP
 2
VP 7 4 .3 7 4 3  
 2
e) 2 2 2 3 3 1 2 2 6 6 9
VT 4 2 6 6 1 4 2 8 6 6 9 VP
g) 8 2 15 8 2 15 2 3
 2 2
VT 5 2. 5. 3 3 5 2. 5. 3 3 5 3 5 3 
 5 3 5 3 5 3 5 3 2 3 VP
 Dạng 4 : Giải phương trình
Bài 5 : Giải các phương trình sau
a) 2 2x 5 8x 7 18x 28 1 dk : x 0
 28 784 392
 1 2 2x 5.2. 2x 7.3. 2x 28 13 2x 28 2x 2x x tm 
 13 169 169 1
b) 4x 20 x 5 9x 45 4 2 
 3
 1
 2 4(x 5) x 5 9(x 5) 4 dk : x 5 0 x 5
 3
 1
 2 x 5 x 5 .3 x 5 4 2 x 5 4 x 5 2 x 5 4 x 9 tm 
 3
 2
 x 
 3x 2 0 3
 2
 x 1 0 x 1 
 3x 2 3x 2 x 
c) 3 (3) đk : 0 3
 x 1 x 1 3x 2 0 2 
 x x 1
 x 1 0 3
 x 1
 3x 2 11
Ta có (3) 9 ... 6x 11 x thỏa mãn
 x 1 6
 4
 5x 4 5x 4 0 x 4
d) 2 (4) đk : 5 x 
 x 2 x 2 0 5
 x 2
(4) 5x 4 2 x 2 5x 4 4 x 2 ..... x 12 thỏa mãn
 a b
Bài tập : (bất đẳng thức Cauchy) : Cho 2 số a và b không âm. Chứng minh rằng ab . Dấu đẳng 
 2
thức xảy ra khi nào ?
 LG
* Cách 1 : 
+ vì a 0;b 0 a; b xác định
 2 a b
+ ta có : a b 0 a 2 ab b 0 a b 2 ab ab
 2
+ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
* Cách 2 : ta có
 a b 2 0 a2 2ab b2 0 a2 b2 2ab a2 2ab b2 4ab
 2 a b
 a b 4ab a b 2 ab ab
 2
 *******************************************************
Ngày dạy: ..
 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa : Cho ABC (00 900 ) ta định nghĩa các tỉ số giữa các cạnh AB, BC, CA của tam 
giác ABC vuông tại A như sau :
 AC AB
sin ; cos C
 BC BC
 
 AC AB
tg ; cot g Huyền
 AB AC
 Đối
 A B
 Kề
* Nhận xét : từ định nghĩa ta thấy : + tỉ số lượng giác của 1 góc nhọn luôn dương 1
+ 0 < sin, cos < 1 + cot g ;tg .cot g 1
 tg 
2. Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau
- Định lý : nếu 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tg góc này bằng cotg góc kia. Tức : nếu 
 0 sin cos ; cos sin 
  90 thì ta có : 
 tg cot g; cot g tg
3. Bảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt
 300 450 600
 Tỉ số lượng giác
 Sin 1 2 3
 2 2 2
 Cos 3 2 1
 2 2 2
 tg 1 1 3
 3
 Cotg 3 1 1
 3
* Nhận xét :
- Dựa vào bảng trên ta thấy :
 0 0 sin 1 sin 2 ; tg 1 tg 2
 với 0 1; 2 90 và 1 2 . 
 cos 1 cos 2 ; cot g 1 cot g 2
Tức là : 
+ góc lớn hơn thì có sin lớn hơn, nhưng lại có cosin nhỏ hơn
+ góc lớn hơn thì có tg lớn hơn, nhưng lại có cotg nhỏ hơn
Hay ta có thể phát biểu : 00 900 thì :
+ sin và tg đồng biến với góc 
+ cosin và cotg nghịch biến với góc 
4. Các hệ thức cơ bản
 sin
 1 tg ; 3 tg.cot g 1;
 cos
 cos
 2 cotg ; 4 sin2 cos2 1
 sin
B. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Cho biết sin = 0,6. Tính cos, tg và cotg
+ ta có: sin2 cos2 1 cos 1 sin2 1 0,62 0,8
 sin 0,6 3 cos 0,8 4
+ tg ; cotg 
 cos 0,8 4 sin 0,6 3
Bài 2: 
1. Chứng minh rằng:
 1 1
 a) tg 2 1 ; b) cotg 2 1 ; c) cos4 sin4 2cos2 1
 cos2 sin2 
2. Áp dụng: tính sin, cos, cotg, biết tg = 2
 LG
1. a) ta có:
 sin sin2 sin2 
 tg tg 2 tg 2 1 1
 cos cos2 cos2 
 sin2 cos2 1
 tg 2 1 
 cos2 cos2 cos2 cos2 sin2 1
b) VT cot g 2 1 1 VP
 sin2 sin2 sin2 
c)
VT cos4 sin4 cos2 sin2 . cos2 sin2 cos2 sin2 
 cos2 1 cos2 cos2 1 cos2 2cos2 1 VP
2. Ta có:
 1 1 1
 tg 2 nên a 22 1 cos2 cos ;
 cos2 5 5
 1
 tg 2 cotg ;
 2
 2
 1 1 1 5 2 4 2 5
 b 1 2 2 sin sin 
 2 sin sin 4 5 5
Bài 3: Biết tg = 4/3. Tính sin, cos, cotg
 LG
+ ta có: tg = 4/3 nên cotg = ¾
 1 9 3
+ mà tg 2 1 cos2 cos ;
 cos2 25 5
 2
 2 2 2 3 4
+ mặt khác: sin cos 1 sin 1 cos 1 
 5 5
Bài 4: Dựng góc trong các trường hợp sau:
 1 2
a) sin ; b) cos ; c) tg 3; d) cot g 4
 2 3
 LG
a)* Cách dựng y
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
- vẽ cung tròn tâm B, bán kính bằng 2, cung này cắt 
Ox tại A
- nối A với B BAO cần dựng B
* Chứng minh: 2
 OB 1 1
- ta có: sin sin BAO đpcm
 AB 2 x
 O A
b)* Cách dựng y
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 B
- vẽ cung tròn tâm A, bán kính bằng 3, cung này cắt 
Oy tại B
- nối A với B BAO cần dựng 3
* Chứng minh:
 OA 2
- ta có: cos cosBAO đpcm 
 AB 3 x
 O 2 A