Kế hoạch dạy thêm Hình học Lớp 9 - Chương 3 - Bài 7: Tứ giác nội tiếp

 BÀI 7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP
I.Tóm tắt lý thuyết
 1. Định nghĩa 
 Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.
 Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD. 
 2. Định lí
 Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.
 Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường 
tròn.
 3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
 Tứ giác có tổng hai góc đổi bằng 180°.
 Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
 Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm 
của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. 
 Tứ giác có hai đinh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
Chú ý: 
 1.Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường 
tròn.
 2.Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính thì có số đo bằng 900
 3.Đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây
 4.Nếu hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì: 
 + Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
 + Đường thẳng nối từ điểm đó đến tâm là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
 + Đường thẳng nối từ tâm đến điểm đó là phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua 
 tiếp điểm. II. Các dạng bài tập
 Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp
 Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các cách 
sau:
 Phương pháp 1: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
 Minh họa:
 Phương pháp 2: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó 
thì nội tiếp được trong một đường tròn
 Minh họa: 
 Phương pháp 3: Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai 
góc bằng nhau
 Minh họa: 
 Phương pháp 4: Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó
 Minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp.
Hướng Dẫn:
Cách 1: Phương pháp 2:Chứng minh 4 đỉnh cách đều 1 điểm
 OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 
 OB’ = OB = OC = r (1)
 Xét BC’C có : B· C'C 900 (GT)
 Tương tự trên OC’ = OB = OC = r (2)
 Từ (1) và (2) B, C’, B’, C (O; r) Tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn.
Cách 2: Phương pháp 3:Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lạ dưới một 
góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp. 
 Ta có: BB’  AC (giả thiết) B· B'C 900 .
 CC’  AB (giả thiết) B· C'C 900 .
 B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông 
 B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC
 Hay tứ giác BC ' B 'C nội tiếp đường tròn đường kính BC. Cách 3: Phương pháp 1 và phương pháp 4: Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800 và Tứ giác có góc 
ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
 Ta có: BB’  AC (giả thiết) B· B'A 900 .
 CC’  AB (giả thiết) C· C'A 900 .
 Xét AB B và AC C có ·AB B ·AC C 900 và B· AC chung.
 AB ' AB AB ' AC '
 Vậy AB B : AC C (g-g) 
 AC ' AC AB AC
 AB ' AC '
 Xét AB C và ABC ta có và B· AC chung. Vậy AB C : ABC (c-g-c)
 AB AC
 ·AB 'C' A· BC . Tứ giác BC ' B 'C có góc ngoài tại đỉnh B ' bằng góc trong tại đỉnh B . 
 Vậy tứ giác BC ' B 'C nội tiếp. (Phương pháp 2)
 Để sử dụng theo phương pháp 1 có thể chỉ ra tứ giác BC ' B 'C có C· ' BC C· ' B 'C 1800 
nên tứ giác BC ' B 'C là tứ giác nội tiếp
Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh các tứ giác 
AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiêp.
Hướng Dẫn:
 Xét tứ giác AMHN có: 
 ·AMH ·ANH 900 900 1800 
 ĐPCM.
 Xét tứ giác BNMC có:
 B· NC B· MC 900 ĐPCM. Bài 3: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ( 
B, C là tiếp điểm). Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
Hướng Dẫn:
 Học sinh tự chứng minh
Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C 
cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh PEDC là tứ giác nội tiếp.
Hướng Dẫn:
 1
 Ta có: ·AED (sđ »AD + sđ M»B )
 2
 1
 sđ D¼M M· CD. D· EP P· CD 1800 
 2
 PEDC nội tiếp.
Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc đường tròn. Vẽ MH 
vuông góc với BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC. Chứng minh MIHC là tứ giác nội tiếp.
Hướng Dẫn:
 Ta có: M· IC C· HM 900 
 MIHC nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc 
vuông) Dạng 2. Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng 
 nhau, các đường thẳng song song hoặc đồng quy, các tam giác đồng dạng...
 Phương pháp: Sử dụng tính chât của tứ giác nội tiếp.
Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông 
góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK  AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại 
F. Chứng minh:
 a) Tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp;
 b) AH.AB = AD2;
 c) Tam giác ACE là tam giác cân.
Hướng Dẫn:
 a) Học sinh tự chứng minh
 b) ADB vuông tại D, có đường cao DH AD2 = AH.AB
 1
 c) E· AC E· DC sđ EC, E· AC K· HC
 2
 (Tứ giác AKCH nội tiếp)
 E· DC K· HC DF//HK (H là trung điểm DC nên K là trung điểm FC)
 ĐPCM.
Bài 2: Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M OA (M không trùng o và A). Qua M vẽ đường thẳng 
d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nôi NB cắt (O) tại c. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) 
(£ là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d). Chứng minh:
 a) Bốn điểm O, E, M, N cùng thuộc một đường tròn;
 b) NE2 = NC.NB;
 c) N· EH N· ME (H là giao điểm của AC và d); d) NF là tiếp tuyến (O) với F là giao điểm của HE và (O).
