Kế hoạch dạy thêm Hình học Lớp 9 - Chương 3 - Bài 5: Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

 BÀI 5. GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN.
 GÓC CÓ ĐỈNH BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
I.Tóm tắt lý thuyết
 Ví dụ 1. Trong Hình 1, góc B· IC nằm bên đường tròn (O) được gọi là góc có đỉnh ở hên 
trong đường tròn.
 Ví dụ 2. Trong các Hình 2, 3, 4 các góc ở đỉnh I có đặc điểm chung là: đỉnh nằm bên ngoài 
đường tròn, các cạnh đều có điếm chung với đường tròn. Mỗi góc đó được gọi là góc có đỉnh ở bên 
ngoài đường tròn.
 Định lí 1. Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị 
chắn.
 Minh họa: » »
 · sđBE + sđCD
 + sđBAE = . 
 2
 » »
 · sđBD + sđCE
 + sđBAD = 
 2
 Định lí 2. Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị 
chắn.
 Minh họa:
 · 1æ ¼ ¼ ö
 sđCAE = çsđEmC - sđBnD÷
 2èç ø÷
 Lưu ý: 
 + Với đỉnh A nằm ngoài đường tròn (O) . AD là tiếp tuyến của (O) , qua A vẽ một cát 
 · 1æ ¼ ¼ ÷ö
tuyến cắt đường tròn tại B,C thì: CAD = çsđCmD - sđBnD÷
 2è ø
 + Với Với đỉnh A nằm ngoài đường tròn (O) . AB,AC là 2 tiếp tuyến của (O) , ( A, B là 
 · 1æ ¼ ¼ ö
các tiếp điểm) thì: BAC = çsđBmC - sđBnC ÷
 2èç ø÷ II. Các dạng bài tập
 Dạng 1. Chứng minh hai góc hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau
 Phương pháp giải: Sử dụng hai định lý về số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc 
có đỉnh bên ngoài đường tròn.
Bài 1: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến MC tại C và cát tuyên MAB (A nằm 
giữa M và B) và A,B,C (O). Gọi D là điểm chính giữa của cung AB không chứa C, CD cắt AB tại 
I. Chứng minh:
 a) M· CD B· ID ; b) MI = MC.
Hướng Dẫn:
 1
 a) M· CD B· ID sdC»D 
 2
 b) Sử dụng kết quả câu a).
Bài 2: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm ngoài (O). Kẻ cát tuyến PAB và tiếp tuyến PT với 
A,B,T (O). Đường phân giác của góc ATB cắt AB tại D. Chứng minh PT = PD.
Hướng Dẫn:
 HS tự làm.
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau 
tại I và cắt (O) lần lượt tại D và E. Dây DE cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng 
minh:
 a) Các tam giác AMN, EAI và DAI là những tam giác cân;
 b) Tứ giác AMIN là hình thoi.
Hướng Dẫn:
 1
 a) ·AMN ·ANM sd E»D
 2
 Suy ra AMN cân tại A. Kéo dài AI cắt đường tròn (o) tại K. 
 Chứng minh tương tự, ta có AIE và DIA lần lượt cân tại E và D.
 b) Xét AMN cân tại A có AI là phân giác. 
 Suy ra AI  MN tại F và MF = FN. Tương tự với EAI cân tại E, ta có: AF = IF. 
 Vậy tứ giác AMIN là hình hình hành. Mà AI  MN ĐPCM.
Bài 4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Các tia AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp 
tam giác ABC tại D, E, F. Dây EF cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: 
 a) DI = DB; b) AM = AN;
Hướng Dẫn:
 HS tự làm. Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc vuông góc. Chứng minh các đẳng thức 
 cho trước
 Phương pháp giải: Áp dụng hai định lý về số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc 
có đỉnh bên ngoài đường tròn để có được các góc bằng nhau, cạnh bằng nhau. Từ đó, ta suy điều 
cần chứng minh.