Hướng Dẫn:
 a) Học sinh tự chứng minh
 1
 b) N· EC C· BE sđ C»E
 2
 NEC  NBE (g.g) ĐPCM.
 c) NCH  NMB (g.g) 
 NC.NB = NH.NM = NE2
 NEH  NME (c.g.c) 
 N· EH E· MN
 d) E· MN E· ON (Tứ giác NEMO nội tiếp)
 N· EH N· OE EH  NO
 OEF cân tại O có ON là phân giác E· ON N· OF
 NEO = NFO vậy N· FO N· EO 900 ĐPCM.
Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I là trung điểm của OA, dây CD vuông góc với AB 
tại I. Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H.
 a) Chứng minh tứ giác BIHK là tứ giác nội tiếp.
 b) Chứng minh AH.AK có giá trị không phụ thuộc vị ữí điểm K.
 c) Kẻ DN  CB, DM  AC. Chứng minh các đường thẳng MN, AB, CD đồng quy.
Hướng Dẫn: a) H· IB H· KB 1800
 Tứ giác BIHK nội tiếp
 b) Chứng minh được: AHI  ABK (g.g)
 AH.AK = AI.AB = R2 (không đổi)
 c) Chứng minh được MCND là hình chữ nhật từ đó ĐPCM.
Bài 4: Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, 
AN tói đường tròn (M, N là hai tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O; R) tại 
B và C (AB < AC). Gọi 7 là trung điểm BC.
 a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc một đường tròn.
 b) Chứng minh AM2 = AB.AC.
 c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN tại E. Chúng minh IE song song MC.
 d) Chứng minh khi d thay đổi quanh quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC luôn 
nằm trên một đường tròn cô' định.
Hướng Dẫn:
 a) Chú ý: ·AMO ·AIO ·ANO 900
 1
 b) ·AMB M· CB sđ M»B
 2
 AMB  ACM (g.g)
 ĐPCM.
 c) AMIN nội tiếp
 ·AMN ·AIN
 BE//AM ·AMN B· EN
 B· EN ·AIN Tứ giác BEIN nội tiếp B· IE B· NM
 Chứng minh được: B· IE B· CM IE//CM.
 d) G là trọng tâm MBC G MI. 1
 Gọi K là trung điểm AO MK = IK = AO.
 2
 Từ G kẻ GG'//IK (G' MK)
 GG ' MG MG ' 2 1
 IK AO không đổi (1)
 IK MI MK 3 3
 2 1
 MG ' MK G ' cố định (2). Từ (1) và (2) có G thuộc (G '; AO ).
 3 3
 Dạng 3: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn
 Phương pháp: Chỉ ra khoảng cách từ một điểm tới tất cả các điểm đều bằng nhau.
 Lợi dụng các tam giác vuông có cạnh huyền chung
 Chứng minh các đỉnh của một đa giác cùng nằm trên một đường tròn.
 Sử dụng cung chứa góc.
 Chứng minh các tứ giác nội tiếp.
Bài 1:Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 600 , AB = a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của 
các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường 
tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó theo a.
Hướng Dẫn:
 Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có OB = OD
 Do ABCD là hình thoi nên ta có AC  BD .
 Ta có B· AD 600 nên B· AO 300 (tính chất đường chéo hình thoi)
 a
 Tam giác ABO vuông tại O có OB ABsinB· AO OB a.sin 300 
 2
 Xét tam giác vuông ABO có ·ABO B· AO 900 ( hai góc phụ nhau) mà B· AO 300 suy ra 
·ABO 600 hay E· BO 600
 1
 OE AB EB EA ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và E là trung điểm 
 2
của AB.
 Tam giác EOB là tam giác cân tại E có E· BO 600 nên tam giác EBO là tam giác đều OE OB
 Chứng minh tương tự với các tam giác vuông BOC, COD và DOA ta có :
 OE OB OF OC OG OD OH
 a
 Vậy 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn tâm O. Bán kính OB 
 2
Bài 2:Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm 
đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác 
định tâm O của đường tròn đó.
Hướng Dẫn:
 Do DE  BC D· BE 900
 Vì E và F đối xứng với nhau qua BD nên BD là đường trung trực của đoạn thẳng EF
 BF BE; DF DE
 BFD BED (c-c-c) B· FD B· ED 900
Cách 1. 
 Gọi O là trung điểm của BD.
 1
 Xét tam giác vuông ABD vuông tại A có AO là trung tuyến nên AO BD OB OD
 2 (1)
 1
 Tam giác vuông BDE vuông tại E có OE là trung tuyến nên EO BD OB OD
 2 (2)
 1
 Tam giác vuông BFDvuông tại F có OF là trung tuyến nên FO BD OB OD
 2 (3)
 Từ (1) (2) (3) OA OB OD OE OF . Vậy 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một 
 đường tròn tâm O với O là trung điểm của BC.
Cách 2: 
 + Tứ giác BADE có B· AD D· EB 1800 nên tứ giác BADE là tứ giác nội tiếp.
 Tâm của đường tròn này là trung điểm của BD
 +Tứ giác BFDE có B· FD D· EB 1800 nên tứ giác BFDE là tứ giác nội tiếp.