Bài 1: Từ điểm P ở ngoài (O), vẽ tiếp tuyến PA với đ/tròn và cát tuyến PBC với P, B,C (O).
 a) Biết PC = 25cm; PB = 49cm. Đường kính (O) là 50cm. Tính PO.
 b) Đường phân giác trong của góc A cắt PB ở I và cắt (O) ở D. Chứng minh DB là tiếp 
tuyến của đường tròn ngoại tiếp AIB.
Hướng Dẫn:
 a) Chứng minh được PA2 = PC.PB và PA2 = PO2 = OA2 tính được PO.
 1
 b) Chứng minh được D· BC D· AB C· AB ĐPCM
 2
Bài 2: Cho (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đường kính AB lấy điểm E 
sao cho AE = R 2 . Vẽ dây CF đi qua E. Tiếp tuyên của đường tròn tại F cắt CD tại M, vẽ dây Aỉ 
cắt CD tại N. Chứng minh:
 a) Tia CF là tia phân giác của góc BCD;
 b) MF và AC song song;
 c) MN, OD, OM là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông.
Hướng Dẫn:
 a) Học sinh tự chứng minh.
 b) Chứng minh ·AFM C· AF( ·ACF) MF / / AC .
 c) Chứng minh: M· FN M· NF MNF cân tại M MN MF 
 Mặt khác: OD = OF = R.
 Ta có MF là tiếp tuyến nên OFM vuông ĐPCM.
Bài 3: Cho tam giác ABC phân giác AD. Vẽ đường tròn (O) đi qua A, D và tiếp xúc với BC tại D. 
Đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh:
 a) EF song song BC; b) AD2 = AE.AC;
 c) AE.AC = AB.AF.
Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh.
 b) ADE : ACD (g-g)
 AD2 = AE.AC
 c) Tương tự: ADF : ABD AD2 = AB.AF ĐPCM.
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các tia phân giác của các góc A và B cắt 
nhau ở I và cắt đường tròn theo thứ tự ở D và E. Chứng minh:
 a) Tam giác BDI là tam giác cân;
 b) DE là đường trung trực của IC;
 c) IF và BC song song, trong đó F là giao điểm của DE và AC.
Hướng Dẫn:
 1
 a) B· ID sđ D»E D· BE BID cân ở D.
 2
 b) Chứng minh tương tự: IEC cân tại E, DIC cân tại D.
 EI = EC và DI = DC
 DE là trung trực của CI.
 c) F DE nên FI = FC
 F· IC F· CI I·CB IF / /BC 
III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) (AB < CD). Gọi P là điểm chính giữa của 
cung nhỏ AB, DP cắt AB tại E và cắt CB tại K, CP cắt AB tại F và cắt DA tại I
 a) Chứng minh : D· IC = D· KC
 b) Chứng minh: ·AED = P· CD và B· FC = P· DC
Hướng Dẫn:
 a) Xét đường tròn (O) có:
 D· IC là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn 2 cung DC và AP 1
 Suy ra: D· IC (Sd D»C sd »AP)
 2
 D· IC là goc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn hai cung DC và BP
 1
 Suy ra: D· KC (Sd D»C sd B»P)
 2
 Mà: »AP B»P (do P là điểm chính giữa của cung AB)
 Suy ra: D· IC = D· KC
 b) Xét đường tròn (O) có:
 ·AED là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn 2 cung AD và BP
 1
 Suy ra: ·AED (Sd »AD sd B»P)
 2
 Mà: »AP B»P
 1 1
 Suy ra: ·AED (Sd »AD sd »AP) Sd D»P
 2 2
 Mặt khác: 
 P· CD là góc nội tiếp chắn cung DP
 1
 Suy ra: P· CD Sd D»P
 2
 Suy ra: ·AED = P· CD
Bài 1: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến PAB và PCD (A nằm giữa P và B, C 
nằm giữa P và D), các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại Q.
 a) Cho biết Pµ = 60° và ·AQC = 80°. Tính góc B· CD.
 b) Chứng minh PA.PB = PC.PD.
Hướng Dẫn:
 1 1
 a) Ta có: B· PD (sđ B»D - sđ »AC ), ·AQC (sđ B»D + sđ »AC )
 2 2
 B· PD ·AQC = sđ B»D = 1400
 B· CD 700
 b) HS tự chứng minh Bài 2: Từ một điểm A bên ngoài (O), vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Tia phân giác của góc 
B· AC cắt BC và BD lần lượt tại M và N. Vẽ dây BF vuông góc với MN, cắt MN tại H, cắt CD tại E. 
Chứng minh:
 a) Tam giác BMN cân; b) FD2 = FE.FB.
Hướng Dẫn:
 a) HS tự chứng minh BMN cân ở B.
 b) EDF : DBF(g.g)
 DF EF
 BF DF
 DF 2 EF.BF
Bài 3: Cho tam giác đều MNP nội tiếp đường tròn tâm (O). Điểm D di chuyển trên M»P . Gọi E là 
giao điểm của MP và ND, gọi F là giao điểm của MD và NP. Chứng minh M· FN M· ND. 
Hướng Dẫn:
 HS tự chứng minh
Bài 4: Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B và C. Gọi M, N và P theo thứ tự là điểm chính giữa cua 
các cung AB, BC và AC. BP cắt AN tại I, NM cắt AB tại E. Gọi D là giao điểm của AN và BC. 
Chứng minh:
 a) Tam giác BNI cân; b) AE.BN = EB.AN;
 AN AB
 c) EI song song BC; d) . 
 BN BD
Hướng Dẫn:
 a) HS tự chưng minh
 b) M chính giữa »AB
 N»E là phân giác B· NA
 BN EB
 (tính chất đường phân giác) BN.AE = NA.BE
 AN EA
 c) Chứng tinh tương tự 4B
 d) Chứng minh ABN : DBN ĐPCM
Bài 5: Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB với A,B,C 
(O). Phân giác góc B· AC cắt BC tại D, cắt (O) tại N. Chứng minh:
 a) MA = MD;
 b) Cho cát tuyến MCB quay quanh M và luôn cắt đ/tròn. Chứng minh MB.MC không đổi.
 c) NB2 = NA.ND.
Hướng Dẫn: HS tự chứng minh
Bài 6: Tam giác MNP nội tiếp đường tròn tâm (O), các điểm I, K, H là điểm chính giữa của các 
cung MN, NP, PM. Gọi J là giao điểm của IK và MN, G là giao điểm của HK và MP. Chứng minh 
JG song song với NP.
Hướng Dẫn:
 MG MK
 KG là đường phân giác của M· KP (1)
 GP KP
 MJ MK
 KJ là đường phân giác của M· KN (2)
 JN KN
 Chứng minh được: KN = KP (3)
 MG MJ
 Từ (1); (2); (3) ĐPCM
 GP JN
Bài 7: Trên đường tròn (O) cho các điểm A,B,C,D theo thứ tự đó. Gọi A1,B1,C1,D1 lần lượt là 
điểm chính giữa của các cung AB,BC,CD và DA . Chứng minh các đường thẳng A1C1 và B1D1 
vuông góc với nhau.
Hướng Dẫn:
 Gọi I là giao điểm của A1C1 và B1D1 ; a,b, g,d theo thứ tự là số đo của các cung 
A»B,B¼C,C»D,D»A . 
 Khi đó a + b + g + d = 3600 . 
 ·
 Xét góc A1IB1 là góc có đỉnh nằm trong đường tròn (O). 
 Ta có 
 · 1æ ¼ ¼ ö
 A IB = çsđA BB + sđC DD ÷ 
 1 1 2èç 1 1 1 1ø÷
 1æ ¼ ¼ ¼ ¼ ö
 = çsđA B + sđBB + sđC D + sđDD ÷ 
 2èç 1 1 1 1ø÷
 1
 = (a + b + g + d) = 900 . 
 4
 Nghĩa là A1C1 ^ B1D1 (đpcm). Bài 8: Cho bốn điểm A,D,C,B theo thứ tự đó nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (
C và D nằm về cùng một phía so với AB ). Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của 
A,B trên đường thẳng CD . Tia AD cắt tia BC tại I . Biết rằng AE + BF = R 3 .
 a) Tính số đo A· IB .
 b) Trên cung nhỏ CD lấy điểm K . Gọi giao điểm của KA,KB với DC lần lượt là M và 
N . Tìm giá trị lớn nhất của MN khi K di động trên cung nhỏ CD .
 Hướng Dẫn:
a). Kẻ OH ^ CD (H Î CD), 
 Ta thấy OH là đường trung bình của hình thang ABFE , 
 1 R 3
 Suy ra OH = (AE + BF ) = . 
 2 2
 Từ đó tam giác OCD đều, 
 · · 0
 Suy ra sđCOD = sđKCD = 60 .
 Ta thấy A· IB có đỉnh nằm ngoài đường tròn (O) 
 · 1æ ¼ ¼ ö 1 0 0 0
 Nên sđAIB = çsđAmB - sđKCD÷= (180 - 60 ) = 60 . 
 2èç ø÷ 2
 b) Ta thấy DAEM : DNFB 
 Suy ra EM .NF = AE.BF (không đổi) 
 Do đó MN lớn nhất khi và chỉ khi EM + NF nhỏ nhất. 
 Theo trên, EM .NF không đổi 
 Nên EM + NF nhỏ nhất khi EM = FN = AE.BF . 
 Vậy giá trị lớn nhất của MN bằng EF - 2 AE.BF .
Bài 9: Trong tam giác ABC , đường phân giác của B·AC cắt cạnh BC tại D . Giả sử (T ) là đường 
tròn tiếp xúc với BC tại D và đi qua điểm A . Gọi M là giao điểm thứ hai của (T ) và AC , P là 
giao điểm thứ hai của (T ) và BM , E là giao điểm của AP và BC .
 a) Chứng minh rằng E·AB = M·BC .
 b) Chứng minh hệ thức BE 2 = EP.EA .
Hướng Dẫn: a). Gọi N là giao điểm thứ hai của AB với đường tròn (T ). 
 Do AD là phân giác của B·AC
 ¼ ¼
 Nên sđDM = sđDN . 
 Ta có 
 · · 1æ ¼ » ö 1æ ¼ » ö 1 » · ·
 MBC = MBD = çsđDM - sđDP÷= çsđDN - sđDP÷= sđNP = NAP = EAB (đpcm). 
 2èç ø÷ 2èç ø÷ 2
b) Từ kết quả câu a, 
 Ta thấy E·BP = E·AB . Từ đó DEBP : DEAB (g.g), 
 BE EA
 Suy ra = 
 EP BE
 Hay BE 2 = EP.EA (đpcm).
Bài 10: Trên đường tròn (O) ta lấy các điểm A,C1,B,A1,C,B1 theo thứ tự đó.
 a) Chứng minh rằng nếu các đường thẳng AA1,BB1,CC1 là các đường phân giác trong của 
tam giác ABC thì chúng là các đường cao của DA1B1C1 .
 b) CHứng minh rằng nếu các đường thẳng AA1,BB1,CC1 là các đường cao của tam giác 
ABC thì chúng là đường phân giác trong của tam giác DA1B1C1 .
Hướng Dẫn:
a)Ta chứng minh AA1 ^ B1C1 . 
 Thật vậy, gọi M là giao điểm của AA1 và B1C1 , 
 · 1æ ¼ ¼ ö 1æ ¼ ¼ ¼ ö
 khi đó: AMB = çsđAB + sđA BC ÷= çsđAB + sđA B + sđBC ÷ 
 1 2èç 1 1 1ø÷ 2èç 1 1 1ø÷